高等数学A1第八章：空间解析几何和向量代数 习题解析

第八章 空间解析几何与向量代数
1．自点()0000,,z y x P 分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标。

解：按作图规则作出空间直角坐标系，作出如图平行六面体。

xoy D P ⊥0平面，垂足D 的坐标为()0,,00y x ；
yoz E P ⊥0平面，垂足E 的坐标为()00,,0z y ；
zox F P ⊥0平面，垂足F 的坐标为()00,0,z x ；
x A P ⊥0轴，
垂足A 的坐标为()0,0,0x ；y B P ⊥0轴，垂足B 的坐标为()0,,00y ； z C P ⊥0轴，垂足C 的坐标为()0,0,0z 。

2．在yoz 平面上，求与三点()2,1,3A 、()2,2,4--B 和()1,5,0C 等距离的点。

解：设所求点为(),,,0z y P 则
()()2
222213||-+-+=z y PA ， ()()2222224||++++=z y PB ，
()()2
2215||-+-=z y PC 。

由于P 与A 、B 、C 三点等距，故222||||||PC PB PA ==，
于是有：()()()()()()()()
⎪⎩⎪⎨⎧-+-=++++-+-=-+-+2222222222
1522415213z y z y z y z y ， 解此方程组，得1=y ，2-=z ，故所求的点为()2,1,0-P 。

3．已知()
2,2,21M ，()0,3,12M ，求21M M 的模、方向余弦与方向角。

解：由题设知：{}{}
,2,1,120,23,2121--=---=M M 则
()()
,22
112
22=-
++-=
21cos -=α，21cos =β，2
2
cos -=γ，
于是，32πα=
，3πβ=，4
3πγ=。

4．已知{}1,5,3-=，{}3,2,2=，{}3,1,4--=，求下列各向量的坐标： (1)2；(2)-+；(3)432+-；(4).n m +
解：(1) {}2,10,62-=；(2){}5,8,1=-+；(3){}23,0,16432-=+-； (4){}.3,25,23n m n m n m b n a m +-++=+
5．设向量的方向余弦分别满足(1)0cos =α；(2)1cos =β；(3)0cos cos ==βα，问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何？
解：(1)0cos =α，向量与x 轴的夹角为2
π
，则向量与x 轴垂直或平行于yoz 平面；
(2)1cos =β，向量与y 轴的夹角为0，则向量与y 轴同向；
(3)0cos cos ==βα，则向量既垂直于x 轴，又垂直于y 轴，即向量垂直于xoy 面。

6．分别求出向量k j i a ++=，k j i b 532+-=及k j i c 22+--=的模，并分别用单位向量 a ， b ， c 表示向量，，。

解：3111||222=++=a ，
a =，38532||222=++=
b ，b =，()()3212||2
22=+-+-=
， c c 3=。

7．设853++=，742--=和45-+=，求向量
p n m a -+=34在x 轴上的投影及在y 轴上的分向量。

解：()()()
4574238534-+---+++=15713++= 故在x 轴上的投影为13，在y 轴上的分向量为7。

8．在xoz 坐标面上求一与已知向量{}4,3,2-=垂直的向量。

解：设所求向量为{}00,0,z x b =，由题意， 04200=+-=⋅z x
取10=z ，得20=x ，故{}1,0,2=与垂直。

当然任一不为零的数λ与的乘积b λ也垂直a 。

9．求以()3,2,1A ，()5,4,3B ，()7,2,1--C 为顶点的三角形的面积S 。

解：由向量的定义，可知三角形的面积为AC AB S ⨯=
2
1
，因为{}2,2,2=，{}4,4,2--=，所以
{}4,12,164
4222
2
--=--=
⨯，
于是， ()().69242162
14
422
222
1
2
22=-+-+=
--=k j i S 10．求与向量{}1,0,2=，{}2,1,1-=都垂直的单位向量。

