河南省豫南九校2020学年高二数学上学期第一次联考(10月)试题 文(含解析)
河南省南阳市2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题(含答案)
高二数学全卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．选择题用2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚．4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．5．本卷主要考查内容：北师大版选择性必修第一册第一章，第二章．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设直线的倾斜角为，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知双曲线的虚轴长是实轴长的3倍，则实数的值为（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知方程表示一个焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．4．直线被圆截得的弦长为（ ）ABCD ．5．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上任意一点，则的最小值为（ ）A ．1B ．C ．D ．6．已知椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则（ ）A ．B ．C ．D ．:80l x -+=αα=120︒60︒30︒150︒221(0)1x y a a a -=>+a 1214131822124x y m m+=--y m ()2,3()3,4()()2,33,4⋃()2,426y x =+22(2)4x y ++=23y x =F P PF 43323422122:1(0)x y C a b a b +=>>1e 22222:1x y C a b-=2e 22122e e +=112e e +=22211e e =+212e e =7．在平面直角坐标系中，已知圆，若圆上存在点，使得，则正数的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支相交于两点，，且的周长为10，则双曲线的焦距为（ ）A ．3BCD二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知椭圆的对称中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，若椭圆的长轴长为6，焦距为4，则椭圆的标准方程可能为（ ）A ．B ．C ．D ．10．如图，抛物线的焦点为，过抛物线上一点（点在第一象限）作准线的垂线，垂足为为边长为8的等边三角形．则（ ）A ．B ．C ．点的坐标为D ．点的坐标为11．已知双曲线的左、右焦点分别为，点为双曲线右支上的动点，过点作两渐近线的垂线，垂足分别为．若圆与双曲线的渐近线相切，则下列说法正确的是（ ）xOy ()222:()()(0),3,0C x a y a a a A -+-=>-C P 2PA PO =a (]0,1[]1,21,3⎡+⎣⎤⎦2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>12,F F 2F ,A B 12224BF BF AF ==1ABF △C C C 22149x y +=22195x y +=22194x y +=22159x y +=2:2(0)C y px p =>F C P P l ,H PHF △2p =4p =P (P (222:1(0)3x y C b b-=>12,F F P C P ,A B 22(2)1x y -+=CA ．双曲线的渐近线方程为B ．双曲线的离心率C ．当点异于双曲线的顶点时，的内切圆的圆心总在直线上D．为定值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．过点且在轴、轴上截距相等的直线方程为______．13．已知是圆______．14．如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，过椭圆左焦点的直线与椭圆相交于两点，，，则椭圆的离心率为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15．（本小题满分13分）已知的顶点坐标为．（1）若点是边上的中点，求直线的方程；（2）求边上的高所在的直线方程．16．（本小题满分15分）已知动点到点为常数且的距离与到直线的距离相等，且点在动点的轨迹上．（1）求动点的轨迹的方程，并求的值；（2）在（1）的条件下，已知直线与轨迹交于两点，点是线段的中点，求直线的方y x =C e =P C 12PF F △x =PA PB ⋅32()3,1x y (),P m n 22:(4)(4)8C x y -+-=2222:1(0)x y C a b a b+=>>12,F F 1F C,P Q 222QF PF =21cos 4PF Q ∠=C ABC △()()()1,6,3,1,4,2A B C ---D AC BD AB P (),0(F t t 0)t >x t =-()1,1-P P C t l C ,A B ()2,1M AB l程．17．（本小题满分15分）已知点，动点满足．（1）求动点的轨迹的方程；（2）已知圆的圆心为，且圆与轴相切，若圆与曲线有公共点，求实数的取值范围．18．（本小题满分17分）已知双曲线的一条渐近线方程为，点在双曲线上．（1）求双曲线的标准方程；（2）过定点的动直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，与其两条渐近线分别交于（点在点的左边）两点，证明：线段与线段的长度始终相等．19．（本小题满分17分）在平面直角坐标系中，已知椭圆，短轴长为2．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知点分别为椭圆的左、右顶点，点为椭圆的下顶点，点为椭圆上异于椭圆顶点的动点，直线与直线相交于点，直线与直线相交于点．证明：直线与轴垂直．()()2,0,6,0O A -(),P x y 3PA PO =P C Q (),(0)Q t t t >Q y Q C t 2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>20x y +=()1-C C ()0,1P l C ,A B ,M N M N AM BN xOy 2222:1(0)x y C a b a b+=>>C ,A B C D C P C AP BD M BP AD N MN x2024~2025学年度10月质量检测·高二数学参考答案、提示及评分细则1．C 因为直线的斜率为，由斜率和倾斜角的关系可得又，．故选C ．2．D，解得．3．A 若方程表示为焦点在轴上的一个椭圆，有解得．4．B 圆心，直线被圆截得的弦长为．故选B ．5．D 设点的坐标为，有，故的最小值为．6．A 由，可得．7．C 设点的坐标为，有，整理为，可化为，若圆上存在这样的点，只需要圆与圆有交点，有，解得C ．8．B 设，可得，有，解得，在和中，由余弦定理有，解得，可得双曲线的焦距为．9．BD 由题意有，故椭圆的标准方程可能为或．10．BD 设抛物线的准线与轴的交点为，由，有:80l x +=k =tan α=0180α︒≤<︒30α=︒=18a =y 20,40,24,m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-<-⎩23m <<()2,0-=P ()00,x y 03344PF x =+≥PF 34222222221222221,1a b b a b b e e a a a a-+==-==+22122e e +=P (),x y =22230x y x +--=22(1)4x y -+=C P C 22(1)4x y -+=22a a -≤≤+13a ≤≤+221,2,4AF m BF m BF m ===13AF m =23410m m m m +++=1m =12AF F △12BF F △224194416048c c c c +-+-+=c =3,2,5a c b ====C 22195x y +=22159x y +=C x Q 60,PHF HFO FQ p ∠=∠=︒=，有，得，点的坐标为．11．ABC 由题意得，对于选项A ：双曲线的渐近线方程是，圆的圆心是，半径是1（舍去），又，故A 正确；则，离心率为B 正确；对于选项C ：设的内切圆与轴相切于点，由圆的切线性质知，所以，因此内心在直线，即直线上，故C 正确；对于选项D ：设，则，渐近线方程是，则为常数，故D 错误．故选ABC ．12．或 设在轴、轴上的截距均为，若，即直线过原点，设直线为，代入，可得，所以直线方程为，即；若，则直线方程为，代入，则，解得，所以此时直线方程为；综上所述：所求直线方程为或．13．表示点到原点的距离，由，有的取值范围为．14设椭圆的焦距为，有，在中，由余弦定理有，有，可得，有．在中，由余弦定理有可得2,HF p HQ ==28p =4p =P (0bx ±=22(2)1x y -+=()2,01,1b ==1-1,b b y x a ===2c ==c e a ===12PF F △x M 122F M F M a -=M x a =I x a =x a ==()00,P x y 222200001,333x y x y -=-=0x ±=3440x y +-=30x y -=x y a 0a =y kx =()3,113k =13y x =30x y -=0a ≠1x ya a+=()3,1311a a+=4a =4x y +=40x y +-=30x y -=⎡⎣P O 28OC r ==OC OP OC -≤≤+OP ≤≤⎡⎣C 222,,2c PF t QF t ==112,22,43PF a t QF a t PQ a t =-=-=-2PQF △2222(43)4a t t t t -=+-45t a =21886,,555QF a PQ a PF a ===22PF Q QPF ∠=∠12PF F △2c ==c e a ==15．解：（1）因为点是边上的中点，则，所以，所以直线的方程为，即；（2）因为，所以边上的高所在的直线的斜率为，所以边上的高所在的直线方程为，即．16．解：（1）由题意知，动点的轨迹为抛物线，设抛物线的方程为，则，所以，所以抛物线的方程为，故；（2）设点的坐标分别有，可得有，可得，有，可得直线的斜率为，故直线的议程为，整理为．17．解：（1）由得，，整理得，故动点的轨迹的方程为；（2）点的坐标为且圆与轴相切，圆的半径为，圆的方程为，D AC 3,42D ⎛⎫⎪⎝⎭14103932BD k --==--BD 01(3)9y x 1+=+109210x y -+=167312AB k --==-+AB 27-AB ()2247y x -=--27220x y +-=P C 22(0)y px p =>12p =12p =C 2y x =124p t ==,A B ()()1122,,,x y x y 12124,2,x x y y +=⎧⎨+=⎩211222y x y x ⎧=⎨=⎩222121y y x x -=-212121112y y x x y y -==-+l 12l 11(2)2y x -=-12y x =3PA PO =229PA PO =2222(6)9(2)x y x y ⎡⎤++=-+⎣⎦22(3)9x y -+=P C 22(3)9x y -+= Q (),(0)t t t >Q y ∴Q t ∴Q 222()()x t y t t -+-=圆与圆两圆心的距离为，圆与圆有公共点，，即，解得，所以实数的取值范围是．18．（1）解：由渐近线方程的斜率为，有，可得，将点代入双曲线的方程，有，联立方程解得故双曲线的标准议程为；（2）证明：设点的坐标分别为，线段的中点的坐标为，线段的中点的坐标为．设直线的方程为，联立方程解得，联立方程解得，可得，联立方程消去后整理为，∴Q C CQ == Q C 33t CQ t ∴-≤≤+2222|3|(3)(3)t t t t -≤-+≤+012t <≤t (]0,1220x y +=12-12b a -=-2a b =()1-C 22811a b-=222,811,a b a b =⎧⎪⎨-=⎪⎩2,1,a b =⎧⎨=⎩C 2214x y -=,,,A B M N ()()()()11223344,,,,,,,x y x y x y x y AB D ()55,x y MN E ()66,x y l 1y kx =+1,1,2y kx y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩3221x k =-+1,1,2y kx y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩4221x k =--5212242212141kx k k k ⎛⎫=--=- ⎪+--⎝⎭221,1,4y kx x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩y ()2241880k x kx -++=有，可得，由，可知线段和共中点，故有．19．（1）解：设椭圆的焦距为，由题意有：，解得故椭圆的标准方程为；（2）证明：由（1）知，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，设点的坐标为（其中，），有，可得，直线的方程为，整理为，直线的方程为，整理为，直线的方程为，联立方程，解得：，故点的横坐标为，直线的方程为， 联立方程，解得：，故点的横坐标为，122841k x x k +=--62441kx k =--46x x =AB MN AM BN =C 2c 22222a b c b c a⎧⎪=+⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩2,1,a b c ===C 2214x y +=A ()2,0-B ()2,0D ()0,1-P (),m n ()()2,00,2m ∈- 2214m n +=2244m n +=BD 121x y +=-112y x =-AD 121x y +=--112y x =--AP ()22ny x m =++()2,2112n y x m y x ⎧=+⎪⎪+⎨⎪=-⎪⎩24422m n x m n ++=-+M ()22222m n m n ++-+BP ()22ny x m =--()2,2112n y x m y x ⎧=-⎪⎪-⎨⎪=--⎪⎩42422n m x m n -+=+-N ()22222n m m n -++-又由，故点和点的横坐标相等，可得直线与轴垂直．()()()()()()22222222222222222222m n m n m n m n m n n m m n m n m n m n +++-+-+--++-+-=-++--++-()()()()()()()222222(2)4(2)42442880222222222222m n m n m n m n m n m n m n m n m n m n ⎡⎤⎡⎤+-+--+-+-⎣⎦⎣⎦====-++--++--++-M N MN x。
河南省豫南九校2020-2021学年上学期高二期末联考理数试卷答案
在△ 中， ，∴ ， AMC
MC sin∠MAC
=
AC sin∠AMC
MC
=
200 2sin60° sin45°
=
200
3m
∴ 故选 ． MN = MCsin∠MCN = 200 3sin60° = 300 m. C 7．D
【解析】因为 g′(x) =
f ′(x)−
ex
f
(x) ，由图象知：当 x∈(0，1) 和 x∈(4，+ ∞) 时，
2
4
4
所以 ， (a + b)2 ≤12 a + b ≤ 2 3 ，当且仅当 a = b 时取等号，
所以 19．【解析】
a
+
b
+
c
≤
3
3 ，即△ABC 周长的最大值为3
3.
（1）由题意知， a1 = 2 .
