四川省宜宾市一中2017-2018学年高中数学下学期第3周 1.2.1《应用实例》教学设计

1.2.1解三角形应用举例
第一课时
一、教学目标
知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量高度、角度问题等实际问题，了解常用的测量相关术语
过程与方法：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。

其次结合学生的实际情况，采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。

情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力
二、教学重点：实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解
教学难点：根据题意建立数学模型，画出示意图
三、教学过程
一、课题导入
1、[复习旧知]
复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？
2、[设置情境]
请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施.如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性.于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的.今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，研究如何测量距离，高度，角度等问题.
二.讲授新课
（1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解.
[例题讲解]
（2）例1、如图，设A 、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离是55m ，∠BAC =︒51，∠ACB =︒75.求A 、B 两点的距离（精确到0.1m ）
启发提问1：∆ABC 中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？
启发提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答.
分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边AB 的对角，AC 为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC 的对角，应用正弦定理算出AB 边.
解：根据正弦定理，得
ACB AB ∠sin = ABC
AC ∠sin AB = ABC ACB AC ∠∠sin sin = ABC ACB ∠∠sin sin 55 = )
7551180sin(75sin 55︒-︒-︒︒ = ︒︒54sin 75sin 55≈ 65.7（m ） 答:A 、B 两点间的距离为65.7米
变式练习：两灯塔A 、B 与海洋观察站C 的距离都等于a km,灯塔A 在观察站C 的北偏东30︒，灯塔B 在观察站C 南偏东60︒，则A 、B 之间的距离为多少？
老师指导学生画图，建立数学模型.
解略：2a km
例2、如图，A 、B 两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A 、B 两点间距离的方法. 分析：这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题.首先需要构造三角形，所以需要确定C 、D 两点.根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC 和BC ，再利用余弦定理可以计算出AB 的距离.
解：测量者可以在河岸边选定两点C 、D ，测得CD =a ，
并且在C 、D 两点分别测得∠BCA =α，
∠ACD =β，∠CDB =γ，∠BDA =δ，在∆ADC 和∆BDC 中，
应用正弦定理得: AC = )](180sin[)sin(δγβδγ++-︒+a = )
sin()sin(δγβδγ+++a
BC =
)](180sin[sin γβαγ++-︒a = )sin(sin γβαγ++a
计算出AC 和BC 后，再在∆ABC 中，应用余弦定理计算出AB 两点间的距离
AB = αcos 222BC AC BC AC ⨯-+
分组讨论：还没有其它的方法呢？师生一起对不同方法进行对比、分析.
变式训练：若在河岸选取相距40米的C 、D 两点，测得∠BCA =60︒，∠ACD =30︒，∠CDB =45︒，∠BDA =60︒
略解：将题中各已知量代入例2推出的公式，得AB =206
评注：可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式.
例3、AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，
设计一种测量建筑物高度AB 的方法.
分析：求AB 长的关键是先求AE ，在∆ACE 中，
如能求出C 点到建筑物顶部A 的距离CA ，再测
出由C 点观察A 的仰角，就可以计算出AE 的长.
解：选择一条水平基线HG ，使H 、G 、B 三点在
同一条直线上.由在H 、G 两点用测角仪器测得A 的仰角分别
是α、β，CD = a ，测角仪器的高是h ，那么，在∆ACD 中，根据
正弦定理可得
AC = )
sin(sin βαβ-a AB = AE + h = AC αsin + h = )
sin(sin sin βαβα-a + h 例4、如图，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角α=5404'︒，在
塔底C 处测得A 处的俯角β=501'︒.已知铁塔BC 部分的高为27.3 m,求出山高
CD （精确到1 m ）
师:根据已知条件,大家能设计出解题方案吗？（给时间给学生讨论思考）
若在∆ABD 中求CD ，则关键需要求出哪条边呢？
生：需求出BD 边.
师：那如何求BD 边呢？
生：可首先求出AB 边，再根据∠BAD =α求得.