解：由向量积的定义可各，若c b a =⨯，则c 同时垂直于a 和b ，且
k j i b a c 232
11
10
2
--=-=⨯=，
因此，与⨯=平行的单位向量有两个：
()()
()b a c c 2314
1
23123|
||
|2
2
2
--=
-+-+--=
⨯==
和
().2314
1
c ++-=
- 11．设三向量，，满足=⨯+⨯+⨯，试证三向量，，共面。

证：由,=⨯+⨯+⨯有
()
.⨯+⨯-=⨯ 两边与作数量积，得
()()().,,,,,,--=
由于()0,,=c c b ，()0,,=c a c ，所以()0,,=c b a ，从而a ，b ，c 共面。

12．将xoz 坐标面上的抛物线x z 52=绕x 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。

解：由坐标面上的曲线绕一坐标轴旋转时生成的曲面方程的规律，所得的旋转曲面的方程为(
)x z
y 52
2
2=+±，即x z y
522
=+。

13．画出下列各方程所表示的曲面：
(1)2
2
2
22⎪⎭
⎫ ⎝⎛=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-a y a x ；(2)14922=+z x ；(3)22x z -=。

14．指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？
(1)2=x
；(2)1+=x y ；12=。

15．说明下列旋转曲面是怎样形成的？
(1)14
222
=+-z y x ；(2)()222
y x a z +=-。

解：(1)由xoy 坐标面上的双曲线14
2
2
=-y x ，绕y 轴旋转一周或是yoz 坐标面上的双曲线14
22
=+-z y ，绕y 轴旋转一周得到。

(2)是yoz 坐标面上关于z 轴对称的一对相交直线()22
y a z =-，即a y z +=和
a y z +-=中之一条绕z 轴旋转一周；或是xoz 坐标上关于z 轴对称的一对相交直
线()22
x a z =-，即a x z +=和a x z +-=中之一条，绕z 轴旋转一周。

16．指出下列方程组在平面解析几何与空间解析几何中分别表示什么图形？
(1)⎩⎨⎧-=+=3215x y x y ；(2).3
19
42
2⎪⎩
⎪⎨⎧==+y y x 解：(1)在平面解析几何中表示两直线的交点；在空间解析几何中表示两平面的交线；
(2)在平面解析几何中表示椭圆与其一切线的交点；在空间解析几何中表示
椭圆柱面19
42
2=+y x 与其切平面3=y 的交线。

17．分别求母线平行于x 轴及y 轴而且通过曲线⎪⎩⎪⎨⎧=-+=++0
16
22
222
22y z x z y x 的柱面方
程。

解：10．从方程组中消去x 得：162322=-z y ，此方程即母线平行于x 轴且通过已知曲线的柱面方程；
20．从方程组中消去y 得：162322=+z x ，此方程即母线平行于y 轴且通过此曲线的柱面方程。

18．求球面9222=++z y x 与平面1=+z x 的交线在xoy 面上的投影的方程。

解：由1=+z x ，得x z -=1，代入9222=++z y x ，消去z 得
()912
22=-++x y x ，即82222=+-y x x ，这就是通过球面9222=++z y x 与平
面1=+z x 的交线，并且母线平行于z 轴的柱面方程，将它与0=z 联系，得：
⎩⎨
⎧==+-0
8
2222z y x x ，即为所求的投影方程。

19．求平面0522=++-z y x 与xoy 面的夹角。

解：{}1,2,2-=n 为此平面的法向量，设此平面与xoy 的夹角为γ，则
{}{}3
1
3
1,0,01,2,2cos =⋅-=
=
γ，故3
1cos
Arc =γ。

20．分别按下列条件求平面方程 (1)平行于xoz 面且经过点()3,5,2-； (2)通过z 轴和点()2,1,3-；
(3)平行于x 轴且经过两点()2,0,4-和()7,1,5。

解：(1)因为所求平面平行于xoz 面，故{}0,1,0=为其法向量，由点法式可得：
()()()0305120=-⋅++⋅+-⋅z y x ， 即所求平面的方程：05=+y 。

(2)因所求平面通过z 轴，其方程可设为(*)0=+By Ax ，已知点()2,1,3--在此平面上，因而有03=+-B A ，即A B 3=，代入（*）式得：
03=+Ay Ax ，即所求平面的方程为：03=+y x 。

