.3 二次函数与一元二次方程、不等式

式对应方程根的情况,利用根与系数的关系进行求解.
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思维辨析
随堂演练
解:(1)由题意知 a>0,且-1 和 2 是关于 x 的方程 ax2+bx+a2-1=0
的两个根,
> 0;

= -1 + 2,
-1
+
2
=
,
所以有
解得
= 1- 2.
2 -1
-1 × 2 =
得n的值;(2)由s≤12.6解出v的取值范围,从而得到行驶的最大速度.
40
1 600
6 < 100 + 400 < 8,
解:(1)由题意得
70 4 900
14 < 100 + 400 < 17,
5 < < 10,
解得 5
95 因为 n∈N,所以 n=6.
<

<
2
14 .
3
2
(2)由于刹车距离不超过 12.6 m,即 s≤12.6,所以 +
≤12.6,因
50
400
此 v2+24v-5 040≤0,解得-84≤v≤60.因为 v≥0,所以 0≤v≤60,即行
驶的最大速度为 60 km/h.
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反思感悟 用一元二次不等式解决实际问题的操作步骤
1.理解题意,搞清量与量之间的关系.
2.建立相应的不等关系,把实际问题抽象为数学中的一元二次不
一元二次函数、方程和不等式
2 . 3 二次函数与一元二次方程、不
等式
-1-
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课标阐释
思维脉络
1.了解一元二次不
等式的现实意义.
2.能够借助一元二
次函数求解一元二
次不等式;并能用
集合表示一元二次
不等式的解集.
3.借助一元二次函
数的图象,了解一
元二次不等式与相
应函数、方程的联
系.
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一
二
一、一元二次不等式的概念
上述各种情况下函数图象与x轴有什么关系?
提示:当x=0或x=5时,y=0.此时图象与x轴交于两个点(0,0)和(5,0);
当0<x<5时,y<0,函数图象位于x轴下方,此时x2-5x<0;
当x<0或x>5时,y>0.此时函数图象位于x轴上方,此时x2-5x>0.
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一
二
(3)对任意的一元二次不等式,求解集的关键点有哪些?
二
二、一元二次不等式的解法
1.(1)什么叫二次函数y=ax2+bx+c的零点?零点是点吗?
提示:把使ax2+bx+c=0的实数x叫做二次函数y=ax2+bx+c的零点.
零点不是点,是一个实数.零点就是函数对应方程的根.
(2)二次函数y=x2-5x的图象如图所示.
当x为何值时,y=0?当x为何值时,y<0?当x为何值时,y>0.
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含参数的一元二次不等式的解法
例3解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0.
分析:先对二次项的系数进行讨论,再按不等式的解法求解.
解:①当 a=0 时,原不等式即为-x+1<0,解得 x>1.
1

1
-
1

②当 a<0 时,原不等式化为 -
(x-1)>0,解得 x< 或 x>1.
③当 a>0 时,原不等式化为
(x-1)<0.
1
若 a=1,即=1 时,不等式无解;
1
1
若 a>1,即<1 时,解得<x<1;
1
1
若 0<a<1,即>1 时,解得 1<x<.
1
综上可知,当 a<0 时,不等式的解集为 < 或 > 1 ;
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y=x2-2x+2 的图象是开口向上的抛物线,所以原不等式的解集为 R.
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反思感悟 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
(1)化标准.通过对不等式的变形,使不等式的右侧为0,使二次项系
数为正.
(2)判别式.对不等式的左侧进行因式分解,若不能分解,则计算对
应方程的判别式.
交点(相切),没有交点(相离).可以通过对应一元二次方程的判别式Δ
与0的关系来判断.
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二
2.填空
二次函数与一元二次方程、不等式的解集的对应关系
Δ>0
Δ=0
Δ<0
判别式 Δ=b2-4ac
ax2+bx+c=0(a>0) 有两个不相等的 有两个相等的 没有实
的根
实数根 x1,x2
实数根 x1=x2 数根
解:由于x2+3ax-4a2<0可化为(x-a)(x+4a)<0,且方程(x-a)(x+4a)=0
的两个根分别是a和-4a.
当a=-4a,即a=0时,不等式的解集为⌀;
当a>-4a,即a>0时,解不等式为-4a<x<a;
当a<-4a,即a<0时,解不等式为a<x<-4a.
综上所述,当a=0时,不等式的解集为⌀;
(1)若二次项系数含有参数,需对二次项系数等于0与不等于0进行
讨论,对于不为0的情况再按大于0或小于0进行讨论.
(2)若不等式对应的一元二次方程根的情况不确定,需对其判别式
Δ进行讨论.
(3)若求出的根中含有参数,则应对两根的大小进行讨论.
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变式训练3解关于x的不等式x2+3ax-4a2<0(a∈R).

