一元二次方程复习课4
2022人教版数学《解一元二次方程(第课时)4》配套教案(精选)
解一元二次方程第4课时教学内容1．一元二次方程求根公式的推导过程； 2．公式法的概念；3．利用公式法解一元二次方程．教学目标理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax 2+bx+c=0（a ≠0）的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程．重难点关键1．重点：求根公式的推导和公式法的应用．2．难点与关键：一元二次方程求根公式法的推导．教学过程一、复习引入（学生活动）用配方法解下列方程 （1）6x 2-7x+1=0 （2）4x 2-3x=52 （老师点评）（1）移项，得：6x 2-7x=-1二次项系数化为1，得：x 2-x=- 配方，得：x 2-x+（）2=-+（）2（x-）2= x-=±x 1=+==1 x 2=-+== （2）略总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）． （1）移项；（2）化二次项系数为1；76167671216712712251447125125127127512+5127127512-16（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方； （4）原方程变形为（x+m ）2=n 的形式；（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解． 二、探索新知如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx+c=0（a ≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．问题：已知ax 2+bx+c=0（a ≠0）且b 2-4ac ≥0，试推导它的两个根x 1，x 2=分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a 、b 、c 也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去． 解：移项，得：ax 2+bx=-c 二次项系数化为1，得x 2+x=- 配方，得：x 2+x+（）2=-+（）2即（x+）2=∵b 2-4ac ≥0且4a 2>0∴≥0 直接开平方，得：x+=即∴x 1，x 2由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b-4ac ≥0时，将a 、b 、c 代入式子就得到方程的根．（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．b ac ab a 2b ac a 2b a2b a 2244b aca -2244b ac a-2ba（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． （4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根． 例1．用公式法解下列方程．（1）2x 2-4x-1=0 （2）5x+2=3x 2 （3）（x-2）（3x-5）=0 （4）4x 2-3x+1=0分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可． 解：（1）a=2，b=-4，c=-1b 2-4ac=（-4）2-4×2×（-1）=24>0x=∴x 1，x 2（2）将方程化为一般形式3x 2-5x-2=0a=3，b=-5，c=-2b 2-4ac=（-5）2-4×3×（-2）=49>0x 1=2，x 2=-（3）将方程化为一般形式3x 2-11x+9=0a=3，b=-11，c=9b 2-4ac=（-11）2-4×3×9=13>0∴∴x 1x 2（3）a=4，b=-3，c=1b 2-4ac=（-3）2-4×4×1=-7<0因为在实数范围内，负数不能开平方，所以方程无实数根． 三、巩固练习 教材P 42练习1．（1）、（3）、（5） 四、应用拓展例2．某数学兴趣小组对关于x 的方程（m+1）+（m-2）x-1=0提出了下列问题．（1）若使方程为一元二次方程，m 是否存在？若存在，求出m 并解此方程． （2）若使方程为一元二次方程m 是否存在？若存在，请求出．(4)22--±==⨯576±=13=22m x+你能解决这个问题吗？ 分析：能．（1）要使它为一元二次方程，必须满足m 2+1=2，同时还要满足（m+1）≠0． （2）要使它为一元一次方程，必须满足:①或②或③ 解：（1）存在．根据题意，得：m 2+1=2m 2=1 m=±1当m=1时，m+1=1+1=2≠0当m=-1时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去） ∴当m=1时，方程为2x 2-1-x=0 a=2，b=-1，c=-1b 2-4ac=（-1）2-4×2×（-1）=1+8=9x 1=，x 2=-因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根x 1=1，x 2=-． （2）存在．根据题意，得：①m 2+1=1，m 2=0，m=0因为当m=0时，（m+1）+（m-2）=2m-1=-1≠0 所以m=0满足题意．②当m 2+1=0，m 不存在．③当m+1=0，即m=-1时，m-2=-3≠0 所以m=-1也满足题意．当m=0时，一元一次方程是x-2x-1=0， 解得：x=-1当m=-1时，一元一次方程是-3x-1=0解得x=-因此，当m=0或-1时，该方程是一元一次方程，并且当m=0时，其根为x=-1；当m=-1时，其一元一次方程的根为x=-．五、归纳小结 本节课应掌握：（1）求根公式的概念及其推导过程； （2）公式法的概念；（3）应用公式法解一元二次方程； （4）初步了解一元二次方程根的情况．211(1)(2)0m m m ⎧+=⎨++-≠⎩21020m m ⎧+=⎨-≠⎩1020m m +=⎧⎨-≠⎩134±=12121313六、布置作业1．教材复习巩固4． 2．选用作业设计:一、选择题1．用公式法解方程4x 2-12x=3，得到（）．A ．B ．C ．D ．2x 2=0的根是（）．A．x 1，x2B ．x 1=6，x 2C ．x 1，x 2 D ．x 1=x 23．（m 2-n 2）（m 2-n 2-2）-8=0，则m 2-n 2的值是（）．A ．4B ．-2C ．4或-2D ．-4或2 二、填空题1．一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的求根公式是________，条件是________． 2．当x=______时，代数式x 2-8x+12的值是-4．3．若关于x 的一元二次方程（m-1）x 2+x+m 2+2m-3=0有一根为0，则m 的值是_____． 三、综合提高题1．用公式法解关于x 的方程：x 2-2ax-b 2+a 2=0．2．设x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根，（1）试推导x 1+x 2=-，x 1·x 2=；（2）求代数式a （x 13+x 23）+b （x 12+x 22）+c （x 1+x 2）的值． 3．某电厂规定：该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过A 千瓦时，那么这户居民这个月只交10元电费，如果超过A 千瓦时，那么这个月除了交10元用电费外超过部分还要按每千瓦时元收费． （1）若某户2月份用电90千瓦时，超过规定A 千瓦时，则超过部分电费为多少元？（用A 表示）（2根据上表数据，求电厂规定的A 值为多少？bac a100A答案:一、1．D 2．D 3．C二、1．x=，b 2-4ac ≥0 2．4 3．-3三、1．x==a ±│b │2．（1）∵x 1、x 2是ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根，∴x 1，x 2∴x 1+x 2==-，x 1·x 2=·=（2）∵x 1，x 2是ax 2+bx+c=0的两根，∴ax 12+bx 1+c=0，ax 22+bx 2+c=0原式=ax 13+bx 12+c 1x 1+ax 23+bx 22+cx 2=x 1（ax 12+bx 1+c ）+x 2（ax 22+bx 2+c ） =03．（1）超过部分电费=（90-A ）·=-A 2+ A（2）依题意，得：（80-A ）·=15，A 1=30（舍去），A 2=50第2课时 分式的乘方一、教学目标：1、理解分式乘方的运算法则2、熟练地进行分式乘方的运算2b a -±22a 2b b a -+ba 2b a -2b a -ca100A 1100910100A3．渗透类比转化的数学思想方法． 二、重点、难点1．重点：熟练地进行分式乘方的运算.2．难点：熟练地进行分式乘、除、乘方的混合运算. 三、教学过程 1、课堂引入 计算下列各题：（1）2)(ba =⋅b a ba =（ ） (2) 3)(ba =⋅b a ⋅b a ba =（ ） （3）4)(ba =⋅b a ⋅b a b a ba⋅=（ ） [提问]由以上计算的结果你能推出nba )(（n 为正整数）的结果吗？2、例题讲解例5.计算(1) 332)2(a b - (2)4234223)()()(c a ba cb ac ÷÷[分析]第（1）题是分式的乘方运算，它与整式的乘方一样应先判断乘方的结果的符号，再分别把分子、分母乘方.第（2）题是分式的乘除与乘方的混合运算，应对学生强调运算顺序：先做乘方，再做乘除. 3、随堂练习1．判断下列各式是否成立，并改正.（1）23)2(a b =252a b （2）2)23(ab -=2249a b -（3）3)32(xy -=3398x y （4）2)3(b x x -=2229b x x - 2．计算(1) 22)35(y x （2）332)23(c b a - （2）32223)2()3(x ay xy a -÷ （3）23322)()(z x zy x -÷- （4))()()(422xy x y y x -÷-⋅- (5)232)23()23()2(ayx y x x y -÷-⋅- 4、小结谈谈你的收获 5、布置作业 6、板书设计四、教学反思：第1课时 等腰三角形的性质【知识与技能】1.理解掌握等腰三角形的性质.2.运用等腰三角形性质进行证明和计算.、发展形象思维.【过程与方法】、观察、证明等腰三角形的性质,发展学生推理能力.2.通过运用等腰三角形的性质解决有关问题,提高运用知识和技能解决问题的能力.【情感态度】引导学生对图形的观察、发现，激发学生的好奇心和求知欲,并在运用数学知识解答问题的活动中取得成功的体验.【教学重点】等腰三角形的性质及应用.【教学难点】等腰三角形的证明.一、情境导入，初步认识问题 1 让学生根据自己的理解,做一个等腰三角形.要求学生独立思考,动手做图后,再互相交流评价.可按下列方法做出:作一条直线l,在l上取点A,在l外取点B,作出点B关于直线l的对称点C,连接AB,AC,CB,则可得到一个等腰三角形.问题2 老师拿出事先准备好的长方形纸片,按下图方式折叠剪裁.观察并讨论:△ABC有什么特点?教师指导,并介绍等腰三角形的相关概念,及等腰三角形是轴对称图形.【教学说明】教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.二、思考探究，获取新知教师依据学生讨论发言的情况,归纳等腰三角形的性质:①∠B=∠C→两个底角相等.②BD=CD→AD为底边BC上的中线.③∠BAD=∠CAD→AD为顶角∠BAC的平分线.∠ADB=∠ADC=90°→AD为底边BC上的高.指导学生用语言叙述上述性质.性质1等腰三角形的两个底角相等(简写成:“等边对等角”).性质2等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线,底边上的高重合(简记为:“三线合一”).教师指导对等腰三角形性质的证明.1.证明等腰三角形底角的性质.教师要求学生根据猜想的结论画出相应的图形,写出已知和求证.在引导学生分析思路时强调:(1)利用三角形全等来证明两角相等.为证∠B=∠C,需证明以∠B,∠C为元素的两个三角形全等,需要添加辅助线构造符合证明要求的两个三角形.(2)添加辅助线的方法可以有多种方式:如作顶角平分线,或作底边上的中线,或作底边上的高等.2.证明等腰三角形“三线合一”的性质.【教学说明】在证明中,设计辅助线是关键,引导学生用全等的方法去处理,在不同的辅助线作法中,由辅助线带来的条件是不同的,重视这一点，要求学生板书证明过程,以体会一题多解带来的体验.例如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求△ABC各角的度数.解:∵AB=AC,BD=BC=AD,∴∠ABC=∠C=∠BDC,∠A=∠ABD(等边对等角).设∠A=x,则∠BDC=∠A+∠ABD=2x,从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x.于是在△ABC中,有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°,解得x=36°于是在△ABC中,有∠A=36°,∠ABC=∠C=72°.【教学说明】等腰三角形“等边对等角”及“三线合一”性质，可以实现由边到角的转化，从而可求出相应角的度数.要在解题过程中,学会从复杂图形中分解出等腰三角形,用方程思想和数形结合思想解决几何问题.三、运用新知，深化理解第1组练习:1.如图,在下列等腰三角形中,分别求出它们的底角的度数.2.如图，△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,∠BAC=90°,AD是底边BC上的高,标出∠B,∠C,∠BAD,∠DAC的度数,指出图中有哪些相等线段.3.如图,在△ABC,AB=AD=DC,∠BAD=26°,求∠B和∠C的度数.第2组练习:1.如果△ABC是轴对称图形,则它一定是( )2.等腰三角形的一个外角是100°,它的顶角的度数是( )A.80°B.20°C.80°和20°D.80°或50°2cm,并且它的周长为16cm.求这个等腰三角形的边长.4.如图，在△ABC中，过C作∠BAC的平分线AD的垂线，垂足为D，DE∥AB 交AC于E.求证:AE=CE.【教学说明】等腰三角形解边方面的计算类型较多,引导学生见识不同类型,并适时概括归纳,帮学生形成解题能力,注意提醒学生分类讨论思想的应用.【答案】第1组练习答案:1.(1)72°;(2)30°2.∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°;AB=AC,BD=DC=AD3.∠B=77°,∠C=38.5°第2组练习答案:3.设三角形的底边长为xcm,则其腰长为(x+2)cm,根据题意,得2(x+2)+x=16.解得x=4.∴等腰三角形的三边长为4cm,6cm和6cm.4.延长CD交AB的延长线于P,在△ADP和△ADC中,∠PAD=∠CAD,AD=AD,∠PDA=∠CDA,∴△ADP≌△ADC.∴∠P=∠ACD.又∵DE∥AP,∴∠CDE=∠P.∴∠CDE=∠ACD,∴DE=EC.同理可证:AE=DE.∴AE=CE.四、师生互动，课堂小结这节课主要探讨了等腰三角形的性质,并对性质作了简单的应用.请学生表述性质,提醒每个学生要灵活应用它们.学生间可交流体会与收获.1.布置作业：从教材“习题13.3”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.本课时应把重点放在逐步展示知识的形成过程上，先让学生通过剪纸认识等腰三角形；再通过折纸猜测、验证等腰三角形的性质；然后运用全等三角形的知识加以论证.由特殊到一般、由感性上升到理性，逻辑演绎，层层展开，步步深入.。
一元二次方程的解法复习课
2
x2 4x 4 5 4
2
x 22 13
2 x2
26
2
x1
26 2 2
x2
26 2 2
例题讲解
四 公式法
一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
当b2 4ac 0时,它的根是:
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法
x
2 9
2
4 17
.