高二数学（理）参考答案 第 7 页（共 12 页）
= VP−ABC
=
1 3
×
S△
ABC
× PA
=
1× 3
1 × 3× 4× PA = 2
4
PA = 2 .
点C 为坐标原点，CB ，CA，CC1 所在直线分别为 x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系C − xyz ，
则 、 、 、 ， C (0,0,0) P (0, 4, 2) B (3,0,0) C1 (0,0,3)
则由向量加法的平行四边形法则有：OG = 1 (OM + ON ) = 1 × 2 OA + 1 × 1 (OB + OC)
2
23 22
故选 = 1 OA + 1 OB + 1 OC . A.
河南省豫南九校2019-2020学年高二上学期期末联考理科数学试题含答案
豫南九校2019-2020学年上期期末联考高二数学（理）试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若060sin 2018=y ，则='y （ ）A ． 1009B ．31009C ．0D ．20182.在各项均为正数的等比数列}{n a 中，若4115=a a ，8126=a a ，则=98a a （ ） A ．12 B ．24 C ． 26 D ．323.在空间直角坐标系中，已知)3,2,1(A ，)6,1,2(--B ，)1,2,3(C ，)0,3,4(D ，则直线AB 与CD 的位置关系是（ ）A ． 垂直B ．平行C ． 异面D ． 相交但不垂直 4.若0,0>>y x ，则“xy y x 222=+”的一个充分不必要条件是（ ） A ．y x = B ．y x 2= C. 2=x 且1=y D ．y x =或1=y5.抛物线241y x =的焦点到双曲线1322=-y x 的渐近线距离是（ ） A ．3 B ．22 C. 23 D ．216.下列说法正确的是（ ）A ．“函数)(x f 为奇函数”是“0)0(=f ”的充分不必要条件B ．在ABC ∆中，“B A <”是“B A sin sin <”的既不充分也不必要条件 C.若命题q p ∧为假命题，则q p ,都是假命题D ．命题“若0232=+-x x ，则1=x ”的逆否命题为“若1≠x ，则0232≠+-x x ”7.已知数列{}n a 的前n 项和3231+=n n a S ，则 {}n a 的通项公式=n a （ ） A ．n n a )21(-= B ．1)21(--=n n a C. 1)21(-=n n a D ．1)21(+-=n n a8.已知实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥+-≥042010y x y x y ，则函数3++=y x z 的最大值为（ ）A ．2B ． 4 C. 5 D ．69.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c 若ABC ∆为锐角三角形，且满足C A C A C B sin cos cos sin 2)cos 21(sin +=+，则下列等式成立的是（ ）A ． b a 2=B ．a b 2= C. B A 2= D ．A B 2=10.函数)()(x g x x f -=的图像在点2=x 处的切线方程是1--=x y ，则=+)2(')2(g g （ ）A ． 7B ．4 C. 0 D ．-411.已知直三棱柱111C B A ABC -中，0120=∠ABC ，2=AB ，11==CC BC ，则异面直线1AB 与1BC 所成角的正弦值为（ ）A ．23 B ．515 C. 510 D ．33 12.已知直线01:=-+y x l 截圆)0(:222>=+Ωr r y x 所得的弦长为14，点N M ,在圆Ω上，且直线03)1()21(:'=--++m y m x m l 过定点P ，若PN PM ⊥，则||MN 的取值范围为（ ）A ． ]32,22[+-B ．]22,22[+- C. ]36,26[+- D ．]26,26[+-二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.函数x a x a x x f )3()1()(24-+--=的导函数)('x f 是奇函数，则实数=a ．14.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的半焦距为c ，且满足022<+-ac b c ，则该椭圆的离心率e 的取值范围是 ．15.已知ABC ∆，4==AC AB ，2=BC ，点D 为AB 延长线上一点，2=BD ，连结CD ，则=∠BDC cos ．16.已知直线)0,0(22>>=-b a by ax 过圆012422=++-+y x y x 的圆心，则1124+++b a 的最小值为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （1）关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集非空，求实数a 的取值范围； （2）已知45<x ，求函数54124-+-=x x y 的最大值. 18. 等差数列}{n a 中，113221=+a a ，42623-+=a a a ，其前n 项和为n S . （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设数列}{n b 满足111-=+n n S b ，其前n 项和为为n T ，求证：)(43*N n T n ∈<. 19. 四棱锥ABCD S -中，BC AD //，CD BC ⊥，060=∠=∠SDC SDA ，DC AD =SD BC 2121==，E 为SD 的中点.（1）求证：平面⊥AEC 平面ABCD ； （2）求BC 与平面CDE 所成角的余弦值.20. ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，其中c b ≠，且C c B b cos cos =，延长线段BC 到点D ，使得44==CD BC ，030=∠CAD .（1）求证：BAC ∠是直角； （2）求D ∠tan 的值.21. 椭圆E 经过点)3,2(A ，对称轴为坐标轴，焦点21,F F 在x 轴上，离心率21=e . （1）求椭圆E 的方程；（2）求21AF F ∠的角平分线所在直线的方程.22.已知抛物线)0(2:2>=p px y C 的焦点为F 抛物线C 上存在一点),2(t E 到焦点F 的距离等于3.（1）求抛物线C 的方程；（2）过点)0,1(-K 的直线l 与抛物线C 相交于B A ,两点（B A ,两点在x 轴上方），点A 关于x 轴的对称点为D ，且FB FA ⊥，求ABD ∆的外接圆的方程.试卷答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1—5CBBCC 6—10DBDAA 11—12CD 1．C【解析】根据求导法则易知0y '=． 2．B【解析】由等比数列的性质有，．3．B【解析】由题意得,(3,3,3),(1,1,1)AB CD =--=-,所以3AB CD =-，所以AB CD ∥． 4．C【解析】，，当且仅当时取等号．故“”是“”的充分不必要条件．5．C【解析】双曲线2213y x -=的焦点(20)，到渐近线距离为2134x y ⇒=的焦点(10)，到渐近线距离为32．（可由抛物线的焦点F （1,0）直接求距离）6．D 【解析】函数()f x 的定义域为R 才成立，故选项A 错误；因为是在三角形中，所以“A B <”是“sin sin A B <”成立的充要条件，故选项B 错误；若命题p q ∧为假命题，则p ,q 至少有一个为假命题，故选项C 错误；故选D ． 7．B【解析】令1n =，得111233S a =+，11a =，当2n ≥时，111233n n S a --=+，所以111133n n n n n S S a a a ---=-=，所以112n n a a -=-，所以数列{}n a 是以1为首项，12-为公比的等比数列，所以11()2n n a -=-．8．D【解析】作出可行域如图，当直线过点C 时，z 最大，由得，所以z的最大值为6．9．A【解析】sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+ 所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，选A ． 10．A 【解析】，又由题意知，．11．C【解析】补成四棱柱1111ABCD A B C D -,则所求角为11,2,BC D BC ∠=2021221cos603,BD =+-⨯⨯⨯=115C D AB ==,因此1210cos 55BC D ∠==，故选C ．12．D【解析】依题意，21214,2r -=解得2r =，因为直线:(12)(1)30l m x m y m '++--=，故(11)P ，;设MN 的中点为(,)Q x y ，则222OM OQ MQ =+22OQ PQ =+,即22224(1)(1)x y x y =++-+-，化简可得22113()()222x y -+-=，所以点Q 的轨迹是以11(,)22为圆心，62为半径的圆，所以 PQ 的取值范围为6262,22⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，所以MN 的取值范围为62,62⎡⎤-+⎣⎦． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．314．102e <<15．10416．49 13．【解析】由题意3()42(1)(3)f x x a x a '=--+-是奇函数303a a ⇒-=⇒=． 14．【解析】，，即，即，解得，又，102e ∴<<． 15．【解析】取BC 中点E ，DC 中点F ，由题意,AE BC BF CD ⊥⊥，△ABE 中，1cos 4BE ABC AB ∠==，1cos 4DBC ∴∠=-，又2110cos 12sin ,sin 44DBC DBF DBF ∴∠=-∠=-∴∠=，10cos sin 4BDC DBF ∴∠=∠=． 16．【解析】圆心为(2,1)-，则代入直线得：222a b +=，即1a b +=，观察所求式子形式；不妨令2,1m a n b =+=+，则411121444m n m n n m a b m n m n +++=+=+++++592444n m m n ≥⋅+=．(当且仅当,4n m m n =即m=2n 时，亦即2a b =时，取“=”；此时2133a b ==,．) 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（1）解：设()2f x x ax a =--．则关于x 的不等式23x ax a --≤-的解集不是空集()3f x ⇔≤-在R 上能成立()min 3f x ⇔≤-，即()2min 434a a f x +=-≤-解得 6a ≤-或2a ≥．（或由230x ax a --+≤的解集非空得0∆≥亦可得） （2）解：511,540,4254323144554x x y x x x x ⎛⎫<∴->∴=-+=--++≤-+= ⎪--⎝⎭， 当且仅当15454x x -=-，解得x =1或32x =而35124x x =>∴= 即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =． 18．解：（1）因为121112323()5311a a a a d a d +=++=+=，32624a a a =+-，即1112(2)54a d a d a d +=+++-，得2d =，11a =， 所以1(1)1(1)221n a a n d n n =+-=+-⨯=-．（2）2111(1)1(1)222n S na n n d n n n n =+-=⨯+-⨯=，2211111111()1(1)12(2)22n n b S n n n n n n n +=====--+-+++，11111111111(...)2132435112n T n n n n =-+-+-++-+--++111113()212124n n =+--<++*()n N ∈． 19．解：（1）E 为SD 的中点，01,602AD DC SD SDA SDC ==∠=∠=.ED EC AD DC EA ∴====设O 为AC 的中点，连接,EO DO ，则EO AC ⊥， //,AD BC BC CD ⊥.AD BC ∴⊥ OD OA OC ∴==，EOC EOD ∴∆≅∆从而EO OD ⊥， AD BC BCCD ⊥⊂=DO AC AB AC ,, 面ABCD ，AC DO O =， EO ∴⊥面ABCD EO ⊂面AEC ， ∴面AEC ⊥面ABCD（2）设F 为CD 的中点,连接OF EF 、,则OF 平行且等于12AD AD ∥BC OF ∴∥BC不难得出CD ⊥面OEF （EO CD ⊥FO CD ⊥） ∴面ECD ⊥面OEFOF 在面ECD 射影为EF ，EFO ∠的大小为BC 与面ECD 所成角的大小．设AD a =，则2aOF =，32EF a =,3cos 3OF EFO EF ∠== 即BC 与ECD 改成角的余弦值为33．（亦可以建系完成）20．解：（1）因为cos cos b B c C =由正弦定理，得sin cos sin cos B B C C =， 所以sin 2sin 2B C =，又b c ≠ 所以22B C π=-所以2B C π+=，所以090A ∠=，即BAC ∠为直角。
2020-2021学年度河南省豫南九校高二上学期期末联考理科数学试卷【含解析】