(3)从共面式入手，设()z y x P ,,为所求平面上的任一点，点()2,0,4-和()7,1,5分
别用A ，B 表示，则AP ，AB ，共面，从而[]
00
191
12
4,,=+-=z y x ，于是可得所求平面方程为：029=--z y 。

21．用对称式方程及参数式方程表示直线l ：⎩
⎨⎧=++=+-421
z y x z y x 。

解：因为直线l 的方向向量可设为{}3,1,211211121-=-=⨯=k
j
i
n n ，在直线上巧取一点()2,0,3-A （令0=y ，解直线l 的方程组即可得3=x ，2-=z ），则直线的对称式方程为
3
2
123+==--z y x ，参数方程为：t x 23-=，t y =，t z 32+-=。

22．求过点()4,2,0且与两平面12=+z x 和23=-z y 平行的直线方程。

解：因为两平面的法向量{}2,0,11=n 与{}3,1,02-=n 不平行，所以两平面相交
于一直线，此直线的方向向量{}1,3,231020121-=-=⨯=k
j
i n n ，故所求直线方
程为
1
4322-=-=-z y x 。

23．求直线⎩
⎨⎧=--=++003z y x z y x 与平面01=+--z y x 的夹角。

解：已知直线的方向向量{}2,4,21
1131
121-=--=⨯=n n ，已知平面的法向量{}1,1,1--=n ，而{}{}02421,1,12,4,2=+-=--⋅-=⋅n s ，所以⊥，故直线与平面的夹解为0。

24．确定直线
3
7423z
y x =-+=-+和平面3224=--z y x 间的位置关系。

解：直线的方向向量{},3,7,2--= 平面的法向量{},2,2,4--= {}{}
()()()().02243722,2,43,7,2cos 2
22222=-+-+⋅+-+---⋅--=
ϕ
从而n s ⊥，由此可知直线平等于平面或直线在平面上。

再将直线上的点)0,4,3(--A 的坐标代入平面方程左边，得
()()34024234≠-=⨯--⨯--⨯，即A 不在平面上，故直线平行于平面。

25．设102+=，82+-=，()b a -=3，证明A 、B 、D 三点共线。

解：因为()()
,338252
1
CD b a b a b a BC AB =-=+--+=- 所以
,2
1
=+= 即，
BD 共线，B 为公共点，故A 、B 、D 三点共线。

26．设有两个力，i F 221+=和F 32+=，同时作用于一个点上，试求它们的合力F 的大小和方向。

解：设,z
y x ++= 于是
(()
F F 5332221+=+++=+=，
得：()
6253||2
22=++=，
故其方向余弦为
21cos =
=
α，65cos ==β，,62
||cos ==F γ
从而方向角为：3
π
α=
，65arccos
=β，6
2
arccos =γ。

27．设向量的两个方向余弦为31cos =
α，3
2
cos =β6=，求的坐
标。

解：因为31cos =
α，3
2
cos =β，故 3232311cos cos 1cos 2
2
22±=⎪⎭⎫
⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-±=--±=βαγ。

由公式231
6cos ||=⨯
==αa a x ， 43
2
6cos ||=⨯==βa a y ，
4326cos ||±=⎪⎭
⎫
⎝⎛±⨯==γa a z ，
于是得{}4,4,2=或{}4,4,2-=。

28．证明垂直于()()
⋅-⋅。

证：()()()()()()()0=⋅⋅-⋅⋅=⋅-⋅⋅b a c a c a b a b c a c b a a ，故()()[]b c a c b a a ⋅-⋅⊥。

29．已知三点()0,0,1A ，()1,1,3B ，()1,0,2C ，且=，=，=，
求(1)a 与b 的夹角；(2)a 在c 上的射影a j c
Pr 。

解：{}0,1,1--==，2||=； {}1,0,1--==，2||=；
{}1,1,2==，6||=；
可设()()()()1100111=-⋅+⋅-+--=⋅b a ，()()()3101121-=⋅+-+⋅-=⋅c a ； 因而可得：(1)()
21,cos =
=
b a ，所以()
3
,π
=∠； (2)a j c Pr 2663
-=-==。