4
4 16
1.化1:把二次项系数化为1; 2.移项:把常数项移到方程的右边;
3.配方:方程两边都加上一次项 系数绝对值一半的平方; 4.变形:方程左边分解因 式,右边合并同类;
x 9 17 . 44
5.开方:两边开平方;
x 9 17 .
44
x1
9
4
17
;
x2
用配方法解一元二次方程的方法的助手:
平方根的意义: 如果x2=a, 那么x= a.
完全平方式:式子 a2±2ab+b2 叫完全平方式,且 a2±2ab+b2 =(a±b)2.
用配方法解一元二次方程：
2x2-9x+8=0
解 : x2 9 x 4 0.
x2
9
2 x
4.
x2
9
2 x
9
2
9
2
4.
解：原方程变形为： (2 x)2 9 16
直接开平方得：
2 x 3
4
x1
5 4
x2
11 4
（2） x(x 2) 1 0
一元二次方程复习课件
初三数学第21章一元二次方程复习讲义一、一元二次方程的定义方程中只含有一个未知数，•并且未知数的最高次数是2，•这样的整式的方程叫做一元二次方程，通常可写成如下的一般形式：ax 2+bx+c=0（a ≠0）其中二次项系数是a ，一次项系数是b ，常数项是c ．例1．求方程2x 2+3=22x-4的二次项系数，一次项系数及常数项的积．例2．若关于x 的方程（m+3）27m x -+（m-5）x+5=0是一元二次方程，试求m 的值，•并计算这个方程的各项系数之和．例3．若关于x 的方程（k 2-4）x 2+1k -x+5=0是一元二次方程，求k 的取值范围．例4．若α是方程x 2-5x+1=0的一个根，求α2+21α的值．1．关于x 的一元二次方程225250x x p p -+-+=的一个根为1，则实数p 的值是（ ） A ．4 B ．0或2 C ．1 D ．1-2．一个三角形的两边长为3和6，第三边的边长是方程(2)(4)0x x --=的根，则这个三角形的周长是（ ） Ａ．11 Ｂ．11或13 Ｃ．13 Ｄ．11和13 3．如图，在宽为20m ，长为32m 的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为2540m ，求道路的宽．（部分参考数据：2321024=，2522704=，2482304=）二、一元二次方程的一般解法 基本方法有：（1）配方法； （2）公式法； （3） 因式分解法。
联系：①降次，即它的解题的基本思想是：将二次方程化为一次方程，即降次． ②公式法是由配方法推导而得到．③配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于某些一元二次方程． 区别：①配方法要先配方，再开方求根． ②公式法直接利用公式求根．③因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，•再分别使各一次因式等于0．例1、用三种方法解下列一元二次方程1、x 2 +8x+12=02、3x 23x-6=0用适当的方法解一元二次方程1、x2-2x-2=02、2x23、x（2x-3）=（3x+2）（2x-3）4、4x2-4x+1=x2+6x+95、（x-1）2-2（x2-1）=0注意：选择解方程的方法时，应先考虑直接开平方法和因式分解法；再考虑用配方法，最后考虑用公式法三、判定一元二次方程的根的情况？一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式是△=b2-4ac，1．△=b2-4ac>0↔一元二次方程有两个不相等的实根；2．△=b2-4ac=0↔一元二次方程有两个相等的实数；3．△=b2-4ac<0↔一元二次方程没有实根．例1、不解方程判断下列方程根的情况1、x2-（2、x2-2kx+（2k-1）=0例2、关于x的一元二次方程(a－1)x2＋x＋a2＋3a－4＝0有一个实数根是x＝0．则a 的值为例3、已知a、b、c是△ABC的三边长，且方程a（1+x2）+2bx-c（1-x2）=0的两根相等，•则△ABC为例5、已知关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0（a≠0）有两个相等的实数根求4)2(222-+-baab的值例6、（2006．广东）将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．四、一元二次方程根与系数的关系一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根分别为x 1x2x1 + x 2= -bax 1 x2=ca例1.方程的x2-2x-1=0的两个实数根分别为x1，x2, 则（x1 -1）（x 2-1）=例2．设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，（1）试推导x1+x2=-ba，x1·x2=ca；（2）•求代数式a（x13+x23）+b（x12+x22）+c（x1+x2）的值．五、一元二次方程与实际问题的应用步骤:①审②设③列④解⑤答应用题常见的几种类型：1. 增长率问题 [增长率公式：b x a ＝2)1( ]例1：某工厂一月份产值为50万元，采用先进技术后，第一季度共获产值182万元，二、三月份平均每月增长的百分率是多少?例2：某种产品的成本在两年内从16元降至9元，求平均每年降低的百分率。
一元二次方程复习课教案
九年级一元二次方程复习课教案一、教学目标：1.通过知识结构图，完成对一元二次方程的知识点的梳理，建构知识体系；2.通过灵活运用解方程的方法，体会四种解法之间的联系与区别，进一步熟练根据方程特征找出最优解法；3.通过实际问题的解决，进一步熟练运用方程解决实际问题，体会方程思想在解决问题中的作用。
二、教学重点：理解并掌握一元二次方程的概念及解法，会运用方程解决实际问题。
三、教学难点：灵活运用解方程的方法，体会四种解法之间的联系与区别，进一步熟练根据方程特征找出最优解法。
四、教学过程：（一）导入：本章知识结构图1.一元二次方程的定义：方程两边都是整式，只含有一个未知数，未知数的最高次数是22.一元二次方程的解法：(1）直接开平方法(2 )因式分解法(3 )配方法(4 )求根公式法3.一元二次方程的应用（二）基础训练1.判断下列方程是不是一元二次方程，若不是一元二次方程，请说明理由。
x 1 1） (x －1)２＝４ 2）x ²－2x=8 3）x ²+ ＝１ 4）x ²＝y+１ 5） x ３－２x ²＝１ 6）ax ² + bx + c ＝１2.把下列方程化为一元二次方程式，指出二次项系数，一次项系数和常数项 3x ²=1 2y(y-3)= -43.填一填1）若()()02222=-+++x m x m 是关于x 的一元二次方程则m 。
2）若方程02)1()2(22=--++-x m x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。
3）若x=2是方程x ²+ax-8=0的解，则a= 。
4.选一选1）已知一元二次方程(x+1)(2x －1)=0的解是（ ）（A ）-1 （B ）21 （C ）-1或-2 （D ）-1或212）已知一元二次方程x ²=2x 的解是（ ）（A ）0 （B ）2 （C ）0或-2 （D ）0或25.用适当的方法解下列方程()2130x x -=()22(21)90x --=()2341x x -=()24310x x -+= 6.反败为胜选一选（略）7.一元二次方程应用（略）8.中考链接（2018、2017年广东中考试题）（三）课堂小结：通过今天的学习你有什么收获？（四）课后作业：练习册相应习题。
一元二次方程复习课(精品)
一元二次方程复习一、一元二次方程知识点1、一元二次方程：只有一个未知数，并且未知数的项的最高系数为2的方程2、一元二次方程的解法(1）配方法利用配方，使方程变为完全平方公式，在用直接开平方法去求出解(2)分解因式法提取公因式，套用公式法，和十字相乘法。
在解一元二次方程的时候也一样，利用这点，把方程化为几个乘积的形式去解(3)公式法这方法也可以是在解一元二次方程的万能方法了，方程的根X1={-b+√[b2-4ac)]}/2a，(X2={-b-√[b2-4ac)]}/2a3、解一元二次方程的步骤：（1）配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式(2)分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式(3)公式法（就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c4、韦达定理利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=-b/a ，二根之积=c/a也可以表示为x 1+x 2=-b/a,=c/a 。
利用韦达定理，可以求出一元二次方程中的各系数， 在题目中很常用 5、一元二次方程根的情况利用根的判别式去了解，根的判别式可在书面上可以写为“△”，读作“dei er ta”， 而△=b 2-4ac ，这里可以分为3种情况：I 、当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； II 、当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根；￥III 、当△<0时，一元二次方程没有实数根（在这里，学到高中就会知道，这里有2个虚数根）二、考点研究考点一、概念例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ()()12132+=+x x B 02112=-+x xC 02=++c bx axD 1222+=+x x x变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。
一元二次方程(复习)教案
一元二次方程复习一．学习目标：1．理解并掌握一元二次方程的意义，正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数；2．一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解；3．明确解一元二次方程的基本思想是以降次为目的，会用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程；4．了解一元二次方程根的判别式概念，能用判别式判定根的情况，并会用判别式求一元二次方程中符合题意的字母系数的取值范围；5．会列一元二次方程解决生活中的实际问题，与二次函数综合考查最优问题。
本节的主要考查一元二次方程的根，解一元二次方程，根的判别式，以及一元二次方程在实际生活中的应用。
在中考中，往往会在填空题中考查一元二次方程的根，根的判别式，在解答题中考查一元二次方程的解法，尤其是在倒数第二题中考查一元二次方程在实际生活中的应用，和二次函数相结合的综合应用。
二．教学过程1、一元二次方程定义：只含有，未知数，并且，这样的就是一元二次方程。
2、一般表达式：其中2ax是二次项，叫二次项系数；是一次项，叫一次项系数，是常数项。
二次项系数、一次项系数及常数项都是方程在一般形式下定义的，所以求一元二次方程的各项系数时，必须先将方程化为一般形式。
3、使值，就是方程的解。
4、一元二次方程的解法：（1）法，适用于能化为的一元二次方程。
（2 ）法，即把一元二次方程变形为（x+a）（x+b）=0的形式，则（x+a）=0或（3）法，即把一元二次方程配成形式，再用直接开方法，(4) 法，其中求根公式是（≥0）5、根的判别式、根与系数的关系：当时，方程有两个不相等的实数根。
当时，方程有两个相等的实数根。
当时，方程有没有的实数根。