2020-2021学年度河南省豫南九校高二上学期期末联考理科数学试卷【含解析】一、单选题1．在数列{}n a 中，11(1)1,2(2)nn n a a n a --==+≥，则3a =（ ） A ．0 B ．53C ．73D ．3【答案】B【分析】由数列的递推关系式以及11a =求出2a ，进而得出3a ． 【详解】11a =，21123a a ∴=+=，321523a a -=+=故选：B2．设222,1a x x b x =-+=-，则实数a 与b 的大小关系为（ ） A ．a b > B ．a b =C ．a b <D ．与x 有关【答案】A【分析】由22131024a b x x x ⎛⎫-=-+=-+> ⎪⎝⎭可得答案【详解】因为22131024a b x x x ⎛⎫-=-+=-+> ⎪⎝⎭恒成立 所以a b > 故选：A3．若不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为（ ） A ．()3,0- B ．[)3,0-C ．[]3,0-D ．(]3,0-【答案】D【分析】分0k =，0k ≠两种情况，当0k =，308-<对x ∈R 恒成立，当0k ≠时，需开口向下，判别式小于0，不等式恒成立. 【详解】当0k =时，原不等式可化为308-<，对x ∈R 恒成立；当0k ≠时，原不等式恒成立，需220342()08k k k <⎧⎪⎨∆=-⨯⨯-<⎪⎩， 解得,0()3k ∈-， 综上(3,0]k ∈-. 故选：D4．如图，在四面体OABC 中，M ，N 分别在棱OA ，BC 上且满足2OM MA =，BN NC =，点G 是线段MN 的中点，用向量OA ，OB ，OC 作为空间的一组基底表示向量OG 应为（ ）A ．111363OG OA OB OC =++ B ．111344OG OA OB OC =++ C ．111336OG OA OB OC =++D ．111443OG OA OB OC =++【答案】B【分析】连接ON ，由向量加法的平行四边形法则及向量的数乘运算即可得解. 【详解】连接ON ，如图，则由向量加法的平行四边形法则可得()()1121122322OG OM ON OA OB OC =+=⨯+⨯+ 111344OA OB OC =++. 故选：B.5．已知x ，y 满足约束条件11y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．3B ．3-C ．1D ．32【答案】A【分析】由题意首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义求解最大值即可. 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最大值，联立直线方程：11y x y =-⎧⎨+=⎩，可得点A 的坐标为：()2,1A -，据此可知目标函数的最大值为：max 2213z =⨯-=. 故选：A【点睛】方法点睛：求线性目标函数()0z ax by ab =+≠的最值，当0b >时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当0b <时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大. 6．如图，无人机在离地面高200m 的A 处，观测到山顶M 处的仰角为15°、山脚C 处的俯角为45°，已知060MCN ∠=，则山的高度MN 为（ ）A ．1503mB ．2003mC ．3003mD ．300m【答案】D【分析】根据题中条件，先得到22002AC AB m ==，45AMC ∠=︒，在AMC 中，根据正弦定理，即可得出结果.【详解】∵//AD BC ，∴45ACB DAC ∠=∠=︒，∴22002AC AB m ==， 又180604575MCA ∠=︒-︒-︒=︒，154560MAC ∠=︒+︒=︒，∴45AMC ∠=︒， 在AMC 中，sin sin MC AC MAC AMC =∠∠，∴2002sin602003sin45MC m ︒==︒， ∴sin 2003sin60300MN MC MCN m =∠=︒=. 故选：D ．7．已知函数()f x 与()f x '的图象如图所示，则函数()()x f x g x e=（其中e 为自然对数的底数）的单调递减区间为（ ）A ．()0,4B ．()4,1,43⎛⎫-∞⋃⎪⎝⎭ C ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()0,1，()4,+∞【答案】D【分析】利用图象求得不等式()()0f x f x '-<的解集，求得()()()xf x f xg x e'-'=，解不等式()0g x '<即可得出函数()g x 的单调递减区间. 【详解】由图象可知，不等式()()0f x f x '-<的解集为()()0,14,+∞，因为()()xf xg x e=，所以，()()()()()()2x xxx f x e f x e f x f x g x e e ''--'==，解不等式()0g x '<，可得()()0f x f x '-<，解得()()0,14,x ∈+∞，因此，函数()g x 的单调递减区间为()0,1，()4,+∞. 故选：D.【点睛】易错点睛：本题考查利用导数求解函数的单调递减区间，通过解不等式()0g x '<得到()()0,14,x ∈+∞，但需要注意的是，函数()g x 的两个单调递减区间不能取并集，而应分开表示.8．德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念.在研究切线时认识到，求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值，这也正是导数的几何意义．设()f x '是函数()f x 的导函数，若()0f x '>，且对1x ∀，2x R ∈，且12x x ≠总有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭，则下列选项正确的是（ ）A ．()()()π2f f e f <<B ．()()()2πf f e f '''<<C ．()()()()1212f f f f <-'<'D ．()()()()2211f f f f ''<-<【答案】D【分析】由()0f x '>，得()f x 在R 上单调递增，并且由()f x 的图象是向上凸，进而判断选项.【详解】由()0f x '>，得()f x 在R 上单调递增，因为2e π>>，所以()()()2f f e f π>>，故A 不正确；对1x ∀，2x R ∈，且12x x ≠，总有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭，可得函数的图象是向上凸，可用如图的图象来表示，由()f x '表示函数图象上各点处的切线的斜率，由函数图象可知， 随着x 的增大，()f x 的图象越来越平缓，即切线的斜率越来越小， 所以()()()2f f e f π'''<<，故B 不正确；()()()()212121AB f f f f k --==-，表示点()()1,1f 与点()()22f ,连线的斜率，由图可知()()21AB f k f ''<<，所以D 正确，C 不正确. 故选：D .【点睛】本题考查以数学文化为背景，导数的几何意义，根据函数的单调性比较函数值的大小，属于中档题型.9．如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，且3BC =，4AC =，13CC =，点P 在棱1AA 上，且三棱锥A PBC -的体积为4，则直线1BC 与平面PBC 所成角的正弦值等于（ ）A ．10B 6C 10D 15【答案】C【分析】利用锥体的体积公式可求得2PA =，然后以点C 为坐标原点，CB 、CA 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线1BC 与平面PBC 所成角的正弦值.【详解】由已知得1AA ⊥底面ABC ，且AC BC ⊥， 所以111344332A PBC P ABC ABC V V S PA PA --==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△，解得2PA =. 如图所示，以点C 为坐标原点，CB 、CA 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0C 、()0,4,2P 、()3,0,0B 、()10,0,3C ， 则()3,0,0CB =，()0,4,2CP =，()13,0,3BC =-. 设平面BCP 的法向量为(),,n x y z =， 则由00n CB n CP ⎧⋅=⎨⋅=⎩可得30420x y z =⎧⎨+=⎩，即020x y z =⎧⎨+=⎩，得0x =，令1y =，得2z =-，所以()0,1,2n =-为平面BCP 的一个法向量. 设直线1BC 与平面PBC 所成的角为θ，则()()1122221610sin cos ,3312n BC n BC n BC θ⋅-=<>===⋅-+⨯+-. 故选：C.【点睛】方法点睛：求直线与平面所成角的方法：（1）定义法，①作，在直线上选取恰当的点向平面引垂线，确定垂足的位置是关键； ②证，证明所作的角为直线与平面所成的角，证明的主要依据是直线与平面所成角的概念；③求，利用解三角形的知识求角；（2）向量法，sin cos ,AB n AB n AB nθ⋅=<>=⋅（其中AB 为平面α的斜线，n 为平面α的法向量，θ为斜线AB 与平面α所成的角）.10．定义：在数列{}n a 中，若满足211n n n na a d a a +++-=（ *,n N d ∈为常数），称{}n a 为“等差比数列”，已知在“等差比数列”{}n a 中，1231,3a a a ===，则20202018a a 等于（ ） A ．4×20162－1 B ．4×20172－1C ．4×20182－1D ．4×20182【答案】C【分析】根据“等差比”数列的定义，得到数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，再利用202020202019201820192019a a a a a a =⨯求解. 【详解】由题意可得：323a a =，211a a = ，32211a a a a -=， 根据“等差比数列”的定义可知数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首先为1，公差为2的等差数列， 则()111221n na n n a +=+-⨯=-， 所以20202019220191220181a a =⨯-=⨯+，20192018220181aa =⨯-， 所以()()2202020202019201820192019220181220181420181a a a a a a =⨯=⨯+⨯-=⨯-. 故选：C【点睛】本题考查数列新定义，等差数列，重点考查理解题意，转化思想，计算能力，属于中档题型.11．已知1F 、2F 是双曲线C ：2214y x -=的左、右两个焦点，若双曲线在第一象限上存在一点P ，使得22()0OP OF F P +⋅=，O 为坐标原点，且12||||PF PF λ=，则λ的值为（ ）. A ．13B ．12C ．2D ．3 【答案】C【分析】设点2(1)4m P m +，，将22()0OP OF F P +⋅=坐标化运算，可求出45m =，再分别计算12||,||PF PF 的值，即可得答案； 【详解】1a =，2b=，∴5c =1(5F -，，2(5F ，，设点2(1)4m P m +，，∴222222()(15)(15)150444m m m OP OF F P m m m +⋅=+⋅+=+-+=，，，∴2165m =，45m =， 则3545(P ±，221354580504555PF ⎛⎫⎛⎫=--+±== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴2122PF PF a =-=，∴12422PF PF λ===， 故选：C.【点睛】利用坐标运算将数量积运算坐标化，再利用两点间距离公式分别求出焦半径是求解的关键.12．已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数，对于任意的实数x ，都有()()2x f x e f x -=，当0x <时，()()0f x f x +'>，若()()211ae f a f a +≥+，则实数a 的取值范围是（ ） A ．20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[)0,+∞D ．(],0-∞【答案】B【分析】构造函数()()xg x e f x =，根据题意，可得函数()g x 的奇偶性，根据0x <时()()0f x f x +'>，对函数()g x 求导，可得函数()g x 的单调性，将()()211a e f a f a +≥+，左右同乘1a e +，可得()()211211a a e f a e f a +++≥+，即()()211g a g a +≥+，利用()g x 的性质，即可求得答案. 【详解】∵()()2x f x e f x -=，∴()()()x x xf xe f x e f x e --==-， 令()()xg x e f x =，则()()g x g x -=，即()g x 为偶函数，当0x <时()()0f x f x +'>，∴()()()'0xx e f x f x g '+⎡⎤⎣⎦>=，即函数()g x 在(),0-∞上单调递增.根据偶函数对称区间上单调性相反的性质可知()g x 在()0,∞+上单调递减， ∵()()211ae f a f a +≥+，∴()()211211a a ef a e f a +++≥+，∴()()211g a g a +≥+，即211a a +≤+， 解得，203a -≤≤， 故选：B .【点睛】解题的关键是将题干条件转化为()()()x x xf x e f x e f x e --==-，根据左右相同的形式，构造函数()()xg x e f x =，再根据题意，求得函数的奇偶性，单调性；难点在于：由于()()211ae f a f a +≥+，不符合函数()g x 的形式，需左右同乘1a e +，方可利用函数()g x 的性质求解，属中档题.二、填空题13．已知函数()32f x ax x =+()14f '=，则a =__________．【答案】1【分析】先求出函数()f x 的导函数()23f x ax x'=+，由()14f '=可得答案. 【详解】由题意()23f x ax x'=+，所以()1314f a '=+=解得1a = 故答案为：114．设等比数列{}n a 的公比为2，前n 项和为n S ，则55S a =________. 【答案】3116【分析】根据等比数列的求和公式与通项公式，由题中条件，直接计算，即可得出结果. 【详解】因为数列{}n a 为等比数列，所以()5151123112a S a -==-，所以4511216a a a ==，所以515131311616S a a a ==. 故答案为：3116.15．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用.直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”，“股”，“弦”，且“勾2＋股2=弦2”设直线l 交抛物线214y x =于,A B 两点，若,OA OB 恰好是Rt OAB 的“勾”"股”(O 为坐标原点)，则此直线l 恒过定点__________． 【答案】()0,4【分析】设直线AB 的方程为y kx b =+，()()1122,,,A x y B x y ，直线方程与抛物线方程联立写出韦达定理，由条件可得即OA OB ⊥，所以12120OA OB x x y y ⋅=+=，将韦达定理代入可得答案.【详解】设直线AB 的方程为y kx b =+，()()1122,,,A x y B x y由24y kx b x y=+⎧⎨=⎩，得2440x kx b --= 则12124,4x x k x x b +==-若,OA OB 恰好是Rt OAB 的“勾”“股”（O 为坐标原点） 可得222OA OB AB += 所以OA OB ⊥，即OA OB ⊥所以12120OA OB x x y y ⋅=+=，()2221212121114416y y x x x x =⨯=所以()()2212121212114401616OA OB x x y y x x x x b b ⋅=+=+=-+⨯-= 即240b b -=，解得40b b ==或（舍） 所以直线AB 的方程为4y kx =+，恒过点()0,4 故答案为：()0,4【点睛】关键点睛：本题考查直线与抛物线的位置关系和直线过定点问题，解答本题的关键是由条件得出OA OB ⊥，所以12120OA OB x x y y ⋅=+=，得到240b b -=，属于中档题.16．已知定义在R 上的函数()f x 关于y 轴对称，其导函数为()f x '. 当0x ≥时，()()1xf x f x '>-. 若对任意x ∈R ，不等式()()0x x x e f e e ax axf ax -+->恒成立，则正整数a 的最大值为_____. 