河北省唐山一中2016-2017学年高二下学期3月月考数学(文)试题

唐山一中2016—2017学年度高二年级第二次月考
高二年级文科数学试卷
1．考试时间120分钟，满分150分。

2．将卷Ⅰ答案用2B 铅笔涂在答题卡上,卷Ⅱ用蓝黑钢笔或圆珠笔答在试卷上。

3．Ⅱ卷卷头和答题卡均填涂本次考试的考号，不要误填学号，答题卡占后５位。

卷Ⅰ(选择题 共60分)
一 选择题 （本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.直线10x +=的倾斜角为 （ ） A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
2. 过点A （0，2），B （﹣2，2），且圆心在直线x ﹣y ﹣2=0上的圆的方程是（ ） A ．()()2
2
1126x y -++= B ．()()2
2
1326x y +++= C ．()()2
2
2426x y +++= D ．()2
2226x y -+=
3. （ ） A ．
2
1
B ．
2
2 C ．
2
3 D ．
3
3
4. 曲线ln 2y x x =-在点(1,2)-处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积是 （ ）
A ．
2
1 B ．
4
3
C ．1
D ．2 5. 设P （x ，y ）是曲线C : ⎩⎨
⎧=+-=θ
θsin cos 2y x （θ为参数，0≤θ＜2π）上任意一点，则x y
的取值范围
是 （ ）A.⎡⎣ B.
(,)-∞⋃+∞ C. ,33⎡-⎢⎣⎦
D. (,[)33-∞-
⋃+∞ 6.平行四边形ABCD 内接于椭圆22
142
x y +=，直线AB 的斜率11k =，则直线AD 的斜率2k =
( ) A.
12 B. 12- C. 1
4
- D.2-
7. 曲线C 1的极坐标方程为ρ=R (R >0)，曲线C 2的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+=α
α
2
2
sin sin 2y x （α为参数），若C 1
与C 2由公共点，则R 的取值范围是 （ ） A.),2[+∞ B. ),2[+∞ C. D. 8.直线⎩⎨
⎧+=+=t
y t
x 221（t 为参数）被圆x 2+y 2=9截得的弦长等于 ( )
A ．
5
12 B ．
12
25
C ．
25
9 D ．
12
55
9. 设某三棱锥的三视图如下左图所示，则该三棱锥外接球的表面积为 （ ） A ．4π B ．6π
C ．8π
D ．10π
10. 如上右图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面是边长为a 的正方形，若在侧 棱AA 1上至少存在一点E ，使得∠C 1EB =90°，则侧棱AA 1的长的最小值为 ( ) A ．a B ．2a C ．3a D ．4a
11. 若函数()()()2
ln f x x x b b R =+-∈在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上存在单调递增区间，则实数b 的取值范
围是 （ ） A ．3(,)2-∞ B ．9(,)4-∞ C ．39(,)24- D ．3(,)2
+∞
12.3()x f x a x =-(a >0且a ≠1)有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A. 1<a <
e
e
3 B. 1<a <
e
e
2 C. 0<a <
e
e
3 D.
e
e
2<a <
e
e 3
高二年级数学试卷（卷Ⅱ 非选择题 共90分)
二 填空题 （本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，若∠BAC =90°，AB =AC =AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于 .
14. 若点P 是曲线2
ln y x x =-上任意一点，则点P 到直线2y x =-的最小距离为____. 15. 已知曲线C 的极坐标方程为2
13sin ρθ
=+, 则C 上的点到直线x -2y -42=0的距离的最小
值为________.
16. 已知x ∈（0，2），关于x 的不等式2
1
2x x e k x x <+-恒成立，则实数k 的取值范围为 ______________.
三 解答题（17题10分，其它题每题12分，共70分）
17. （本小题满分10分）设p ：实数x 满足()(3)0x a x a --<，其中0a >．q ：实数x 满足
22
680
8150
x x x x ⎧-+<⎪⎨-+>⎪⎩． ⑴若1a =且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； ⑵若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．
18．（本小题满分12分）在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=，AB =2，PD =6, O 为AC 与BD 的交点，E 为棱PB 上一点． ⑴证明：平面EAC ⊥平面PBD ；
⑵若PD ∥平面EAC , 求三棱锥P EAD -的体积.
19. （本小题满分12分）在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为5cos sin x y α
α
⎧=⎪⎨