如果一元二次方程有两根，则有6、列一元二次方程解实际应用题步骤三．跟踪练习：1：若x=2是关于x的一元二次方程x2－mx＋8=0的一个解．则m的值是．(A) 6 (B) 5 (C) 2 (D)－62.（2011广西贵港3分）若关于x的一元二次方程x2－mx－2＝0的一个根为－1，则另一个根为A．1 B．－1 C．2 D．－23.(2012年河北一模)关于x的一元二次方程(a－1) x2+x+a2－1=0的一个根是0，则a的值为（）A. 1B. －1C. 1或－1D. 04. （2011广西百色3分）关于x的方程的一个根为1，则m的值为 A.1B. 12.C.1 或12.D.1 或－12 .5. （2012年浙江一模）已知关于x的方程的一个根是1，则k= ．考点二、一元二次方程的解法：（1）（2012湖北荆州）用配方法解关于x的一元二次方程x2－2x－3＝0，配方后的方程可以是( ) A．(x－1)2＝4 B．(x＋1)2＝4 C．(x－1)2＝16 D．(x＋1)2＝16（2012山东省滨州中考）方程x（x﹣2）=x 的根是．（2）（3）（2011江苏省无锡市）解方程：x²－4x+2=0举一反三1：（2012贵州铜仁，17,4分，一元二次方程的解为____________；2：(2012贵州黔西南州，4，4分)三角形的两边分别为2和6，第三边是方程x2―10x＋21=0的解，则第三边的长为( )． A．7 B．3 C．7或3 D．无法确定3：解方程：（1）（2011广东清远6分）解方程：x2－x－1=0．（2）（2011湖北武汉6 分）解方程：x2+3x+1=0.考点三：根的判别式，根与系数的关系（2012 湖北襄阳）如果关于x的一元二次方程kx2 －＋1 ＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 A．k＜ 1 2 B．k＜ 1 2 且k≠0 C．－12≤k＜12 D．－12≤k＜1 2 且k≠0。
用公式法解一元二次方程(第4课时)
作业：用公式法解一元二次方程（第4课时）3-241.(2014·深圳中考)下列方程没有实数根的是( )A.x2+4x=0B.3x2+8x-3=0C.x2-2x+3=0D.(x-2)(x-3)=122.(2013·枣庄中考)若一元二次方程x2+2x+m=0有实数根,则m的取值范围是( )A.m≤-1B.m≤1C.m≤4D.m≤3.已知关于x的一元二次方程(k-1)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是( )A.k<-2B.k<2C.k>2D.k<2且k≠1【变式训练】(2014·益阳中考)一元二次方程x2-2x+m=0总有实数根,则m应满足的条件是( )A.m>1B.m=1C.m<1D.m≤14.在一元二次方程x2+bx+c=0(b≠c)中,若系数b,c可在1,2,3,4中取值,则其中有实数解的方程个数是.5.(2014·贺州中考)已知关于x的方程x2+(1-m)x+=0有两个不相等的实数根,则m的最大整数值是.6.若+=0,且一元二次方程kx2+ax+b=0有实数根,则k的取值范围是.7.已知:关于x的一元二次方程kx2-(4k+1)x+3k+3=0(k是整数).(1)求证:方程有两个不相等的实数根.(2)若方程的两个实数根分别为x1,x2(其中x1<x2),设y=x2-x1-2,判断y是否为变量k的函数?如果是,请写出函数表达式;若不是,请说明理由.8.已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k-4=0有两个不相等的实数根.(1)求k的取值范围.(2)若k为正整数,且该方程的根都是整数,求k的值.9.(2014·株洲中考)已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a-c)=0,其中a,b,c分别是△ABC的三边长.(1)如果x=-1是方程的根,试判断△ABC的形状,并说明理由.(2)如果方程有两个相等的实数根,试判断△ABC的形状,并说明理由.(3)如果△ABC是等边三角形,试求出这个一元二次方程的根.。
第22章 一元二次方程复习
第22章一元二次方程复习（1）一元二次方程及其解法樊城区太平店中学刘玉萍一、内容与内容解析1、内容复习一元二次方程及其有关的概念，一元二次方程的基本解————配方法、公式法、因式分解法，一元二次方程根与系数的关系等知识，建立知识体系，综合运用一元二次方程的知识解决有关的问题。
2、内容解析本章学习了一元二次方程。
在学习中通过具体实例认识了一元二次方程，探索了一元二次方程的解法，研究了实际问题与一元二次方程，分别讨论了传播问题、增长率问题和几何图形面积问题。
本章的重点是一元二次方程的解法及应用一元二次方程解决实际问题。
这些知识都是方程领域的基础知识，在以后学习“二次函数”中“用函数的观点看一元二次方程”也要用到，这部分内容掌握不好，将会影响后续内容的学习。
学好这部分内容的关键是要使学生理解一元二次方程的一般形式；一元二次方程根的情况；一元二次方程根与系数的关系等知识。
并将一元二次方程与一元一次方程作类比，因为一元二次方程是一元一次方程的拓展和延伸，一元一次方程是学习一元二次方程的基础。
在本章的学习过程中需要学生通过观察、对比、归纳、类比等来发现一元二次方程的解法，同时还要注意引导学生分析方程的特点，引导学生进行转化，是学生学会把未知化为已知，把复杂问题化为简单问题的思考方法。
作为本章复习课的第一节课，本节主要复习一元二次方程的有关概念；一元二次方程的解法；一元二次方程的根与系数的关系。
本节内容是对本章重点知识的巩固和提高，通过复习使学生能够熟练地选用适当的方法解一元二次方程，进一步体会一元二次方程化归降次的思想。
由以上的分析，确定本节课的教学重点是：灵活应用一元二次方程的解法解决有关的问题。
二、教材解析本节课主要内容是复习巩固一元二次方程有关概念和一元二次方程的解法及根与系数的关系等知识，重点是一元二次方程的解法。
在知识回顾的过程中，结合问题让学生通过独立思考，回顾所学的内容，建立相应的知识结构图。
一元二次方程整章复习课
3y2 2 y 4 0
用配方法解方程2x²+4x +1 =0，
用配方法解一元二次方程的步骤: 配方后得到的方程 1.变形:把二次项系数化为1 2=1/2 。 是 （ x+1) 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系一半的平方; 4.变形:方程左边分解因式,右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
28-t
Q
28-t 28-3t
P
D
t
B A
3t
作业本（１）１１页
用配方法说明：无论t取何实数，多项式
2t 4t 1 的值必小于或等于３
2
课外拓展
某租赁公司拥有汽车100辆。据统计，当每辆车的月租
金为3000元时，可全部租出。每辆车的月租金每增加50 元，未租出的车将增加1辆。租出的车每辆每月的维护费 为150元，未租出的车每辆每月只需维护费50元。 (1)当每辆车的月租金定3600元时,能租出多少辆?
公式法： 适应于任何一个一元二次方程
用公式法解一元二次方程，先将方程化为一般形式， 再求出b2-4ac的值， b2-4ac≥0则方程有实数根， b2-4ac≤0则方程无实数根。
用公式法解下列方程 ：（1）4x2+1=-4x
1 1 2 （2）( x 5) (79 x ) 0 2 3
注意: (1)当方程中各项系数为分数时，在整理方程过程中，
多少个？
解：设涨价ｘ元，则定价为（５０＋ｘ）元， 每个商 品的利润为（５０＋ｘ－４０）元，销售 数量为（５００－１０ｘ）个，由题意得 （５０＋ｘ－４０）（５００－１０ｘ）＝８０００ x1 10, x2 30 解得
一元二次方程的解法(4)因式分解法课件全面版
两因式 各求解
布置作业 1、家庭作业：练习册17.2（5） 2、课堂作业:课本习题17.2第4题； 3、预学下一课时内容。
只要我们坚持了，就没有克服不了的困难。或许，为了将来，为了自己的发展，我们会把一件事情想得非常透彻，对自己越来越严，要求越来越高，对任何机会都不曾错过，其 目的也只不过是不让自己随时陷入逆境与失去那种面对困难不曾屈服的精神。但有时，“千里之行，始于足下。”我们更需要用时间持久的用心去做一件事情，让自己其中那小 小的浅浅的进步，来击破打破突破自己那本以为可以高枕无忧十分舒适的区域，强迫逼迫自己一刻不停的马不停蹄的一直向前走，向前看，向前进。所有的未来，都是靠脚步去 丈量。没有走，怎么知道，不可能；没有去努力，又怎么知道不能实现？幸福都是奋斗出来的。那不如，生活中、工作中，就让这“幸福都是奋斗出来的”完完全全彻彻底底的 渗入我们的心灵，着心、心平气和的去体验、去察觉这一种灵魂深处的安详，侧耳聆听这仅属于我们自己生命最原始最动人的节奏。但，这种聆听，它绝不是仅限于、执着于 “我”，而是观察一种生命状态能够扩展和超脱到什么程度，也就是那“幸福都是奋斗出来的”深处又会是如何？生命不止，奋斗不息！又或者，对于很多优秀的人来说，我们 奋斗了一辈子，拼搏了一辈子，也只是人家的起点。可是，这微不足道的进步，对于我们来说，却是幸福的，也是知足的，因为我们清清楚楚的知道自己需要的是什么，隐隐约 约的感觉到自己的人生正把握在自己手中，并且这一切还是通过我们自己勤勤恳恳努力，去积极争取的!“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。”当我们坦然接受这人生的终局， 或许，这无所皈依的心灵就有了归宿，这生命中觅寻处那真正的幸福、真正的清香也就从此真正的灿烂了我们的人生。一生有多少属于我们的时光？陌上的花，落了又开了，开 了又落了。无数个岁月就这样在悄无声息的时光里静静的流逝。童年的玩伴，曾经的天真，只能在梦里回味，每回梦醒时分，总是多了很多伤感。不知不觉中，走过了青春年少， 走过了人世间风风雨雨。爱过了，恨过了，哭过了，笑过了，才渐渐明白，酸甜苦辣咸才是人生的真味！生老病死是自然规律。所以，面对生活中经历的一切顺境和逆境都学会 了坦然承受，面对突然而至的灾难多了一份从容和冷静。这世上没有什么不能承受的，只要你有足够的坚强！这世上没有什么不能放下的，只要你有足够的胸襟！ 一生有多少 属于我们的时光？当你为今天的落日而感伤流泪的时候，你也将错过了明日的旭日东升；当你为过去的遗憾郁郁寡欢，患得患失的时候，你也将忽略了沿途美丽的风景，淡漠了 对未来美好生活的憧憬。没有十全十美的生活，没有一帆风顺的旅途。波平浪静的人生太乏味，抑郁忧伤的人生少欢乐，风雨过后的彩虹最绚丽，历经磨砺的生命才丰盈而深刻。 见过了各样的人生：有的轻浮，有的踏实；有的喧哗，有的落寞；有的激扬，有的低回。肉体凡胎的我们之所以苦恼或喜悦，大都是缘于生活里的际遇沉浮，走不出个人心里的 藩篱。也许我们能挺得过物质生活的匮乏，却不能抵挡住内心的种种纠结。其实幸福和欢乐大多时候是对人对事对生活的一种态度，一花一世界，一树一菩提，就是一粒小小的 沙子，也有自己精彩的乾坤。如果想到我们终有一天会灰飞烟灭，一切象风一样无影亦无踪，还去争个什么？还去抱怨什么？还要烦恼什么？未曾生我谁是我？生我之时我是谁？ 长大成人方是我，合眼朦胧又是谁？一生真的没有多少时光，何必要和生活过不去，和自己过不去呢。你在与不在，太阳每天都会照常升起；你愁与不愁，生活都将要继续。时
21-2.4 因式分解法解一元二次方程(4)
(3x+5)(3x－5)=0 3X+5=0 或 3x－5=0 练习展示 5 5 x1 , x 2 . 3 3
例4、解下列方程
2
x 5x 6 0
解 把方程左边分解因式，得
( x 2)(x 3) 0
因此，有 解得
练习展示
x 2 0或x 3 0
x 2, x 3.
50 50 x 49 49 教材导读
2 2
2
a = 4.9，b =－10，c = 0 b2－4ac = (－10)2－4×4.9×0=100
b b 2 4ac 10 10 x 2 4.9 2a
x
50 50 49 49 50 50 x 49 49
100 x1 ， x2 0 49
100 x1 ， x2 0 49
探究
10 x 4.9 x 0
2
如果a ·b = 0， 那么 a = 0或 b = 0。
x 10 4.9x 0
教材导读 x0
因式分解
两个因式乘积为 0，说明什么？ 降次，化为两个一次方程 或 10 4.9 x 0
情景导课
把一个多项式分解成几个整式乘积 的形式叫做分解因式.
回顾与复习 2
分解因式的方法有那些? （1）提取公因式法: am+bm+cm=m(a+b+c). （2）公式法: a2-b2=(a+b)(a-b), a2±2ab+b2=(a±b)2.
情景导课
（3）十字相乘法: x2+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b).
