二面角专题

专题 立体几何中二面角的求法

二面角的常见求法：（1）定义法 （2）垂线法 （3）垂面法

（4）射影法——面积法 （5）延伸法 （6）无棱

一、定义法：

例1：如图1，设正方体1111D C B A ABCD -中，E 为1CC 中点，求截面BD A 1和EBD 所成二面角的度数。

练习1： 在四棱锥ABCD P -中，ABCD 是正方形，⊥PA 平面ABCD ，a AB PA ==，求二面角D PC B --的大小。

例2： 如图3，设三棱锥ABC V -中，⊥VA 底面ABC ，BC AB ⊥，DE 垂直平分VC ，且分别交AC 、VC 于E D 、，又AB VA =，BC VB =，求二面角C BD E --的度数。

练习2：在四棱锥ABCD P -中，ABCD 是平行四边形，⊥PA 平面ABCD ，a AB PA ==，︒=∠30ABC ，求二面角A BC P --的大小。

B

L

H

例3如图6，设正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AB、C1D1的中点。

（1）求证：A1、E、C、F四点共面；

（2）求二面角A1-EC-D的大小。

练习3：如图，在四棱锥S—ABCD中，侧棱SA＝SB＝SC＝SD=BD，底面ABCD是菱形，AC与BD交于O点．（1）求证：AC⊥平面SBD；

（2）求二面角B-SA-D的大小

四、射影法(面积法)

例4：如图12，设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 为AA 1上点，A 1M:MA=3:1,求截面B 1D 1M 与底面ABCD 所成二面角。

练习:4：在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为正方形，PA⊥平面ABCD ，PA ＝AB ＝a ，求平面PBA 与平面PDC 所成二面角的大小。

五、延伸法

A

B

P

例5：如图10，设正三棱柱ABC-A'B'C'各棱长均为a,且AB=AA ’，D 为CC 1中点，求平面A'BD 与平面ABC 所成

二面角的度数。

六、对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其要考虑射影法）。

例6、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为正方形，PA⊥平面ABCD ，PA ＝AB ＝a ，求平面PBA 与平面PDC 所成二面角 的大小。（补形化为定义法）

由此可见，二面角的类型和求法可用框图展现如下：

向量法求解二面角

一、利用法向量求二面角的大小的原理:

设 21,n n 分别为平面βα,的法向量，二面角βα--l 的大小为θ，向量 21,n n 的夹角为ϕ，则有

πϕθ=+（图1）或 ϕθ=（图2）

图2

基本结论 构成二面角的两个平面的法向量的夹角或夹角的补角等于这个二面角的平面角．

二、如何求平面的一个法向量:

例题1: 如图3，在正方体ABCD-A 1B !C 1D 1中G 、E 、F 分别为AA

1、AB 、BC 的中点，求平面GEF 的法向量。

三、法向量的应用举例:

y

例题2. 在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=2，BC=4，AA 1=2,点Q 是BC 的中点，求此时二面角A —A 1D —Q 的大小．

例3、如图5，在底面是直角梯形的四棱锥S —A BCD 中，AD//BC ，∠A BC=900

，S A ⊥面A BCD ，S A =

2

1

，A B=BC=1，A D=

2

1

。 求侧面SCD 与面SB A 所成的二面角的大小。

四、当直观很难判断二面角是锐角还是钝角时, 通过判断法向量的方向来求解二面角.

图5

O （

A 1

z

图4

原理 首先我们再重新认识一下法向量夹角和二面角的关系： 如上图6所示，当我们把法向量控制成“一进一出”， 此时两法向量在三个坐标平面xoz yoz xoy ,,的投影也

可以看成是“一进一出”，这时不难得出12,n n 的夹角

就是二面角的大小，反之就不是。

其次如何控制一个平面的法向量方向是我们想 要的“向上或向下”，“向后或向前”，“向左或向右”呢？

如图7所示：平面ABC 的法向量n

若要法向量n 的方向“向上”,可设n ＝)1,,(y x 或n

＝),,(0z y x 其中0z >0；若要法向量n 的方向“向前”,可设n

＝),,1(z y 或 n ＝),,(0z y x ,其中00>x ；若要法向量n

的方向“向右”， 可设n ＝),1,(y x 或n

＝),,(0z y x ,其中00>y

所以，只要我们判断两个法向量的方向是“一进一出”， 那么所求的二面角的平面角就等于两法向量的夹角，如果 是“同进同出”， 那么所求的二面角的平面角就等于两法 向量的夹角的补角，掌握了这点，那么用法向量求二面角 就可以做到随心所欲。

例题4 如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点． （Ⅰ）求证：1AB ⊥平面1A BD ；

（Ⅱ）求二面角11C B A A --的大小；

A

B

C

D

1

A

1

C

1

B

图6