微专题--空间垂直关系的转化

空间垂直关系的转化
要点梳理归纳
题型分类解析
例1.已知矩形ABCD ，AB =1，BC 「2 .将ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线 进行翻折，在翻折过程中，【
】
微专题
【解
析】
如图，AE 丄 BD , CF 丄 BD ，依题意，AB =1, BC =2 , AE = CF^-^ ,
3
D
•对任意位置，三对直线 ’AC 与
BD ”, A .存在某个位置，使得直线 AC 与直线BD 垂直
B .存在某个位置，使得直线 AB 与直线CD 垂直
C .存在某个位置，使得直线
AD 与直线BC 垂直
'AB 与CD ”，’AD 与BC ”均不垂直 A
3
BE =EF =FD
A，若存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直，则••• BD丄AE ,二BD丄平面AEC，从而BD丄EC，这与已知矛盾，排除 A ；
B，若存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直，则CD丄平面ABC，平面ABC丄平面BCD。

取BC中点M，连接ME，贝U ME丄BD ,二/ AEM就是二面角A-BD-C的平面角，此角显然存在，即当A在底面上的射影位于BC的中点时，直线
AB与直线CD垂直，故B正确;
C,若存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直，则BC丄平面ACD，从而平面ACD丄平面BCD，即A在底面BCD上的射影应位于线段CD上，这是不可能的，排除C;
D，由上所述，可排除D。

故选B。

1
例2•如图，三棱柱ABC —A1B1C1中，侧棱垂直底面，/ ACB=90 , AC=BC =?AA 1, D是棱AA1的中点
(I )证明：平面BDC1丄平面BDC；
(n)平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比。

C J
解：（I ）证明：•••由题设，三棱柱ABC —A1B1C1中，侧棱垂直底
面，/ ACB=90 ,
••• BC 丄CC1, BC 丄AC , CC1 AC=C,「. BC 丄平面ACC1A1。

又••• DC1 平面ACC1A1,：DC」BC。

1
T由题设，AC=BC , =2AA 1 , D是棱AA 1的中点，
A1DC1= / ADC=45 0, •/ CDC=90°, 即卩DO 丄DC。

又••• DCliBC=C ,••• DC1 丄平面BDC 。

又••• D6二平面BDC i ,二平面BDC i 丄平面BDC 。

(n)设棱锥 B — DACC 1的体积为 V i , AC =a ，则 W 」
1
2 a
a a 」a 3。

3
2 2
1
3
又•••三棱柱 ABC — A i B i C i 的体积V a a 2a 二a ,
2
••• V i V
；=1:1。

二平面BDC i 分此棱柱为两部 分体积的比为1： 1。

例3.如图1,在Rt △ ABC 中，/ C=90 , D , E 分别为AC , AB 的中点，点 F 为线段CD 上的一点，将△ ADE 沿DE 折起到△ A i DE 的位置，使 A i F 丄CD ，如图2。

(1) 求证：DE //平面 A i CB ; (2)求证：A i F 丄 BE ;
⑶ 线段A i B 上是否存在点 Q ,使A i C 丄平面DEQ ?说明理由。

解：(1)证明：•••在图1 Rt △ ABC 中，/ C=90 , D , E 分别为 AC , AB 的中点，来源
• DE // BC 。

•••在图 2 中，DE 二平面 A i CB ，/. DE //平面 A i CB 。

(2) 证明：v DE 丄 A i D , DE 丄 CD ,A i D A CD=D , • DE 丄平面A 1CD 。

v A i F 平面 A i CB ,• DE 丄A i F 。

又 v A i F 丄 CD , CD A DE=D , CD 二平面 BEDC , DE 二平面 BEDC , • A i F 丄平面 BEDC 。

又v BE 二 平面 BEDC , • A i F 丄BE ,
(3) 线段A i B 上存在点Q ,使A i C 丄平面DEQ ,点Q 为A i B 的中点。

理由如下: 取A i C 中点P ,连接DP , QP 。

护1 护1
护
v PD CB , DE CB , • PD DE 。

2 2
• DEQP 是平行四边形，• D 、E 、Q 、P 四点共面。

由(2)知，DE 丄平面 A i CD ,又 A i C 平面 A i CD , • DE 丄 A i C 。

・
4i
v P , Q 是A i B 和A i C 的中点，• PQ// CB // DE o• PQ 丄A i C。

又••• AD=CD , A i P=CP ,「. PD 丄A i C 。

又••• PO P PD=P , ••• A i C 丄平面 PQD ，即 A i C 丄平面 DEQ 。

例4.如图，长方体 ABCD-ABiGD i 中，底面AB i C i D i 是正方形，O 是BD 的中点,
E 是棱AA i 上任意一点。

(I)证明：BD _ EC i ；
(n)如果 AB =2, AE = < 2 , OE _ EC i ,求 AA 的长。

AE / /CC i ,• E,A,C,C i 共面。

•••长方体 A B C-DA i B i C i D i 中,
A ）B]C i D i 是正方形，
• AC _BD,EA_ BD, AC^EA 二 A 。

• BD _ 面 EACC 1O
A BD _ EC i 。

(n)连接 A i C i 。

•••在矩形 ACC i A i 中，OE _ EC i ,
二芈=
A
A
，解得朋=3血。

2 2.2
例5.如图，在梯形ABCD 中，AB // CD , E , F 是线段AB 上的两点,
AB=i2, AD=5, BC=4 . 2 , DE=4.现将△ ADE , △ CFB 分别沿 DE , CF 折起，使 A , B 两
解；（I ）连接AC 。