八年级秋季班-第4讲：一元二次方程的概念及特殊的一元二次方程的解法
一元二次方程概念及解法是八年级数学上学期第二章第一节内容，主要对一元二次方程概念和直接开平方法及因式分解法对一元二次方程进行讲解，重点是一元二次方程概念的理解，难点是开平方法及因式分解法解特殊一元二次方程．通过本节课的学习对一元二次方程有个整体的认识，为后面的解方程打下基础.1一元二次方程的概念1.1 整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式的方程叫做整式方程．1.2 一元二次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的的整式方程称作一元二次方程．2一元二次方程一般式的概念任何一个关于x的一元二次方程都可以化成()200ax bx c a++=≠的形式，这种形式简称为一元二次方程的一般式．其中2ax叫做二次项，a是二次项系数；bx叫做一次项，b是一次项系数；c叫做常数项．3一元二次方程的解能够使一元二次方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解．只含有一个未知数的方程，它的解又叫做方程的根．一元二次方程概念及解法知识结构模块一：一元二次方程的概念知识精讲内容分析【例1】 下列方程中，哪些是一元二次方程?哪些不是一元二次方程．（1）20x =；（2）()()33140x x −++=；（3）()()3210x y −−=； （4）42=0x x−；（5）21323x x −=；（6）20ax bx c ++=，（a b ，为已知数）； （7）2(3)(2)5x x x +−=+；（8）2(3)8(3)a x a −=≠．【难度】★【答案】（1）、（2）、（5）、（8）是一元二次方程，其余不是一元二次方程．【解析】（1）、（2）、（5）、（8）化为一般式后满足一元二次方程定义，是一元二次方程；（3）含有两个未知数，（4）是分式方程，（6）没有强调二次项系数不为0，（7） 化成一般式后，二次项抵消，是一元一次方程．故（3）、（4）、（6）、（7）不是一 元二次方程．【总结】本题考查了一元二次方程的概念．【例2】 当k ________时，方程2(3)60k x kx −−+=一元二次方程． 【难度】★ 【答案】3k ≠．【解析】令二次项系数不为0，即30k −≠，解得：3k ≠． 【总结】本题考查了一元二次方程的概念．【例3】 方程(1)(2)2x x ++=的一般形式是_______，二次项系数是________，常数项是________． 【难度】★【答案】230x x +=， 1， 0． 【解析】去括号，得：2322x x ++=，移项得：230x x +=，所以二次项系数是1，常数项是0． 【总结】本题考查了一元二次方程的一般形式和各项系数的相关概念．例题解析【例4】 写出一个满足条件一次项系数是3−，且有一个根是1−的一元二次方程． 【难度】★【答案】2340x x −−=等．【解析】一次项为3x −，二次项系数任意定，再把1x =−代入用常数项配凑． 【总结】本题考查了一元二次方程项与系数的相关概念以及方程的根的概念．【例5】 关于x 方程2(21)350m x mx −++=有一个根是1x =−，求m 的值． 【难度】★ 【答案】4m =．【解析】将1x =−代入的：(21)350m m −−+=，解得：4m =． 【总结】本题考查了方程的解得概念．【例6】 当m 取何值时，关于x 的方程21232m mx x x mx +−=−+是一元二次方程．【难度】★★★ 【答案】0或－1． 【解析】 整理得：212(3)20mmx x m x +−+−−=① 212m +=时，此时原方程为：2(1)(3)20m x m x −+−−=， 由21210m m ⎧+=⎨−≠⎩， 解得：1m =−；② 当211m +=时，此时原方程为：2(23)20x m x −+−−=， 由211m +=，解得：0m =． 综上：10m =−或．【总结】本题考查了一元二次方程的概念．【例7】 若关于x 的方程21(1)54aa x x +−+=．（1）方程为一元二次方程，a 的取值是? （2）方程为一元一次方程，a 的取值是? 【难度】★★【答案】（1）1a =−； （2）0a =． 【解析】（1）令21210a a ⎧+=⎨−≠⎩， 解得：1a =−；（2）令211150a a ⎧+=⎨−+≠⎩，解得：0a =．【总结】本题考查了一元二次方程的概念．【例8】 如果关于x 方程20(0)ax b a +=≠有实数根，试确定a 、b 应满足的关系． 【难度】★★ 【答案】a b 、异号．【解析】（1）当0a ≠时，原方程为一元二次方程， 当a b 、异号时，原方程有实数根； 综上：当a b 、异号时，原方程有实数根． 【总结】本题考查了含参数方程的分类讨论．【例9】 关于x 方程20(0)ax bx c a ++=≠满足下列两个等式成立420a b c −+=，220a b c −+=，试求方程的解．【难度】★★【答案】1222x x =−=−，．【解析】由2(2)(2)0a b c −+−+=，2(2)(2)0a b c +−+=，得：原方程的解为：1222x x =−=−，【总结】本题考查了方程的解得概念．【例10】 已知方程2510mx nx −+=和2340mx nx +−=有共同的根2，试求n 的值． 【难度】★★【答案】2132n =．【解析】把2x =代入得： 202104640m n m n −+=⎧⎨+−=⎩，②×5－①得：32210n −=解得：2132n =．【总结】本题考查了方程的解得概念．【例11】 若两个方程20x ax b ++=和20x bx a ++=只有一个公共根，写出a 与b 之间的关系． 【难度】★★ 【答案】1a b +=−．【解析】设这个公共根是m ，则2200m am b m bm a ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩，将两个方程相减得：()()0a b m b a −+−=， 解得：1m =，将1m =代入原方程得：1a b +=−． 【总结】本题考查了方程的解的概念．【例12】 若a 是方程220x x −−=的一个根，则代数式2a a −的值是_______． 【难度】★★ 【答案】2．【解析】由已知，得：220a a −−=， 移项，得：22a a −=．【总结】本题考查了方程的解得概念以及整体代入思想的运用．【例13】 已知关于x 的方程32310a b a b x x +−+−=是一元二次方程，求a 、b 的值． 【难度】★★★【答案】6545a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；11a b =⎧⎨=⎩；4565a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；4515a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；2525a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩．【解析】由已知得：2322a b a b +=⎧⎨−=⎩；2321a b a b +=⎧⎨−=⎩；2320a b a b +=⎧⎨−=⎩；1322a b a b +=⎧⎨−=⎩；0322a b a b +=⎧⎨−=⎩；解得：6545a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；11a b =⎧⎨=⎩；4565a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；4515a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；2525a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩．【总结】本题考查了含参方程的分类讨论．【例14】 已知a 是方程220000x x −−=的一个根，求代数式200032000120001a+++的值，用含a的式子表示． 【难度】★★★ 【答案】2a +．【解析】由已知，得：220000a a −−=，两边同时除以a ，得：200010a a −−=，20001a a∴=+． 2000320001a∴=++原式20003a =+200021a =++2a =+． 【总结】本题考查了方程的根的概念．1、特殊的一元二次方程的解法1.1、特殊的一元二次方程的解法主要有两种即直接开平方和因式分解． 1.2、因式分解法的一般步骤： ①将方程右边化为零；②将方程左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积； ③令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程； 分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．【例15】 填空：（1） 方程2(1)4x −=的根是____________； （2） 方程280x x −=的根是____________；（3） 如果方程2()x a k −=有解，那么k _________；其解1x =________；2x =________． 【难度】★【答案】（1）1231x x ==−，； （2）1208x x ==，； （3）0≥，12x k a x k a =+=−+，． 【解析】（1）直接开平方 （2）因式分解 12x −=± (8)0x x −=① 12x −= ②12x −=− ①0x = ②80x −=∴1231x x ==−，； ∴1208x x ==，； （3）由原方程有解得：0k ≥． 直接开平方：x a k −=±① x a k −= ②x a k −=−∴12x k a x k a =+=−+，．【总结】本题考查了直接开平方法和因式分解法解一元二次方程．例题解析知识精讲模块二：特殊的一元二次方程的解法【例16】 如果n 是方程20x mx n ++=的根，且0n m n ≠+，则的值是（）A ．12B ．12−C ．1D ．1−【难度】★ 【答案】D【解析】将x n =代入方程得：20n mn n ++=，即：(1)0n m n ++= ∵0n ≠， ∴10m n ++=， ∴1m n +=−， 故选择D ．【总结】本题考查了方程的解的概念．【例17】 方程：2331()()()0442x x x −+−−=的较小的根是（） A ．34B ．34−C ．12D ．58【难度】★ 【答案】D【解析】提公因式，得：331()()0442x x x −−+−=，整理得：35()(2)044x x −−=，∴123548x x ==，，∵3548> ，故选择D ． 【总结】本题考查了因式分解法解一元二次方程．【例18】 解关于x 的方程（用直接开平方方法）：（1）23205x −=；（2）(3)(3)9x x +−=． 【难度】★【答案】（1）123030x x ==2）123232x x ==−． 【解析】（1）2325x = （2）299x −=2310x =218x = 30x = 32x =± ∴123030x x =； ∴123232x x ==−． 【总结】本题考查了直接开平方法解一元二次方程． 【例19】 解关于x 的方程（因式分解方法）：（1）2350x x =； （2）7(3)39x x x −=−． 【难度】★【答案】（1）1250x x ==， （2）12337x x ==，．【解析】（1）(35)0x x = （2）7(3)3(3)x x x −=− ①0x = ②350x 7(3)3(3)0x x x −−−= ∴1250x x =， (3)(73)0x x −−= ① 30x −= ②730x −=∴12337x x ==，． 【总结】本题考查了因式分解法解一元二次方程． 【例20】 解关于x 的方程（合适的方法 ）：（1）2110464x x −+=；（2）22(2)(12)x =+． 【难度】★★ 【答案】（1）1218x x ==；（2）121122x x ==−−， 【解析】（1）因式分解法 （2）直接开方法21()08x −= 2(12)x ±108x −= ①212x += ②2(12)x +=− ∴1218x x ==； ∴121122x x ==−−， 【总结】本题考查了特殊一元二次方程的解法，注意重根的写法！【例21】 解关于x 的方程（合适的方法）：（1）236350x x +−=；（2）2(41)10(14)240x x −+−−=． 【难度】★★ 【答案】（1）1235136x x ==−，； （2）1213144x x ==−，． 【解析】（1）因式分解法 （2）把41x −看作一个整体，因式分解 (3635)(1)0x x −+= 2(41)10(41)240x x −−−−= ①36350x −= ②10x += (4112)(412)0x x −−−+= ∴1235136x x ==−，； (413)(41)0x x −+= ① 4130x −= ②410x +=∴1213144x x ==−，． 【总结】本题考查了一元二次方程的解法，注意整体意识的建立．【例22】 解关于x 的方程：224329x =．【难度】★★ 【答案】13(32)x −=，23(32)x −=． 【解析】直接开平方：2(32)3x =±① 2(32)3x = ②2(32)3x =−解得：13(32)x −=，23(32)x −=． 【总结】本题考查了直接开平方法解一元二次方程．【例23】 解关于x 的方程：（1）22220x ax a b −+−=； （2）22222()4()0a b x abx a b −−−−= （3）222210m x mx x mx −+−+=． 【难度】★★★【答案】 （1）1x a b =+，2x a b =−；（2）当a b ≠时，1a b x a b +=−，2a bx a b−=−+； 当0a b =±≠时， 0x =；当0a b ==，原方程有无数解；（3）当01m m ≠≠且时，11x m =，211x m =−；当0m =时，1x =−； 当1m =时，1x =． 【解析】（1）22220x ax a b −+−=， [()][()]0x a b x a b −+−−=， ∴1x a b =+，2x a b =−；（2）①当220a b −≠即a b ≠时，原方程是一元二次方程 22222()4()0a b x abx a b −−−−= [()()][()()]0a b x a b a b x a b −−+++−= ∴1a b x a b +=−，2a bx a b−=−+； ②当220a b −=且0ab ≠时，即0a b =±≠时，原方程是一元一次方程0x =；③当0a b ==，等式恒成立，原方程有无数解； 综上：当a b ≠时，1a b x a b +=−，2a bx a b−=−+； 当0a b =±≠时， 0x =； 当0a b ==，原方程有无数解； （3）整理得：22()(12)10m m x m x −+−+=① 当20m m −≠即01m m ≠≠且时，原方程是一元二次方程1(1)1mx m x−−−[1][(1)1]0mx m x −−−= ∴11x m=，211x m =−；②当0m =时，原方程为：10x +=，解得：1x =−； ③当1m =时，原方程为：10x −+=，解得：1x =；综上：当01m m ≠≠且时，11x m=，211x m =−；当0m =时，1x =−； 当1m =时，1x =；【总结】本题考查了含参数一元二次方程的解法，一定要分类讨论！是一元二次方程时，一般利用因式分解法．【例24】 已知关于x 的一元二次方程22(2)320m x x m ++−=的一个根为0，求m 的值． 【难度】★★ 【答案】2m =【解析】由已知得：20m ，即2m ≠ 将0x =代入，得：220m −= 解得：2m =． 又2m ≠ ∴2m =【总结】本题考查了方程解得概念及一元二次方程的概念，对于二次项系数是参数的一元二次方程首要考虑的是二次项系数不为0，再根据题意进行计算．【例25】 解关于x 的方程：（1）20(0)ax c a −=≠；（2）25||60x x −−=．【难度】★★★【答案】（1）当a c 、同号时，12ac acx x == 当a c 、异号时，原方程无解； （2）1266x x ==−，．【解析】（1）移项得：2ax c = （2）把x 看成一个整体，则： ∵0a ≠ 2560x x −−=∴2cx a=(6)(1)0x x −+= 当a c 、同号时，12ac acx x ==； ∵10x +> ∴60x −= 当a c 、异号时，原方程无解； ∴1266x x ==−，． 【总结】本题考查了特殊一元二次方程的解法．【例26】 解关于x 的方程：222()(1)()0()a b x a b x a b a b −−−+++=≠． 【难度】★★★【答案】121x x a b a b==+−，．【解析】∵a b ≠，原方程是一元二次方程；222()(1)()0()a b x a b x a b a b −−−+++=≠ [()1][()]0a b x x a b −−−+=∴121x x a b a b ==+−，．【总结】本题考查了含参的一元二次方程的解法，多利用因式分解法，个别不能用因式分解法进行求解的题目可以尝试我们下节课学习的求根公式法．【例27】 方程2(2016)2015201710x x −⋅−=的较大的根是a ，方程2201620170x x −−=的较小的根为b ，求代数式2017()a b +的值． 【难度】★★★ 【答案】0．【解析】2(2016)2015201710x x −⋅−= 2201620170x x −−= 222016(20161)(20161)10x x −−+−= 20171x x−2222016(20161)10x x −−−= (2017)(1)0x x −+= 2(20161)(1)0x x +−=∴1220171x x b ==−=，；∴122112016x x a =−==，；∴2017()0a b +=．【总结】本题考查了特殊一元二次方程的解法，要从系数中找寻规律进行求解．【习题1】 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）．A ．10x x −= B ．210x x ++= C ．211x x ++=D ．221x x x +=−【难度】★ 【答案】B【解析】A 选项是分式方程；C 选项等号左边不是整式，不是一元二次方程，是下学期将会 学到的无理方程；D 选项化简后为10x +=是一元一次方程；故选择B 选项． 【总结】本题考查了一元二次方程的概念．【习题2】 关于x 的方程2(3)10m x mx +−+=是不是一元二次方程? 【难度】★ 【答案】不一定．【解析】当30m +≠即3m ≠−时，原方程是一元二次方程； 当30m +=即3m =−时，原方程是一元一次方程． 【总结】本题考查了一元二次方程的概念．【习题3】 已知关于x 的方程2(21)4(1)0k x kx k +−+−=，当k ________时，此方程为一元二次方程，它的二次项系数是______，一次项是____________，常数项是___________． 【难度】★【答案】121412k kx k ≠−+−−；；；．【解析】略．【总结】本题考查了一元二次方程的概念，注意写项和系数时要带着前面的符号．随堂检测【习题4】 若方程2()0x a b −+=有解，则b 的范围是_______． 【难度】★ 【答案】0b ≤．【解析】移项，得：2()x a b −=−， 由方程有解，得：0b −≥，∴0b ≤． 【总结】本题考查了用直接开平方法解一元二次方程有实数解的条件．【习题5】 关于x 的方程20x nx m ++=两根中只有一个根为0，则下列条件正确的是（）．A ．00m n ==，B ．00m n =≠，C ．00m n ≠≠，D ．00m n ≠=，【难度】★★ 【答案】B【解析】将0x =代入，得：0m =当00m n ==，时，120x x ==，与题意矛盾， 故00m n =≠，，选择B ． 【总结】本题考查了方程的解的概念．【习题6】 方程2243x x a ==与的解相同，求a 的值． 【难度】★★ 【答案】12．【解析】由已知得两个方程是同一个方程，将24x =左右两边同时乘以3，得：2312x =， ∴12a =．【总结】本题考查了方程的解的概念．【习题7】 用指定的方法解下列方程：（1）22936364(1)x x x −+=+（直接开平方）； （2）20ax abx bc cx −−+=（0a ≠）（因式分解）． 【难度】★★【答案】（1）12485x x ==， ；（2）12cx x b a=−=， ． 【解析】（1）29(44)4(1)x x x −+=+ （2）∵0a ≠,原方程为一元二次方程 229(2)4(1)x x −=+ 整理得：2()0ax ab c x bc −−−= 3(2)2(1)x x −=±+ax c xb−① 3(2)2(1)x x −=+ ②3(2)2(1)x x −=−+ ()()0ax c x b +−= 解得：12485x x ==，； 解得：12cx x b a=−=，． 【总结】本题考查了一元二次方程的解法．【习题8】 用适当的方法解下列方程：（1）22(2)(12)x =−； （2）2x x =； （3）(3)(1)5x x +−=；（4）2()()0()b a x a c x c b a b −+−+−=≠． 【难度】★★【答案】（1）121221x x =−=−； （2）1201x x ==，； （3）1242x x =−=，； （4）121c bx x b a−==−，． 【解析】（1）2(12)x ± （2）20x x −=① 212x − ②2(12)x =− ， (1)0x x −=，解得：121221x x =−=−； 解得：1201x x ==，；（3）整理得：2235x x +−= （4）∵a b ≠原方程是一元二次方程， 2280x x +−=， 2()()0()b a x a c x c b a b −+−+−=≠，(4)(2)0x x +−=，()()1b a xc b x−−−−解得：1242x x =−=，； [()()](1)0b a x c b x −−−−=， 解得：121c bx x b a−==−，． 【总结】本题考查了一元二次方程的解法，注意方法的恰当选择．【习题9】 已知方程22310250ax bx ax bx −−=+−=和有共同的根是1−，求a 的值． 【难度】★★ 【答案】1a =．【解析】将1x =−代入，得：310250a b a b +−=⎧⎨−−=⎩，① ×2+②，得：770a −=， 解得：1a =．【总结】本题考查了方程的解的概念．【习题10】 解关于x 的一元二次方程：22(2016)(2015)1x x −+−=． 【难度】★★★【答案】1220162015x x ==，．【解析】移项，得：22(2016)1(2015)x x −=−−，2(2016)[1(2015)][1(2015)]x x x −=+−−−， 2(2016)(2014)(2016)x x x −=−−， 2(2016)(2014)(2016)0x x x −−−−=， (2016)(40302)0x x −−=， 解得：1220162015x x ==，．【总结】本题考查了一元二次方程的解法，当系数比较大时，要注意寻找规律进行变型求解．【习题11】 已知：若2242350a a b b c −+−+−+=成立，求方程20ax bx c +=的解． 【难度】★★★【答案】12312x x =−=，．【解析】由已知，得：22(2)(1)30a b c −+−+−=，∴213a b c ===，，． 则原方程为：2230x x +−=，分解因式，得： (23)(1)0x x +−=． 解得原方程的解为：12312x x =−=，．【总结】本题考查了几个非负数的和为零的应用和一元二次方程的解法．【习题12】 已知关于x 的方程20ax bx c ++=,20bx cx a ++=和20cx ax b ++=有一个公共根，求证：这个公共根只能是1． 【难度】★★★ 【答案】略．【解析】设这个公共根是m ，则222000am bm c bm cm a cm am b ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩将三个方程相加得：2()()()0a b c m a b c m a b c ++++++++=， 则2()(1)0a b c m m ++++=． ∵22131()024m m m ++=++>，∴0a b c ++=， 即2110a b c ++=， ∴这个公共根只能是1．【总结】本题综合性较强，主要考查了几个方程的公共根的概念及应用．【作业1】 下列方程中不一定是一元二次方程的是（）．A ．2(3)8(3)a x a −=≠B ．20ax bx c ++=C ．(3)(2)5x x x +−=+D ．2332057x x +−= 【难度】★ 【答案】B课后作业【解析】A 、C 、D 选项均符合定义，B 选项中未强调二次项系数不等于0，故选择B ． 【总结】本题考查了一元二次方程的概念．【作业2】 （1）三个连续自然数，前两个数的平方和等于第三个数的平方，设中间一个为x ，根据题意可列方程，化成一般形式为_______________；（2）关于x 的方程2(3)(4)ax bx c x x ++=−+是恒等式，则a b c ++=____________． 【难度】★【答案】（1）222(1)(1)x x x −+=+； 240x x −=； （2）－10．【解析】（1）根据题意得：222(1)(1)x x x −+=+ 化简，得：240x x −=；（2）化简得：2(1)(1)(12)0a x b x c −+−++= 由题意，得：1112a b c ===−，，， ∴10a b c ++=−．【总结】本题考查了一元二次方程的一般形式及应用．【作业3】 方程22(2)0p x px q −++=是一元二次方程成立的条件是（）．A ．2p ≠B ．2p ≠−C ．2p ≠D ．0p =【难度】★ 【答案】C【解析】令220p −≠，解得：2p ≠± 【总结】本题考查了一元二次方程成立的条件．【作业4】 如果方程2(1)0x m x m −++=的两个根互为相反数，那么有（）．A ．0m =B ．1m =−C ．1m =D ．以上结论都不对【难度】★★ 【答案】B【解析】①当120x x ==时，代入得：0m =，此时方程为：20x x −=， 方程的解为1210x x ==，，前后矛盾；② 设方程的根为12x a x a ==−，，（0a ≠）代入得：22(1)0(1)0a a m m a a m m ⎧−++=⎪⎨+++=⎪⎩将两个方程相减得：2(1)0a m +=，∵0a ≠， ∴10m +=． 解得：1m =−．【总结】本题考查了方程的解的概念．【作业5】 若方程20(0)ax bx c a ++=≠中，a b c 、、满足00a b c a b c ++=−+=和，则方程的根是（ ）． A ．1，0 B ．-1，0 C ．1，-1 D ．无法确定【难度】★★ 【答案】C【解析】由已知得：22110(1)(1)0a b c a b c ⎧++=⎪⎨−+−+=⎪⎩，1211x x ∴==−，，故选择C ． 【总结】本题考查了方程的解的概念．【作业6】 用合适的方法解下列关于x 的方程：（1）2(12)(32)20x x −+=； （2）(7)(3)(1)(5)38x x x x −++−+=； （3）2(35)5(35)40x x +−++=； （4）2220()x ax a a +−=为已知常数． 【难度】★★【答案】（1）12212x x ， （2）124242x x ==−； （3）124133x x =−=−，； （4）122x a x a =−=，． 【解析】（1）2(12)(32)20x x +−+=， （2）整理得：22640x −=，[(12)1](2)0x x +−=， 232x =，解得：12212x x ， 解得：124242x x ==−；（3）2(35)5(35)40x x +−++= （4） 2220()x ax a a +−=为已知常数351354x x +−+−2x a xa−(351)(354)0x x +−+−=， (2)()0x a x a +−=解得：124133x x =−=−，； 解得：122x a x a =−=，．【总结】本题考查了一元二次方程的解法．【作业7】 若1x =是方程22250x x n ++−=的一个根，求n 的值． 【难度】★★ 【答案】2n =【解析】将1x =代入得：21250n ++−=， 解得：2n = 【总结】本题考查了方程的根的概念．【作业8】 解关于x 的方程：22222(232)(1)(1)x x a x b ab x −−+−=+． 【难度】★★★【答案】 ①当2b a b a ≠−≠且时，122,2a b a bx x a b a b+−=−=−+−； ②当20b a =−≠时，43x =； ③ 当0b a =≠时，23x =−；④当0b a ==时，原方程有无数解．【解析】整理得：222222(2)3(2)0a ab b x a x a ab b −−−−+−=2a b ab−2a b ab−22(2)()3(2)()0a b a b x a x a b a b +−−−−+=；①当(2)()0a b a b +−≠时，即2b a b a ≠−≠且时，原方程为一二次方程，(2)()()(2)a b x a b a b x a b ++−−−[(2)()][()(2)]0a b x a b a b x a b +++−−−= 解得：122,2a b a bx x a b a b+−=−=−+−； ②当20b a =−≠时，原方程为22340a x a −+=，解得：43x =； ③当0b a =≠时，原方程为22320a x a −−=，解得：23x =−；④当0b a ==时，原方程有无数解；综上：①当2b a b a ≠−≠且时，122,2a b a bx x a b a b+−=−=−+−； ② 20b a =−≠时，43x =； ③当0b a =≠时，23x =−；④当0b a ==时，原方程有无数解． 【总结】本题考查了含参方程的分类讨论．【作业9】 设()21200x x ax bx c a ++=≠、是方程的两根，求3322121212()()()a x x b x x c x x +++++的值．【难度】★★★ 【答案】0．【解析】由已知得：21122200ax bx c ax bx c ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩，原式=3232111222()()ax bx cx ax bx cx +++++ =22111222()()x ax bx c x ax bx c +++++ =0．【总结】本题考查了方程的解得概念．【作业10】 已知实数221428x y x xy y y xy x ++=++=、满足：，，求代数式x y +的值． 【难度】★★★【答案】67x y +=−或．【解析】将两个方程相加得：22242x xy y x y ++++= 整理得：2()()420x y x y +++−=67x y x y+−+(6)(7)0x y x y +−++= 解得：67x y +=−或． 【总结】本题考查了特殊方程的解法．【作业11】 当m 、n 为何值时，关于x 的方程212(1)230m n m x x +−−++=是一元二次方程．【难度】★★★【答案】14m n =⎧⎨=⎩；13m n =−⎧⎨=⎩；12m n =−⎧⎨=⎩；04m n =⎧⎨=⎩．【解析】由已知得：2122210m n m ⎧+=⎪−=⎨⎪+≠⎩；2122110m n m ⎧+=⎪−=⎨⎪−≠⎩；2122010m n m ⎧+=⎪−=⎨⎪−≠⎩；21122m n ⎧+=⎨−=⎩；21022m n ⎧+=⎨−=⎩；解得：14m n =⎧⎨=⎩；13m n =−⎧⎨=⎩；12m n =−⎧⎨=⎩；04m n =⎧⎨=⎩；（第五个方程组无解）【总结】本题考查了含参方程的分类讨论．。
运城市第五中学九年级数学上册第二章一元二次方程专题课堂四一元二次方程的实际应用课件新版北师大版
沿 A→D 方向以 2 cm/s 的速度向点 D 运动．设△ABP 的面积为 S1， 矩形 PDFE 的面积为 S2，运动时间为 t s，则当 t＝__6__时，S1＝2S2.
