山西省阳高县第一中学高二数学下学期第一次月考试题 理

山西省阳高县第一中学2017-2018学年高二数学下学期第一次月考试题 理
( 总分：150 时间：120分钟）
一、选择题（共12题，每小题5分）
1．若f (n ）＝1＋错误!＋错误!＋…＋错误!（n ∈N ＊
)，则当n ＝2时，f （n )是( )．
A ．1＋错误!
B.错误!
C ．1＋错误!＋错误!＋错误!＋错误!
D ．非以上答案
2。

若函数y=f(x)在区间（a ，b ）内可导，且x 0∈(a,b)，则错误！未找到引用源。

的值为（ ) A 。

f ′（x 0） B.2f ′(x 0） C 。

-2f ′(x 0）
D 。

0
3 若曲线y=x α
+1(α∈R)在（1,2)处的切线经过原点，则α=（ ） A 。

1 B.2 C 。

3 D.4
4．f （x )＝ax 3
＋2错误!，若f ′（1)＝4，则a 的值等于( ) A 。

错误! B.错误! C.错误!
D ．1
5．下列说法正确的是( ） A ．“a <b ”是“am 2
<bm 2
”的充要条件
B ．命题“∀x ∈R ，x 3
－x 2
－1≤0”的否定是“∃x ∈R ,x 3
－x 2
－1≤0”
C ．“若a ，b 都是奇数,则a ＋b 是偶数”的逆否命题是“若a ＋b 不是偶数，则a ，b 不都是奇数”
D ．若p ∧q 为假命题，则p ,q 均为假命题
6。

有一段演绎推理是这样的:“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线;已知直线b ⊆/平面α，
直线a ≠
⊂平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误的,这是因为 A 。

大前提错误 B 。

小前提错误 C.推理形式错误 D 。

非以上错误
7、设()f x '是函数()f x 的导函数，将
y f =
,不可能正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．使函数y＝x sin x＋cos x是增函数的区间可能是( )
A．(错误!，错误!) B．(π,2π)
C．(错误!，错误!）D．(2π，3π）
9．一汽车沿直线轨道前进,刹车后列车速度为v（t）＝18－6t，则列车的刹车距离为（）
A．27 B．54
C．81 D．13.5
图1
10．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x），且函数y＝(1－x）f′（x)的图象如图1所示，则下列结论中一定成立的是( )
A．函数f(x）有极大值f（2)和极小值f(1)
B．函数f(x）有极大值f(－2）和极小值f（1）
C．函数f（x）有极大值f(2)和极小值f(－2)
D．函数f（x)有极大值f（－2）和极小值f（2）
11．若a＝错误!，b＝错误!，c＝错误!,则( ）
A．a〈b〈c B．c<b<a C．c<a〈b D．b<a〈c
12．已知三次函数f(x)＝错误!x3－（4m－1）x2＋(15m2－2m－7)x＋2在x∈（－∞,＋∞）是增函数，则m的取值范围是（）
A．m〈2或m〉4 B．－4<m<－2 C．2〈m<4 D．以上皆不正确
二、填空题（共4小题，每小题5)
13．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm"类比得到“a·b＝b·a"；
②“(m＋n）t＝mt＋nt"类比得到“（a＋b)·c＝a·c＋b·c”；
③“t≠0,mt＝nt⇒m＝n”类比得到“c≠0，a·c＝b·c⇒a＝b”；
④“｜m ·n |＝|m ｜·|n |”类比得到“|a·b ｜＝｜a ｜·｜b |"； ⑤“(m ·n )t ＝m （n ·t )”类比得到“（a·b )·c ＝a (b·c )”；
⑥“错误!＝错误!”类比得到错误!＝错误!.以上的式子中，类比得到的结论正确的是________． 14已知函数()f x 满足满足1
2
1()(1)(0)2
x f x f e
f x x -'=-+
，则f(0)=_________ 15．如图阴影部分是由曲线y ＝错误!,y 2
＝x 与直线x ＝2,y ＝0围成,则其面积为________．
16、已知f （x ）为偶函数，当0x <错误！未找到引用源.时，()ln()3f x x x =-+，则曲线y =f (x ）在点（1,−3）
处的切线方程是_______________。

三、解答题（共6题)
17．利用导数和三段论证明：函数x x x f 2)(2+-=在(-∞，1)上是增函数。

(必须用三段论,否则0分) 18．周长为20 cm 的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，求圆柱体积的最大值为。

19．（本题满分12分)设函数f （x )＝x 3
－3ax ＋b (a ≠0）．
（1)若曲线y ＝f （x ）在点（2，f （2))处与直线y ＝8相切，求a ,b 的值； (2)求函数f (x )的单调区间与极值点．
20．(本题满分12分）已知函数f （x )＝错误!x 2
＋ln x 。

