Chap03简单随机抽样

N i j
(Yi
Y
)(Yj
Y
)

1 nN
1
n 1 N 1
N i 1
(Yi
Y
)2
n 1 N 1

N i 1
(Yi
Y
2 )


1 n

N N
n

1 N 1
N i 1
(Yi
Y
)2
1 f S2
n
证明Ⅱ：仍引进随机变量 ai ：
N 1 n 1

N n


n N
ˆ
f
E(ai )
n N

f
(3.5)
借助 ai ，样本均值 y 可以表示成:
y

1 n
N i 1
aiYi
(3.6)
E( y) 1
n
N
E(ai )Yi
i 1
1 n
n N
N
Yi
i 1
Y
推论： Y 的简单估计量Yˆ Ny 也是无偏的，即: E(Ny ) Y
所有可能的样本求平均: E( y)
N 1 y n

N n

个样本中，包含特定单元
Yi
的样
本数为

N 1 n 1
，也有同样多样
本含有任何其他单元，因此
y 1
n
( y1
y2

yn )

1 n

N 1 n 1
数，则编号为这些随机数的 n 个单元组成一个简单随机样本。
随机数的产生可使用随机数骰子或随机数表。
图 3.1 随机数骰子 随机数骰子：标上 0～9 数字的正 20 面体（每个数字出现在两面）
m 个不同颜色的骰子同时掷或用一个骰子连续掷 m 次可产生一个 m 位的随机数。
随机数表：由 0～9 的随机数字组成的表，排列的顺序也是随机的。 例 3.2 设 N 872 ， n 10 ，利用随机数表抽取一个简单随机样本。
也可以用计算机产生(伪)随机数。通常产生的是 [0，1] 范围内均 匀分布的随机数，通过它进而产生1 N 范围的随机（整）数。
3
3．1．3 简单随机抽样在抽样理论中的地位与作用
1) 简单随机抽样是其他抽样方法的基础。
4
2) 简单随机抽样的实施要求一个完整的抽样框。简单随机样本常很 分散，在实际中实施调查时会遇到很多困难。
-2
84
15 2，4，6 12，24，18
18
2
36
16 2，5，6 12， 6，18
12
-4
36
17 3，4，5
15，24，6
15
-1
81
18 3，4，6 15，24，18
19
3
21
19 3，5，6 15， 6，18
13
-3
39
20 4，5，6 24， 6，18
16
0
84
平均
16
0
42
简单随机抽样也可以考虑放回情形，此时样本中的单元有可能重
nN
n
证明 I：(对称性论证法)
(3.9) (3.10)
7
V (y) E(y Y )2

1
2
E[n( y Y )]
n2

1 n2
E

n i 1
( yi
Y
2 )

1 n2
E

n i 1
( yi
Y
)2

2E

n i j
( yi
Y
)(
y
j
Y
)
根据对称性论证法，我们有
(3.11)
E

n i 1
( yi
Y
)2


n N
N
(Yi Y )2
i 1
(3.12)
E
n i j
( yi
Y
)( y j
Y
)

n(n 1) N (N 1)
N i j
(Yi
Y
)(Yj
均值 y
16 19 13 17 20 14 18 17 21 15 17 11
y －Y
0 3 -3 1 4 -2 2 1 5 -1 1 -5
方差 s2
21 39 57 21 21 57 9 93 9 63 39 21
1
13 2，3，6 12，15，18
15
-1
9
14 2，4，5 12，24，6
14
i 1
n(N 1) S 2 N
E[n( y Y )2 ] nV ( y) N n S 2 N
故
10
E(s2
)

(n
S2 1) N
[n(N
1)

(N

n)]

S
2
由此可以分别得到V ( y ) 及V (Ny) 的无偏估计估计如下：
v(y) 1 f s2 n
v(Ny) N (N n) s2 n
的单元个数计算，这个倍数恰为 n N 。因而
E( y)
1 n nN
N
Yi
i 1

