用匀速圆周运动来讲解三角函数的图像和性质

以匀速圆周运动来讲解三角函数的图像和性质
对于三角函数y=Asin（ωx+φ)的周期，频率，初相，它是由函数y=sinx经过怎样的变换来得到，有些同学掌握的不是很好，他们主要是觉得比较抽象，虽然对于对变换法则进行了记忆，但由于理解并不透彻，因而在具体应用时，仍然常常出错。

为了让初次接触这些函数的同学能更好的理解，掌握这些函数的性质和它们之间的关系，我在此尝试用质点做圆周运动的模型来讲解三角函数y=Asin（ωx+φ)的图像和性质以及它是由y=sinx经过怎样的变换得到的。

在正式讲述之前，我们先来思考一个问题：有一个单位圆，以其圆心为坐标原点建立直角坐标系，有一质点，以单位圆与横轴的交点为起点，以角速度1rad/单位时间在单位圆上按逆时针方向做周而复始的匀速圆周运动，求任一时刻质点对横轴的位移（以x轴上方为正）是多少？并作出其图像。

对上面的问题，当我们学过单位圆和三角函数之后，我们就知道，所求的这一位移正是质点所到达位置的正弦线，如下图中的PM
因此，所求问题的解正是正弦函数y=sinx，其图像也就是三角函数y=sinx的图像，在此模型下，函数y=sinx图像也就是质点做此圆周运动的位移---时间图像，如下图
从上面问题的叙述来看，质点的圆周运动明显是一种周期运动，那么其运动的周期是多少呢？我们知道，一个整圆的圆周角是2π，质点以1rad/单位时间的角速度在圆上做圆周运动，那么它走完一周所需要的时间就是整圆的圆周角除以质点运动的角速度，也就是2π/1=2
π，这就是它的周期。

如果质点在此单位圆上运动的角速度变成了ω，那么其运动的周期就是2π/ω，这时，相应的函数也就变成了y=sin ωx。

在上面两图中，两纵轴的意义相同，其上的纵坐标都是表示位置，但两图的横坐标却有了不同的含义，上面质点在单位圆上的运行图中，横坐标仍然是表示位置的，但下面函数图象上的横坐标就不再表示位置了，而是表示时间，整个函数图象表示的是在质点运行时间内的任一时刻质点对横轴的位移，因此，后面在此模型下讨论函数y=Asin（ωx+φ)的图象和性质时，其图象横轴都是时间轴，其轴上坐标都表示了某一时刻。

在正弦函数y=sinx中的x实际上是1和x的乘积，它表示了质点以1rad/单位时间的角速度运动了x时间后所产生的角位移，把这些区别记清楚。

在上面，我们讨论到当质点做匀速圆周运动的角速度ω不为单位速度时，其周期是2π/ω，而在三角函数的书本上，我们知道，函数y=Asin（ωx+φ)的周期为2π除以频率，从这里我们可以知道，我们平时在书本上所看到的三角函数的频率正是这一模型中质点运行的角速度。

下面我们从角速度的方面出发来理解频率ω为什么能决定周期。

我们再来看上面质点做匀速圆周运动的模型，在这一模型中能影响质点运行周期的因素有哪些呢？从学过的关于匀速圆周运动的知识中我们知道，做匀速圆周运动的物体其运行周期取决于运行一个周期所经历的角位移的大小和运行角速度的大小。

在这一模型中，无论运行的圆的半径是多少，只要是一个整圆，其圆周角就是2π，为一定值，因此，其运行的周期就只决定于质点做圆周运动的角速度ω，
即T=2π/ω。

当质点以1rad/单位时间在圆周上转动时，转动一周所需时间为2π，此时它的转动周期T为2π，那么当质点分别以0.5rad/单位时间和2rad/单位时间的角速度转动时，其周期就分别为T=2π/0.5=4π和T=2π/2=π，这时它们的函数式分别为y=sin1/2x和y=sin2x，它们的函数图像和y=sinx的函数图像之间的关系如下图
上面我们只比较了它们在一个周期内的图像关系，从图像上来看，y=sin1/2x就像是y=sin x的图像沿横轴拉伸了，y=sin2x则像是y=sin x的图像沿横轴压缩了，从角速度方面来理解，ω值越大，表面质点运动的越快，在相同时间里，它走的圈数就可能越多，反应到图像上就是同一区间内图像越密。

ω越小，则表示质点运动的越慢，运行一个周期所需的时间就越长，反应到图像上就是同一区间内图像就越稀疏。

我们在上面讨论质点的匀速圆周运动时，它的起点是单位圆与横轴的交点，为后面叙述方便，我们在此把这点叫做质点的原定起点。

如果质点开始运动的起点不是原定起点，那情况将会怎么样呢？我们
假设质点的实际起点和原定起点之间所夹的弧长为φ，那么这个φ对应的正是函数y=Asin（ωx+φ)中的初相φ，下面我们先讨论y=sin （x+φ)的图像与y=sin x的图像间的关系，我们讨论的φ的取值限定在（-π/2,π/2)内，在这个范围之外的φ可以先根据三角函数间的关系转化到这个范围内再来讨论。

