高中数学 3.1《椭圆的简单几何性质》同步练习 北师大版选修2-1

2.2.2《椭圆的简单几何性质》同步练习
一 选择题
1. 椭圆x 216＋y 2
8＝1的离心率为( )
A.13
B.12
C.33
D.22
2．若椭圆x 2
16＋y 2
m
2＝1过点(－2，3)，则其焦距为( )
A ．2 3
B ．2 5
C ．4 3
D ．4 5
3. 若一个椭圆的长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( ) A.45 B.35 C.25 D.15
4．椭圆kx 2
＋(k ＋2)y 2
＝k 的焦点在y 轴上，则k 的取值范围是( ) A ．k >－2 B ．k <－2 C ．k >0 D ．k <0 5．[2012·铁岭三校二联] 椭圆x 2
＋my 2
＝1的离心率为3
2
，则m 的值为( ) A ．2或12 B ．2 C ．4或14 D.14
6．若长轴在y 轴上的椭圆的一个焦点到长轴两个端点的距离之比为1
4，短轴长为8，则椭圆
的标准方程是( )
A.x 216＋y 225＝1
B.x 28＋y 220＝1
C.x 216＋y 250＝1
D.x 28＋y 2
25
＝1 7．矩形ABCD 中，|AB |＝4，|BC |＝3，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的短轴的长为( )
A ．2 3
B ．2 6
C ．4 2
D ．4 3 二 填空题
8．已知点M (3，0)，椭圆x 2
4＋y 2
＝1与直线y ＝k (x ＋3)交于点A 、B ，则△ABM 的周长为
________.
9．椭圆的中心在原点，一个焦点是F (0,2)，离心率是
6
3
，则椭圆的标准方程是________. 10．已知△ABC 的顶点A (－3,0)和C (3,0)，顶点B 在椭圆x 236＋y 2
27＝1上，则sin A ＋sin C
sin B ＝
________.
11．若椭圆x 2a 2＋y 2b
2＝1(a >b >0)与曲线x 2＋y 2＝a 2－b 2
恒有公共点，则椭圆的离心率e 的取值范
围是________.
12．[2012·浙江效实中学期中] 设椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)上一点A 关于原点的对称点为B ，
F 为其右焦点，若AF ⊥BF ，且∠ABF ＝π
4
，则椭圆的离心率为________.
三 解答题
13．已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为453和25
3，过P
点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程.
14.设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(0,4)，离心率为3
5
.
(1)求C 的方程；
(2)求过点(3,0)且斜率为4
5
的直线被C 所截线段的中点坐标.
15． 已知椭圆x 2m ＋y 2
n
＝1(常数m 、n ∈R ＋，且m >n )的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 、N 为
短轴的两个端点，且四边形F 1MF 2N 是边长为2的正方形.
(1)求椭圆方程；
(2)过原点且斜率分别为k 和－k (k ≥2)的两条直线与椭圆x 2m ＋y 2
n ＝1的交点为A 、B 、C 、
D (按逆时针顺序排列，且点A 位于第一象限内)，求四边形ABCD 的面积S 的最大值.
参考答案
1．D 【解析】 由题意a ＝4，c 2
＝8，∴c ＝22，所以离心率为e ＝c a ＝
224＝2
2
.
2．C 【解析】 把点(－2，3)的坐标代入椭圆方程得m 2
＝4，所以c 2
＝16－4＝12，所以c ＝23，故焦距为2c ＝4 3.故选C.
3．B 【解析】 依题意有2b ＝a ＋c ，所以4(a 2
－c 2
)＝(a ＋c )2
，整理得3a 2
－2ac －5c 2
＝0，解得a ＋c ＝0(舍去)或3a ＝5c ，所以e ＝3
5
.故选B.
4．B 【解析】 将椭圆方程化为x 2
＋k ＋2y 2k ＝1，若椭圆的焦点在y 轴上，则必有0<
k ＋2
k
<1，解得k <－2.故选B.
5．C 【解析】 (1)当焦点在x 轴上时，a 2＝1，b 2＝1m >0，所以c 2
＝1－1m
>0，所以m >1，且e
＝c a ＝
1－1m ＝3
2
，解得m ＝4. (2)当焦点在y 轴上时，a 2＝1m >0，b 2＝1，所以c 2
＝1m －1>0，所以0<m <1，且e ＝c a
＝1－m
＝
32，解得m ＝1
4
.故选C. 6．A 【解析】 依题意知a －c a ＋c ＝14，即3a ＝5c ，又b ＝4，∴a 2＝16＋c 2＝16＋925
a 2，解得a 2
＝25.故选A.