【答案】2【分析】令()()g x xf x x =-，利用()()1xf x f x '>-可得()g x 在[)0,+∞单调递增，不等式()()0x x x e f e e ax axf ax -+->恒成立等价于()()xg e g ax >，即e x ax >，当0x >时，分离参数可得()x e a h x x<=，可求出正整数a 的最大值为2，再检验当2a =时，对于0x <，不等式恒成立，即可求解.【详解】因为定义在R 上的函数()f x 关于y 轴对称， 所以函数()f x 为R 上的偶函数，令()()g x xf x x =-，则()()()1g x f x xf x ''=+-，因为当0x ≥时，()()1xf x f x '>-，即()()()10g x f x xf x ''=+->， 所以()g x 在[)0,+∞单调递增，不等式()()0x x xe f e e ax axf ax -+->恒成立， 即()()x x x e f e e axf ax ax ->-，即()()xg e g ax >，所以e x ax >，当0x >时，()xe a h x x <=，则()()21x e x h x x-'=，可得()h x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增， 所以()()min 1h x h e ==， 所以a e <，此时最大的正整数a 为2，2a =对于0x <时，e x ax >恒成立，综上所述：正整数a 的最大值为2， 故答案为：2【点睛】关键点点睛：本题的关键点是构造函数()()g x xf x x =-，利用导数判断出()g x 在[)0,+∞单调递增，不等式恒成立即()()xg e g ax >，利用单调性可得e x ax >，再分类参数求最值.三、解答题17．已知命题：“{}|22x x x ∃∈-<<，使等式20x x m --=成立”是真命题． （1）求实数m 的取值集合M ；（2）设关于x 的不等式()()80x a x a ---<的解集为N ，若“x ∈N ”是“x M ∈”的必要条件，求a 的取值范围．【答案】（1）164⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，；（2）124⎡⎫--⎪⎢⎣⎭，． 【分析】（1）利用参数分离法将m 用x 表示，结合二次函数的性质求出m 的取值范围，从而可求集合M ；（2）若x ∈N 是x M ∈的必要条件，则M N ⊆即可得到不等式，从而求出参数的取值范围；【详解】解：（1）由题意可知20x x m --=，所以221124m x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，因为{}|22x x x ∈-<<，所以21116244x ⎛⎫⎡⎫--∈- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，，即164m -≤<，则实数m 的取值集合M=164⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，； （2）由()()80x a x a ---<，可得()8N a a =+，，因为“x N ∈”是“x M ∈”的必要条件，所以M N ⊆，则1486a a ⎧<-⎪⎨⎪+≥⎩，解得124a -≤<-，所以a 的取值范围为124⎡⎫--⎪⎢⎣⎭，． 【点睛】本题考查必要条件求参数的取值范围，一般可根据如下规则判断计算： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）若p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）若p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）若p 是q 的既不充分又不必要条件，则q 对的集合与p 对应集合互不包含． 18．已知ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足()sin sin sin a A c C a b B -=-.（1）求角C 的大小；（2）若边长3c =ABC 的周长最大值. 【答案】（1）3π；（2）33【分析】（1）利用正弦定理边角互化可得出222a b c ab +-=，利用余弦定理求出cos C 的值，再结合角C 的取值范围可求得角C 的值；（2）利用正弦定理结合三角函数可得2336π⎛⎫++=+⎪⎝⎭a b c A ，由203A π<<可得5666A πππ<+<，结合正弦函数的基本性质可求得ABC 的周长最大值.【详解】（1）()sin sin sin a A c C a b B -=-，根据正弦定理得，()22a c ab b -=-，即222a b c ab +-=，由余弦定理得2221cos 22a b c C ab +-==.又()0,C π∈，所以3C π=；（2）3C π=，3c =23A B π+=，由正弦定理得32sin sin sin 3a b cA B C ====，可得：2sin a A =，22sin 2sin 3b B A π⎛⎫==-⎪⎝⎭，23132sin 2sin 32sin 2sin 32a b c A A A A A π⎫⎛⎫∴++=+-=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭3sin 3cos 323sin 36A A A π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭由203A π<<可得5666A πππ<+<，可得1sin 126A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭.(23323,336a b c A π⎛⎫∴++=+ ⎪⎝⎭.因此，ABC 的周长的最大值为33【点睛】方法点睛： 1.解三角形的基本策略：（1）利用正弦定理实现“边化角”； （2）利用余弦定理实现“角化边”；2.求三角形周长的最值也是解三角形中一种常见类型的问题，主要方法有两类： （1）找到边与边的关系，利用余弦定理列等式，结合基本不等式求最值；（2）利用正弦定理，转化为关于某个角为自变量的三角函数，利用函数思想的求最值. 19．数列{}n a 满足()()1123231221n n a a a na n n +++++=-+≥.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设21n nn b a +=，n S 为数列{}n b 的前n 项和，求n S . 【答案】（1）2nn a =；（2）()12552nn S n ⎛⎫ ⎪⎝=⎭-+⋅+ 【分析】（1）直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式； （2）利用（1）的结论，进一步利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和． 【详解】解：（1）由题意，12a =.由()()1123231221n n a a a na n n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+≥，① 得()()()12312312222nn a a a n a n n -+++⋅⋅⋅+-=-⋅+≥，②①-②，得()()()112222222n n nn na n n n n +⎡⎤⎡⎤=-⋅+--⋅+=⋅≥⎣⎦⎣⎦，所以()22nn a n =≥又因为当1n =时，上式也成立，所以数列{}n a 的通项公式为2nn a =.（2）由题意，21212n n n n n b a ++==，所以 123123357212222n n n n S b b b b +=+++⋅⋅⋅=+++⋅⋅⋅， ③ 234113572121222222n n n n n S +++=+++⋅⋅⋅++， ④ ③-④，得123234113572135721212222222222n n n n n n n S ++++⎡⎤⎡⎤=+++⋅⋅⋅-+++⋅⋅⋅++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 234131111212222222n n n ++⎛⎫=++++⋅⋅⋅+- ⎪⎝⎭ 111122121212212nn n +⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=+⨯--()1512522n n +⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭从而()12552nn S n ⎛⎫ ⎪⎝=⎭-+⋅+.【点睛】数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．20．如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，1AD DC BC ===，60ABC ∠=︒，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，1CF =，设点M 在线段EF 上运动.（1）证明：BC AM ⊥；（2）设平面MAB 与平面FCB 所成锐二面角为θ，求θ的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）3π.【分析】（1）由平面几何知识，余弦定理可得BC AC ⊥.，再由面面垂直、线面垂直的性质可得证；（2）由（1）可建立分别以直线CA ，CB ，CF 为x 轴，y 轴，z 轴的如图所示的空间直角坐标系，令(03FM λλ=≤≤，由二面角的向量求解方法可表示()2cos 34θλ=-+，由二次函数的性质可求得最值.【详解】（1）证明：在梯形ABCD 中，因为//AB CD ，1===AD DC CB ，60ABC ∠=︒，所以2AB =，所以2222cos603AC AB BC AB BC =+-⋅⋅︒=， 所以222AB AC BC =+，所以BC AC ⊥.因为平面ACFE ⊥平面ABCD ，平面ACFE ⋂平面ABCD AC =， 因为BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面ACFE .所以BC ⊥AM ；（2）解：由（1）可建立分别以直线CA ，CB ，CF 为x 轴，y 轴，z 轴的如图所示的空间直角坐标系，令(03FM λλ=≤≤，则()0,0,0C ，)3,0,0A，()0,1,0B ，(),0,1M λ.∴()3,1,0AB =-，(),1,1BM λ=-.设(),,n x y z =为平面MAB 的一个法向量，由00n AB n BM ⎧⋅=⎨⋅=⎩得30,0,x y x y z λ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，取1x =，则()1,3,3n λ=，∵()1,0,0m =是平面FCB 的一个法向量，∴()()22||cos 133134n m n mθλλ⋅===++-⨯-+∵03λ≤≤∴当3λ=cos θ有最大值12，θ的最小值为3π.【点睛】向量法求二面角的步骤：建、设、求、算、取.1、建：建立空间直角坐标系.以三条互相垂直的垂线的交点为原点，没有三垂线时需做辅助线;建立右手直角坐标系,让尽量多的点落在坐标轴上。
河南省豫南九校2020-2021学年高二上学期第一次联考(9月)数学(文)试题
，则
是（ ）
B．等边三角形 D．等腰直角三角形
5. 已知数列 满足 A．
河南省豫南九校2020-2021学年高二上学期第一次联考（9月）数学（文）试题
，
，则 的最小值为（ ）
B．
C．
D．
6. 我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设
，则“三斜求积”公式为
，若
,
为（ ）
河南省豫南九校2020-2021学年高二上学期第一次联考（9月）数学（文）试题
一、单选题
1. 已知数列 A．39
为等差数列，
， B．38
，则
（）
C．35
D．33
2. 在
中，
，
，
，则
（）
A．
B．
C．
D．
3. 已知等差数列 的前 项和为 ，若
，
，则
（）
A．
B．4
C．
D．
பைடு நூலகம்4. 在
中，若
A．直角三角形 C．钝角三角形
，
，
，则
16. 已知数列 ___．
满足
， 为 的前 项和，记
三、解答题
17. 已知公差不为零的等差数列{an}中，a3＝7，又a2，a4，a9成等比数列． （1）求数列{an}的通项公式；
，数列 的前 项和为 ，则
___
（2）设bn＝
，求数列{bn}的前n项和Sn．
河南省豫南九校2020-2021学年高二上学期第一次联考（9月）数学（文）试题
， C．3
， ，则
的内切圆的半径为（ ）
D．
二、填空题
13. 已知等差数列 的前 项和为 ，且
河南省豫南九校高二数学上学期第一次联考(10月)试题 文(含解析)
豫南九校2017—2018学年上学期第一次联考高二数学（文科）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知角α的终边过点P（3a，4a），且a<0，那么cosα等于（）A. -B.C. -D.【答案】C【解析】由题意得，选C.2. 已知向量=（sinα，cosα），=（cosβ，sinβ），且∥，若α，β[0,]，则α＋β=（）A. 0B.C.D.【答案】B【解析】由向量平行可得，即，选B.3. 已知数列{a n}是等比数列，数列{b n}是等差数列，若a1·a5·a9=-8，b2+b5+b8=6，则的值是（）A. B. C. - D. -【答案】C【解析】由题意得a1·a5·a9=，b2+b5+b8=，所以=，选C.4. 若向量=（1，x），=（2x+3，-x）互相垂直，其中x R，则等于（）A. -2或0B. 2C. 2或-2D. 2或10【答案】D【解析】同两向量垂直可得或x=-1,当x=3时=，当x=-1时，=，选D.5. 已知α（-，0）且sin2α=-，则sinα+cosα=（）A. B. - C. - D.【答案】A【解析】,又α（-，0），所以，且，，所以，选A.6. △ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若<cosA，则△ABC为（）A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 等边三角形【答案】A【解析】由正弦定理可得，即，所以是钝角，选A.7. 已知数列{a n}是等差数列，若，且它的前n项和S n有最大值，则使得S n>0的n的最大值为（）A. 11B. 12C. 21D. 22【答案】C【解析】由题意得，由前n项和S n有最大值可知等差数列{a n}为递减，d<0.所以，所以，所以n=21,选C.8. 不解三角形，确定下列判断中正确的是（）A. b=9，c=10，B=60°，无解B. a=7，b=14，A=30°，有两解C. a=6，b=9，A=45°，有两解D. a=30，b=25，A=150°，有一解【答案】D【解析】A选项，两解，错。
河南省豫南九校2020学年高二上学期第一次联考数学文试题含解析
豫南九校2017—2018学年上学期第一次联考高二数学(文科)试题一、选择题：本题共 12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的.1 .已知角”的终边过点P (3a, 4a),且a<0,那么cos”等于() A. J B. 4 C. -2 D.g 5 pi P【答案】C【解析】由题意得 t ■ 加»+《桶1- -5a.cosa --- —a._k-i.c , cos a ) , b = (cos 3, sin 3 ),且若 3=()竟3 A. 0 B. C. f D. * 2 4【答案】B【解析】由向量平行可得 号inginp cosmosP 0,即息以以+- 0. ct +。