解:在∆ABC 中, ∠BCA =90︒+β,∠ABC =90︒-α,∠BAC =α- β,∠BAD =α.根据正弦定理, )sin(βα-BC = )
90sin(β+︒AB 所以 AB =)sin()90sin(βαβ-+︒BC =)
sin(cos βαβ-BC 解Rt ∆ABD 中,得 BD =AB sin ∠BAD =)sin(sin cos βαα
β-BC
将测量数据代入上式,得
BD = )1500454sin(0454sin 150cos 3.27'-'''︒︒︒︒ =934sin 0454sin 150cos 3.27'
''︒︒︒ ≈177 （m ） CD =BD -BC ≈177-27.3=150（m ）
答:山的高度约为150米.
师：有没有别的解法呢？
生：若在∆ACD 中求CD ，可先求出AC .
师：分析得很好，请大家接着思考如何求出AC ？
生：同理，在∆ABC 中，根据正弦定理求得.（解题过程略）
例5、如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A 处时测得公路南侧远处一山顶D 在东偏南15︒的方向上,行驶5km 后到达B 处,测得此山顶在东偏南25︒的方向上,仰角为8︒,求此山的高度CD .
师：欲求出CD ，大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢？
生：在∆BCD 中
师：在∆BCD 中，已知BD 或BC 都可求出CD ,根据条件,易计算出哪条边的长？
生：BC 边
解:在∆ABC 中, ∠A =15︒,∠C = 25︒-15︒=10︒,根据正弦定理,
A BC sin = C
AB sin , BC =C
A A
B sin sin =︒︒
10sin 15sin 5 ≈ 7.4524（km ） CD =BC ⨯tan ∠DBC ≈BC ⨯tan8︒≈1047（m ）
答:山的高度约为1047米
三、课堂练习
课本第14页练习1、2题
四、课堂小结
解斜三角形应用题的一般步骤：
（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图
（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解
斜三角形的数学模型
（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解
（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解
1.2.2解三角形应用举例
第二课时
授课类型：新授课
一、教学目标：
知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语；
过程与方法：通过实际问题的解决，提高知识的综合运用能力和应用意识；
情感、态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力
二．重点难点
重点：实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解
难点：根据题意建立数学模型，画出示意图
三、教学方法
问题引导，主动探究，启发式教学．
四、教学过程
（一）知识梳理：
1、正弦定理和余弦定理
2．仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．
3．方位角
从正北方向顺时针转到目标方向线的角(如图②，B点的方位角为α)．
4．方向角
相对于某一正方向的角(如图③)．
(1)北偏东α：指从正北方向顺时针旋转α到达目标方向．
(2)东北方向：指北偏东45°. (3)其他方向角类似．
考点一测量角度
例3、如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，
现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求cos θ的值．
[规律方法] 解决测量角度问题的注意事项：(1)明确方位角的含义；(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步；(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用．
练习 3.如图，甲船以每小时30 2 海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，
当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，
此时两船相距102海里．问：乙船每小时航行多少海里？
例6、如图，一艘海轮从A 出发，沿北偏东75︒的方向航行67.5 n mile 后到达海岛B ,然后从B 出发,沿北偏东32︒的方向航行54.0 n mile 后达到海岛C .如果下次航行直接从A 出发到达C ,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?（角度精确到0.1︒,距离精确到0.01n mile ）
学生看图思考并讲述解题思路
教师根据学生的回答归纳分析：首先根据三角形的内角和定理求出AC 边所对的角∠ABC ，即可用余弦定理算出AC 边，再根据正弦定理算出AC 边和AB 边的夹角∠CAB .