7．D 【解析】 依题意得|AC |＝5，所以椭圆的焦距为2c ＝|AB |＝4，长轴长2a ＝|AC |＋|BC |＝8，所以短轴长为2b ＝2a 2
－c 2
＝216－4＝4 3.故选D.
8．8【解析】 y ＝k (x ＋3)，过定点N (－3，0)，而M 、N 恰为椭圆x 2
4＋y 2
＝1的两个焦点，
由椭圆定义知△ABM 的周长为4a ＝4×2＝8.
9.x 22＋y 2
6＝1【解析】 由已知，得c ＝2，c a ＝63
，所以a ＝6，b 2＝a 2－c 2
＝2.又焦点在y 轴上，所以椭圆方程为x 22＋y 2
6
＝1.
10．2【解析】 易知A ，C 为椭圆的焦点，故|BA |＋|BC |＝2×6＝12，又|AC |＝6，由正弦定理知，sin A ＋sin C sin B ＝|BA |＋|BC ||AC |＝2.
11.
2
2
≤e <1【解析】 由题意知，以半焦距c 为半径的圆与椭圆有公共点，故b ≤c ，所以b 2≤c 2，即a 2≤2c 2，所以
22≤c a .又c a <1，所以2
2
≤e <1.
12.2
2
【解析】 设A (x 0，y 0)，则B (－x 0，－y 0)，而F (c,0)，依题意有|AF |＝|BF |，且AF ⊥BF ，
所以⎩⎪⎨⎪
⎧
x 0－c 2＋y 20＝－x 0－c 2
＋y 2
0，
y 0－0x 0－c ·－y 0－0
－x 0－c
＝－1， 解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 0＝0，
y 0＝±c ， 所以由题意知A 、B 分别
是椭圆的上下顶点，所以c ＝b ，所以c 2＝b 2
＝a 2－c 2
，解得e ＝22
. 13．[解答] 设两焦点为F 1、F 2，且|PF 1|＝453，|PF 2|＝25
3
.
由椭圆定义知2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝25，即a ＝ 5. 由|PF 1|>|PF 2|知，|PF 2|垂直焦点所在的对称轴， 所以在Rt△PF 2F 1中，sin∠PF 1F 2＝|PF 2||PF 1|＝1
2，
可求出∠PF 1F 2＝π6，2c ＝|PF 1|·cos π6＝25
3，
从而b 2＝a 2－c 2
＝103
.
所以所求椭圆方程为x 25＋3y 2
10＝1或3x 210＋y
2
5
＝1.
14．[解答] (1)将(0,4)代入椭圆C 的方程得16
b
2＝1，∴b ＝4.
又e ＝c a ＝35得a 2－b 2a 2＝925，即1－16a 2＝9
25
，∴a ＝5，
∴C 的方程为x 225＋y 2
16
＝1.
(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝4
5(x －3)，
设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将直线方程y ＝4
5
(x －3)代入C 的方程，得
x 2
25
＋
x －3
2
25
＝1，
即x 2
－3x －8＝0.
解得x 1＝3－412，x 2＝3＋41
2，
∴AB 的中点坐标x ＝
x 1＋x 22
＝3
2
，
y ＝
y 1＋y 22＝2
5(x 1＋x 2－6)＝－6
5
.
即中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫3
2
，－65.
15．[解答] (1)依题意得⎩⎨
⎧
m －n ＝n ，
2n ＝22，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
m ＝4，n ＝2，
所求椭圆方程为x 24＋y 2
2
＝1.
(2)设A (x ，y )，由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ，x 24＋y
2
2
＝1，得A
21＋2k
2
，2k 1＋2k
2
.
根据题设直线图象与椭圆的对称性，知
S ＝4×
21＋2k 2
×2k 1＋2k
2
＝16k
1＋2k
2(k ≥2)． 所以S ＝
16
1
k
＋2k
(k ≥2)，
设M (k )＝2k ＋1k ，则M ′(k )＝2－1
k
2，
当k ≥2时，M ′(k )＝2－1
k
2>0，
所以M (k )在k ∈[2，＋∞)时单调递增， 所以[M (k )]min ＝M (2)＝9
2，
所以当k ≥2时，S max ＝1692＝32
9.。