《经济数学微积分》微分方程

0,
t0
dt t0
C1 A, C2 0.
所求特解为 x Acos kt.
例5 求下列曲线簇所满足的微分方程
(1) y Cekx (2) y sin( x C )
分析：关键是消C 解 (1) y ekx C
( y ekx ) C 0 即 y ekx yekx k 0
y e P( x)dx[ Q( x)e P( x)dxdx C ]
经济数学——微积分
5.3 二阶常系数线性微分方程
dt dM M ( 0衰变系数) dt
dM dt
M
dM M
dt ,
ln M t lnC, 即M Cet ,
代入M t0 M0 得 M0 Ce0 C ,
M M0et
衰变规律
二、齐次微分方程
1.定义 形如 dy =（ y） 或 dx =（x）
dx x
dy y
的微分方程称为齐次方程.
经济数学——微积分
5.1 微分方程的基本概念
一、微分方程的概念 二、微分方程的解 三、小结
一、微分方程的概念
1、切线问题
例 1 一曲线通过点 (1,2), 且在该曲线上任一点
M ( x, y)处的切线斜率为2x ,求这曲线的方程. 解 设所求曲线为 y y( x), 由题有
dy 2 x 且满足：当 x 1时, y 2
初始条件: 用来确定任意常数的条件.
初值问题:求微分方程满足初始条件的特解的问题.
一阶:
y f (x, y)
y
x
x0
y0
过定点的积分曲线;
二阶:
y f ( x, y, y)
y
x
x0
y0 ,
yx x0
y0
过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.
例3 列车在平直的线路上以20米/秒的速度行 驶,当制动时列车获得加速度-0.4米/秒2,问开 始制动后多少时间列车才能停住？以及列车 在这段时间内行驶了多少路程？
dx x
解 第一步，求相应的齐次方程的通解
y 1 y 0， x
dy dx yx
ln y ln x C1
齐次方程的通解为 y Cx.
例6 求方程 dy y x2的通解.
dx x
解 第二步，常数变易法求非齐次方程的通解
令y C x x， y C x x C x
代入方程得 C x x x2 即C x x
一阶线性微分方程的标准形式:
dy P( x) y Q( x) dx 当Q( x) 0, 上面方程称为齐次的.
当Q( x) 0, 上面方程称为非齐次的.
例如 dy y x2 , dx x sin t t 2 , 线性的;
dx
dt
yy 2xy 3, y cos y 1, 非线性的.
某些导数(或微分)之间的关系式.
分类1: 常微分方程, 偏微分方程.
微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的
导数的最高阶数.
分类2:
一阶微分方程 F ( x, y, y) 0, y f ( x, y);
高阶微分方程 F ( x, y, y,, y(n) ) 0,
分类3:
y(n) f ( x, y, y,, y(n1) ).
四、小结
1.可分离变量的微分方程: g( y)dy f ( x)dx
可分离变量的微分方程解法：分离变量法 （1）分离变量; （2）两端积分-------隐式通解.
2.齐次方程
dy
f(
y )
dx x
齐次方程的解法 3.线性非齐次方程
令 u y. x
dy P( x) y Q( x) dx
线性非齐次方程的解法
解
x f ( x)dx x3 f ( x)
0
y
即
x ydx x3 y 0
两边求导得 y y 3x2 ,
解此微分方程
o
y x3
Q
y f (x) P
xx
y y 3x2
y
e
dx
3
x
2e
dxdx
C
Ce x 3x2 6x 6,
由 y |x0 0, 得 C 6,
所求曲线为 y 3(2e x x2 2x 2).
列车在这段时间内行驶了
s 0.2 502 20 50 500(米).
例 4 验证:函数 x C1 cos kt C2 sin kt是微分方程
d2 x dt 2
k2
x
0
的解. 并求满足初始条件 x A, dx 0的特解.
t0
dt t0
解：
dx dt
kC1 sin kt
kC2 cos kt,
C x x2 c
2 所求通解为
x3 y cx.
2
例7 求方程 y 1 y sin x 的通解. xx
解 P( x) 1 , Q( x) sin x ,
x
x
y
e
1 dx x
sin x
x
e
1 x
dx
dx
C
e
ln
x
sin x
x
eln
xdx
C
1 x
sin xdx C
y
ln y kx C1 (C1为任意常数） y ekxC1 即 y ekx eC1
令 C eC1 ,得 y Cekx
例 3 衰变问题: 铀的衰变速度与未衰变原子含
量 M 成正比,已知 M t0 M 0,求衰变过程中铀含
量 M (t )随时间t 变化的规律.
解 衰变速度 dM , 由题设条件
d2 x dt 2
k 2C1
cos kt
k 2C2
sin kt,
将
d2 x dt 2
和x的表达式代入原方程
,
得
k 2 (C1 cos kt C2 sin kt )
k 2 (C1 cos kt C2 sin kt ) 0
故 x C1 coskt C2 sin kt 是原方程的解.
dx
x A,
3 e
1 dy y
(
y 2
)
3 e
1 dy
y dy
C
e3ln
y
y 2
e3ln
y
d
y
C
y 3
1 2y
C 为所求通解.
例9 如图所示，平行于 y 轴的动直线被曲
线 y f ( x )与 y x 3 ( x 0)截下的线段PQ之
长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 f ( x ).
(1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且 相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶 数相同.
例如 y y, 通解 y Cex;
y y 0, 通解 y C1 sin x C2 cos x;
(2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解. 解的图像: 微分方程的积分曲线. 通解的图像: 积分曲线簇.