(1)求函数f (x ）的单调区间；
(2)求证：当x 〉1时，错误!x 2
＋ln x 〈错误!x 3
. 21．（12分)
如图，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中,AA 1＝2AB ＝4,点E 在C 1C 上，且C 1E ＝3EC . (1)证明A 1C ⊥平面BED ；
(2）求二面角A 1－DE －B 的余弦值． 22(12）（20）（本小题满分12分）
设抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，A C ∈,已知以F 为圆心,
FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点；
（1）若0
90=∠BFD ，ABD ∆的面积为24;求p 的值及圆F 的方程；
（2）若,,A B F 三点在同一直线m 上,直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，
求坐标原点到,m n 距离的比值。

高二数学附加题:
1．（5分）已知函数f(x)的图象如图所示，下列数值的排序正确的是（)
A．0〈f′(2）<f′(3)〈f(3)－f（2） B．0〈f′(3）<f（3)－f（2)<f′(2)
C．0〈f′（3)<f′(2)<f(3)－f(2) D．0<f（3)－f（2)〈f′(2)<f′(3）
2．（5分）设曲线y＝x n＋1（n∈N＊）在(1,1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，则log2 010x1＋log2 010x2＋…＋log2 010x2 009的值为( )．
A．－log2 0102 009 B．－1
C．（log2 0102 009）－1 D．1
3．（5分)函数y＝ax－ln x在(错误!,＋∞）内单调递增，则a的取值范围为（）
A．(－∞，0]∪［2，＋∞) B．(－∞，0］
C．［2,＋∞） D．（－∞，2］
4．
（5分)已知定义在实数集R上的函数f（x）满足f(1)＝3，且f（x）的导数f′(x)在R上恒有f′（x)<2(x∈R），则不等式f(x）〈2x＋1的解集为 ( )
A．（1，＋∞）B．(－∞，－1）
C．（－1,1) D．(－∞，－1)∪（1，＋∞)
5．（5分)求过点（2,0)且与曲线y＝x3相切的直线方程_________________．
6、（5分）ʃ1，－1(错误!＋e x－1）d x＝________。

7、(20分）已知函数f(x）＝ln x－ax (a∈R)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)当a>0时，求函数f(x）在[1，2］上的最小值．
2017-2018高二数学(理）模块考试 ( 总分：150 时间:120分钟）
三、选择题（共12题，每小题5分）
1．答案 C 2【解析】选B 。

3。

【解析】选B 。

4．【答案】 D 5． [答案] C 6.答案A 7、答案：D 8．【答案】 C 9．【答案】 A 10【答案】 D 11．答案：B 12．［答案] D
四、 填空题（共4小题，每小题5）
13．答案 ①② 14：(0)1f = 15．[答案］ 错误!＋ln2 16、【答案】21y x =-- 三、解答题（共6题)
17．利用导数和三段论证明：函数x x x f 2)(2+-=在（-∞，1）上是增函数。

（必须用三段论，否则0分)
略
18．周长为20 cm 的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，求圆柱体积的最大值为。

【解析】 设矩形的长为x ,则宽为10－x （0<x 〈10),由题意可知所求圆柱的体积V ＝πx 2
(10－x ）＝10πx 2
－πx 3
，
∴V ′(x ）＝20πx －3πx 2。

由V ′（x )＝0得x ＝0(舍去），x ＝错误!，
且当x ∈（0，错误!)时,V ′（x ）〉0,当x ∈（错误!，10)时,V ′(x )〈0， ∴当x ＝错误!时，V （x ）取得最大值为错误!π cm 3。

【答案】 错误!π cm 3
19．(本题满分12分）设函数f (x ）＝x 3
－3ax ＋b (a ≠0)．
（1)若曲线y ＝f (x ）在点(2，f （2)）处与直线y ＝8相切，求a ，b 的值； （2)求函数f （x )的单调区间与极值点．
［分析］ 考查利用导数研究函数的单调性，极值点的性质，以及分类讨论思想． ［解析] (1)f ′（x )＝3x 2
－3a .
因为曲线y ＝f (x ）在点（2，f (2)）处与直线y ＝8相切，
所以⎩⎨
⎧
f ′（2）＝0f (2)＝8.
即错误!
解得a ＝4,b ＝24。

(2)f ′(x )＝3(x 2
－a )(a ≠0）．
当a 〈0时，f ′（x )>0,函数f (x )在（－∞，＋∞）上单调递增，此时函数f （x ）没有极值点． 当a 〉0时,由f ′（x ）＝0得x ＝±错误!.
当x ∈（－∞，－错误!)时，f ′(x )>0，函数f （x ）单调递增； 当x ∈(－错误!，错误!)时,f ′(x ）<0，函数f （x )单调递减； 当x ∈（错误!,＋∞)时，f ′（x )〉0，函数f （x ）单调递增．
此时x＝－a是f（x)的极大值点,x＝错误!是f(x)的极小值点．
20．（本题满分12分）已知函数f（x)＝错误!x2＋ln x。