解：在∆ABC 中，∠ABC =180︒- 75︒+ 32︒=137︒，根据余弦定理，
AC =ABC BC AB BC AB ∠⨯⨯-+cos 222
=︒⨯⨯⨯-+137cos 0.545.6720.545.6722
≈113.15
根据正弦定理,
CAB
BC ∠sin = ABC AC ∠sin sin ∠CAB = AC ABC BC ∠sin
= 15
.113137sin 0.54︒ ≈0.3255,
所以 ∠CAB =19.0︒,
75︒- ∠CAB =56.0︒
答:此船应该沿北偏东56.1︒的方向航行,需要航行113.15n mile
师：以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它的另一个表达公式.在∆ABC 中，边BC 、CA 、AB 上的高分别记为h a 、h b 、h c ，那么它们如何用已知边和角表示？
生：h a =b sin C =c sin B
h b =c sin A =asin C
h c =a sin B =b sina A 师：根据以前学过的三角形面积公式S =
21ah ,应用以上求出的高的公式如h a =b sin C 代入，可以推导出下面的三角形面积公式，S =2
1ab sin C ，大家能推出其它的几个公式吗？ 生：同理可得，S =21bc sin A , S =2
1ac sin B 师：除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外，知道哪些条件也可求出三角形的面积呢？
生：如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦即可求解
考点二：三角形面积公式的应用
例7、在∆ABC 中，根据下列条件，求三角形的面积S （精确到0.1cm 2）
（1）已知a =14.8cm,c =23.5cm,B =148.5︒;
（2）已知B =62.7︒,C =65.8︒,b =3.16cm;
（3）已知三边的长分别为a =41.4cm,b =27.3cm,c =38.7cm
分析：这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面积.
解：（1）应用S =
2
1ac sin B ，得 S =21⨯14.8⨯23.5⨯sin148.5︒≈90.9（cm 2） （2）根据正弦定理，
B b sin = C
c sin c = B
C b sin sin S = 21bc sin A = 21b 2B
A C sin sin sin A = 180︒-（
B +
C ）= 180︒-（62.7︒+ 65.8︒）=51.5︒
S = 21⨯3.162⨯sin 65.8sin 51.5sin 62.7
︒︒
︒≈4.0（cm 2） （3）根据余弦定理的推论，得
cos B =ca b a c 2222-+ =4
.417.3823.274.417.382
22⨯⨯-+ ≈0.7697 sin B = B 2cos 1-≈27697.01-≈0.6384
应用S =2
1ac sin B ，得 S ≈2
1⨯41.4⨯38.7⨯0.6384≈511.4（cm 2） 例8、如图,在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm 2
）？
师：你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗？
生：本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式求解.
由学生解答，老师巡视并对学生解答进行讲评小结.
解：设a =68m,b =88m,c =127m,根据余弦定理的推论， cos B =ca
b a
c 22
22-+ =68
127288681272
22⨯⨯-+≈0.7532 sin B =≈-27532.010.6578
应用S =21acsin B S ≈2
1⨯68⨯127⨯0.6578≈2840.38（m 2） 答：这个区域的面积是2840.38m 2.
例9、在∆ABC 中，求证：
（1）2222222sin sin 4sin a b A B b b ac c C ++-±-=（2）2a +2b +2c =2（bc cos A +ca cos B +ab cos C ）
分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边的特点，联想到用正弦定理来证明
证明：（1）根据正弦定理，可设
A a sin =
B b sin = C
c sin = k 显然 k ≠0，所以
左边=222222222sin sin sin a b k A k B c k C
++=
=
222
2
sin sin4
sin2
A B b b ac
C a
+-±-
=右边
（2）根据余弦定理的推论，
右边=2（bc
bc a
c b
2
2 2
2-
+
+ca
ca b
a c
2
2 2
2-
+
+ab
ab c
b a
2
2 2
2-
+
） =（b2+c2- a2）+（c2+a2-b2）+（a2+b2-c2）
=a2+b2+c2=左边
变式练习1：已知在∆ABC中，∠B=30︒,b=6,c=63,求a及∆ABC的面积S
提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数.
答案：a=6,S=93;a=12,S=183
三.课时小结
1、解斜三角形应用题的一般步骤：
（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图
（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型
（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解
（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解
2、解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：
（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之.
（2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解.
3、利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并考察边或角的关系，从而确定三角形的形状.特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用.。