14．如下图 , 两艘船同时从A点出发 , 一艘船以15海里/小时的速度 向东北方向航行 , 另一艘船以20海里/小时的速度向东南方向航行 , 那么几小时后两船正好相距100海里 ？
C．x－23
2
＝59
，x1＝23
＋
5 3
，x2＝23
－
5 3
D．x－13 2 ＝1，x1＝43 ，x2＝－32
11．把方程x2－8x＋3＝0化成(x＋m)2＝n的形式 , 那么m , n的值是(C )
A．4 , 13
B．－4 , 19
C．－4 , 13
D．4 , 19
12．方程x2－6x＋q＝0可以配方成(x－p)2＝7的形式 , 那么x2－6x＋q＝
2可以配方成以下的(B )
A．(x－p)2＝5 B．(x－p)2＝9
C．(x－p＋2)2＝9 D．(x－p＋2)2＝5
13．已知x , y为实数 , 且x2＋y2＋4x－6y＋13＝0 , 运用配方式可以求得
x , y的值分别为( C )
A．4 , 6 B．－2 , －3 C．－2 , 3 D．2 , －3
8．(4 分)将方程 x2－2x－4＝0 配成(x＋a)2＝b 的形式为_(_x_－__1_)_2＝__5__， 故方程的根为__x_＝__1_±___5___．
9．(12分)用配方式解以下方程． (1)x2＋6x－7＝0 ; 解 : x1＝1 , x2＝－7 ;
(2)x2－5x＋6＝0 ; 解 : x1＝2 , x2＝3 ;
(完整版)一元二次方程知识点总结和例题——复习,推荐文档
配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；化二次项 系数为 1；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使 左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2=q 的形式，如果 q≥0，方程的根是 x=-p±√q；如果 q＜0,方程无实根． （3）公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一 般方法。
一个一元二次方程经过整理化成 ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中 ax2 是二次项，
程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两 根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。
a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。
7.分式方程
分母里含有未知数的方程叫做分式方程。
c a
。
温馨提示：利用根与系数的关系解题时，一元二次方程必须有实数根。
例题：
1、关于 x 的一元二次方程 x2 kx 4k 2 3 0 的两个实数根分别是 x1, x2 ，
且满足 x1 x2 x1x2 ，则 k 的值为：
（）
（A） 1或 3 4
（B） 1
3
（C）
4
（D）不存在
2、已知 , 是关于 x 的一元二次方程 x2 2m 3x m2 0 的两个不相
12、当 x =
时，代数式 x2 3x 比代数式 2x2 x 1的值大 2 ．
13、某商品原价每件 25 元，在圣诞节期间连续两次降价，现在商品每件 16
A．2 B．3 C．－2 或 3 D．2 或－3
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10、若（m+1） xm(m2)1 +2mx－1=0 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的值是
初中数学一元二次方程根与系数关系专项复习题4(附答案详解)
初中数学一元二次方程根与系数关系专项复习题4（附答案详解）1．若一元二次方程x 2+2x+m=0没有实数根，则m 的取值范围是（ ）A ．m≤12B ．m ＞1C ．m≤1D ．m ＜12．下列关于一元二次方程x 2+bx +c ＝0的四个命题①当c ＝0，b≠0时，这个方程一定有两个不相等的实数根；②当c≠0时，若p 是方程x 2+bx +c ＝0的一个根，则1p是方程cx 2+bx +1＝0的一个根； ③若c ＜0，则一定存在两个实数m ＜n ，使得m 2+mb +c ＜0＜n 2+nb +c ；④若p ，q 是方程的两个实数根，则p ﹣q其中是假命题的序号是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④3．设a ，b 是方程x 2+x ﹣2019=0的两个实数根，则a+b+ab 的值为（ ）A ．2018B ．-2018C ．2020D ．-20204．若一元二次方程220x x --=的两根为1x ，2x ，则()()12111x x x ++-的值是（ ）A ．4B ．2C ．1D ．﹣2 5．已知关于x 的一元二次方程2304x x a --+= 有两个不相等的实数根，则满足条件的最小整数a 的值为( )A ．-1B ．0C ．2D ．16．已知α，β是一元二次方程2x 4x 30--=的两实数根，则代数式()()α3β3--的值是（ ）A ．7B ．1C ．5D ．6-7．已知一元二次方程2()0a x m n ++=（a≠0）的两根分别为-3，1，则方程2(2)0a x m n +-+=（a≠0）的两根分别为（ ）A ．1,5B ．-1,3C ．-3,1D ．-1,58．若关于x 的方程x 2+（a 2﹣1）x +a ＝0的两根互为相反数，则a 的值为（ ） A ．1 B ．﹣1 C ．0 D ．±19．若x 1、x 2是方程2x 2﹣4x ﹣1＝0的两个根，则x 1+x 2＝（ ）A ．1B ．﹣2C ．1或﹣1D ．210．已知一元二次方程22410x x +-=的两个根为1x ，2x ，且12x x <，下列结论正确的是（ ）A ．122x x +=B ．121x x =-C ．12x x <D ．211122x x += 11．关于x 的方程x 2﹣5x+p 2﹣2p+5＝0的一个根为1，则实数p 的值是_____，另一根为_____12．已知一元二次方程x 2+2x ﹣1＝0的两实数根为x 1，x 2，则x 1x 2的值为_____． 13．关于x 的方程kx 2+3x -1=0有实数根，则k 的取值范围是__________.14．如果关于x 的二次三项式26x x m -+在实数范围内不能分解因式，那么m 的取值范围是______.15．若x 1=﹣3是关于x 的方程x 2+kx ﹣3=0的一个根，x 2是另一个根，则x 1+x 2=________ ． 16．方程2230x ax -+=有一个根是1，则另一根为______，a 的值是______.17．阅读材料：如果a ，b 分别是一元二次方程210x x +-=的两个实数根，则有210a a +-=，210b b +-=；创新应用：如果m ，n 是两个不相等的实数，且满足23m m -=，23n n -=，那么代数式2222008n mn m -++的值是_______ ．18．关于x 的一元二次方程x 2+ax ﹣2a ＝0的一个根是3，则它的另一根是_____． 19．已知α，β是方程x 2+2017x +1＝0的两个根，则（α2+2018α+1）（β2+2018β+1）的值_____．20．关于x 的一元二次方程x 2+5x +2＝0的两个实数根为x 1，x 2，则x 1+x 2＝_____． 21．已知关于x 的一元二次方程2x 2x m 10-+-=()1当m 取何值时，这个方程有两个不相等的实根？()2若方程的两根都是正数，求m 的取值范围；()3设1x ，2x 是这个方程的两个实数根，且2212121x x x x -=+，求m 的值．22．己知关于x 的方程2210x x a +-+=没有实数根，试判断关于x 的方程20x ax a ++=的根的情况.23．已知关于x 的一元二次方程22(21)10x k x k -+++=有两个不相等的实数根12,x x ．（1）求k 的取值范围；（2）若123x x +=，求k 的值及方程的根．24．已知关于x 的方程()22210x k x k --+=有两个实数根12,x x . （1）求k 的取值范围；（2）若12121x x x x +=-，求k 的值；25．已知x 1，x 2是一元二次方程kx 2﹣2kx +k +1＝0的两个实数根．（1）若x 1，x 2满足（2x 1﹣x 2）（x 1﹣2x 2）＝2，求出此时k 的值；（2）是否存在k 的整数值，使得1221x x x x +的值为整数，若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．26．已知x 1、x 2是关于x 的一元二次方程x 2+(3a-1)x+2a 2-1=0的两个实数根，使得(3x 1-x 2)(x 1-3x 2)=-80成立，求其实数a 的可能值27．已知关于x 的方程x 2+ax +a -2=0．（1）若该方程的一个根为1，求a 的值；（2）求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．28．已知关于x 的一元二次方程x 2＋(2m ＋1)x ＋m 2 ＋ 1＝0.(1)若方程有实数根，求实数m 的取值范围；(2)若方程两实数根分别为x 1，x 2，且满足221215x x +=，求实数m 的值．29．已知关于的一元二次方程: 2(5)40x k x k +-+-=;(1)求证:无论k 为何值，方程总有实数根;(2)若方程的一个根是2，求另一个根及k 的值.30．已知关于x 的一元二次方程2210.x x m -+-=（1）当m 取何值时，这个方程有两个不相等的实根？（2）若方程的两根都是正数，求m 的取值范围；（3）设12,x x 是这个方程的两个实根，且2212121-=+x x x x ，求m 的值.参考答案1．B【解析】【分析】根据方程的系数结合根的判别式即可得出△=4-4m ＜0，解之即可得出结论．【详解】∵方程x 2+2x+m=0没有实数根，∴△=22-4m=4-4m ＜0，解得：m ＞1．故选B ．【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，熟练掌握“当△＜0时，方程无实数根”是解题的关键．2．D【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式、方程的解的定义、二次函数与一元二次方程的关系、根与系数的关系判断即可．【详解】当c ＝0，b≠0时，△＝b 2＞0，∴方程一定有两个不相等的实数根，①是真命题；∵p 是方程x 2+bx+c ＝0的一个根，∴p 2+bp+c ＝0，∴1+b p +2c p＝0， ∴1p是方程cx 2+bx+1＝0的一个根，②是真命题； 当c ＜0时，抛物线y ＝x 2+bx+c 开口向上，与y 轴交于负半轴， 则当﹣2b ＜m ＜0＜n 时，m 2+mb+c ＜0＜n 2+nb+c ，③是真命题； p+q ＝﹣b ，pq ＝c ，（p ﹣q ）2＝（p+q ）2﹣4pq ＝b 2﹣4c ，则|p ﹣q|④是假命题，故选：D ．【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．3．D【解析】【分析】根据根与系数的关系得到a+b=-1，ab=-2019，然后利用整体代入的方法计算代数式的值．【详解】解：根据题意得a+b=-1，ab=-2019，所以a+b+ab=-1-2019=-2020．故选：D ．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，1212,b c x x x x a a+=-=. 4．A【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解.【详解】根据题意得121x x =+，122x x =-，所以()()12111x x x ++-=12121x x x x ++-11(2)4=+--=．故选：A ．【点睛】此题主要考查根与系数的关系，解题的关键是熟知根与系数的性质.5．D【分析】根据根的判别式即可求出a 的范围．【详解】由题意可知：△＞0，∴1﹣4（﹣a +34）＞0， 解得：a ＞12故满足条件的最小整数a 的值是1，故选D ．【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式.6．D【解析】【分析】先根据根与系数的关系得到α+β＝4，αβ＝﹣3，再把α﹣3）（β﹣3）展开，变形为αβ﹣3（α+β）+9，然后利用整体代入的方法计算即可．【详解】根据题意得：α+β＝4，αβ＝﹣3，所以α﹣3）（β﹣3）＝αβ﹣3（α+β）+9＝﹣3﹣3×4+9＝﹣6． 故选D ．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2b a =-，x 1x 2c a=． 7．B【解析】【分析】利用换元法令2y x =-，可得到y 的值，即可算出x 的值，即方程()220a x m n +-+=（a≠0）的两根.记2y x =-，则()220a x m n +-+=即()20a y m n ++=的两根为-3，1故2x y =+=-1，3.故选B.【点睛】本题主要考查换元法和解一元二次方程.8．B【解析】【分析】利用根与系数的关系得到−（a 2−1）＝0，解方程得到a ＝1或a ＝−1，然后利用方程有无实数解确定a 的值．【详解】解：根据题意得﹣（a 2﹣1）＝0，解得a ＝1或a ＝﹣1，而a ＝1时，原方程化为x 2+1＝0，方程没有实数解，所以a 的值为﹣1．故选：B ．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的两根时，x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝c a ． 9．D【解析】【分析】直接利用根与系数的关系得出，x 1+x 2=-b a，代入数值即可. 【详解】∵x 1,x 2是方程2x 2−4x−1=0的两个根，x 1+x 2=2,故答案选：D.【点睛】本题考查的知识点是根与系数的关系，解题的关键是熟练的掌握根与系数的关系.【解析】【分析】直接利用根与系数的关系对A、B进行判断；由于x1+x2＜0，x1x2＜0，则利用有理数的性质得到x1、x2异号，且负数的绝对值大，则可对C进行判断；利用一元二次方程解的定义对D进行判断．【详解】根据题意得x1+x2=-42=-2，x1x2=-12，所以A、B选项错误；∵x1+x2＜0，x1x2＜0，∴x1、x2异号，且负数的绝对值大，所以C选项错误；∵x1为一元二次方程2x2+4x-1=0的根，∴2x12+4x1-1=0，∴x12+2x1=12，所以D选项正确．故选D．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-ba，x1x2=ca．11．1 4【解析】【分析】根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解．【详解】解：∵x＝1是方程的根，由一元二次方程的根的定义，可得1﹣5+p2﹣2p+5＝0，解此方程得到p＝1．设方程的另一根为α，∴1+α＝5，∴α＝4，∴另一根为4，故答案为1，4．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是得出关于p的一元二次方程．12．﹣1．【解析】【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，即可得出答案．【详解】解：∵一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两实数根为x1、x2，∴x1•x2＝11-＝﹣1．故答案为：﹣1．