=⎪⎩(α 为参数）．以
坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()24
π
ρθ+
=,
l 与C 交于A B 、两点.
⑴求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；
⑵设点(02)P -，
求PA PB +的值.
20. （本小题满分12分）已知函数()f x =x e
a
x -. ⑴当1a =-时，求函数f (x )的单调区间； ⑵若函数()f x 在上的最小值为3
2
, 求实数a 的值.
21．（本小题满分12分）设抛物线的顶点在坐标原点，焦点F 在y 轴正半轴上，过点F 的直线交抛物线于A B 、两点，线段AB 的长是8，AB 的中点到x 轴的距离是3. ⑴求抛物线的标准方程；
⑵设直线m 在y 轴上的截距为6，且与抛物线交于,P Q 两点，连接QF 并延长交抛物线的准线于点R ，当直线PR 恰与抛物线相切时，求直线m 的方程.
22.（本小题满分12分）已知函数()()()
1x f x a x e a =--(常数0a R a ∈≠且). ⑴证明: 当0a >时, 函数()f x 有且只有一个极值点; ⑵若函数()f x 存在两个极值点12,x x , 证明:()1240f x e <<且()22
40f x e <<．
唐山一中2016—2017学年度高二年级第二次月考
高二年级文科数学试卷答案
一、选择题
1-5 DBBAC 6-10 BCDCB 11-12 BA 二、填空题
13.60° 14.2 15.
5 16. hslx3y3h0，e ﹣1）
三、解答题
17. 解：依题意知：p ：a ＜x ＜3a ，q ：2＜x ＜3.
⑴当a =1时，p ：1＜x ＜3要使p ∧q 为真，则须满足⎩
⎨⎧<<<<323
1x x ，解得2＜x ＜3；
⑵∵p 是q 的必要不充分条件 ∴(2，3) ⊊ (a ，3a )
∴a ≤2且3a ≥3，等号不能同时成立，解得1≤a ≤2． 18.解：∵PD ⊥平面ABCD , AC ⊂平面ABCD , ∴AC ⊥PD .
∵四边形ABCD 是菱形, ∴AC ⊥PD , 又∵PD ∩BD =D , ∴AC ⊥平面PBD . 而AC ⊂平面EAC ,
∴平面EAC ⊥平面PBD ； --------------6分 ⑵连接EO , ∵PD ∥平面EAC , 平面EAC ∩平面PBD =EO , ∴PD ∥EO ,
∵O 是BD 中点, ∴E 是PB 中点, EO =
2
1PD =26
.
S △ABD =3.
V P —EAD =V P —ABD - V E —ABD =2
2)266(331
=-
⨯. --------------12分 19. 解：⑴C ：5
2
x ＋y 2＝1, l ：y ＝x －2;
--------------4分
⑵点P (0,－2)在l 上，l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==
t y t x 22222
- (t 为参数). 代入2
215
x y +=整理得，3t 2-102t ＋15＝0，
t1+t2=
32
10
, t1t2=5>0, t1，t2同号.
所以|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝|t1＋t2|＝
32
10
. --------------12分
20.
22. 解: ⑴f ′(x)=a(xe x-a), --------------1分
①当x≤0时，f ′(x)<0，f (x)在(-∞,0]上无极值点; --------------2分
②当x >0时, f ′(x )在(0,+∞)递增. f ′(0)=-a 2<0，f ′(a )= a 2(e a -1)>0.
所以f ′(x )在(0,+∞)有且只有一个零点,设其为x 0. --------------3分 在(0, x 0)上，f ′(x )<0，在(x 0,+∞)上，f ′(x )>0，x 0是f (x )的极小值点.
综上，当a >0时，函数f (x )在(-∞,+∞)内有且只有一个极值点. --------------4分 ⑵因为f (x )存在两个极值点x 1,x 2（不妨设x 1<x 2）， 所以x 1,x 2,是f ′(x )的两个零点，且a <0.
令h (x )= f ′(x )=a (xe x -a ), 由h ′(x )=a (x +1)e x =0得x =-1.
在(-∞,-1)上，h ′(x )>0，在(-1,+∞)上，h ′(x )<0，-1是h (x )的极大值点.
--------------6分 由h(-1)= a (-e -1-a )>0得e
1
-<a<0. 因为h ′(0)=-a 2<0，
所以x 1<-1<x 2<0. --------------8分 令 f ′(t )=a (te t -a )=0,得a =te t ,这里t 代表x 1或x 2, t <0.
f (t )=a (t -1)(e t -a )=-t (t -1)2e 2t >0. 令
g (t )=-(t 3-2t 2+t )e 2t (t <0).
由g ′(t )=-(t 2-1)(2t -1)e 2t =0得t =-1. --------------10分 当t <-1时，g ′(t )>0，-1<t <0时,g ′(t )<0. 所以g (t )在t =-1时取得最大值g (-1)=
2
4e . 所以，当t <0且t ≠-1时，0< g (t )<24e
. 因此，()1240f x e <<且()22
40f x e <<． -------------12分。