2021年高考数学二轮复习考前数学思想领航三分类与整合思想讲学案

2021年高考数学二轮复习考前数学思想领航三分类与整合
思想讲学案
三、分类与整合思想
分类与整合思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性
问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度；分类研究后还要对讨论结果进行整合. 方法一公式、定理分类整合法模型解法
公式、定理分类整合法即利用数学中的基本公式、定理对研究对象进行分类，然后分别对每类问题进行解决的方法．此方法多适用于公式、定理自身需要分类讨论的情况．破解此类题的关键点：
①分类转化，结合已知所涉及的知识点，找到合理的分类标准．②依次求解，对每个分类所对应的问题，逐次求解．③汇总结论，汇总分类结果，得结论．典例1 设等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn>0 (n＝1,2,3，?)，则q的取值范围是________．
解析由{an}是等比数列，Sn>0，
可得a1＝S1>0，q≠0，当q＝1时，Sn＝na1>0.
a1?1－qn?当q≠1时，Sn＝>0，
1－q1－q即>0(n＝1,2,3，?)， 1－q??1－q>0，则有?n??1－q>0，??1－q1. 故q的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．答案 (－1,0)∪(0，＋∞)
思维升华公式、定理的分类整合法的分类一般比较固定，由定理、公式的限制引起的分类整合法往往是因为有的数学定理、公式是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等．
1
跟踪演练1 Sn是等比数列{an}的前n项和，若S4，S3，S5成等差数列，则{an}的公比为( ) 11
A. B．2 C．－ D．－2 22答案 D
解析设{an}的公比为q(q≠0)，由等比数列{an}的前n项和为Sn，且S4，S3，S5成等差数列，得2S3＝S4＋S5.
当q＝1时，S4＝4a1，S3＝3a1，S5＝5a1，此时2S3≠S4＋S5，不满足题意； 2a1?1－q?a1?1－q?a1?1－q?2当q≠1时，有＝＋，即q＋q－2＝0，
1－q1－q1－q解得q＝－2或q＝1(舍去)．方法二位置关系的分类整合法模型解法
对于几何中位置关系的分类讨论问题常采用分类整合法，这种方法适用于解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系，以及几何图形中点、线、面的位置关系的研究．破解此类题的关键点：①确定特征，一般在确立初步特征时将能确定的所有位置先确定．②分类，根据初步特征对可能出现的位置关系进行分类．③得出结论，将“所有关系”下的目标问题进行汇总处理．
3
4
5
x≥0，??y≥0，
典例2 在约束条件?y＋x≤s，
??y＋2x≤4
( )
下，当3≤s≤5时，z＝3x＋2y的最大值的变化范围是
A．[6,15] B．[7,15]C．[6,8] D．[7,8]
??x＋y＝s，
解析由?
?y＋2x＝4，?
??x＝4－s，
可得?
?y＝2s－4，?
由图，可得A(2,0)，B(4－s,2s－4)，C(0，s)，C′(0,4)．
①当3≤s0)的焦点为F，P为其上的一点，O为坐标原点，若△OPF为等腰三角形，则这样的点P的个数为________．答案 4
解析当|PO|＝|PF|时，点P在线段OF的中垂线上，此时，点P的位置有两个；当|OP|＝|OF|时，点P的位置也有两个；对|FO|＝|FP|的情形，点P不存在．事实上，F(p，0)，若设P(x，
2
y)，则|FO|＝p，|FP|＝?x－p?2＋y2，
若?x－p?＋y＝p，则有x－2px＋y＝0，
又∵y＝4px，∴x＋2px＝0，解得x＝0或x＝－2p，
当x＝0时，不构成三角形．当x＝－2p(p>0)时，与点P在抛物线上矛盾．∴符合要求的点
2
2
2
2
2
2
P有4个．
方法三含参问题的分类整合法模型解法
含参问题的分类整合法是分类讨论问题中最重要、最常见也是最复杂的一种方法，在解决问题中一般根据参数的取值范围进行分类．此模型适用于某些含有参数的问题，如含参的方程、不等式等，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的方法进行求解或证明，因此要分类讨论．破解此类题的关键点：①确定范围，确定需要分类问题中参数的取值范围．
②确定分类标准，这些分类标准都是在解题过程中根据解决问题的需要确定的，注意有些参数可能出现多级分类，要做到不重不漏．
③分类解决问题，对分类出来的各相应问题分别进行求解．④得出结论，将所得到的结论进行汇总，得出正确结论．
典例3 函数f(x)＝ax＋4x－3在[0,2]上有最大值f(2)，则实数a的取值范围为( ) A．(－∞，－1]
B．[－1，＋∞)
2
C．(－∞，0) D．(0，＋∞)
3
解析方法一当a＝0时，f(x)＝4x－3在[0,2]上为单调递增函数，最大值为f(2)，满足题意．
42?2?22
当a≠0时，函数f(x)＝ax＋4x－3＝a?x＋?－3－，其对称轴为x＝－.
?a?
aa当a>0时，f(x)＝ax＋4x－3在[0,2]上为单调递增函数，最大值为f(2)，满足题意． 22
当a0，a＝0，a0)，且经过F1，F2两点，Q是椭圆C上的动点且在圆P外，32 过Q作圆P的切线，切点为M，当|QM|的最大值为时，求t的值．
2
2
x2y2
解 (1)设椭圆的方程为2＋2＝1(a>b>0)，
ab 4
依题意可得2b＝|1－9|
2
＝4，
所以b＝2，又c＝1，所以a2
＝b2
＋c2
＝5，所以椭圆C的方程为x2＋y2
54
＝1.
(2)设Q(x，y)???满足x2
y2
5＋4＝1???
，圆P的方程为x2
＋(y－t)2
＝t2
＋1，连接PM，因为QM为圆P的切线，所以PM⊥QM，所以|QM|＝|PQ|2
－t2
－1 ＝x2＋?y－t?2－t2－1 ＝
－14
?y＋4t?2＋4＋4t2
. ①若－4t≤－2，即t≥1
2时，
当y＝－2时，|QM|取得最大值，且|QM|＝4t＋3＝32 max2，
解得t＝38－2，即0<t<1
2，
当y＝－4t时，|QM|取得最大值，且|QM|2
32max＝4＋4t＝2，
解得t2
＝18，又0<t<12，所以t＝24.
综上，当t＝
232
4时，|QM|的最大值为2
. 5。