30．求出球面8222=++z y x 与旋转抛物面z y x 222=+的交线。

解：两曲面的交线为⎪⎩⎪⎨⎧=+=++)
2(2)1(8
2
2
2
22z
y x z y x ，
将(2)代入(1)得()()024=-+z z ，所以4-=z 或2=z ，由(2)知0≥z ，故取2=z 。

因此交线方程为⎩⎨⎧==++28222z z y x 或⎩⎨⎧==+2
4
22z y x 。

这是在2=z 平面上圆心为()2,0,0，半径为2的圆曲线。

31．求过点()1,2,1而与直线⎩⎨⎧=-+-=+-+01012:1z y x z y x l ，⎩⎨⎧=+-=+-00
2:z y x z y x l 平行的平
面方程。

解：因{}3,2,1111
121
1--=--=k
j i
s 为直线1l 的方向向量， {}1,1,01
111122--=--=s 直线2l 的方向向量。

取 {}1,1,111032121--=----=⨯=s s n ，则通过点()1,2,1并以为法向
量的平面方程0=+-z y x 即为所求的平面方程。

32．求点()0,2,1-在平面012=+-+z y x 上的投影。

解：从A 点()0,2,1-作平面的垂线，则垂线的方向向量就是平面的法向量
{}1,2,1-=n ，所以垂线方程为
1
2211-=-=+z
y x 。

为求出垂足，将垂线方程化为参数方程t x +-=1，t y 22+=，t z -=，将其
代入平面方程，得32-=t ，求得垂足（即投影）的坐标为⎪⎭
⎫
⎝⎛-32,32,35。

33．求点()2,1,3-P 到直线⎩
⎨⎧=-+-=+-+0420
1z y x z y x 的距离。

解一：因{}3,3,01
1211121--=--=⨯=k
j
i
n n s 为已知直线的方向向量，
由平面的点法式方程得，过P 点且垂直于直线的平面方程为01=-+z y 。

解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-+=-+0420101z y x z y x z y ，得垂足H 的坐标1=x ，21-=y ，23=z ，于是22
3=PH ，即为所求的距离。

解二：在直线上任取点()0,2,1-A ，以AP ，s 为邻边的平行四边形的面积
s AP ⨯=，点P 到直线的距离为s s
AP d ⨯=，而{}2,1,2=AP ，{}3,3,0--=s ，于
是9|663|330212=-+=--=⨯k j i k
j i s AP ，而23||=s ，故223239==d 。

34．设a ， b ，c 为单位向量，且满足0=++c b a ，求a c c b b a ⋅+⋅+⋅。

解：因为0=++c b a ，所以c b a -=+。

而
()()1||2-=-=-⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅+⋅c c c a b c a c b c a c c b ， 同理可知：1-=⋅+⋅b a a c ；1-=⋅+⋅c b b a ，
于是2
3-=⋅+⋅+⋅a c c b b a 。

35．作出曲面24x z -=与平面42=+y x 、三坐标面所围的立体，在第一卦限部分的立体图形。

36．求通过点()1,1,1P 且与两直线1l ：
31z z y x ==，2l ：4
31221-=-=-z y x 都相交的直线方程。

解：设所求直线的方向向量为{}Z Y X ,,=则所求直线l ：Z
z Y y Z x 111-=-=-，因为l 与1l 、2l 都相交，而1l 过()0,0,01M ，方向向量为{}3,2,11=V ，2l 过()3,2,12M ，方向向量{}4,1,22=V ，所以有
()0321111,,11==Z Y X V V P M ，即02=+-Z Y X ， ()
0412
2
10,,22=--=Z Y X V M ，即02=-+Z Y X 。

由上两式得2:1:04:2:0::==Z Y X ，显然有3:2:12:1:0≠，即1\//V ，4:1:22:1:0≠，2\//V ，所以所求直线l 的方程为211101-=-=-z y x 。