2
s=
(n
+
100 400
为常数,且 n∈N),做了两次刹车实验,有关实验数据如
6 < 1 < 8,
图所示,其中
14 < 2 < 17.
(1)求n的值;
(2)要使刹车距离不超过12.6 m,则行驶的最大速度是多少?
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分析:(1)根据两个刹车距离的范围建立不等式组,并结合n∈N求
等式问题.
3.解这个一元二次不等式,得到实际问题的解.
x>x2},当a<0时,其解集是{x|x1<x<x2}.
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变式训练2已知关于x的不等式x2+ax+b<0的解集为(1,2),求关于x
的不等式bx2+ax+1>0的解集.
解:∵关于x的不等式x2+ax+b<0的解集为(1,2),
∴1,2是关于x的方程x2+ax+b=0的两根.
.
.
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二
3.做一做
(1)不等式x2-2x>0的解集是
(2)不等式x2+3x+6<0的解集是
答案:(1){x|x>2或x<0} (2)⌀
.
.
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1
2
解:(1)方程 2x2-3x-2=0 的解是 x1=- ,x2=2.
因为对应函数的图象是开口向上的抛物线,
1
所以原不等式的解集是 < - 2 或 > 2 .
(2)不等式可化为 3x2-6x+2<0.
因为 3x2-6x+2=0 的判别式 Δ=36-4×3×2=12>0,所以方程 3x2-6x+2=0 的
3
3
3
3
解是 x1=1- ,x2=1+ .
因为函数 y=3x2-6x+2 的图象是开口向上的抛物线,所以原不等式的解集
- = 1 + 2,
解得 = -3,
= 1 × 2,
= 2.
将其代入所求不等式bx2+ax+1>0,得2x2-3x+1>0.
由根与系数的关系,得
1
2
由 2x2-3x+1>0,得(2x-1)(x-1)>0,解得 x< 或 x>1.故 bx2+ax+1>0
1
的解集为 -∞, 2 ∪(1,+∞).
当 a=0 时,不等式的解集为{x|x>1};
1
当 0<a<1 时,不等式的解集为 1 < < ;
当 a=1 时,不等式的解集为⌀;
当 a>1 时,不等式的解集为
1

<<1 .
反思感悟 解含参数的一元二次不等式,与解一般的一元二次不
等式的基本思路是一致的,但要注意分类讨论思想的运用.
(4)x(1-x)≥x(2x-3)+1.
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解:(1)不等式可化为4x2-20x+25<0,由于Δ=0,且对应的二次函数
的图象是开口向上的抛物线,所以不等式的解集是⌀.
(2)由题意知不等式对应方程的两个根是3和7,且对应的二次函数
的图象是开口向上的抛物线,故不等式的解集是{x|3<x<7}.
,

(2)由题意知 a<0,且-1 和 2 是关于 x 的方程 ax2+bx+a2-1=0 的两
个根,
< 0,

-1
+
2
=
, 解得 = -1- 2,
所以

= 1 + 2.
2 -1
-1 × 2 =
,

(3)由题意知,原不等式必为一元一次不等式,所以 a=0,从而不等
< 0,
式变为 bx-1≤0,于是应有 1
提示:①抛物线y=ax2+bx+c与x轴的位置情况,也就是一元二次方
程ax2+bx+c=0的根的情况;②抛物线y=ax2+bx+c的开口方向,也就
是a的正负.
(4)抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴的相关位置有哪些情况?如何
用一元二次方程来说明这些位置关系?
提示:抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴可能有两个交点(相交),一个
y=ax2+bx+c(a>0)
的图象
ax2+bx+c>0(a>0)
的解集
ax2+bx+c<0(a>0)
的解集
b
x x≠2a
{x|x<x1 或 x>x2}
{x|x1<x<x2}
⌀
R
⌀
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二
3.做一做
(1)不等式x2-2x>0的解集是
(2)不等式x2+3x+6<0的解集是
答案:(1){x|x>2或x<0} (2)⌀

>0.其
已知下列不等式:①ax +2x+1>0;②x -y>0;③-x -3x<0;④ 2 -3
)
中是一元二次不等式的个数为(
2
2
2
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:①中当a=0时,它不是一元二次不等式;②中有两个未知数,
它不是一元二次不等式;③是一元二次不等式;④是分式不等式.
答案:A
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一
3
3
是 1- 3 < < 1 + 3 .
1
(3)方程 4x2-4x+1=0 的解是 x1=x2=2,函数 y=4x2-4x+1 的图象是开口向上
1
的抛物线,所以原不等式的解集是 = 2 .
(4)因为 x2-2x+2=0 的判别式 Δ<0,所以方程 x2-2x+2=0 无解.又因为函数
所以 b=-1.
= -1,

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反思感悟 1.一元二次不等式的解集的端点就是对应的一元二次
方程的根,要充分利用这个关系解题.
2.不等式解集的形式与二次项系数有直接的关系,对于关于x的一
元二次不等式a(x-x1)(x-x2)>0(x1<x2),当a>0时,其解集是{x|x<x1或
1
不等式的解集是 3 ≤ ≤ 1 .
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已知不等式的解集求参数值
例2求实数a,b的值,使得关于x的不等式ax2+bx+a2-1≤0的解集分
别为:
(1)[-1,2];
(2)(-∞,-1]∪[2,+∞);
(3)[-1,+∞).
分析:根据解一元二次不等式的方法,逆向分析与思考,得出不等
(2)形式:
①ax2+bx+c>0(a≠0);
②ax2+bx+c≥0(a≠0);
③ax2+bx+c<0(a≠0);
④ax2+bx+c≤0(a≠0).
(3)解集:一般地,使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个不
等式的解,一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次
不等式的解集.
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3.做一做
(3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程
无实根.
(4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草
图.
(5)写解集.根据图象写出不等式的解集.
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变式训练1解下列不等式:
(1)4x2-20x<-25;
(2)(x-3)(x-7)<0;
(3)-3x2+5x-4<0;
当a>0时,不等式的解集为{x|-4a<x<a};
当a<0时,不等式的解集为{x|a<x<-4a}.
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一元二次不等式的实际应用
例4行驶中的汽车,在刹车时由于惯性作用,要继续往前滑行一段
距离才能停下,这段距离叫做刹车距离.在某种路面上,某种型号汽
车的刹车距离s(单位:m)与汽车的车速v(单位:km/h)满足下列关系: