基于极坐标的牛顿拉夫逊潮流计算

前言电力系统潮流计算是研究电力系统稳态运行情况的一种计算,它根据给定的运行件及系统接线情况确定整个电力系统各部分的运行状态。

在电力系统规划设计和现有电力系统运行方式的研究中,都需要利用潮流计算来定量分析、比较供电方案或运行方式的合理性、可靠性和经济性。

本次课程设计任务是闭式网络的潮流计算，用到的方法为牛顿拉夫逊极坐标法潮流计算。

牛顿法是数学中解决非线性方程式的典型方法，有较好的收敛性。

解决电力系统潮流计算问题是以导纳距阵为基础的，因此，只要在迭代过程中尽可能保持方程式系数距阵的稀疏性，就可以大大提高牛顿法潮流程序的放率。

自从20 世纪60 年代中期利用了最佳顺序消去法以后，牛顿法在收敛性、内存要求、速度方面都超过了阻抗法，成为直到目前仍在广泛采用的优秀方法。

目录1任务书 (2)2.模型简介及等值电路 (3)3.设计原理 (4)4.修正方程的建立 (7)5.程序流程图及MATLAB程序编写 (9)6.结果分析 (15)7.设计总结 (25)8.参考文献 (26)《电力系统分析》课程设计任务书2 模型简介及等值电路2.1课程设计模型：模型3电力网络接线如下图所示，各支路阻抗标幺值参数如下：Z12=0.02+j0.06，Z13=0.08+j0.24，Z23=0.06+j0.18，Z24=0.06+j0.12，Z25=0.04+j0.12，Z34=0.01+j0.03，Z45=0.08+j0.24，k=1.1。

该系统中，节点1为平衡节点，保持11.060V j=+为定值；节点2、3、4都是PQ节点，节点5为PV节点，给定的注入功率分别为:20.200.20S j=+，3-0.45-0.15S j=，40.400.05S j=--，50.500.00S j=-+，51.10V =。

各节点电压（初值）标幺值参数如下：节点 1 2 3 4 5Ui（0）=ei（0）+jfi（0）1.06+j0.0 1.0+j0.0 1.0+j0.0 1.0+j0.0 1.1+j0.0 计算该系统的潮流分布。

计算精度要求各节点电压修正量不大于10-5。

图2-12.2模型分析节点类型介绍按变量的不同，一般将节点分为三种类型。

1 PQ节点这类节点的有功功率和无功功率是给定的，节点(,)Vδ是待求量。

通常变电所都是这一类型节点。

由于没有发电设备，故其发电功率为零。

有些情况下，系统中某些发电厂输出的功率在一段时间内是固定时，该发电厂母线也作为PQ节点。

因此，电力系统中绝大多数节点属于这一类型。

2 PV节点这类节点有功功率P和电压幅值V是给定的，节点的无功功率Q和电压的相位δ是待求量。

这类节点必须有足够的可调无功容量，用以维持给定的电压幅值，因此又称为电压控制节点。

一般选择有一定无功储备的发电厂和具有可调无功电源设备的变电所作为PV节点。

3 平衡节点在潮流分布算出以前，网络中的功率损耗是未知的，因此，网络中至少有一个节点的有功功率P不能给定，这个节点承担了系统系统的有功功率平衡，故称之为平衡节点。

1.2、各节电参数：由模型中所给列出下表：各节点电压和注入功率（初值）标幺值参数如下：各节点之间的导纳：y12=5.000-j15.000，y13=1.2500-j3.7500，y22=0.2750-j0.8250，y23=1.667-j5.000，y24=3.333-j6.667，y25=2.7500-j8.2500，y34=10.0000-j30.0000，y55=-0.25+j0.751.3 等值电路模型由于计算时一般将平衡节点放到最大编号，故在本模型中将节点2、3、4、5、1分别替换为节点1、2、3、4、5，也即是4换为PV节点，5为平衡节点。

将变压器用等值电路，由此绘制等值电路如下：y12=1.667-j5，y13=3.333-j6.667，y14=2.75-j8.25，y15=5-j15，y52=1.25-j3.75，y23=10-j30，y34=1.25-j3.75，y11=0.275-j0.825，y44=-0.25+j0.75。

2.3 等值电路模型在图2-2中，将图2-1中的编号重新编排，节点2、3、4、5、1替换为1、2、3、4、5。

则各节点之间的导纳变为y12=1.667-j5，y13=3.333-j6.667，y14=2.75-j8.25，y15=5-j15，y52=1.25-j3.75，y23=10-j30，y34=1.25-j3.75，y11=0.275-j0.825，y44=-0.25+j0.75。

3 设计原理本题采用了题目要求的牛顿－拉夫逊潮流计算的方法。

牛顿法是数学中解决非线性方程式的典型方法，有较好的收敛性。

解决电力系统潮流计算问题是以导纳距阵为基础的，因此，只要在迭代过程中尽可能保持方程式系数距阵的稀疏性，就可以大大提高牛顿法潮流程序的放率。

3.1潮流计算的定解条件题中所给图表示一个五节点的简单电力系统，n 个节点电力系统的潮流方程的一般形式是..1n i ij ij j iP jQ V Y V =-=∑ (1,2,3,...)i n =或..1nj i i i ij j V P jQ V Y =+=∑ (1,2,3,...)i n =3.2潮流计算的约束条件(1)所有节点电压必须满足min max i i V V V ≤≤(2)所有电源节点的有功功率和无功功率必须满足min max min max}Gi Gi Gi Gi Gi Gi P P P Q Q Q ≤≤≤≤(3)某些节点之间的电压应满足max i j i j δδδδ-<-3.3牛顿-拉夫逊的基本原理设欲求解的非线性代数方程为()0f x =设方程的真实解为x ，则必有()0f x =。

用牛顿-拉夫逊法求方程真实解x 的步骤如下：首先选取余割合适的初始估值(0)x 作为方程(0)()0f x =的解，若恰巧有(0)()0f x =，则方程的真实解即为(0)x x =若(0)()0f x ≠，则做下一步。

取(1)(0)(0)x x x =+∆ 则(1)(0)(0)()()f x f x x =+∆其中(0)x∆为初始估值的增量，即(0)(1)(0)x x x ∆=-。

设函数()f x 具有任意阶导数(1)(0)(0)(0)'(0)(0)''(0)(0)2()()()()[()]/2...f x f x x f x f x x f x x =+∆=+∆+∆+若所取的(0)x ∆足够小，则含(0)2()x ∆的项及其余的一切高阶项均可略去，并使其等于零，即：(1)(0)(0)(0)'(0)(0)()()()()0f x f x x f x f x x =+∆≈+∆= 故得(0)(0)'(0)()()f x xf x ∆=-可见，只要'(0)()f x ≠0，即可根据上式求出第一次的修正估值(1)x ，若恰巧有(1)()f x =0，则方程的真实解即为(1)x x =。

若(1)()0f x ≠，则用上述方法由(1)x 再确定第二次的修正估值。

如此反复叠代下去，直到求得真实解x 为止。

设第K 次的估值为第（K+1）次的修正估值，则有()(1)()'()()()k k k k f x xxf x +=-迭代过程的收敛数据为1()()k f x ε<或2()k x ε∆<其中，1ε，2ε为预先给定的小正数。

4 修正方程的建立极坐标表示的牛拉法修正方程为：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆δδδδn Pnn np n n n n pn pp P P P P n p n p np n p n P U U U U H H N H N H H H N H N H J J L J L J H H N H N H J J L J L J H H N H N H P P Q P Q P 2221112211221122222221212222222121111212111111121211112211// 式中留出了（n-m ）行空格和（n-m ）列空列。

式中的有功，无功功率不平衡量Q Pii∆∆.分别由式（3-1a ）,式（3-1b ）可得为∑==+-=∆nj j ij ij ij ij i i B G U U P P 1j i sin cos ）（δδ∑==--=∆nj j ij ij ij ij i i B G U U Q Q 1j i cos sin ）（δδ （3-1a ，b ）而式中雅可比矩阵的各个元素则分别为 j i P H δ∂∂=ij ；j j i ij U U P N ∂∂=；j i Q J δ∂∂=ij ; j jiij U U Q L ∂∂= （3-2） 式（4-44）中将i U ∆改为/i i U U ∆只是为使公式（4-46）中个偏导数的表示形式上更相似，为求取这些偏导数，可将i P 、i Q 分别展开如下()()2121cos sin sin cos j ni iii i j ij ij ij ij j j i j ni iii i j ij ij ij ij j j iP U G U U G B Q U B U U G B δδδδ==≠==≠=++=-+-∑∑ （3-3a,b ）计及cos cos()sin()sin ()sin sin()cos()cos ()cos cos()sin()sin ()sin sin()cos()cos ()iji j i j ijj i j ij i j i j ij j i j ij i j i j ij i i j ij i j i j ij i i j δδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδ∂∂-⎫==-=∂-∂-∂∂-==--=-∂-∂-⎬∂∂-==--=-∂∂-∂∂-==-=∂∂-⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭（3-4）j i ≠时，由于对特定的j ，只有该特定节点的j δ，从而特定的ij i j δδδ=-是变量，由式（4-46）到式（4-48）可得()()sin cos cos sin i ij i j ij ij ij ij j iij i j ij ij ij ij i P H U U G B Q J U U G B δδδδδδ∂⎫==-⎪∂⎪⎬∂⎪==-+⎪∂⎭（3-5a ）相似的，由于对特定的j ，只有该特定节点的j U 是变量，可得()()cos sin sin cos i ij i j ij ij ij ij i iij i j ij ij ij ij jP N U U G B U Q L U U G B U δδδδ∂⎫==+⎪∂⎪⎬∂⎪==-⎪∂⎭ （3-5b ） j=i 时，由于i δ是变量，所有ij i j δδδ=-都是变量，可得()()11sin cos cos sin j niii i j ij ij ij ij j i j i j niii i j ij ij ij ij j i j i P H U U G B Q J U U G B δδδδδδ==≠==≠⎫∂==--⎪∂⎪⎪⎬∂⎪==+⎪∂⎪⎭∑∑ （3-5c ） 相似的，由于i U 是变量，可得()()2121cos sin 2sin cos 2j niii i j ij ij ij ij i ii j i j i j niii i j ij ij ij ij i ii j i j i P N U U G B U G U Q L U U G B U B U δδδδ==≠==≠⎫∂==++⎪∂⎪⎪⎬∂⎪==--⎪∂⎪⎭∑∑ （3-5d ）5 设计流程图及程序的编写程序中用到的符号所代表的意义：Y 代表导纳矩阵JJ 代表雅克比矩阵∆pp代表有功功率的不平衡量P i∆qq 代表无功功率的不平衡量Q i∆Uuu 代表各节点电压和相角的不平衡量δ∆U 代表各节点的电压S 代表线路的功率Q4 代表PV节点的注入无功功率K 代表迭代次数N1 代表PQ节点和PV节点的总数m,n代表系统中的节点总数，把平衡节点标为最大号S5 平衡节点功率d 变压器对地导纳%The following program for load calculation is based on MATLAB6.5 %以下部分为输入原始数据（到标示‘///’标志为止）。