离散数学复习2

xF(x) 表示对个体域中的所有个体其
谓词F(x)均为真。
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§2.1.2 量词
存在量词记作 “ x”，其含意是：“存在着x ”、 “有些x ” 等等。
xF(x) 表示个体域中存在某些个体其
谓词F(x)均为真。
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函数
在谓词逻辑中，个体与个体间有一定的关系，这种关系
称为函数。
f (x)
一元函数
例：李平的妈妈是医生。
相异之处：主语不同 相同之处：谓语共享
将相同部分从这类命题中分离（抽象 ）出来进行研究并符号化。
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§2.1.1 谓词与个体
像Ｇ(·) 这样抽象形式，实际上就是上述几个语句中描述主语性质的谓语 结构的抽象形式或描述主语所涉及对象之间的关系的抽象形式。
上述中的抽象形式就是谓词。语句中的主语或对象称为个体。 个体是指可以独立存在的。谓词是用来刻划个体的性质或关系的。通常用大
x P (x) y(R y)
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§2.3 前束范式
定义:一个公式，如果量词均非否定地在全式的开头，且公 式除量词外，最多只含￢∧∨，则称此公式叫前束范式。
例： xyz(¬ Q(x,y) R(z)) (前束范式)
(x) P(x)∧(y)Q(y),
X
(x)(P(x)(y)Q(x,y))
X
( x ) y ( ) P (( x ,y ) Q ( y ))X
量词 5. x[ A B ( x )] A xB ( x )
作用 6. x[ A B ( x )] A xB ( x )
域的 扩张
7.x[ A B ( x )] A xB ( x )
和收 8.x[ A B ( x )] A xB ( x )
缩
5、6、7、8其中的A是没
有出现约束变元x的谓词公 式。
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关系式
9.xA(x) xB(x) x(A(x) B(x)) 全称对∨不服从分配律 10.x(A(x) B(x)) xA(x) xB(x) 存在对∧不服从分配律 11.xA(x) B x(A(x) B) 12.xA(x) B x(A(x) B) 13.A xB(x) x(A B(x)) 14.A xB(x) x(A B(x))
第二章 谓词逻辑
2.1谓词演算的基本概念
2.2谓词演算的关系式 2.3前束范式 2.4谓词演算的推理
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§2.1.1 谓词与个体
考察以下2个原子命题：
（1）李华是工程师。 引入一个符号表示“x是工程师”。
（2）何威是工程师。
Ｇ(x) 或 Ｇ( ·)
若对这两个原子命题进行内部结构分析，就
会发现它们之间既有相异之处又有相同之处。
写字母F,G,H等表示谓词，用小写字母a,b,c等表示个体。 在原子命题中引进谓词和个体的概念，这种以命题中的谓词为基础的分
析研究，称为谓词逻辑(或称谓词演算)。
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§2.1.1 谓词与个体
个体的变化范围，称为个体域。
将宇宙间一切事物（所有个体）所组成的个体域称为
全总个体域。 以某一个个体域为变域的变元，称为个体变元。习
需要使用特性谓词表示；多元谓词使用多个不同的个体变元。 根据句子中特性谓词前的修饰词选择量词；
：“所有的”、“凡是”、“一切”、“任意”、“每一个”等词，或省略的情况
：“存在”、“有些”、“某些”、“几个”等词
根据量词确定谓词之间的关系；
所限定的个体变元所在的特性谓词和其他谓词之间使用条件连接词。 所限定的个体变元所在的特性谓词和其他谓词之间使用合取连接词。
串。
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§2.1.3 谓词公式（续）
例如，下列各式 ( x(P )(x) ( y)Q y)()x,
( x y )( P ( )y ( ( ) Q x ( x ) ,R (y )))
( x y ) ( z ) ( ) P ( x ( ,y ,z ) Q R ( y ,z ) x))
是谓词公式。但下列各式
1. x[ A( x ) B ( x )] xA ( x ) xB ( x ) 存在服从对∨的分配律全称
服从对∧的分配律
2. x[ A( x ) B ( x )] xA ( x ) xB ( x )
3. (x ) A( x ) x A( x ) 否定 全称量词变为存在量词
4. ( x ) A( x ) x A( x ) 深入 存在量词变为全称量词
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例1.没有不犯错的人
M(x)：x是人 W(x)：x犯错
( x (M (x ) W (x ))