E [0曰[0 一，选B.3.已知数列於是等比数列，数列｛b n ｝是等差数列'若…5"-8,b2+b5 + b8=6，4t的值是() 1 祗 1 A '5 A. - B. 匚 C. - D.-2222【答案】C【解析】由题意得 a1 , a 5 , a 9=；： 口 ■ K&i5 n -2总科.杭4, b2+b5+b8=3b / 5g 2g 有 ■ 2b 广 财,所以4 .若向量a = (1, x) , b = (2x+3, -x)互相垂直，其中 x E R,则履-等于()【答案】D【解析】同两向量垂直可得0.二乂7或*=-1,当x=3时= = -2x-2,2x)| - 10 ,当1 T a 】r%「0总11'/:<0现丁-（,所以%］ -21的］>03”-2M —广产03都三2胡仁40,所以n =21, 选C. 8.不解三角形，确定下列判断中正确的是（ ）A. b=9 , c=10, B=60° ,无解B. a=7 , b=14, A=30° ,有两解C. a=6 , b=9, A=45 ,有两解D. a=30, b=25, A=150° ,有一解-，选 C.2.已知向量==(sin A. -2 或 0 B. 2 C. 2 或-2 D. 2 或 10x=-1 时，a - bj=(-2s 2.2x)| 2,选D.一一一，走.一24. ，、5 .已知a E (- , 0)且sin2 a =-，则sin a +cos a =( )4 25A. 1B.- ”.- ”.：【答案】A24 % 、【解析】si心s * =《_，又”E （-/ 0）,所以甫na- 且日历Q1戊涮x>0，sm1 2 3a 4cos"a + 2制1】俎必建一（sum -+ cusa）" " I " ，所以25 25sma + txisa ,选A.56 . MBC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c,若耳<cosA,则△ ABC为（）bA.钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 等边三角形【答案】A【解析】由正弦定理可得sinC f sjnBcosA^inCA *B）*- sinBcosA,即？■仇依解口♦. 0 ,所以£B是钝角,选A.7 .已知数列｛an｝是等差数列，若—+ 1 且它的前n项和S有最大值，则使得Sn>0的n的*11最大值为（）A. 11B. 12C. 21D. 22【答案】Cbi，十口11【解析】由题意得一.D,由前n项和$有最大值可知等是数列｛an｝为递减，d<0.所以【答案】D【斛析】A选项阳nB = —〈两斛，错。
河南省郑州市2023-2024学年高二上学期10月联考试题 数学含解析
2023－2024学年高二年级阶段性测试（一）数学（答案在最后）考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.经过点(2,1)-且与直线320x y +-=平行的直线方程为（）A.370x y --= B.350x y +-= C.350x y ++= D.3+70x y -=2.已知x ∈R ，则直线2(10x a y +++=的倾斜角的取值范围是（）A.π5π(,]26B.[,)65ππ C.π2π(,23D.2π[,π]33.如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，且3AB CD =，点O 为空间内任意一点，设,OA a OB b ==，OC c= ，则向量OD=（）A.3a b c-+B.3a b c--C.1133a b c-++D.1133a b c -+4.若直线20ax y +=与直线2(1)(1)0x a y a +++-=平行，则a 的值是（）A.1或2- B.1- C.2- D.2或1-5.已知点()1,2,3A ，()1,1,0B ，()0,1,1C ，则下列向量是平面ABC 的法向量的是（）A.()1,3,1-- B.()1,3,1---C.()1,3,1 D.()1,3,1-6.已知点(0,0,0),(1,2,2),(2,1,1),(1,0,2)O A B P ，点Q 在直线OP 上运动，当QA QB ⋅取得最小值时，点Q 的坐标是（）A.99(,0,)105B.99(,0,105--C.510(,0,33D.510(,0,)33--7.在我国古代的数学名著《九章算术》中，堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，鳖臑指的是四个面均为直角三角形的三棱锥.如图，在堑堵111ABC A B C -中，190,2,4ACB AB AA ︒=∠==，当鳖臑1A ABC -的体积最大时，直线1B C 与平面11ABB A 所成角的正弦值为（）A.6B.10C.6D.108.在ABC 中，已知(1,1),(3,5)A B --，若直线:260m x y ++=为ACB ∠的平分线，则直线AC 的方程为（）A.210x y -+=B.67130x y +-=C.2350x y +-= D.1x =二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知平面α内有一点(1,1,1)M -，平面α的一个法向量为(4,1,0)n =-，则下列点中不在平面α内的是（）A.(2,3,2)A B.(2,0,1)B - C.(4,4,0)C - D.(3,3,4)D -10.已知点(1,3),(5,1)A B -到直线l 的距离相等，则直线l 的方程可以是（）A.380x y --=B.340x y ++=C.360x y -+=D.220x y ++=11.下列结论中正确的是（）A.若直线l 的方向向量为(0,1,2)a = ，直线m 的方向向量为(2,2,1)b =-，则l m⊥B.若直线l 的方向向量为(1,1,2)k =- ，平面α的法向量为(2,2,0)n =，则//l αC.若两个不同平面,αβ的法向量分别为121(4,2,1),(2,1,2n n =-=-- ，则//αβD.若平面α经过三点(1,1,1),(0,1,1),(1,2,0)A B C ----，向量(,,)c s u t =是平面α的法向量，则u t=-12.已知动直线:(2)40(R),:(2)0l a x ay a l ax a y '-++=∈--=，则下列结论中正确的是（）A .直线l '恒过第四象限B.直线l 可以表示过点(2,2)-的所有直线C.原点到直线l 的距离的取值范围是(0,D.若l 与l '交于点,(2,2),(0,0)P A O -，则||||PA PO +的取值范围是4]三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知点P 在直线230x y +-=上，且位于第一象限，若P 点到直线240x y --=P 点的坐标为______.14.已知点(2,1,1)A -，(3,2,1)B -，(0,1,1)C -，则AB 在AC上的投影向量的模为______.15.若三条互不重合的直线,43,10y x x y mx y m =-+=++-=不能围成三角形，则m =______.16.在平面四边形ABCD 中，,1,AD CD CD AD ⊥==，等腰三角形ABC 的底边AC 上的高2，沿直线AC 将ACD 向上翻折α角至ACD '△，若cos (0,1)α∈，则直线AC 与BD '所成角的余弦值的取值范围是______.四、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知直线l 经过直线12:34110, :2380l x y l x y +-=+-=的交点M ．（1）若直线l 经过点(3,1)P ，求直线l 的方程;（2）若直线l 与直线3250x y ++=垂直，求直线l 的方程．18.已知直线1:(2)60l m x my ++-=和直线2:30l mx y +-=，其中m 为实数．（1）若12l l ⊥，求m 的值;（2）若点(1,2)P m 在直线2 l 上，直线l 过P 点，且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍，求直线l 的方程．19.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，122,90,2CA CB BCA AA ︒∠====，,M N 分别为111,AA A B 的中点．以C 为坐标原点，直线1,,CA CB CC 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系C xyz -．（1）设平面1C MN 的法向量为(,,2)m x y =，求,x y 的值;（2）求异面直线MN 与1B C 所成角的余弦值.20.已知直线:1l y kx k =+-．（1）求证：直线l 过定点；（2）若当44x -<<时，直线l 上的点都在x 轴下方，求k 的取值范围；（3）若直线l 与x 轴、y 轴形成的三角形面积为1，求直线l 的方程．21.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，π3ABC ∠=，O 为线段AC 与BD 的交点，PO ⊥平面ABCD ，3PO =，BE PD ⊥于点E ．（1）证明：//OE 平面PAB ；（2）求二面角A PB C --的余弦值．22.如图，在三棱锥-P ABC 中，,,AB AC AP 两两互相垂直，,,D E N 分别为棱,,PA PC BC 的中点，M 是线段AD 的中点，且,42,25PA AC PC BC ===（1）求证：//MN 平面BDE ．（2）在棱PA 上是否存在一点H ，使得直线NH 与平面BDE 所成的角为π4，若存在，求线段AH 的长；若不存在，请说明理由．2023－2024学年高二年级阶段性测试（一）数学考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.经过点(2,1)-且与直线320x y +-=平行的直线方程为（）A.370x y --=B.350x y +-=C.350x y ++= D.3+70x y -=【答案】B 【解析】【分析】设直线方程为30x y m ++=，代入已知点坐标求得参数值即得．【详解】设直线方程为30x y m ++=，又直线过点(2,1)-，所以610m -+=，5m =-，即直线方程为350x y +-=．故选：B ．2.已知x ∈R ，则直线2(10x a y +++=的倾斜角的取值范围是（）A.π5π(,]26B.[,)65ππ C.π2π(,23D.2π[,π]3【答案】B 【解析】【分析】设直线的倾斜角为α，根据题意求得33k ≥-，得到3tan 3α≥-，即可求解.【详解】设直线的倾斜角为(0π)αα≤<，由直线2(10x a y +++=，可得斜率为33k =≥-，即tan 3α≥-，解得56παπ≤<，即直线的倾斜角的取值范围为[,)65ππ.故选：B.3.如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，且3AB CD =，点O 为空间内任意一点，设,OA a OB b ==，OC c= ，则向量OD=（）A.3a b c-+B.3a b c--C.1133a b c-++D.1133a b c -+【答案】D 【解析】【分析】由已知及几何体中对应线段的位置关系，应用向量加减、数乘的几何意义用,,OA OB OC 表示出OD即可.【详解】13OD OA AD OA AB BC CD OA AB OC OB AB=+=+++=++-- 211()333OA OB OA OC OB OA OB OC =+-+-=-+ 1133a b c =-+ .故选：D4.若直线20ax y +=与直线2(1)(1)0x a y a +++-=平行，则a 的值是（）A.1或2- B.1- C.2- D.2或1-【答案】C 【解析】【分析】根据两直线平行的条件，列出方程组，即可求解.【详解】由直线20ax y +=与直线2(1)(1)0x a y a +++-=平行，可得2(1)2110a a a +=⨯⎧⎨-≠⎩，解得2a =-，所以实数a 的值为2-.故选：C.5.已知点()1,2,3A ，()1,1,0B ，()0,1,1C ，则下列向量是平面ABC 的法向量的是（）A.()1,3,1-- B.()1,3,1---C.()1,3,1 D.()1,3,1-【答案】A 【解析】【分析】表示出向量,AB AC ，根据法向量定义，依次验证各选项中的向量与,AB AC是否都垂直即可.【详解】由题意知：()0,1,3AB =-- ，()1,1,2AC =---，对于A ，()()1,3,10,1,30330--⋅--=-+= ，()()1,3,11,1,21320--⋅---=-+=，()1,3,1∴--与,AB AC均垂直，()1,3,1∴--是平面ABC 的一个法向量，A 正确；对于B ，()()1,3,11,1,21326---⋅---=++= ，()1,3,1∴---与AC不垂直，()1,3,1∴---不是平面ABC 的一个法向量，B 错误；对于C ，()()1,3,10,1,30336⋅--=--=- ，()1,3,1∴与AB不垂直，()1,3,1∴不是平面ABC 的一个法向量，C 错误；对于D ，()()1,3,10,1,30336-⋅--=--=- ，()1,3,1∴-与AB不垂直，()1,3,1∴-不是平面ABC 的一个法向量，D 错误.故选：A.6.已知点(0,0,0),(1,2,2),(2,1,1),(1,0,2)O A B P ，点Q 在直线OP 上运动，当QA QB ⋅取得最小值时，点Q的坐标是（）A.99(,0,)105B.99(,0,105--C.510(,0,33D.510(,0,)33--【答案】A 【解析】【分析】根据题意，设点(,0,2)Q t t ，结合向量的数量积的运算公式，得到2596t t QA QB =-+⋅，根据二次函数的性质，即可求解.【详解】因为点Q 在直线OP 上运动，且(1,0,2)P ，设点(,0,2)Q t t ，可得,(1,2,22)(2,1,12)QA Q t B t t t =--=--，则2(1)(2)21(22)(12)596QA QB t t t t t t =--+⋅⨯+--=-+，根据二次函数的性质，可得910t =时，QA QB ⋅ 取得最小值，此时点Q 的坐标为99(,0,)105.故选：A.7.在我国古代的数学名著《九章算术》中，堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，鳖臑指的是四个面均为直角三角形的三棱锥.如图，在堑堵111ABC A B C -中，190,2,4ACB AB AA ︒=∠==，当鳖臑1A ABC -的体积最大时，直线1B C 与平面11ABB A 所成角的正弦值为（）A.6B.10C.6D.10【答案】C 【解析】【分析】先根据鳖臑1A ABC -体积最大求出AC 和BC 的值，建系求出各点坐标，利用向量即可求出直线1B C 与平面11ABB A 所成角的正弦值.