安徽省合肥168中学1415学年度高一上学期期末——数学数学

安徽省合肥168中学
2014—2015学年度上学期期末考试
高一数学试题
满分：150分用时：120分钟
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．的值为（）
A．B．C．D．
2．已知函数（），若，则（）
A．B．C．D．
3．下列函数中，不．满足的是（）
A．B．C．D．
4．下列函数中，是偶函数且在区间上是减函数的为（）
A．B．C．D．
5．已知，，则（）
A．B．C．D．
6．已知向量，，，若为实数，，则（）
A．B．C．D．
7．函数（其中）的图象如下面右图所示，则函数的图象是（）
A B C D
8．将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位，所得到的图象的解析式是（）
A．B．C．D．
9．设集合是实数集的子集，如果点满足：对任意，都存在，使得，那么称为集合的聚点，用表示整数集，下列四个集合：①，②，③，④整数集．其中以0为聚点的集合有（）A．①②B．②③C．①③D．②④
10．偶函数满足，且当时，，若函数有且仅有三个零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
12
13．已知向量与的夹角为，且，；则．
14．函数（）的部分图象如下图所示，则．
第14题图第15题图
15.如上图，在平面直角坐标系中，一单位圆的圆心的初始位置在，此时圆上一点的位置在，圆在轴
上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于时，的坐标为.
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知，．
（1）若，求的值；
（2）若，求的单调递增区间．
17.（本小题满分12分）
如图，在△中，已知为线段上的一点，且.
（1）若，求，的值；
（2）若，，，且与的夹角Array
为，求的值．
O A
18.（本小题满分12分）
函数是以2为周期的偶函数，且当时，． （1）求在上的解析式； （2）求的值．
19.（本小题满分12分）
已知函数2
()22f x x ax a b =-+-+，且．
（1）若在区间上有零点，求实数的取值范围； （2）若在上的最大值是2，求实数的的值． 20．（本小题满分13分）
设函数()sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<的图象的一条对称轴是. （1）求的值及在区间上的最大值和最小值； （2）若，，求的值.
21.（本小题满分14分）
对于定义域为的函数，若同时满足下列条件：①在内单调递增或单调递减；②存在区间，使在上的值域为；那么把（）叫闭函数，且条件②中的区间为的一个“好区间”．
（1）求闭函数的“好区间”；
（2）若为闭函数2()log f x n x =的“好区间”，求、的值； （3）判断函数是否为闭函数？若是闭函数，求实数的取值范围．
参考答案
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分． 1-5、BACCD 6-10、DBABA
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．； 12．； 13．； 14．； 15.． 三、解答题：本大题共6小题，共75分. 16．（本小题满分12分）
解：//23sin cos 0a b x x ⇒-=，故； ………………………………………（3分）
所以22tan tan 21tan 11
x x x =
=-． …………………………………………………………（6分）
（2）215
()()3sin cos cos 22cos 222
f x a b b x x x x x =-⋅=
--=
-- ………………………………………………………………（9分）
令222,,2
6
2
6
3
k x k k Z k x k k Z π
π
π
π
π
ππππ-
+≤-
≤
+∈⇒-
+≤≤
+∈
所以的单调递增区间是,63k k k Z ππππ⎡⎤
-
++∈⎢⎥⎣⎦
………………………………（12分）
17. （本小题满分12分）
解：（1）若，则，故； ……………………………（6分） （2）若，则；
2213113
()()44424
OP AB OA OB OB OA OA OA OB OB ⋅=+⋅-=--⋅+
22113
442cos6023424
=-⨯-⨯⨯⨯︒+⨯=- ………………………………………………（12分）
18. （本小题满分12分） 解：（1）当时，，又是偶函数
则1
()()31()13
x x f x f x -=-=-=-， …………………………………………（6分）
（2）1333
log 6log 61log 2=-=--
1333
(log 6)(1log 2)(1log 2)f f f =--=-
31log 2331
(1log 2)31122
f -∴-=-=
-=，即 ………………………………（12分） 19. （本小题满分12分）
解：（1）由，得． …………………………………………（2分） 又在区间上有零点，且的一个零点是1；
所以，(2)023032(3)04802f a a f a >->⎧⎧⇒⇒<<⎨⎨<-<⎩⎩
． …………………………………………（6分）
（2）2
()221f x x ax a =-+-+，对称轴为． ①当时， max (0)212f f a ==-+=，则；
②当时， 2
max ()212f f a a a ==-+=，则，或（舍去）；
③当时， max (3)482f f a ==-=，则（舍去）；
综上：或． …………………………………………（12分） 20．（本小题满分13分） 解：（1）()sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<的图象的一条对称轴是. 故，
又，故． …………………………………………（3分） 所以，．
710,2,sin(2),1266662x x x πππππ⎡⎤
⎡⎤⎡⎤∈⇒+∈⇒+∈-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦⎣⎦
即在区间上的最大值是1，最小值是． ………………………………………（7分）
（2）由已知得，
27,2,42636πππππαα⎡⎤
⎡⎤∈⇒+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦
，所以4cos(2)65πα+==-
cos 2cos[(2)]cos(2)cos sin(2)sin 666666
ππππππ
αααα=+-=+++
431552=-⨯= …………………………………………（13分）
21. （本小题满分14分） 解：（1）是减函数，
3
3()1()1f a b a b
a f
b a b a b a b a b
⎧=-=⎧=-⎧⎪⎪
∴=⇒-=⇒⎨⎨⎨=⎩⎪⎪<<⎩⎩
故闭函数的“好区间”是． …………………………………………（3分） （2）①若是上的增函数，则(1)111
(16)1644163
f m m f m n n ===⎧⎧⎧∴⇒⇒⎨
⎨⎨
=+==⎩⎩⎩ 此时是上的增函数，故符合题意．
②若是上的减函数，则16
(1)161663(16)14414m f m f m n n =⎧==⎧⎧⎪
∴⇒⇒⎨⎨⎨=+==-⎩⎩⎪⎩
此时263
()log 4
f x x =．
因为，所以263
()log 4
f x x =在区间上不是减函数，
故263
()log 4
f x x =不符合题意．
综上： …………………………………………（8分） （3）若是闭函数，则存在区间，满足； 故方程在区间上有两不相等的实根． 由得 令则，
方程可化为，且方程有两不相等的非负实根； 令，
则(0)010
5115
4()0024
g k k g k ≥--≥⎧⎧⎪⎪
⇒⇒-<≤-⎨⎨<--<⎪⎪⎩⎩ ………………………（14分）。