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例2.对于所有的正实数x,y，都有 x+y≥x。
S(x)：x是正实数 P(x，y)：x+y≥x
x y ( S ( x ) S ( y ) P ( x ,y ))
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练习
课后题1.29（8）（9）（10）
( y ) x ( ) z ( )Q ( ( x ,y ) R ( z ))X
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前束范式
求解的一般步骤（不唯一）：
1.运用基本等价公式，把各种联结词转换成基本联结词： ¬、 和∧
2.运用E1、E8、E9、E24、E25、E26等将公式中的¬深入到各谓词变 元的前面。
3.利用换名、代入规则，使所有的约束变元均不同名，且自由 变元与约束变元也不同名。
不含有任何元素的集合称为空集，记作Ø 研究对象的全体称为全集，记作E。 E={x|P(x) ∨￢P(x)} 注意：全集是个相对性的概念，由于研究的
问题不同，所取的全集也不同，即使是同一 个问题也可以有不同的全集．
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【例】确定下列命题是否正确？
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)P (x,y)
不是谓词公式。
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练习：
下列哪些是谓词公式： 1.P(x, y) 2. xy ( A( p ( x, y ), y , z ) Q ( x, y )) 3. x ( P ( x ) Q ( y )) 4.y ( x ( P ( x, y )) x ( P ( x ))) 5.z ( xy P ( Z )) 6.x ( P ( x ) P ( y )) 7.( x )( x ) P ( x )
x¬P(x) xQ(x) x(¬P(x) Q(x))
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前束范式
例. 将公式((x)P(x)∨(y)Q(y))(x)R(x)化归为 前束范式
原式 ¬((x)P(x)∨(y)Q(y))∨(x)R(x) ((x)¬P(x)∧(y)¬Q(y))∨(x)R(x) ((x)¬P(x)∧(y)¬Q(y))∨(z)R(z) (x)(y)(z)[(¬P(x)∧¬Q(y))∨R(z)]
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对偶
定义 设A是命题公式，且A中仅有联结词﹁ ，∨，
∧，量词 ，。在A中把∨，∧，F，T， ， ，分别 换成∧，∨，T，F， ， 后所得的命题公式称为A的对偶公式
。
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对偶
例： x ( A ( x ) B ) 的对偶式： x ( A ( x ) B )
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练习：写出对偶式
xP (x) y(R y)
( ( u ) (u P , y Q ( ) u ) ) ( ( v ) ( ) (v Q ) R v ( )(
于是可知，u，v是约束元，x，y是自由元。
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代入规则
对于谓词公式中的自由变元，也可以更改，这种更 改称为代入，代入时应对谓词公式中出现该自由变元的 每一处都进行。这称为自由元代入规则．
惯用小写的x,y,z等表示。
与个体变元相对的是个体常元，它指某个确定的个体，
习惯用小写的a,b,c等表示。
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§2.1.1 谓词与个体
仅含一个个体变元的谓词，称为一元谓词。
Ｔ(x)
含有n个个体变元的谓词，称为n元谓词。
Ｄ(x，y)
含有0个个体变元的谓词（但可能包含多个个体常元），称为0元谓词。
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§2.1.4 自由变元和约束变元
(x)(P (x Q)(x)) 由于全称量词的作用，使得命题函数中的x不再起变元 的作用，或者说，量词约束了x的变元作用，在这种情况 下，称变量x为“约束出现”，并称x为约束变元。
又如 ( x()P,y (x ) Q()x)
在这个谓词公式中，易见，x是约束元，但y不是约束元，
例如，
可更改为 (xP ) ( xR ) (yx),
(xP ) ( xR )(yz),
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例1（续）
对下列谓词公式中自由元进行代入，使得一个变量在 谓词公式中只呈一种形式（约束元或自由元）出现。
( ( x () P y Q ( )x ( ( , y ( x () Q ) R )( ) y ( y