【详解】在堑堵111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，2AB =，14AA =，1112||||||||||2313ABC A V AC BC AA AC BC -⋅⋅⋅⋅==⋅ ，222||||||||||()2||||2||4AC BC B C AC B B A C C C C A ++=+⋅⋅≤ ，22||4||BC AC += ，||||2AC BC ∴⋅≤，当且仅当||||AC BC ==是等号成立，即当鳖臑1A ABC -的体积最大时，||||AC BC ==，以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，1CC 为z轴，建立空间直角坐标系，14)B ，(0,0,0)C，A，B，1(0,4)B C =-，BA =，1(0,0,4)BB = ，设平面11ABB A 的法向量n(,,)x y z =，则1040n BA n BB z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，取1x =，得(1,1,0)n = ，设直线1B C 与平面11ABB A 所成角为θ，则11||6|s |in ||C C B n B n θ⋅==⋅，∴直线1B C 与平面11ABB A所成角的正弦值为6．故选：C ．8.在ABC 中，已知(1,1),(3,5)A B --，若直线:260m x y ++=为ACB ∠的平分线，则直线AC 的方程为（）A.210x y -+= B.67130x y +-=C.2350x y +-=D.1x =【答案】D 【解析】【分析】根据点关于线的对称求解B 关于直线:260m x y ++=的对称点()1,3B '-，即可根据两点求解AB '的方程,即可求解直线AC 方程.【详解】过B 作B 关于直线:260m x y ++=的对称点B '，则B '在直线AC 上，设(),B m n '，根据BB m '⊥且BB '的中点在直线m 上，得()35260225213m n n m --⎧⨯++=⎪⎪⎨+⎪⨯-=-⎪+⎩，解得1,3m n ==-，所以()1,3B '-，又(1,1)A ，所以直线AB '方程为1x =，故AC 方程为1x =，故选：D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知平面α内有一点(1,1,1)M -，平面α的一个法向量为(4,1,0)n =-，则下列点中不在平面α内的是（）A.(2,3,2)A B.(2,0,1)B - C.(4,4,0)C - D.(3,3,4)D -【答案】BCD 【解析】【分析】根据空间向量的坐标表示，依次判断n AM ⋅ ，n BM ⋅ ，n CM ⋅ ，n DM ⋅是否为0即可.【详解】对于A ，()1,4,1AM =--- ，()()()41+1400n AM ⋅=⨯--⨯-+= ，所以n AM ⊥，又因为M ∈平面α，所以A ∈平面α.对于B ，()3,1,0BM =- ，()()43+11013n BM ⋅=⨯-⨯-+= ，所以n 与BM 不垂直，又因为M ∈平面α，所以B ∉平面α.对于C ，()5,5,1CM =- ，()()45+15025n CM ⋅=⨯-⨯-+= ，所以n 与CM不垂直，又因为M ∈平面α，所以C ∉平面α.对于D ，()2,2,3DM =-- ，()()42+12010n DM ⋅=⨯--⨯+=- ，所以n 与DM不垂直，又因为M ∈平面α，所以D ∉平面α.故选：BCD10.已知点(1,3),(5,1)A B -到直线l 的距离相等，则直线l 的方程可以是（）A.380x y --=B.340x y ++=C.360x y -+=D.220x y ++=【答案】ABD 【解析】【分析】根据题意可得直线l 过线段AB 的中点或//l AB ，再逐一检验各个选项即可.【详解】由点(1,3),(5,1)A B -到直线l 的距离相等，得直线l 过线段AB 的中点或//l AB ，对于A ，直线AB 的方程为311351y x --=---，即380x y -+=，故A 选项符合；对于B ，将线段AB 的中点()2,2-代入得()32240⨯-++=，所以直线340x y ++=过线段AB 的中点，故B 符合；对于C ，将线段AB 的中点()2,2-代入得()322620⨯--+=-≠，所以直线360x y -+=不过线段AB 的中点，故C 不符合；对于D ，将线段AB 的中点()2,2-代入得()22220⨯-++=，所以直线220x y ++=过线段AB 的中点，故D 符合.故选：ABD .11.下列结论中正确的是（）A.若直线l 的方向向量为(0,1,2)a = ，直线m 的方向向量为(2,2,1)b =-，则l m⊥B.若直线l 的方向向量为(1,1,2)k =- ，平面α的法向量为(2,2,0)n =，则//l αC.若两个不同平面,αβ的法向量分别为121(4,2,1),(2,1,2n n =-=-- ，则//αβD.若平面α经过三点(1,1,1),(0,1,1),(1,2,0)A B C ----，向量(,,)c s u t =是平面α的法向量，则u t=-【答案】AC 【解析】【分析】由直线的方向向量垂直得直线垂直，由直线的方向向量与平面的法向量垂直得直线与平行的位置关系，由两平面的法向量平行得平面平行，由平面的法向量与平面的向量垂直得参数关系，从而判断各选项．【详解】选项A ，由于0220a b ⋅=+-= ，即a b ⊥，∴l m ⊥，A 正确；选项B ，∵2200k n ⋅=-++=，所以//l α或l ⊂α，B 错；选项C ，122n n =- ，即12//n n，∴//αβ，C 正确；选项D ，(1,2,0),(2,3,1)AB AC =-=- ，c 平面α的法向量，则20230c AB s u c AC s u t ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，202s u s u -+=⇒=，代入230s u t -++=得t u =，D 错．故选：AC ．12.已知动直线:(2)40(R),:(2)0l a x ay a l ax a y '-++=∈--=，则下列结论中正确的是（）A.直线l '恒过第四象限B.直线l 可以表示过点(2,2)-的所有直线C.原点到直线l的距离的取值范围是(0,D.若l 与l '交于点,(2,2),(0,0)P A O -，则||||PA PO +的取值范围是4]【答案】CD 【解析】【分析】A 令2a =判断即可；B 求出直线所过的定点判断；C 利用点线距离公式及二次函数性质求范围；D易知l l '⊥，则222||||||8PA PO OA +== ，应用基本不等式、三角形三边关系求范围.【详解】A ：当2a =时，:0l x '=，显然不过第四象限，错；B ：由:()240l a x y x +-+=，令0420x y x +=⎧⎨-=⎩，则直线l 恒过(2,2)-，由0x y +=也过点(2,2)-，但对于直线l ，无论a 取何值都不可能与直线0x y +=重合，所以直线l 不可以表示过点(2,2)-的所有直线，错；C ：原点到直线l 的距离d ==，R a ∈，则(0,d ∈，对；D ：由(2)(2)0a a a a ---=，即l l '⊥，如下图90APO ∠=︒，则222||||||8PA PO OA +==，所以222(||||)||||82PA PO PA PO ++=≥ ，即||||4PA PO +≤ ，当且仅当||||2PA PO == 时等号成立，又||||||PA PO OA +≥=P 与A 重合时等号成立，故||||PA PO +的取值范围是4]，对.故选：CD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知点P 在直线230x y +-=上，且位于第一象限，若P 点到直线240x y --=P 点的坐标为______.【答案】(1,1)【解析】【分析】根据题意，设点(),32P a a -，结合点到直线的距离公式，代入计算，即可得到结果.【详解】由点P 在直线230x y +-=上，可设点(),32P a a -，因为P 点到直线240x y --==5105a -=，解得1a =或3a =，当1a =时，()1,1P 位于第一象限，满足题意；当3a =时，()3,3P -位于第四象限，不满足题意，所以P 点的坐标为()1,1.故答案为：()1,1.14.已知点(2,1,1)A -，(3,2,1)B -，(0,1,1)C -，则AB在AC上的投影向量的模为______.【答案】3【解析】【分析】首先求出AB 、AC的坐标，即可得到AB AC ⋅uu u r uuu r 、AC ，最后根据AB AC AC⋅ 计算可得.【详解】因为(2,1,1)A -，(3,2,1)B -，(0,1,1)C -，所以()()()3,2,12,1,11,1,0AB =---=-，()()()0,1,12,1,12,2,2AC=---=-- ，所以()()()1212024A C B A =⨯-+-⨯+⨯-=-⋅，AC =所以AB 在AC上的投影向量的模为3A A B AC C⋅=.故答案为：23315.若三条互不重合的直线,43,10y x x y mx y m =-+=++-=不能围成三角形，则m =______.【答案】4【解析】【分析】根据题意，分类讨论三条直线交于一点和三条直线有两条直线平行，即可得到答案.【详解】当三条直线交于同一点时，1431y x x x y y =-=⎧⎧⇒⎨⎨+==-⎩⎩，即交点为()1,1-.将()1,1-代入10mx y m ++-=，解得1m =，直线为0x y +=，与y x =-重合，舍去.当y x =-与10mx y m ++-=平行时，即1m -=-，解得1m =，舍去.当43x y +=与10mx y m ++-=平行时，4m -=-，解得4m =，此时直线为430x y ++=，符合题意.故答案为：416.在平面四边形ABCD 中，,1,AD CD CD AD ⊥==，等腰三角形ABC 的底边AC 上的高302，沿直线AC 将ACD 向上翻折α角至ACD '△，若cos (0,1)α∈，则直线AC 与BD '所成角的余弦值的取值范围是______.【答案】,)219【解析】【分析】取AC 中点O ，连接OB ，过点O 作Oz ⊥平面ABC ，以点O 为原点建立空间直角坐标系，设二面角D AC B '--的大小为β，把直线A C 与BD '所成角的余弦表示为β的函数，求出函数最大值作答.【详解】因为,1,AD CD CD AD ⊥==，所以AC ==，又因为腰三角形ABC 的底边AC 上的高2，所以3AB BC ===，过D 作DH AC ⊥于H ，连接D H '，如图，显然D H AC '⊥，ACD 绕直线AC 旋转过程中，线段DH 绕点H 在垂直于直线AC 的平面γ内旋转到D H '，取AC 中点O ，连接OB ，因3AB BC ==，有OB AC ⊥，2OB ==，,663CD AD D H DH CH OH AC ⋅'=====，过点O 作Oz ⊥平面ABC ，以点O 为原点，射线,,OB OA Oz 分别为,,x y z 轴非负半轴，建立空间直角坐标系，则(0,,0)2A，,0,0)2B，(0,,0)2C -，显然有//Oz 平面γ，设二面角D AC B '--的大小为β，有cos ,,sin )636D ββ-'，因为沿直线AC 将ACD 向上翻折α角至ACD '△，且cos (0,1)α∈，所以cos 06β<，即cos 0β<，所以()cos 1,0β∈-，则有cos ,,sin )6236BD ββ=--' ，CA的方向向量为(0,1,0)n = ，设直线AC 与BD '所成的角为θ，于是得3cos cos ,n BD n BD n BD θ'''⋅=〈〉===，因设二面角D AC B '--的大小为β，()cos 1,0β∈-，于是得cos 219θ<=<，所以直线AC 与BD '所成角的余弦值的取值范围是:216,219.故答案为：216,219【点睛】方法点睛：对于立体几何的综合问题的解答方法：（1）立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动态角的范围等问题，解决方法一般根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程；（2）对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设；（3）对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在.四、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知直线l 经过直线12:34110, :2380l x y l x y +-=+-=的交点M ．（1）若直线l 经过点(3,1)P ，求直线l 的方程;（2）若直线l 与直线3250x y ++=垂直，求直线l 的方程．【答案】（1）250x y +-=（2）2340x y -+=【解析】【分析】（1）联立方程求得交点坐标，再由两点式求出直线方程.（2）根据直线垂直进行解设方程，再利用交点坐标即可得出结果.【小问1详解】由341102380x y x y +-=⎧⎨+-=⎩得12x y =⎧⎨=⎩，即直线1l 和2l 的交点为(1,2)M ．直线l 还经过点()3,1P ，∴l 的方程为211231y x --=--，即250x y +-=．【小问2详解】由直线l 与直线3250x y ++=垂直，可设它的方程为230x y n -+=．再把点(1,2)M 的坐标代入，可得260n -+=，解得4n =，故直线l 的方程为2340x y -+=.18.已知直线1:(2)60l m x my ++-=和直线2:30l mx y +-=，其中m 为实数．（1）若12l l ⊥，求m 的值;（2）若点(1,2)P m 在直线2 l 上，直线l 过P 点，且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍，求直线l 的方程．【答案】（1）3m =-或0（2）20x y -=或250x y +-=．【解析】【分析】（1）利用直线垂直的条件分类讨论斜率情况计算即可；（2）将点P 坐标带入直线方程先计算得(1,2)P ，再利用点斜式求截距，计算即可.【小问1详解】若0m =，则直线1:260l x -=，即3x =，2:3l y =，两直线垂直，符合题意；若0m ≠，则2()1m m m+-⋅-=-，解得3m =-．综上，3m =-或0.【小问2详解】由(1,2)P m 在直线2l 上，得230m m +-=，解得1m =，可得(1,2)P ，显然直线l 的斜率一定存在且不为0，不妨设直线l 的方程为2(1)y k x -=-，令0x =，可得2y k =-，再令0y =，可得2k x k-=，所以22(2)k k k -=-，解得2k =或12k =-，所以直线l 的方程为22(1)y x -=-或12(1)2y x -=--，即20x y -=或250x y +-=．19.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，122,90,2CA CB BCA AA ︒∠====，,M N 分别为111,AA A B 的中点．以C 为坐标原点，直线1,,CA CB CC 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系C xyz -．（1）设平面1C MN 的法向量为(,,2)m x y =，求,x y 的值;（2）求异面直线MN 与1B C 所成角的余弦值.【答案】（1）12x y =⎧⎨=-⎩（2）53【解析】【分析】（1）由法向量与平面内的两个不共线向量垂直（数量积为0）求解；（2）由空间向量法求异面直线所在角（求出两异面直线的方向向量夹角的余弦值即可得）．