1 N
N
Yi
i 1
Y
证明Ⅲ：引进 N 个随机变量：
ai

1，若第i个单元入样 0，否则
i 1, 2,, N
(3.4)
6
ai 服从二点分布，它的均值即是第 i 个单元的入样概率，后者应是包含 该单元的样本数与样本总数之比，即抽样比

N i 1Yi2V (ai ) N Nhomakorabea2
i j

YiYj
Cov(ai
,
a
j
)

1 f
nN

N N 1
N
Yi 2
i 1

1 N 1
N i 1
Yi
2


1 f n(N 1)
N i 1
(Yi
Y )2
1 f S2 n
V ( y) 直观意义：
， 则 这 种 抽 样 称 为 不 放 回 的 简 单 随 机 抽 样 （ simple
random
sampling without replacement），所得的样本称为不放回简单随机样
本。
例 3.1 考虑从一个 N 6 的总体中抽取 n 3 的样本。设这 6 个
单元的值分别为Y1=21，Y2 =12，Y3 =15，Y4 =24，Y5 =6，Y6 =18，则总共 可能有 20 个样本。
(3.18) (3.19)
Y 的置信度为1 的近似置信区间为：

y

u

1 f s, n
y u
1
f

s

n
例 3.5 为调查某城镇成年居民的年服装消费水平，在全体 N =5
第三章 简单随机抽样
3．1 概述
3．1．1 什么是简单随机抽样
简单随机抽样(simple random sampling)也称单纯随机抽样。考虑
一个包含 N 个单元的总体，从中抽取 n 个单元作为样本。如果抽样是
不放回的，共有

N n

个可能的不同样本。若每个被抽中的概率都等于
1
N n
3．2．2 估计量的方差
有限总体方差的一般定义为：
2
E(Yi Y )2

1 N
N
(Yi Y )2
i 1
(3.8)
为使公式表达更为简练，在本书中定义总体方差：
S 2

1 N 1
N i 1
(Yi
Y )2
1）对简单随机抽样， y 的方差为：
V( y ) N n S2 1 f S2
Y
)
(3.13)
这是因为总体中任意两个不同单元同在一个样本中出现的概率
为：
N 2 n 2

N n


n(n 1) N(N 1)
将(3.12) 式与（3.13）式代入(3.11)式，即有
V
(y)

1 nN

N i 1
(Yi
Y
)2
2
n 1 N 1
3）尽管简单随机抽样的精度（在相同样本量下），比许多实际抽样 要高，但由于简单随机抽样没有用到总体单元的信息，因而比起使用 总体辅助信息的那些抽样策略效率要低。
其他抽样方法都是针对简单随机抽样的局限发展的，或为实施方 便，或为提高精度。
3．2 总体均值与总量的简单估计
3．2．1 简单估计量及其无偏性
有关总体的量用大写字母表示，有关样本的量用小写字母表示。
记总体 N 个单元的指标值为 Y1,Y2,,YN ；记一个简单随机样本的指
标值为 y1, y2,, yn 。我们的目的是根据样本，估计
总体均值
Y1 N
N
Yi
i 1
或 总体总量
N
Y NY Yi
i 1
自然想法：用样本观测值 yi 的简单线性函数
a. 若不考虑1 f N n 的影响,V ( y) 与样本量 n 成反比;
N
b. 抽样比 f 对V ( y) 影响不大;
c. V ( y ) 与总体方差 S 2 ，也即总体变异程度成正比。
例 3.4 在例 3.1 的总体中若改变其中两个单元的值：Y1=3，Y5 =36， 则可以验证总体方差 S 2 126 ，比原来的 S 2 42 大很多。
是总体方差 S2 的无偏估计，即
E(s2) S2
(3.17)
证明：将 s2 改写成:
s2