4.利用E27、E28 、E29 、E30 、E31 、E32扩大量词的作用域至整个公
式。 28
前束范式
例：把xP(x) R(x)变成前束范式 xP(x) R(x)
yP(y) R(x)
y(P(y) R(x))
例：把xP(x) xQ(x) 变成前束范式。 xP(x) xQ(x)
¬xP(x)xQ(x)
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谓词关系式
将命题公式的等价关系可以推广为谓词公式的等价关系：
例如：命题公式
P Q PQ
将P和Q分别替换为： x(P x) ,xQ (x)
公式就可变为：
x ( x ) P x ( x ) Q x ( x ) P x ( x ) Q
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谓词公式（等价或蕴含）关系式
由于量词的引入，谓词公式多了如下公式：
D(x)：x是医生；a：李平；f(a)：李平的妈妈；
句子符号化为：D(f(a))
f (x, y)
二元函数
f(x1,x2, xn)
多元函数
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用谓词和量词表示句子的步骤：
参考题目给出的个体域，如果没有指明，假设为全总个体域； 确定句子中的谓词和个体变元；在全总个体域下，句子中的名词（人、数、动物等）都
一些特殊集合的表示：
Ｎ代表自然数集合，
Ｚ代表整数集合， Ｑ代表有理数集合， Ｒ代表实数集合， Ｃ代表复数集合．
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3.1.1 元素与集合的关系
如果b是集合A中的元素，称b属于A，并记作
如果bb不A是集合A中的元素，称b不属于A，并
记作
bA
例如：
1 N ,5 Z , 1 Z , 1 N , 2 Q
（2）换名时一定要更改为作用域中没有出现的变量名称
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例1 ( ( x () P y Q ( )x ( ( , y ( x () Q ) R )( ) y ( y
解：在这个谓词公式中，x既是约束元又是自由 元，y也是约束元又是自由元。若把约束元x换名 为u，约束元y换名为v，经换名后，谓词公式可 写成为
一般地，一元谓词Ｆ刻(画a,了b,个c)体的性质，多元谓词刻画了个体之间的关
系。
注意：谓词不是命题，只有当确定的个体“填入”后，才成为命题。
“张华是大学生”可表示为F(a)
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§2.1.2 量词
全称量词记作 “ x ”，其含意是：“所有的x ”
、“每一个x ”、“凡是x ”、“任意的x ”等等。
量词前移
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练习
课后题 1.32（2）
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第三章 集合
3.1集合的基本概念 3.2集合的运算及基本公式 3.3幂集 3.4包含排斥原理 3.5集合的直积
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3.1.1 集合的表示
一般用大写的英文字母A, B, C, … 来代表集合，|A|表示集合中元素的
个数；
用小写的英文字母a , b , c, … 来代表集合中的元素。
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§2.1.3 谓词逻辑公式（公式 ）
谓词逻辑公式中所使用的符号有以下七种:
(1)个体常量符: a,b,c, … (2)个体变量符: x,y,z …
(3)函数符: f,g,h … (4)谓词符: F,G,H…
(5)联结词符: , , , ,
(6)量词符: ,
(7)括号(,)
一个谓词逻辑公式中是由上述符号按一定规则所组成的符号
称y是“自由出现”，并称y为自由变元。量词 x后括号
中的内容 (P,(yx) Q()x)
称为量词 x的作用域或辖域。
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换名规则
在对约束元换名时，应遵循以下两种规则（约束元换名规
则）：
（1）对约束元（如x）换名时，更改的名称范围是 或x 中x的x以
及量词作用域中所出现的所有x，在量词作用域外的部分不换名。
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练习：列出下列集合的元素
(1) {x,|x∈N ⋀∃t (t∈{2,3} ⋀ x=2t)} {4,6}
(2) {x,|x∈N ⋀∃t∃s (t∈{0,1} ⋀s ∈{3,4} ⋀
t<x<s)}
{1,2,3}
(3) {x,|x∈N ⋀∀t (t整除2 → x≠t)}
N-{1,2}
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空集和全集