大一轮之平面向量基本定理及坐标运算

平面向量基本定理及向量坐标运算

[知识梳理]

1．平面向量的基本定理及坐标表示

(1)平面向量基本定理

如果e 1，e 2是同一平面内的两个__不共线__向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，__有且只有__一对实数λ1，λ2，使a ＝__λ1e 1＋λ2e 2__.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组__基底__．

(2)平面向量的正交分解

把一个向量分解为两个__互相垂直__的向量，叫做把向量正交分解．

(3)平面向量的坐标表示

①在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j ，把有序数对__(x ，y )__叫做向量a 的坐标，记作a ＝__(x ，y )__，其中__x __叫做a 在x 轴上的坐标，__y __叫做a 在y 轴上的坐标；

②设OA →＝x i ＋y j ，则向量OA →的坐标(x ，y )就是__终点A 的坐标__，即若OA

→＝(x ，y )，则点A 坐标为__(x ，y )__，反之亦成立(O 为坐标原点)．

2．平面向量的坐标运算

若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔__x 1y 2－x 2y 1__＝0，特别

地，若x 2，y 2≠0，则a ∥b ⇔x 1x 2＝y 1y 2

. 4．三点共线定理

若OA →，OB →是平面内不共线的向量，则存在实数λ1，λ2

使得OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，则当λ1＋λ2＝1时，A ，B ，C 三点共线，特别地，当λ1

＝λ2＝12时，C 是A 与B 的中点．

一．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．

(1)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．( )

(2)平面内任意两个不共线的向量均可作为一组基底．( )

(3)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( )

(4)在同一组基底下同一向量的表现形式是唯一的．( )

(5)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( )

(6)在△ABC 中，设AB ―→＝a ，BC

―→＝b ，则向量a 与b 的夹角为∠ABC .( )

(7)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( ) 解析 (1)正确．由向量的坐标表示可知向量不论怎样平移，其坐标均为终点坐标减去起点坐标，故平移后坐标不变．

(2)正确．由基底的定义可知，只要两向量不共线均可作为一组基底．

(3)正确．根据不共线向量构成的平行四边形是唯一的可知λ1＝λ2，μ1＝μ2.

(4)正确．由平面向量基本定理可知存在唯一实数对λ，μ，使a ＝λe 1＋μ e 2，故其表现形式唯一．

答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)× (6)× (7)√

二．考点突破

考点一 平面向量基本定理及其应用

例1. (1)在△ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且BD →＝2DC →

，CE →＝3EA →，若AB →＝a ，AC →＝b ，则DE →

＝( C ) A.13a ＋512b

B.13a －1312b C ．－13a －512b D ．－13a ＋1312b

解析：如图，DE →＝DC →＋CE →

＝13BC →＋34CA →

＝13(AC →－AB →)－34AC →

＝－13AB →－512AC →＝－13a －512b .

(2)(2019·湖南邵阳一模)如图，在△ABC 中，设AB →＝a ，AC →

＝b ，

AP 的中点为Q ，BQ 的中点为R ，CR 的中点为P ，若AP →

＝m a ＋n b ，

则m ＋n ＝67.

解析：根据已知条件得，BQ →＝AQ →－AB →＝12AP →－AB →＝12(m a ＋n b )

－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2－1a ＋n 2b ，CR →＝BR →－BC →＝12BQ →－AC →＋AB →＝12⎣⎢⎡⎦

⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2－1a ＋n 2b －b ＋a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 4＋12a ＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫n 4－1b ， ∴QP →＝m 2a ＋n 2b ，RQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 4－12a ＋n 4b ，RP →＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫m 8＋14a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－n 8b . ∵RQ →＋QP →＝RP →，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫3m 4－12a ＋3n 4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 8－14a ＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫12－n 8b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3m 4－12＝－m 8－14，

3n 4＝12－n 8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝27，n ＝47，故m ＋n ＝67.

方法与技巧 平面向量基本定理的实质及解题思路

(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．

(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并

运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．

跟踪训练一

(1)(2019·长春模拟)如图所示，下列结论正确的是( C )

①PQ →＝32a ＋32b; ②PT →＝32a －b ；

③PS →＝32a －12b; ④PR →＝32a ＋b .

A ．①②

B ．③④

C ．①③

D ．②④

解析：①根据向量的加法法则，得PQ →＝32a ＋32b ，故①正确；②

根据向量的减法法则，得PT →＝32a －32b ，故②错误；③PS →＝PQ →＋QS →

＝

32a ＋32b －2b ＝32a －12b ，故③正确；④PR →＝PQ →＋QR →＝32a ＋32b －b ＝32a ＋12b ，故④错误，故选C.

(2)(2019·岳阳质检)在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AB ＝2CD ，

M ，N 分别为CD ，BC 的中点．若AB →＝λAM →＋μAN →

，则λ＋μ的值为( C )

A.14

B.15