1 n 1
n i 1
[( yi
Y
)
(y
Y
)]2

1 n 1[
n i 1
(
yi

Y
)2

n(
y

Y
)2
]
根据对称性论证，有:
n
E[ ( yi Y )2 ]
i 1
n N
N
(Yi Y )2
复出现，而全部可能的样本数为 N n (考虑样本单元的顺序)，如果每个
被抽中的概率也相等，则称为放回简单随机抽样（simple random
sampling with replacement）。
非特别说明，以后简单随机抽样均是指不放回的。
3．1．2 简单随机抽样的实施方法
1）全样本抽取方法
如做 N 个签，依次编上 1 至 N 的号码，并均匀混合，同时抽取其
N i 1
Yi
于是
N -1 N
E( y)
n 1 i1 Yi N
n n

1 N
N
Yi
i 1
Y
证明Ⅱ：对称性论证法
由于总体中每个单元出现在全部可能样本的次数都相等，因此
n
N
E i1 yi 作为对所有可能的样本求平均，必定是 i1 Yi 的倍数，按求和中
等于1

N n

，从而是一个不放回简单随机样本。
随机抽取是通过抽取随机数（random number）来实现：
2
在 1 至 N 范围内随机抽取一个整数（即随机数），记为 r1 ，则第 r1 个
单元入样；再在同一范围内随机抽取另一随机数，记为 r2 ，若 r2 r1 ，
则第 r2 个单元入样，若 r2 r1 ，则舍弃重抽；直至抽中 n 个不同的随机
(3.14)
8
于是
V (ai )

n N
1
n N


f
(1
f
)
Cov(
ai
,a
）
j
E(
ai a
）
j
E(
ai）E(
a
）
j

N（（n nN11））

n N
2
（f 1 f） N 1
V ( y)
V
1 n
N i 1
aiYi


1 n2
3．2．3 估计量的方差估计
(3.15)
简单随机样本的简单估计量的方差均与总体方差 S 2 有关，而 S 2 通
常是未知的，因此为了估计V ( y) ，必须先对 S 2 作估计。事实上
对于简单随机抽样，样本方差：
s2

1 n 1
n i 1
( yi

y)2

1n n 1 ( i1
yi2
ny 2 )
中 n 个签，则这 n 个签上的号码即为入样的单元号码。
对不太大的 N ，方法可行；对大的 N ，不方便。
2）逐个抽取法
在总体 N 个单元中，随机抽取(即等概率抽取)一个单元，不放回， 然后再在其余 N 1个单元中随机抽取一个单元，也不放回；继续上述
步骤，直至抽足 n 个单元为止。
不难证明按这种方法抽到的 n 个单元的样本，每个被抽到的概率皆
表 3.3 从一个 N 6 的总体抽 n 3 的全部可能样本 (Ⅱ) 如果忽略 2 与 S 2 的微小差异，从有限总体中抽取的（不放回）简
单随机样本均值的方差比从无限总体(或有限总体中放回抽样)抽取的
9
简单样本均值的方差小，倍数约为1 f 。1 f 称为有限总体修正系数
（finite population correction），简记为 fpc。 推论： Yˆ Ny 的方差为： V (Yˆ) N (N n) S 2 n
y

1 n
n i 1
yi
估计 总体均值Y
Yˆ Ny

N n
n i 1
yi
估计 总体总量Y
简单估计量 y 与Yˆ 的性质。分析例 3.1（p29-p30）。 1）对简单随机抽样，简单估计量 y 是无偏的，即：
5
E(y) Y
(3.3)
证明 I：对于固定的有限总体，估计量的期望或均值的含义即是对
表 3．1 从一个 N 6 的总体中抽 n 3 的全部可能样本 (Ⅰ)
序号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
单元号
1，2，3 1，2，4 1，2，5 1，2，6 1，3，4 1，3，5 1，3，6 1，4，5 1，4，6 1，5，6 2，3，4 2，3，5
样本数值
21，12，15 21，12，24 21，12，6 21，12，18 21，15，24 21，15，6 21，15，18 21，24，6 21，24，18 21，6，18 12，15，24 12，15，6