(1)求函数f(x)的单调区间；
(2）求证：当x>1时，错误!x2＋ln x<错误!x3.
［解析] (1）依题意知函数的定义域为{x|x>0}，
∵f′（x）＝x＋错误!，故f′(x）>0，∴f（x)的单调增区间为（0，＋∞)．
（2）设g(x）＝错误!x3－错误!x2－ln x，∴g′(x）＝2x2－x－错误!，
∵当x〉1时,g′(x)＝错误!〉0，
∴g（x)在(1，＋∞)上为增函数,
∴g(x)〉g(1)＝错误!〉0，∴当x>1时，错误!x2＋ln x<错误!x3.
21．（12分)
如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝4，点E在C1C上,且C1E＝3EC.
(1)证明A1C⊥平面BED；
(2）求二面角A1－DE－B的余弦值．
解以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz.依题设B(2,2,0)，C（0，2，0），E（0，2,1)，A1（2,0,4）．
错误!＝（0，2,1),错误!＝（2，2,0)， 错误!＝（－2,2,－4)，错误!＝(2，0,4)． (1）∵错误!·错误!＝0，错误!·错误!＝0， ∴A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥DE 。

又DB ∩DE ＝D ， ∴A 1C ⊥平面DBE .
(2）设向量n ＝（x ，y ，z )是平面DA 1E 的法向量，则n ⊥错误!，n ⊥错误!. ∴2y ＋z ＝0，2x ＋4z ＝0. 令y ＝1,则z ＝－2，x ＝4， ∴n ＝(4,1，－2)．
∴cos 〈n ，错误!〉＝错误!＝错误!。

∵<n ，错误!〉等于二面角A 1－DE －B 的平面角， ∴二面角A 1－DE －B 的余弦值为错误!. 22（12）（20）（本小题满分12分)
设抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，A C ∈，已知以F 为圆心，
FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点；
（1)若0
90=∠BFD ，ABD ∆的面积为24；求p 的值及圆F 的方程；
（2)若,,A B F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点,
求坐标原点到,m n 距离的比值。

(20)(本小题满分12分）
设抛物线2
:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，A C ∈,已知以F 为圆心，
FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点；
(1）若0
90=∠BFD ,ABD ∆的面积为24；求p 的值及圆F 的方程；
(2）若,,A B F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点,
求坐标原点到,m n 距离的比值。

【解析】（1）由对称性知：BFD ∆是等腰直角∆,斜边2BD p =
点A 到准线l 的距离d FA FB ===
1
22
ABD S BD d p ∆=⇔
⨯⨯=⇔=
圆F 的方程为22(1)8x y +-=
（2）由对称性设2
00(,)(0)2x A x x p
>，则(0,)2p F
点,A B 关于点F 对称得：22
2
20000(,)3222
x x p B x p p x p p p --⇒-=-⇔=
得：3,
)2p
A
，直线3:02p p p m y x x -
=+⇔+=
22
22x x x py y y x p p p '=⇔=⇒==⇒=⇒
切点)6p P
直线:)06336
p n y x x p -
=-⇔--= 坐标原点到,m n
3=。

（lfx lby ） 附加题:
1．答案:B 2．答案 B 3、答案C 4．答案 A
5．答案：y=0,27x —y-54=0 6、答案 错误!＋e －错误!－2 7、（12分)已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R ）．
(1）求函数f （x )的单调区间； (2）当a 〉0时，求函数f (x )在[1，2］上的最小值． 解 （1)f ′(x ）＝错误!－a (x >0），
①当a ≤0时，f ′（x ）＝错误!－a 〉0，即函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．［2分］ ②当a 〉0时，令f ′(x )＝错误!－a ＝0，可得x ＝错误!, 当0〈x 〈错误!时，f ′(x ）＝错误!〉0； 当x 〉错误!时,f ′（x )＝错误!〈0， 故函数f （x )的单调递增区间为错误!, 单调递减区间为错误!.［4分]
综上可知,当a ≤0时,函数f (x ）的单调递增区间为（0，＋∞)；
当a 〉0时，函数f （x ）的单调递增区间为错误!，单调递减区间为错误!.[5分]
（2)①当错误!≤1，即a ≥1时，函数f (x ）在区间［1,2]上是减函数，所以f （x )的最小值是f （2)＝ln 2－2a .[6分］
②当1
a
≥2,即0<a ≤错误!时，函数f （x ）在区间［1，2]上是增函数,所以f （x )的最小值是f （1）＝－a 。

［7分］
③当1<错误!<2，即错误!〈a〈1时，函数f(x）在错误!上是增函数，在错误!上是减函数．又f（2）－f （1)＝ln 2－a，
所以当错误!<a<ln 2时,最小值是f（1）＝－a；
当ln 2≤a<1时，最小值为f(2)＝ln 2－2a。

［11分］
综上可知，
当0〈a〈ln 2时，函数f（x)的最小值是－a；
当a≥ln 2时,函数f（x)的最小值是ln 2－2a.［12分］。