(2)
t
2
d2 x dt 2
t
dx dt
x
f (t)
二阶线性
(3) xyy ( y)3 二阶非线性
(4) dx x2 y2 一阶
dy
(5)
d3 y dx 3
3
d2 y dx 2
3
dy dx
y
ex
三阶线性
二、微分方程的解
如果代入微分方程能使方程成为恒等式的 函数，称为微分方程的解.
微分方程的解的分类：
线性微分方程. y P( x) y Q( x),
F ( x, y, y,, y(n) ) 0 中y,y',…y(n)都是一次的
非线性微分方程. x( y)2 2 yy x 0;
例2 指出下列微分方程的阶，并说明哪些方程 是线性的？
(1) ( x2 2 y2 )dx (3x2 4 y2 )dy 0 一阶
(2) x C arcsin y
y 1
1 y2
即 y2 （y）2 =1
三、小结
1.微分方程：微分方程的阶,线性方程 2.微分方程的解： 3.通解; 初始条件；特解； 4.初值问题；积分曲线．
经济数学——微积分
5.2 一阶微分方程
一、可分离变量的微分方程 二、齐次微分方程 三、一阶线性微分方程
dP k D(P) S(P)（k 0）
dt
定义 凡含有未知函数的导数或微分的方程，
称为微分方程.
例如 dy 2 x，dN kN， dP k D(P) S(P)
dx
dt
dt
y xy, y 2 y 3 y ex ,
(t2 x)dt xdx 0, z x y, x
实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的
x y
x
y(1 e y )
y
x
1e y
令v x , x vy, dx v dv y
y
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dy
v
dv dy
y
v 1 1 ev
,
(1 ev v ev
)
dv
dy y
ln v ev ln y lnC, y(v ev ) C
x
即原方程的通解为 x ye y C.
三、一阶线性微分方程
令u y， x
dy dx
u
ux
u3 1 3u2
3u2 1 2u3
du
dx x
,
1 ln 1 2u3 2
ln
x
1 2 ln C1,
C1 x2 1 2u3
微分方程的通解为 x3 2 y3 Cx.
例5 求解微分方程
x
(1 e y ) ydx ( y x)dy 0
x 1
解
dx dy
dx
积分，得 y 2xdx 即 y x2 C, 求得C 1,
所以，所求曲线方程为 y x2 1 .
2、人口增长模型
马尔萨斯认为，如果假设人口增长率 只与自然出生率和自然死亡率有关，那么 人口增长率与人口数量成正比.
设时刻t的人口数量为N(t)，人口增长率
为dN ，则有
dt
dN
kN
dt
常数变易法(用于求解非齐次方程） 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. 实质: 未知函数的变量代换.
作变换 y C( x)e P( x)dx
y C( x)e P( x)dx C( x)[ P( x)]e P( x)dx ,
将y和y代入原方程得 C( x)e P( x)dx Q( x),
四、小结
一、可分离变量的微分方程
g( y)dy f ( x)dx 可分离变量的微分方程.
例如
dy
4
2x2 y5
y
4
5dy
2
x 2dx ,
dx
解法 设函数g( y)和 f ( x)是连续的,
g( y)dy f ( x)dx
分离变量法
设函数G( y)和F ( x)是依次为g( y) 和 f ( x) 的原函
一阶线性微分方程的解法
1. 一阶线性齐次方程
dy P( x) y 0. dx
由分离变量法
dy P( x)dx, y
dy y
P(
x)dx,
ln y P( x)dx C1，
齐次方程的通解为 y Ce P( x)dx .
2. 一阶线性非齐次方程
dy P( x) y Q( x). dx
其中比例常数k=a-b，a为自然出生率，b 为自然死亡率.
3、商品的价格调整模型 设某商品在时刻t的售价为P,需求函数
和供给函数分别为
D(P) a bP 与 S(P) c dP
其中a、b、c、d均为正常数，那么在时刻t 的售价P(t)对于时间t的变化率与该商品在同 一时刻的超额需求量D(P)-S(P)成正比，则有
C( x) Q( x)e P( x)dxdx C,
一阶线性非齐次微分方程的通解为:
y e P( [ x)dx Q( x)e P( x)dxdx C ]
Ce P( x)dx e P( x)dx Q( x)e P( x)dxdx
对应齐次
非齐次方程特解
方程通解
例6 求方程 dy y x2的通解.
数, G( y) F ( x) C 为微分方程的解.
例1 求微分方程 dy 2 xy 的通解. dx
解 分离变量 dy 2xdx, y
两端积分
dy y
2
xdx,
ln y x2 C1
y Cex2为所求通解.
例2 解方程 dy ky
dx
（指数增长与衰减模型） 解 1 dy kdx
2.解法 作变量代换
u y, x
即 y xu,
dy u x du ,
dx 代入原式,得
u
dx x
du
(u),
dx
du (u) u
= dx x
可分离变量的方程
例4 求解微分方程 ( x 3 y 3 )dx 3 xy 2dy
解
dy dx
x3 y3 3 xy2
y x
3
1
3
y x
2
解 设制动后 t 秒钟行驶 s 米, s s(t)
d2s
dt
2
0.4
ds dt
t0
=20
s 0 t0
ds v dt 0.4t C1
s 0.2t 2 C1t C2
代入条件后知
C1 20, C2 0
v ds 0.4t 20, dt
故 s 0.2t2 20t,
开始制动到列车完全停住共需 t 20 50(秒), 0.4
1 cos x C .
x
例8 求方程( y2 6x) dy 2 y 0的通解. dx
解 方程化为
dx 3 x y
dy y
2
相 对 应 于x及 其 导 数 而 言 ， 是 一 次方 程 ， 故先求x( y). 其中
P( y) 3 , Q( y) y ,
y
2
所以
x e P( y)dy Q( y) e P( y)dydy C