【点睛】本题考查的一元二次方程根与系数的关系，比较简单，需要熟练掌握韦达定理.13．k≥9 4 -【解析】【分析】关于x的方程可以是一元一次方程，也可以是一元二次方程；当方程为一元一次方程时，k ＝0；当方程是一元二次方程时，必须满足下列条件：①二次项系数不为零；②△＝b2−4ac≥0．【详解】解：当k＝0时，方程为3x−1＝0，有实数根；当k≠0时，△＝b2−4ac＝9＋4k≥0，解得：k≥94 -，综上可知，当k≥94-时，方程有实数根；故答案为：k≥9 4 -.【点睛】本题考查了方程有实数根的含义，一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．注意到分两种情况讨论是解题的关键．14．9m>【解析】 【分析】因二次三项式26x x m -+在实数范围内不能分解因式，所以26x x m -+=0无实数根，据此求解即可. 【详解】∵二次三项式26x x m -+在实数范围内不能分解因式， ∴26x x m -+=0无实数根， ∴∆=36-4m<0, ∴9m >. 故答案为：9m >. 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，以及因式分解法解一元二次方程：若一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根为x 1，x 2，那么一元二次方程可整理为a(x －x 1)(x －x 2)＝0. 15．﹣2 【解析】 【分析】根据根与系数的关系得到x 1• x 2 = -3，再解一次方程求出x 2，进而求出x 1+x 2的值． 【详解】解：∵x 1=-3是关于x 的方程x 2+kx ﹣3=0的一个根，x 2是另一个根， ∴x 1•x 2=-3， ∴x 2=1，∴x 1+ x 2=-3+1=-2， 故本题答案为-2． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解的知识，解答本题的关键是掌握根与系数的关系，此题难度不大． 16．3， 2. 【解析】 【分析】设方程的另一根为x 2，根据根与系数的关系得到−1•x 2＝3，求出x 2，再根据1＋x 2＝2a ，得出1＋3＝2a ，再解方程即可． 【详解】解：设方程的另一根为x 2， 根据题意得1•x 2＝3， 则x 2＝3； ∵1＋x 2＝2a ， ∴1＋3＝2a ， ∴a ＝2； 故答案为3，2． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若方程的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝−ba，x 1x 2＝c a． 17．2019 【解析】 【分析】由题意，m ，n 是两个不相等的实数，且满足23m m -=，23n n -=，则可将m ，n 看作是一元二次方程23-=x x 的两个实数根，然后可利用根与系数的关系求出代数式的值. 【详解】由题意，可将m ，n 看作是一元二次方程23-=x x 的两个实数根，则1m n +=，3=-mn ， 所以原式=()2322008+-++n mn m =2622008+-++n mn m =()22014+-+m n mn =()2132014⨯--+ =2019 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，将m ，n 看作是一元二次方程23-=x x 的两个实数根是本题的关键.18．6．【解析】【分析】把x＝3代入方程x2+ax﹣2a＝0得出9+3a﹣2a＝0，求出a＝﹣9，方程为x2﹣9x+18＝0，设方程的另一个根为b，得出b+3＝9，求出即可．【详解】解：把x＝3代入方程x2+ax﹣2a＝0得：9+3a﹣2a＝0，解得：a＝﹣9，即方程为x2﹣9x+18＝0，设方程的另一个根为b，则b+3＝9，解得：b＝6，故答案为6．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系的应用，解此题的关键是求出a的值和得出b+3＝9．19．1．【解析】【分析】根据一元二次方程的解以及根与系数的关系即可得出α2+2017α＝﹣1、β2+2017β＝﹣1、αβ＝1，将（α2+2018α+1）（β2+2018β+1）转化为αβ代入数据即可得出结论．【详解】∵α、β是方程x2+2017x+1＝0的两根，∴α2+2017α＝﹣1，β2+2017β＝﹣1，αβ＝1，∴（α2+2018α+1）（β2+2018β+1）＝αβ＝1．故答案为：1．【点睛】此题主要考查根与系数的关系，解题的关键是根据题意得到两根之积的值.20．﹣5．【分析】根据根与系数的关系求解即可. 【详解】∵x 1、x 2是一元二次方程x 2+5x +2＝0的两个实数根， ∴x 1+x 2＝﹣5； 故答案为：﹣5． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）根与系数的关系，若x 1，x 2为方程的两个根，则x 1，x 2与系数的关系式：12bx x a +=-，12c x x a⋅= . 21．（1）m ＜2；（2）m ＞1；（3）m=4． 【解析】 【分析】（1）令∆>0列式求解即可；（2）令x 1x 2＞0，结合（1）的结论求解即可；（3）用含m 的式子表示出x 1x 2与x 12+x 22的值，把所给代数式变形为1+x 1x 2=(x 1+x 2)2，代入x 1x 2与x 12+x 22的值即可求出m 的值. 【详解】解：（1）∵△=（-2）2-4（m-1）=-4m+8＞0， ∴m ＜2时，方程有两个不相等的实数根；（2）设x 1，x 2是这个方程的两个实根，则x 1＞0，x 2＞0， ∴x 1x 2=m-1＞0， ∴m ＞1，∴方程的两根都是正数，m 的取值范围是：1＜m≤2； （3）∵x 1+x 2=2，x 1x 2=m-1， ∴1-x 1x 2=x 12+x 22， ∴1+x 1x 2=(x 1+x 2)2， ∴1+m-1=22， ∴m=4．本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）根与系数的关系，若x 1，x 2为方程的两个根，则x 1，x 2与系数的关系式：12bx x a +=-，12c x x a⋅= . 当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根.22．有两个不相等的实数根. 【解析】 【分析】根据关于x 的方程2210x x a +-+=没有实数根，求出a 的求值范围；再表示关于x 的方程20x ax a ++=，24(4)a a a a ∆=-=-，即可判断该方程根的情况.【详解】解：∵方程2210x x a +-+=没有实数根 ∴240b ac ∆=-< ∴2241(1)0a -⨯⨯-+< 解得：0a <关于x 的方程20x ax a ++=，24(4)a a a a ∆=-=- ∵0a < ∴(4)0a a ->∴关于x 的方程20x ax a ++=有两个不相等的实数根. 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的情况之间的关系是解题关键. 23．（1）34k >；（2）11x =，22x = 【解析】 【分析】(1)由方程有两个不相等的实数根，可知△>0，据此可得关于k 的不等式，解不等式即可求(2)由根与系数的关系结合已知可求得k 的值，进而可求得原方程的根. 【详解】(1)∵关于x 的一元二次方程22(21)10x k x k -+++=有两个不相等的实数根， ∴△>0，即[]()22(21)4110k k -+-⨯⨯+>，整理得，430k ->， 解得：34k >， 故实数k 的取值范围为34k >； (2)∵方程的两个根分别为12x x 、， ∴12213x x k +=+=， 解得：1k =，∴原方程为2320x x -+=， ∴11x =，22x =． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程等，熟练掌握相关知识是解题的关键. 24．（1）12k ≤；（2）k ＝－3 【解析】 【分析】（1）依题意得△≥0，即[－2(k －1)]2－4k 2≥0；（2）依题意x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1·x 2＝k 2 以下分两种情况讨论：①当x 1＋x 2≥0时，则有x 1＋x 2＝x 1·x 2－1，即2(k －1)＝k 2－1；②当x 1＋x 2＜0时，则有x 1＋x 2＝－(x 1·x 2－1)，即2(k －1)＝－(k 2－1)； 【详解】解：（1）依题意得△≥0，即[－2(k －1)]2－4k 2≥0 解得12k ≤（2）依题意x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1·x 2＝k 2 以下分两种情况讨论：①当x 1＋x 2≥0时，则有x 1＋x 2＝x 1·x 2－1，即2(k －1)＝k 2－1 解得k 1＝k 2＝1 ∵12k ≤∴k 1＝k 2＝1不合题意，舍去②当x 1＋x 2＜0时，则有x 1＋x 2＝－(x 1·x 2－1)，即2(k －1)＝－(k 2－1) 解得k 1＝1，k 2＝－3 ∵12k ≤∴k ＝－3综合①、②可知k ＝－3 【点睛】一元二次方程根与系数关系，根判别式. 25．（1）k ＝﹣3；（2）存在，k ＝0，﹣2. 【解析】 【分析】（1）根据根与系数的关系得到x 1+x 2＝2，x 1x 2＝1k k+，代入代数式解方程即可得到结论； （2）根据根与系数的关系得到x 1+x 2＝2，x 1x 2＝1k k +，求得1221x x x x +＝221212x x x x +＝2121212()2x x x x x x +-＝1421k k k k+-⨯+＝11k k -+于是得到结论． 【详解】（1）根据题意得k ≠0且△＝（﹣2k ）2﹣4k （k +1）≥0， 解得k ≤0； ∵x 1+x 2＝2，x 1x 2＝1k k+， ∵x 1，x 2满足（2x 1﹣x 2）（x 1﹣2x 2）＝2， ∴2（x 1+x 2）2﹣9x 1x 2＝8﹣9(1)k k+＝2，∴k ＝﹣3； （2）存在，理由：∵x 1+x 2＝2，x 1x 2＝1k k+， ∴1221x x x x +＝221212x x x x +＝2121212()2x x x x x x +-＝1421k k k k+-⨯+＝2×11k k -+的为整数， ∴k ＝0，﹣2时，1221x x x x +的值为整数． 【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系，掌握根的判别式、根与系数的关系是解决问题的关键． 26．a=-335. 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得x 1+x 2=-(3a-1)，x 1•x 2=2a 2-1，根据(3x 1- x 2)(x 1-3 x 2)=-80，可得关于a 的方程，即可求出a 的值，利用判别式检验即可得答案. 【详解】∵x 1、x 2是关于x 的一元二次方程x 2+(3a-1)x+2a 2-1=0的两个实数根，a=1，b=(3a-1)，c=2a 2-1， ∴x 1+x 2=-b a =-(3a-1)，x 1•x 2=ca=2a 2-1， ∵(3x 1-x 2)(x 1-3x 2)=-80，∴3x 12-10x 1x 2+3x 22=-80，即3(x 1+x 2)2-16x 1x 2=-80， ∴3[-(3a-1)]2-16(2a 2-1)=-80， ∴5a 2+18a-99=0， ∴a=3或-335， 当a=3时，方程x 2+(3a-1)x+2a 2-1=0的△＜0， ∴不合题意，舍去 ∴a=-335【点睛】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法27．（1）a＝12；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）将x=1带入方程中即可求出a的值（2）两个不相等的实根，用判别式求出a的值即可. 【详解】解：(1)将x＝1代入x2＋ax＋a－2＝0中，得1＋a＋a－2＝0.解得a＝1 2(2)证明：∵Δ＝a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4.∵(a－2)2≥0，∴(a－2)2＋4＞0.∴不论a取何实数，方程都有两个不相等的实数根．【点睛】此题重点考察学生对一元二次方程的解的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键.28．（1）m≥34；（2）m=2.【解析】【分析】（1）令△≥0即可求出m的取值范围；（2）将x12+x22=15转化为（x1+x2）2-2x1x2=15，再代入计算即可解答．【详解】解：（1）由题意有△=（2m+1）2-4（m2+1）≥0，解得m≥34．即实数m的取值范围是m≥34．（2）由x 12+x 22=15得（x 1+x 2）2-2x 1x 2=15， ∵x 1+x 2=-（2m+1），x 1x 2=m 2+1， ∴[-（2m+1）]2-2（m 2+1）=15， 即m 2+2m-8=0， 解得m=-4或m=2． ∵m≥34， ∴m=2．故实数m 的值为2． 【点睛】本题考查根的判别式与根与系数的关系，熟悉完全平方公式是解题的关键． 29．（1）详见解析；（2）2k =，21x = 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式得出△＝（k ﹣3）2≥0，从而证出无论k 取任何值，方程总有实数根． （2）先把x ＝2代入原方程，求出k 的值，再解这个方程求出方程的另一个根． 【详解】(1)证明:(方法一)222(5)4(4)69(3)0k k k k k ∆=---=-+=-Q …. ∴无论k 为何值时，方程总有实数根.(方法二)将1x =代人方程，等式成立，即1x =是原方程的解， 因此，无论k 为何值时，方程总有实数根， (2)把2x =代人方程解得2k =， 解方程2320x x -+=得21x = 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．30．（1）2m <；（2）12m <<；（3）m 无解.. 【解析】【分析】(1)由根的判别式得出不等式，求出不等式的解集即可；(2)由根与系数的关系得出不等式，求出不等式的解集即可；(3)由根与系数的关系得出x 1+x 2=2，x 1x 2=m-1，将2212121-=+x x x x 变形后代入，即可求出答案.【详解】解：（1）∵这个方程有两个不相等的实根∴>0∆，即()()224110--⨯⨯->m解得2m <.（2）由一元二次方程根与系数的关系可得： 122x x +=，121⋅=-x x m ，∵方程的两根都是正数∴120x x ⋅>，即10m ->∴1m >又∵2m <∴m 的取值范围为12m <<（3）∵2212121-=+x x x x∴2212121212122+-=++x x x x x x x x即()212121+=+x x x x ，将122x x +=，121⋅=-x x m 代入可得： 2112+-=m ，解得4m =.而2m <，所以m=4不符合题意，故m 无解.【点睛】本题考查了由一元二次方程根的情况求参数，根与系数的关系，熟练掌握根的情况与△之间的关系与韦达定理是关键.。
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问题一辆汽车以20m/s的速度行驶,司机发 现前方路
面有情况,紧急 刹车后汽车又滑行25m后停车． （2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少?
