人教版七年级数学上册同步备课 《第四章》4.2.2 线段长短的比较与运算(导学案)

4.2.2 线段长短的比较与运算导学案
一、学习目标：
1.会用尺规画一条线段等于已知线段，会比较两条线段的长短. 理解线段等分点的意义.
2.能够运用线段的和、差、倍、分关系求线段的长度.
3.体会文字语言、符号语言和图形语言的相互转化.
4.了解两点间距离的意义，理解“两点之间，线段最短”的线段性质，并学会运用.
重点：线段比较大小以及线段的性质.
难点：运用线段的和、差、倍、分关系求线段的长度.
二、学习过程：
自学导航
问题：老师手里的纸上有一条线段，你能在你的本上作出一条同样大小的线段来吗？
尺规作图
在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图.
动手操作1：作一条线段等于已知线段.
判断线段AB和CD的大小.
(1)如图1，线段AB和CD的大小关系是AB___CD；
(2)如图2，线段AB和CD的大小关系是AB___CD；
(3)如图3，线段AB和CD的大小关系是AB___CD.
合作探究
如图，线段AB和AC的大小关系是怎样的？线段AC与线段AB的差是哪条线段？你还能从图中观察出其他线段间的和、差关系吗？
动手操作2：如图，已知线段a和线段b，怎样通过作图得到a与b的和、a与b的差呢？
动手操作3：如图，已知线段a、b，作一条线段，使它等于2a－b.
动手操作4：如图，已知线段a，求作线段AB＝2a.
【归纳】点M把线段AB分成______的两条线段AM和BM；点M叫做线段AB的_______.
因此可得：AM＝______＝________，AB＝______＝_______.
类似地，还有线段的三等分点、四等分点等.
AM＝_____＝_____＝________，
AB＝______＝_______＝_______.
AM＝_____＝_____＝_____＝______，
AB＝_____＝______＝_____＝_____.
思考：如图，从A地到B地有四条道路，除它们之外能否再修一条从A地到B地的最短道路？如果能，请联系你以前所学的知识，在图上画出最短路线.
【归纳】两点的所有连线中，__________.简单说成：________________________.
连接两点间的线段的________，叫做这两点的_______.
估计下列图中线段AB与线段AC的大小关系，再用刻度尺或用圆规来检验你的估计.
AB___AC AB___AC AB___AC
考点解析
考点1：线段的作法及长短比较★★★
例1.如图，有一张三角形的纸片，你能准确地比较线段AB与线段BC的长短吗？
【迁移应用】
1.如图，比较线段a和b的长度，结果正确的是( )
A.a＞b
B.a＜b
C.a=b
D.无法确定
2.如图，用圆规比较两条线段AB和A＇B＇的长短，其中正确的是( )
A.AB＞A＇B＇
B.AB=A＇B＇
C.AB＜A＇B＇
D.没有刻度尺，无法确定
3.体育课上，小悦在点O处进行了四次铅球试投，铅球分别落在图中的M，N，P，Q四点处，则表示他最好成绩的点是( )
A.M
B.N
C.P
D.Q
4.如图，比较这两组线段的长短.
考点2：线段的和、差★★★
例2.如图，已知线段a，b，c，其中a＞b＞c.
(1)尺规作图：在射线AP上求作线段AB，使AB=a+c-b;
(2)若a=4，b=3，c=2，求AB的长.
【迁移应用】
1.如图，已知线段a，b，求作线段AB，使得AB=a+2b.小明给出了四个步骤：
①在射线AM上截取线段AP=a;
①则线段AB=a+2b;
①在射线PM上截取PQ=b，QB=b;
①画射线AM.你认为正确的顺序是( )
A.①①①①
B.①①①①
C.①①①①
D.①①①①
2.如图，下列关系式中与图形不符合的是( )
A.AD-CD=AC
B.AC-BC=AB
C.AB+BD=AD
D.AC+BD=AD
考点3：线段的中点、等分点★
BC，求MN的长.