在我们观察记录质点的运动情况时，我们先选定质点在圆周上处于某一位置时作为其运动零时，这一零时在图像上对应的就是横坐标x为0的位置，即y轴，在x+φ中，当φ也为0时，表示开始记录时质点处于原定起点，那么其开始记录时的纵坐标也为0，这一点就对应着图像上的坐标原点。

当φ不为0时，在我们开始记录时，质点对横轴之间就有一段位移，这时在图像上质点就处于y轴上的某点，而不再是坐标原点了。

此时原定起点的纵坐标为0，在横轴上，但因为它不是记录零时，因此它的位置不再是坐标原点。

此时实际起点距横轴的距离就是它在图像上y轴的位置，也就是我们知道了此时函数y=sin（x+φ)的图像与y轴的交点，但我们一般是把图像与横轴的某个交点作为图像的一个周期的起点，那这个点该怎么找呢？实际上我们此时就是要在此情况下找原定起点在图像上的位置，我们从实际起点开始沿φ弧向原定起点运动，当φ>0,实际起点在原定起点上方，那么由实际起点走向原定起点就需要按顺时针方向走，而我们学弧度时，按规定沿顺时针走过的角度为负角，逆时针方向走过角度为正角，这时由实际起点到原定起点是按顺时针方向，表示在图像上要从y轴开始沿横轴负向去找，需要用时为φ/1=φ,也即这时原定起点应该在
x轴负向离y轴为φ个单位的点上，从图像上看，就相当于把函数y=sinx的图像沿x轴负向移动φ个单位来得到y=sin（x+φ)的图像。

如果从实际起点沿φ弧都原定起点是按逆时针方向，那么原定起点在图像上的对应点就应该在y轴的右方，x轴正向上。

综合上面的叙述，从y=sinx的图像通过平移来得到y=sin（x+φ)的图像，需要把y=sinx 的图像沿x轴正向移动-φ个单位。

如果是函数y=sin（ωx+φ)所描述的质点的匀速圆周运动，此时质点运动的角速度ω不为单位速度，那么走过φ弧所需时间就是φ/ω，这时就需要把函数y=sin x的图像沿x正向移动-φ/ω个单位来得到y=sin（ωx+φ)的图像（先处理频率，把图像伸缩，再移动时需要移动的单位。

如果是先移动，后伸缩，那就是直接移动-φ个单位，再调整横坐标为原来的1/ω）。

前面我们讲述了函数y=sin（ωx+φ)中的频率ω和初相Φ，它们对应的质点做匀速圆周运动模型中的角速度和运动起点。

前面的模型中质点都是在单位圆上运动，如果它所运动的圆周不是单位圆，那会怎么样呢？对于正弦函数y=sinx，我们知道，函数y是单位圆中的正弦线，当圆的半径不为1时，这时求圆中某处的正弦线的公式就成了y=rsinx，从这里我们可以知道，在函数y=Asin（ωx+φ)+B中，A就是质点做匀速圆周运动的半径。

B则是质点所在圆周圆心在y轴上的坐标，这时过圆心且与y轴垂直的直线就不再是x轴，而是直线y=B了。

上面我们从质点做匀速圆周运动的模型来理解函数y=Asin（ω
x+φ)+B中各量的含义，各量对函数图象的形状和位置的影响。

对于函数y=Acos（ωx+φ)+B，可以有相似的匀速圆周运动模型，就是质点的原定起点在圆周与y轴的交点，其它条件与y=Asin（ωx+φ)+B 中的相同，各量的意义也一样，同学们可以对照y=Asin（ωx+φ)+B 与y=sinx的关系来探讨y=Acos（ωx+φ)+B与y=cosx之间的关系，在此就不再另叙。

这篇短文是从一个新的角度来讲解函数y=Asin（ωx+φ)+B的图像和性质的初次尝试，希望对初次接触函数y=Asin（ωx+φ)+B的同学学好这个函数的图象和性质有所帮助，由于是初次尝试，其中难免会存在某些疏漏甚至错误之处，还望各位读者见谅并指正，希望对此法有兴趣的读者能继续把此法补充完善，以便让同学们能更好地通过阅读此文来掌握函数y=Asin（ωx+φ)+B的图像和性质，使他们少走弯路，少犯错误。

由于本人对作图不甚熟悉，从其他作者的相关文章中直接截图插入，在此一并对他们表示感谢。

对此文有兴趣的读者可以通过QQ联系和笔者一起探讨，把这种方法完善，笔者QQ为：2960473697。