…"”
I)
• OAE s . EA i C i 。

•览二 AC 1
AO
EAi °
Bi
且 DE 丄 AB , CF 丄AB ,
面
点重合与点G ,得到多面体CDEFG.
(1)求证：平面 DEG 丄平面CFG ;
( 2)求多面体 CDEFG 的体积。

解：(1)证明：在平面图中，T AB // CD , DE 丄EF , CF 丄EF ,•••四边形 CDEF 为矩形。

■/ AB=12, • EF=5。

•••将△ ADE , △ CFB 分别沿DE , CF 折起，使 A , B 两点重合与点 G ,
得到多面体CDEFG ,
• GE=AE =3 , GF=BF =4。

在厶 EFG 中，有 EF^GE 2 GF 2, • EG 丄GF 。

又••• CF 丄 EF , CF 丄 FG , EF A FG=F , • CF 丄平面 EFG 。

又••• EG 平面EFG , • CF 丄EG o • EG 丄平面 CFG ，即平面 DEG 丄平面 CFG 。

(2)在平面 EGF 中，过点 G 作GH 丄EF 于H ,
EG GF 12 则 GH =• EF 5
•••平面 CDEF 丄平面 EFG ,• GH 丄平面 CDEF ,.
1
1
12 …
V
CDEFG
S
CDEF
GH
4 5
16
3
3
5
—占
八、、♦
(I )求三棱锥 A — MCC 1的体积;
•/ DE 丄 AB , AD=5 , DE=4, BC=4 .2 AE=3, BF=4。

例6.如图所示，在长方体 ABCD — A 1B 1C 1D 1 中，AB = AD = 1, AA 1 = 2, M 为棱DD 1上的
(II )当A i M + MC 取得最小 值时，求证：B i M 丄平面MAC.
解：(I )由长方体 ABCD — A i B i C i D i 知，AD 丄平面CDD i C i ,
•••点A 到平面CDD i C i 的距离等于 AD = i o
i
i
又・ S Mg = — CG x CD = — x2 xi=i , 汽 2 2
(II )将侧面CDD i C i 绕DD i 逆时针转90°展开，与侧面
当A i , M , C 共线时，A i M + MC 取得最小值。

由 AD = CD = i , AA i = 2，得 M 为 DD i 中点. 连接C i M ,
在厶 C i MC 中，MC i = .2, MC = 2, CC i = 2,
• CC 2= MC i + MC 2,得/ CMC i = 90° 即 CM 丄 MC i 。

又由长方体 ABCD — A i B i C i D i 知，B i C i 丄平面CDD i C i ,
• B i C i X CM o
又 B i C i P C i M = C i ,「・ CM 丄平面 B i C i M ，得 CM 丄 B i M 。

同理可证，B i M 丄AM o
又 AM P MC = M , • B i M 丄平面 MAC o
例 7.直三棱柱 ABC- A i B i C i 中，AB=A A i
CAB =-
2
(I)证明 CB i — BA i ； (n)已知 AB=2, BC=''5，求三棱锥 C i-ABA i 的体积.
解：(I )连接AB i ,
•/ ABC
-A i B i C i 是直三棱柱，••平 面ABC 丄平面ABB i A i o
…V A JMcg
AD S
3 江
MCC i
ADD i A i 共面(如图),
Ji
Qi
又•••平面ABC P平面ABB i A i=AB,
AC 丄AB,
••• AC 丄平面ABB1A1°
••• BA1?平面ABB I A1,「. AC 丄BA i。

•••矩形ABB i A i 中，AB=AA i,「.四边形ABB i A i 是正方形。

• AB i 丄
BA i。

又••• AB“ CA是平面ACBi内的相交直线，• BA」平面ACB i o
•/ CB i?平面ACB i,：CB i 丄BA i o
(II )T AB=2 , BC=、、5 • Rt △ ABC 中，AC = . BC2- AB2=i。

•••直三棱柱ABC-A i B i C i 中，A i C i=AC=i。

又••• AC // A i C i, AC 丄平面ABB i A i,：AQ i 是三棱锥G-ABA i 的高。

1 r
•••△ABA i的面积等于正方形ABB i A i面积的一半，• Ss BAi= — AB2=2。

2
i 2
•三棱锥C i-AB A i 的体积为V=- ©△ABAI R\I C I=。

3
3。