问题 一辆汽车以20m/s的速度行驶,司机发现前方路面
有情况,紧急刹车后汽车又滑行25m后停车． （1）从刹车到停车用了多少时间? （2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少? （3）刹车后汽车滑行到15m时约用了多少时间（精 确到0.1s）?
（1）刚刹车时时速还是20m/s，以后逐渐减少， 分析： 停车时时速为0．• 因为刹车以后，其速度的减少都是受摩 擦力而造成的，所以可以理解是匀速的，因此，其平均速 度为=(20+0)÷2=10m/s，那么根据：路程=速度×时间， 便可求出所求的时间． 解：（1）从刹车到停车所用的路程是25m； 从刹车到停车的平均车速是=(20+0)÷2=10（m/s） 那么从刹车到停车所用的时间是25÷10=2.5（s）
0
利用
1 1 (1). x1 x2
基 础 练 习
设 X1、X2是方程X2－4X+1=0的两个根，则
X1+X2 = ___ X12+X22 = X1X2 = ____， ；
( X1-X2)2 =
；
1 1 x1 x2 x2 x1 x1 x2
《根与系数的关系》练习 一、填空： 1、已知方程 x 2 3x 1 0 的两根是 x1 , x 2 ,则 x1 x2 x1 x2 = 。 2、已知方程 x 2 kx 2 0 的一个根是1，则另一个根是 的 值是 .
步骤归纳
① 同除二次项系数化为1； ②移常数项到右边； ③两边加上一次项系数一半的平方； ④化直接开平方形式; ⑤解方程。
步骤归纳
① 先化为一般形式； ②再确定a、b、c,求b2-4ac； ③ 当 b2-4ac≥ 0时,代入公式:
- b± b - 4ac x = 2a 若b2-4ac＜0,方程没有实数根。
例:解下列方程
１、用直接开平方法：(x+2)2=９
解:两边开平方,得: x+2= ±3
∴ x=-2±3
右边开平方 后，根号前 取“±”。
∴ x1=1, x2=-5
2、用配方法解方程4x2-8x-5=0
两边加上相等项“1”。
3、用公式法解方程
3x2=4x+7
解:移项,得: 3x2-4x-7=0 a=3 b=-4 c=-7 ∵b2-4ac=(-4)2-4×3×(-7)=100＞0
4. 解方程得出方程的解。
5. 检验看方程的解是否符合题意。
6. 作答注意单位。
增长率问题 例1.(中考） 某工厂计划在两年内把产 量翻一番，如果每年比上年提高的百 分数相同，求这个百分数（精确到1%）
解：设这个百分数为x,根据题意得
1 x
解答略
2
2
问题 1、 5·12 汶川大地震举国同殇，本次地震灾区防疫措 施得力，没有发生传染病。 据调查，地震后若没有防疫措施， 最容易发生某种传染病，若有一人感染，经过两轮传染后将 共有 81 人感染，请计算这种传染病每轮传染中平均一个人传 染了几个人？ 解：设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人. 依题意得： 1 x x 1 x 81， 解得 x1 8, x2 10 （不合题意，舍去）. 答：每轮传染中平均一个人传染了 8 个人.
配方法 公式法
解 方 程
降 次
检验
因式分解 法
实际问题的答案
数学问题的解
b b2 4ac 2 x b 4ac≥0 2a
根的判别式
根与系数的关系
考点一
定义及一般形式:
只含有一个未知数,未知数的最高次数是 整式方程,叫做一元二次方程。 二次 的___ ______
2+bx+c=o (a≠o) ax 一般形式:________________
解：设这个台布的长为x尺,根据题意得 （6+2x）（3+2x）=6×3×2 解答略
问题 2、 （2008 年广东省中考题）如图，在长为 10cm，宽为 8cm 的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形， 使得留下的图形 （图中阴影部分）面积是原矩形面积的 80％，求所截去小正 方形的边长？ 解：设所截去小正方形的边长是 xcm .
1、下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？
1.x
2
3x 1 0
2
2.3x
2
2x 2
2
3.2x
3x 0
2
4.4x
2
1 2x
的一个根是 1，
2、已知方程 3x 19 x m 0 求它的另一个根和m的值。
2x 4x 3 3、设 x1 、 x2是方程 根与系数的 关系，求下列各式的值：
一定要注意解得的根 是否符合题意
利润问题
某水果批发商场经销一种高档水果,如果 每千克盈利10元,每天可售出500千克,经市场 调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨 价1元,日销售量减少20千克,现该商场要保证 每天盈利6000元,同时又要使顾客得到实惠,那 么每千克应涨价多少元?
分析：个利润×销售量=总利润 解题过程
4、已知方程 x kx 6 0 的两个根都是整数，则k的值可以是（ （A）-1 （B） 1 （C） 5 (D)以上三个中的任何一个
）
考点五
列方程解应用题的解题过程。
1. 审清题意，弄清题中的已知量和
未知量找出题中的等量关系。
2. 恰当地设出未知数，用未知数的
代数式表示未知量。
3. 根据题中的等量关系列出方程。
2 2
所以，原方程有两个不相等的实根。 说明：解这类题目时，一般要先把方程化为一般形式，求出△， 然后对△进行计算，使△的符号明朗化，进而说明△的符号情 况，得出结论。
2、根据方程的根的情况确定方程的待定系数的取值范围
例2：当k取什么值时，已知关于x的方程：
（1）方程有两个不相等的实根；（2）方程有两个相等的实根；（3） 方程无实根；
先变为一般 形式，代入 时注意符号。
∴x = ∴x1= -1
4 ± 100 6
=
2± 5 3
x2 =
把y+2看作一个 未知数，变成 (ax+b)(cx+d)= 0形式。
4、用分解因式法解方程：（y+2)2=3(y+2）
解:原方程化为 （y+2) 2﹣ 3（y+2）=0 (y+2)(y+2-3)=0 (y+2)(y-1)=0 y+2=0 或 y-1=0 ∴y1=-2 y2=1
2
步骤归纳
①右边化为0,左边化成两个因式 的积； ②分别令两个因式为0，求解。
练习二
选用适当方法解下列一元二次方程
1、 (2x+1)2=64 ( 直接开平方 法） 2、 (x-2)2-４(x+１)2=0 ( 分解因式 法） 3、(５x-４)2 -(4-５x)=０ ( 分解因式 法） 4、 x２-４x-10=０ ( 配方 法） 5、 ３x２-４x-５=０ ( 公式 法） 6、 x２＋６x-1=0 ( 配方 法） 7、 x２ -x-３=０ ( 公式 法） 8、 y2- 2 y-1=0 ( 公式 法）
解:设每千克水果应涨价x元,
依题意得: (500-20x)(10+x)=6000
整理得: x2-15x+50=0 解这个方程得:x1=5 x2=10 （舍去）
要使顾客得到实惠应取x=5
答:每千克水果应涨价 5元.
面积问题
提醒：一般从面积或体积找等量关系
有一张长方形的桌子，长6尺，宽3尺，有一块台布 的面积是桌面面积的2倍，铺在桌面上时，各边垂下 的长度相同，求台布的长和宽各是多少？（精确到 0.1尺）
小结：选择方法的顺序是： 直接开平方法 →分解因式法 →公式法→ 配方法
考点三 归纳： 1、根的判别式：△＝ b 2 4ac
△＞0 △＝0 △＜0 △≥0 <＝＝> 方程有两个不相等的实数根 <＝＝> 方程有两个相等的实数根 <＝＝> 方程没有实数根 <＝＝> 方程有实数根
判别式定理： △符号 <＝＝> 方程根的情况
以两个数x1、x2为根的一元二次方程 （二次项系数为1）是
2
x x1 x2 x x1 x2 0
补充规律：
两根均为负的条件： X1+X2 两根均为正的条件： X1+X2 两根一正一负的条件： X1+X2 且X1X2 且X1X2 且X1X2
。
。 。
当然，以上还必须满足一元二次方程有根的条件：b2-4ac≥0
解：△=
2 x 2 4k 1x 2k 2 1 0
4k 12 4 22k 2 1
16k 2 8k 1 16k 2 8 8k 9
9 (1).当△>0 ，方程有两个不相等的实根, 8k+9 >0 , 即k 8 9 (2).当△ = 0 ，方程有两个相等的实根, 8k+9 =0 , 即 k 8 9 (3).当△ <0 ，方程有没有实数根, 8k+9 <0 , 即 K＜ 8
，
，k
3、若关于x的一元二次方程 x2+px+q=0的两根互为相反数，则 p=______;若两根互为倒数，则q=_____．
.
4、已知一元二次方程 2 x2 + b xห้องสมุดไป่ตู้+ c = 0的两个根是 – 1 、3 ，则 b= ，c= .
二、选择 2 1、若方程x m x n 0 中有一个根为零，另一个根非零，则m, n 的值为 ( ) A m 0, n 0 B m 0, n 0 C m 0, n 0 D mn 0