例3.如图，AC=6cm，BC=15cm，M是AC的中点，在CB上取一点N，使得CN=1
3
【迁移应用】
1.下列条件中能确定C是线段AB的中点的是( )
AB D.AC+BC=AB
A.AC=BC
B.AB=BC
C.AC=BC=1
2
2.如图，C，D是线段AB上的两点，且D是线段AC的中点.若AB=10cm，BC=4 cm，则AD的长为( )
A.2cm
B.3cm
C.4cm
D.6cm
3.如图，点C在线段AB的延长线上，且BC=2AB，D是AC的中点，若AB=2cm，求BD的长.
4.如图，C，D是线段AB的三等分点，E是线段DB的中点，AB=12cm，求线段CE的长.
考点4：关于线段的基本事实及两点的距离★★★
例4.如图，小明家在B处，现在小明要去位于D处的同学家.
(1)最近的路线是__________；
(2)B，D两点的距离是线段______的长度.
【迁移应用】
1.若AB=4cm，BC=3cm，则A，C两点的距离( )
A.1cm
B.7cm
C.1cm或7cm
D.不确定
2.小明捡到一片沿直线折断了的银剩下的杏叶(如图)，他发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是____________________.
3.如图，A，B是公路l两旁的两个村庄，若要在公路上修建一个汽车站Р，使它到A，B两个村庄的距离和最小，试在l上标出汽车站P的位置.
考点5：线段的基本事实的应用★★★
例5.如图①，一只蚂蚁要沿着正方体表面从点A爬到点B，画出它爬行的最短路径(下底面不可通行).
【迁移应用】
如图，A，B，C，D为四个居民小区，现要在附近建一个购物中心.应把购物中心建在何处，才能使四个居民小区到购物中心的距离之和最小？请确定购物中心的位置，并说明理由.
考点6：线段的有关计算★★★★
类型1：直接计算线段的长
AB，D为AC的中点，DC=3cm，求DB的长.
例6.如图，已知线段AB，延长AB到点C，使BC=1
2
【迁移应用】
如图，已知线段AB=3cm，延长线段AB到点C，使BC=2AB，延长线段BA到点D，使AD①AC=4①3，M
是BD 的中点.求线段AM 的长.
类型2：利用方程思想计算线段的长
例7.如图，已知C ，D 两点将线段AB 分为三部分，且AC:CD:DB=2:3:4.若M 为AB 的中点，N 为BD 的中点，且MN=5，求AB 的长.
【迁移应用】
1.如图，B 和C 为线段AD 上两点，AB①BC:CD=3①1①6，M 是AD 的中点.若MC=2，则AD 的长为________.
2.如图，点C ，D 在线段AB 上，且满足CD=1
4
AD=1
6
BC ，E ，F 分别为线段AC ，BD 的中点.如果EF=5cm ，
求线段AB 的长度.
类型3：利用分类讨论思想计算线段的长
例8.在直线l上有四点A，B，C，D，已知AB=24，AC=6，D是BC的中点，求线段AD的长.
【迁移应用】
1.如图，C为线段AD上的一点，B为CD的中点，且AD=9，CD=4.若点E在直线AD上，且EA=1，则BE的长为( )
A.4
B.6或8
C.6
D.8
2.A、B、C是直线l上的点，线段BC的长为4，M，N分别为线段AB，BC的中点，MN的长为3，则线段AB的长为__________.
类型4：利用整体思想计算线段的长
例9.如图，点C在线段AB上，M，N分别是AC，BC的中点.
(1)若AC=9cm，CB=6cm，求线段MN的长；
(2)若C为线段AB上任意一点，AC+CB=a cm，其他条件不变，求线段MN的长.
【迁移应用】
如图，D为线段BC的中点，E为线段AC的中点.若ED=9，求线段AB的长度.。