【小问1详解】由题可知111(0,0,0),(0,0,2),(0,1,2),(1,,2),(2,0,1)2C C B M N ，111(1,,0),(2,0,1)2C M C N ==- ，则110,0,m C M m C N ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0,2220,y x x ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩解得12x y =⎧⎨=-⎩；【小问2详解】11(1,,1),(0,1,2)2MN CB =--= ，∴11510()11222MN CB ⋅=⨯+-⨯-⨯=- ，又13||,||52MN CB ==，∴111cos ,3MN CB MN CB MN CB ⋅==-⋅ ，故异面直线MN 与1B C所成角的余弦值为3．20.已知直线:1l y kx k =+-．（1）求证：直线l 过定点；（2）若当44x -<<时，直线l 上的点都在x 轴下方，求k 的取值范围；（3）若直线l 与x 轴、y 轴形成的三角形面积为1，求直线l 的方程．【答案】（1）证明见解析（2）11[,35-（3）(21y x =++或(21y x =+-【解析】【分析】（1）由直线方程观察得定点坐标即证；（2）由4x =±时对应点的纵坐标不小于0可得；（3）求出直线与坐标轴的交点坐标，再计算三角形面积从而得直线的斜率，即得直线方程．【小问1详解】由1y kx k =+-，得1(1)y k x +=+．由直线方程的点斜式可知，直线l 过定点(1,1)--；【小问2详解】若当44x -<<时，直线l 上的点都在x 轴下方，则410,410,k k k k -+-≤⎧⎨+-≤⎩解得1135k -≤≤，所以k 的取值范围是11[,]35-；【小问3详解】设直线l 与x 轴的交点为A ，与y 轴的交点为B ，坐标原点为O ．当0x =时，得||||1|OB k =-，当0y =时，得|1|||||k OA k -=，所以11|1||||||1|22||AOB k S OA OB k k -==-⨯△，即211|1|12||k k -⨯=，解得2k =+或2，所以直线l 的方程为(21y x =+++或(21y x =-+-21.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，π3ABC ∠=，O 为线段AC 与BD 的交点，PO ⊥平面ABCD ，3PO =，BE PD ⊥于点E ．（1）证明：//OE 平面PAB ；（2）求二面角A PB C --的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）513【解析】【分析】（1）根据线面垂直可得线线垂直证得PBD △是等边三角形，利用中位线的性质证线线平行即可判定线面平行；（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量求二面角即可.【小问1详解】易知O 是BD 的中点，∵PO ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴PO BD ⊥，则PB PD =．∵菱形ABCD 的边长为2，π3ABC ∠=，易得BD OB ==∴tan PO PBO OB ∠==，即π3PBD ∠=，∴PBD △是等边三角形，∵BE PD ⊥，∴E 是PD 的中点，∴//OE PB ，又OE ⊄平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，∴//OE 平面PAB ；【小问2详解】由（1）及条件易知,,OC OD OP 两两互相垂直，以O 为坐标原点，分别以,,OC OD OP 所在直线为x 轴、y 轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,3),(1,0,0),(0,(1,0,0)P A B C -，∴(1,0,3),(1,0,3)BP AP CP ===-，设平面PAB 的一个法向量为(,,)n x y z = ，则3030n BP z n AP x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令13,z x y =⇒=-=(3,n =- ，设平面PBC 的法向量为(,,)m a b c = ，则30,30,m BP c m AP a c ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩令13,c a b =⇒==，得(3,m = ，∴5cos ,13n m n m n m⋅==-⋅ ，结合图可知，二面角A PB C --为锐角，故其余弦值为513.22.如图，在三棱锥-P ABC 中，,,AB AC AP 两两互相垂直，,,D E N 分别为棱,,PA PC BC 的中点，M 是线段AD 的中点，且,42,25PA AC PC BC ===（1）求证：//MN 平面BDE ．（2）在棱PA 上是否存在一点H ，使得直线NH 与平面BDE 所成的角为π4，若存在，求线段AH 的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）取AB 的中点F ，连接,MF NF ．证明平面//MFN 平面BDE 后可得证线面平行；（2）分别以,,AB AC AP 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，假设(0,0,)(04)h h ≤≤，由空间向量法求线面角，即可得出结论．【小问1详解】如图，取AB 的中点F ，连接,MF NF ．∵M 为AD 的中点，∴//MF BD ，∵BD ⊂平面BDE ，MF ⊄平面BDE ，∴MF ∥平面BDE∵N 为BC 的中点，∴//NF AC ．∵,D E 分别为,AP PC 的中点，∴//DE AC ，则//NF DE ．∵DE ⊂平面BDE ，NF ⊄平面BDE ，∴//NF 平面BDE ，又MF NF F = ，,MF NF ⊂平面MFN ，∴平面//MFN 平面BDE ，∵MN ⊂平面MFN ，∴//MN 平面BDE ．【小问2详解】由题知,,PA PB PA AC AB AC A ⊥⊥⋂=，可得PA ⊥底面ABC ，由题易知4,2PA AC AB ===．∵BAC ∠=90°，∴以A 为坐标原点，分别以,,AB AC AP 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则(0,0,0),(2,0,0),(0,4,0),(0,0,4),(0,0,2),(0,2,2),(1,2,0)A B C P D E N ，∴(2,2,2),(2,0,2)BE BD =-=- ，设平面BDE 的法向量为(,,)n x y z =，则2220,220,BE n x y z BD n x z ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 不妨令1x =，可得(1,0,1)n = ．设(0,0,)(04)H h h ≤≤，则,(1,2,)AH h NH h ==-- ．由cos ,2NH n NH n NH n ⋅===⋅ ，解得2h =-，这与04h ≤≤矛盾，故棱PA 上不存在一点H ，使得直线NH 与平面BDE 所成的角为π4.。
2019-2020学年河南省豫南市级示范性高中高二上学期联考数学试题(解析版)
2019-2020学年河南省豫南市级示范性高中高二上学期联考数学试题一、单选题1．在ABC V 中，若2b =，120A =︒，三角形的面积S =为（ ） A ．3 B ．2C．D ．4【答案】B【解析】利用三角形的面积公式求得c ，由余弦定理求得a ，利用正弦定理求得三角形外接圆的半径. 【详解】由三角形的面积公式得1sin 2bc A =12222c c ⨯⨯⨯==，所以a ==，设三角形外接圆的半径为R，由正弦定理得24,2sin a R R A ====. 故选：B 【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查三角形外接圆半径的求法，属于基础题.2．在△ABC 中，若tanAtanB ＝tanA ＋tanB ＋1，则cosC 的值是( ) A．－2B．2C ．12D ．－12【答案】B【解析】由tan tan tan tan 1A B A B =++，得tan tan (1tan tan )A B A B +=--， ∴tan tan tan()11tan tan A BA B A B++==--，∵tan()tan A B C +=-． ∴tan 1C =． 又0C π<<，∴,cos cos442C C ππ===．选B ． 3．设ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，则这个三角形的形状是 （ ） A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰直角三角形 D ．钝角三角形【答案】B【解析】先由ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，得出2,33B AC ππ=+=,又因为sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，所以23sin sin sin 4B AC =⋅=，整理计算即可得出答案. 【详解】因为ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列， 所以2,33B AC ππ=+=, 又因为sin A 、sin B 、sin C 成等比数列， 所以23sin sin sin 4B AC =⋅= 所以222sin sin sin sin cos sin cos333A A A A A πππ⎛⎫⎛⎫⋅-=⋅-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21111132sin 2cos 2sin 2424442344A A A A A π⎛⎫=+=-+=-+= ⎪⎝⎭ 即sin 213A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭又因为203A π<< 所以3A π=故选B 【点睛】本题考查数列与三角函数的综合，关键在于求得2,33B AC ππ=+=，再利用三角公式转化，属于中档题.4．已知数列{a n }中，a n ＝n 2－kn(n ∈N)，且{a n }单调递增，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，2]B ．(－∞，2)C ．(－∞，3]D ．(－∞，3)【答案】D【解析】根据函数的单调性可得a n+1﹣a n ＞0对于n ∈N 恒成立，建立关系式，解之即可求出k 的取值范围． 【详解】∵数列{a n }中()2*n a n kn n N=-∈，且{a n}单调递增∴a n+1﹣a n ＞0对于n ∈N 恒成立即（n+1）2﹣k （n+1）﹣（n 2﹣kn ）=2n+1﹣k ＞0对于n ∈N 恒成立∴k ＜2n+1对于n ∈N 恒成立，即k ＜3 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了数列的性质，本题易错误地求导或把它当成二次函数来求解，注意n 的取值是解题的关键，属于易错题．5．若ABC V 的三边为a ，b ，c ，它的面积为2224a b c+-则内角C 等于（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】B【解析】利用三角形的面积公式化简已知条件，结合余弦定理求得C 的大小. 【详解】依题意2221sin 24a b c S ab C +-==，即222sin cos 2a b c C C ab +-==，由于0180C <<o ，所以45C =o .故选：B 【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题.6．如图，一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75︒距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这艘船航行的速度为（）A/时 B．/时C．2海里/时 D．海里/时【答案】A【解析】根据已知条件，直接利用正弦定理解出MN . 【详解】68,45,15PM PNM PMN =∠=︒∠=︒，在PMN ∆中有sin120sin 45MN PMMN =⇒=︒︒4MN V ==/时，选A. 【点睛】本题考查正弦定理的使用，属于简单题．7．在数列{}n a 中，114a =-，111(1)n n a n a -=->，则2019a 的值为（ ） A ．45B ．14-C ．5D ．以上都不对【答案】A【解析】列举出数列的前几项，找到数列的周期，由此求得2019a 的值. 【详解】 依题意23411231141115,1,154a a a a a a a =-==-==-=-=，故数列是周期为3的周期数列，故2019345a a ==，故选A. 【点睛】本小题主要考查递推数列，考查数列的周期性，考查合情推理，属于基础题.8．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则λ的值是( )A ．4B ．2C ．2-D ．4-【答案】C【解析】利用n S 先求出n a ，然后计算出结果. 【详解】根据题意，当1n =时，11224S a λ==+,142a λ+∴=, 故当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=,Q 数列{}n a 是等比数列,则11a =，故412λ+=, 解得2λ=-, 故选C . 【点睛】本题主要考查了等比数列前n 项和n S 的表达形式，只要求出数列中的项即可得到结果，较为基础.9．已知等差数列{a n }的公差d ≠0且a 1，a 3，a 9成等比数列，则1392410a a a a a a ++++等于( )A ．1514B ．1213C ．1316D ．1516【答案】C【解析】由题{}n a 是等差数列，故139a a a 、、都可用d 表达，又因为139a a a 、、恰好是等比数列，所以有2319a a a =，即可求出d ，从而可求出该等比数列的公比，最后即可求比值． 【详解】等差数列{}n a 中，11319128a a a a d a a d ==+=+，，， 因为139a a a 、、恰好是某等比数列，所以有2319a a a =，即（211128a d a a d +=+）（），解得1d a =， 所以该等差数列的通项为n a nd =则139241013913241016a a a a a a ++++==++++． 故选：C ． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式、等比数列的定义和公比，属基础题．10．已知数列{}n a 中，32a =，71a =，且数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，则11a =（ ）A ．25-B ．2C ．12D ．23【答案】C 【解析】令11n n b a =+，根据数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，求得数列{}n b 的通项公式，由此求得11b ，进而求得11a . 【详解】 令11n n b a =+，由于数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，即数列n b 是等差数列，依题意331113b a ==+，771112b a ==+，所以数列{}n b 的公差731112373424b b d --===-，所以()()31115333242424n b b n d n n =+-=+-⨯=+，所以111151622424243b =+==，所以1111121,132a a ==+. 故选：C 【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式，考查运算求解能力，属于基础题. 11．如果f(n)1111(n n 1n 2n 32n=+++⋯++++∈N +),那么f(n+1)-f(n)等于( ) A ．12n 1+ B ．1 2n 2+ C ．112n 12n 2+++D ．112n 12n 2-++ 【答案】D【解析】分析：直接计算 f(n+1)-f(n). 详解：f (n+1)-f (n )()11111(1)1(1)22212(1)f n n n n n n =++⋯+++-++++++11111111……2322122122n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫=+++++-+++ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭11111.212212122n n n n n =+-=-+++++ 故答案为：D.点睛：（1）本题主要考查函数求值，意在考查学生对该知识的掌握水平.（2）不能等于112122n n +++，因为前面还有项11n +没有减掉.12．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －315n⎛⎫ ⎪⎝⎭，则其前20项和为（ ） A ．380－1931155⎛⎫-⎪⎝⎭B ．400－2021155⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．420－2031145⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．440－2041155⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】直接使用等差数列、等比数列的前n 项和公式求解. 【详解】2012320S a a a a =+++⋅⋅⋅+1232020111121322323322035555S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇒=⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⋅⋅⋅+⨯-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()123202011112123203[5555S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇒=⨯+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()202020111551202031234201124515S ⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭+⨯⎢⎥⎛⎫⎣⎦⇒=⨯-⨯=--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦- 202031420145S ⎛⎫⇒=-- ⎪⎝⎭故本题选C. 【点睛】本题考查了等差数列、等比数列前n 项和公式.二、填空题13．在△ABC中，13，则△ABC 的面积为________．【答案】【解析】在△ ABC 中由1cos 3C =可得sin 3C ==，所以11sin 22ABC S ab C ∆==⨯=点睛：三角形面积公式为111sin sin sin 222S bc A ac B ab C ===，一般是指已知哪一个角就使用哪一个公式。
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豫南九校2020学年上学期第一次联考高二数学（文科）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知角α的终边过点P（3a，4a），且a<0，那么cosα等于（）A. -B.C. -D.【答案】C【解析】由题意得，选C.2. 已知向量=（sinα，cosα），=（cosβ，sinβ），且∥，若α，β[0,]，则α＋β=（）A. 0B.C.D.【答案】B【解析】由向量平行可得，即，选B.3. 已知数列{a n}是等比数列，数列{b n}是等差数列，若a1·a5·a9=-8，b2+b5+b8=6，则的值是（）A. B. C. - D. -【答案】C【解析】由题意得a1·a5·a9=，b2+b5+b8=，所以=，选C.4. 若向量=（1，x），=（2x+3，-x）互相垂直，其中x R，则等于（）A. -2或0B. 2C. 2或-2D. 2或10【答案】D【解析】同两向量垂直可得或x=-1,当x=3时=，当x=-1时，=，选D.5. 已知α（-，0）且sin2α=-，则sinα+cosα=（）A. B. - C. - D.【答案】A【解析】,又α（-，0），所以，且，，所以，选A.6. △ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若<cosA，则△ABC为（）A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 等边三角形【答案】A【解析】由正弦定理可得，即，所以是钝角，选A.7. 已知数列{a n}是等差数列，若，且它的前n项和S n有最大值，则使得S n>0的n的最大值为（）A. 11B. 12C. 21D. 22【答案】C【解析】由题意得，由前n项和S n有最大值可知等差数列{a n}为递减，d<0.所以，所以，所以n=21,选C.8. 不解三角形，确定下列判断中正确的是（）A. b=9，c=10，B=60°，无解B. a=7，b=14，A=30°，有两解C. a=6，b=9，A=45°，有两解D. a=30，b=25，A=150°，有一解【答案】D【解析】A选项，两解，错。
B选项，，一解，错。
C选项，，一解，错。
D.选项，A为钝角，，一解，正确，选D.9. 已知，且关于x的方程有实根，则与的夹角取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得，所以，又，所以，选B.【点睛】求平面向量夹角公式：，若，则10. 函数f（x）=Asin（）（A>0，>0,0<<）的图象如图所示，则下列有关f（x）性质的描述正确的是（）A. =B. x=，k Z为其所有对称轴C. ，k Z为其减区间D. f（x）向左移可变为偶函数【答案】D【解析】由图可知，A=1,，又，又0<<，所以，，。
所以A错，所有对称轴为，B错。
要求减区间只需，即，即减区间为，所以C错。
的图像向左平移个单位得，即为偶函数，选项D对，选D.【点睛】三角函数的一些性质：单调性：根据和的单调性来研究，由得单调增区间；由得单调减区间．对称性：利用的对称中心为求解，令，求得.利用的对称轴为 ()求解，令得其对称轴．11. 设等比数列{a n}的前项和S n=2n-1（n N*）,则a12+a22+…+a n2=（）A. （4n-1）B. 4n-1C. (2n-1)2D. (2n-1)2【答案】A...............【点睛】由于知道的表达式，所以应用公式可求的通项的表达式。
另外数列是等比数列，则均是等比数列。
12. 给出下列语句：①若α、β均为第一象限角，且α>β，且sinα>sinβ；②若函数y=2cos的最小正周期是4，则a=；③函数y=的周期是；④函数y=sinx+sin的值域是。
其中叙述正确的语句个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】A【解析】①错，不符。
②错。
③周期是④当时，y=,错。
所以选A.【点睛】，的周期是，因为可正可负。
只有当b=0时，周期才是，其余情况周期都是。
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 不等式≧0的解集为___________.【答案】【解析】由题意得，所以解集为，填。
14. 已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinA=，cosC=，a=1，则b=_________.【答案】【解析】因为cosC=，所以，因为，所以因为，所以，所以【点睛】（1）正弦定理的简单应用常出现在选择题或填空题中，一般是根据正弦定理求边或列等式．余弦定理揭示的是三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，若题目中给出的关系式是“平方”关系，此时一般考虑利用余弦定理进行转化．（2）在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．（3）在解三角形的问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题中要注意根据这个定理确定角的范围及三角函数值的符号，防止出现增解或漏解．15. 已知f（x）=sin（>0），f=f,且f（x）在区间有最小值，无最大值，则=____________.【答案】【解析】由题意得，第一种情况是，此种情况不满足，因为相差周期，会既有最大值也有最小值，不符。
第二种情况是，又在区间有最小值，无最大值，所以，且对称轴两个数代入一定是关于最小值时的对称轴对称，即，解得，又，所以，填。
【点睛】本题是考虑三角函数图像与性质综合，由于在区间有最小值，无最大值，且f=f，所以两个数之差一定小于周期，且两个x值一定关于最小值时的对称轴对称。
16. 已知a n=log2（1+），我们把满足a1+a2+…+a n（n N*）的和为整数的数n叫做“优数”，则在区间（0,2020）内的所有“优数”的和为___________.【答案】2036【解析】由题意得a n=log2（1+），所以a1+a2+…+a n，要为整数，只需所以和为，填2036【点睛】log2（1+）可以裂项是解本题的一个关键，所以求和是一个裂项求和。
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. 设f（x）=2x2+bx+c，已知不等式f（x）<0的解集是（1,5）.（1）求f（x）的解析式；（2）若对于任意x，不等式f（x）≦2+t有解，求实数t的取值范围。
【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由不等式解集与方程关系可知，1和5是方程2x2+bx+c=0的两个根,由根与系数关系可求得b,c.(2)由（1）得，所以分离参数得2x2-12x+8≤t 在[1，3]有解，即t≥，x。
试题解析：（1）∵f（x）=2x2+bx+c，且不等式f（x）＜0的解集是（1，5），∴2x2+bx+c＜0的解集是（1，5），∴1和5是方程2x2+bx+c=0的两个根，由根与系数的关系知，解得b=-12，c=10，∴（2）不等式f（x）≤2+t在[1，3]有解，等价于2x2-12x+8≤t在[1，3]有解，只要t≥即可，不妨设g（x）=2x2-12x+8，x∈[1，3]，则g（x）在[1，3]上单调递减∴g（x）≥g（3）=-10，∴t≥-10，∴t的取值范围为[-10，+）【点睛】不等式存在性问题与恒成立问题一般都是转化函数最值问题，特别是能参变分离时，且运算不复杂，优先考虑参变分离，进而求不带参数的函数在区间上的最值问题。
18. 已知向量=（cos，sin），=（cos，-sin），且x。
（1）求及；（2）当（0,1）时，若f（x）=-的最小值为-，求实数的值。
【答案】（1）；（2）试题解析:（1），∵，∴. ∵，∴，因此.（2）由（1）知，∴，∵，当时，有最小值，解得.综上可得：【点睛】求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目及求解方法（1）形如y=a sin x＋b cos x＋k的三角函数化为y=A sin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)；（2）形如y=a sin2x＋b sin x＋k的三角函数，可先设sin x=t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；（3）形如y=a sin x cos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t=sin x±cos x，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．本题属于题型（2）。
19. 设数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n2+2n（n N*）。
（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和为T n。
【答案】（1）；（2）【解析】试题分析;(1)由前n项和与项的关系，可求得。
（2）由（1），==所以由错位相减法可求得,试题解析;（1）解:因为当时，当n≥2时, ==又因为也符合上式，所以，nϵ．（2）因为==所以①②①－②得，所以【点睛】当数列通项形式为，且数列{}是等差数列，数列是等比数列，则数列的前n 项和，我们常采用错位相减法。
20. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，，且△ABC的面积为。
（1）若b=，求a+c的值；（2）求2sinA-sinC的取值范围。
【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由向量的数量积公式和面积公式可求得，再由B角的余弦定理，可求。
（2）己知角, 所以统一成角C,化成关于角C的三角函数，注意角C的范围。
试题解析：（1）由得，①由得，②由①②得，，又b=则3=-3ac，a+c=（2）由（1）知因为，所以，所以的取值范围是【点睛】在解决三角形问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.21. 已知数列{a n}的前项和为S n，a1=，S n=n2a n-n（n-1），n N*。
（1）证明：数列是等差数列；（2）设b n=，证明：数列{b n}的前n项和T n<1.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】试题分析：（1）统一成，得（n2-1）S n=n2S n-1+n（n-1），两边同时除以，可证。
（2）由（1）得，b n==，裂项求和，可证。
试题解析：（1）证明：∵数列{a n}的前n项和为S n，∴n≥2时，有a n=S n-S n-1，∴S n=n2（S n-S n-1）-n（n-1），∴（n2-1）S n=n2S n-1+n（n-1），又∴数列是首项为1，公差为1的等差数列.（2）结合（1）知=1+（n-1）×1=n，∴S n= =，b n===.【点睛】当数列的递推关系是关于形式时，我们常采用公式，统一成或统一成做。