3 LP问题的对偶理论

他/她——生产资料租用 者的投入： 租赁工厂的生产设备， 支付工时费和材料费， 考虑怎样的租赁价格可 以接受？
我——生产资料所有 者， 如何为每种资源定价？
产品A 产品B 资源限量 劳动力 设 备 原材料 利润元/kg 9 4 3 70 4 5 10 120 360 200 300
仅为理解“对偶规划”的意义 而设，现实生活中不存在“不劳 而获”的案例。如有发现“不劳 而获”存在，纯属巧合！ 切勿认为“不劳而获”发生在 别人身上，也会发生在自己身上。
对偶问题（或原问题） 目标函数 MinW
对偶变量数：m个 第i个变量≥0 第i个变量≤0 第i个变量是自由变量 约束条件数：n 第i个约束条件类型为“≥” 第i个约束条件类型为“≤” 第i个约束条件类型为“=”
1、给每个原始约束条件定义一个非负对偶变量yi(i=1,2,…，n); 2、使原问题的目标函数系数cj变为其对偶问题约束条件的右端 常数； 3、使原问题约束条件的右端常数bi变为其对偶问题目标函数的 系数； 4、将原问题约束条件的系数矩阵转置，得到其对偶问题目标 函数的系数； 5、改变约束条件不等号的方向，即将“≤”改为“≥”； 6、原问题“max”型，对偶问题为“min”型
思路
在考虑定价时，肯定要和生产A、B时的情 况进行比较，起码应当使两种情况下的总 利润相等。
产品A 产品B 资源限量
价格嘛…… 好商量， 好商量。只 是…... 王 老 板 李 老 板
Hi：王老板，听 说近来家具生意 好惨了，也帮帮 兄弟我哦!
劳动力 设 备 原材料 利润元/kg
9 4 3 70
m aij yi cj j 1,2,, n s.t. i 1 i 1,2,, m yi符号不限，
(特点：等式约束)
（特点：对偶变量符号 不限，系数阵转置）
1、对称形式的对偶关系
MaxZ c1 x1 c2 x2 cn xn a11x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 s.t. a x a x a x b mn n m m1 1 m2 2 x1 , x2 ,, xn 0
4 5 10 120
360 200 300
生产计划问题
例题1：某厂生产两种产品， 1、确定决策变量：设生产A产 需要三种资源，已知各产 品x1kg,B产品x2kg 品的利润、各资源的限量 2 、确定目标函数： 和各产品的资源消耗系数 maxZ=70X1+120X2 如下表：如何安排生产计 3、确定约束条件： 划，使得获利最多？ 木工约束 9X1+4X2≤360 产品A 产品B 资源限量 油漆工约束 4X1+5X2 ≤200 9 4 360 木 工 4 5 200 油漆工 原材料约束 3X1+10X2 ≤300 3 10 300 原材料 非负性约束 X1≥0 X2≥0
3
观察：
MaxZ 1500 x1 2500 x2 3 x1 2 x2 65; 2 x x 40; 1 2 st 3 x2 75; x1 , x2 0
2、非对称形式的对偶关系：
（1） 原问题
MaxZ c j x j
பைடு நூலகம்j 1 n
对偶问题
MinW bi xi
i 1 m
MinW 65 y1 40 y2 75 y3 3 y1 2 y2 1500; st 2 y1 y2 3 y3 2500; y , y , y 0 1 2 3
n aij x j bi i 1,2,, m s.t. j 1 x j 0 j 1,2,, n
9 y 4 y 3 y 70 1 2 3 4 y 5 y 10 y 120 2 3 1
找个人，让他/她拿我的生产资料/生产要素 （土地、生产设备等）生产，让他/她去干
极尽繁琐的原材料进货； 毫无生气的生产计划与控制； 近乎谄媚的市场销售； 承担R&D的风险；
对偶问题的提出
3.1.1a 对偶思想举例:
周长一定的矩形中，以正方形面积最大 面积一定的矩形中，以正方形周长最小；
3.1.1b 换个角度审视生产计划问题
生产计划问题的对偶问题实际上是一个价格系统，使在平 衡了劳动力和原材料的直接成本后，所确定的价格系统最 具有竞争力 对偶变量的经济意义可以解释为对工时及原材料的单位定 价； 若工厂自己不生产产品A、B和C，将现有的工时及原材料 转而接受外来加工时，那么上述的价格系统能保证不亏本 又最富有竞争力（包工及原材料的总价格最低） 考察原问题和对偶问题的解，给作决策的管理者另一个自 由度；
2
这个例子告诉我们说：
赚钱的方式有多种，转换一下思路往往有 意想不到的结果； “在我国现阶段，把按劳分配与按生产要 素分配结合起来”； “不劳而获”是不可能D，君不见“我”的 生产要素也是辛辛苦苦干出来的！
Max z = 1500x1 + 2500x2 原问题：在劳动 s.t. 3x1 + 2x2 ≤ 65 力和原材料可能 原问题 2x1 + x2 ≤ 40 供应的范围内， 3x2 ≤ 75 使得产品的总利 x1 ,x2 ≥ 0 润最大 。
MinW 15y1 10y2 3y1 5 y2 2 s.t.4 y1 2 y2 1 y ,y 0 1 2
原问题（或对偶问题） 目标函数 MaxZ
约束条件数：m个 第i个约束条件类型为“≤” 第i个约束条件类型为“≥” 第i个约束条件类型为“=” 决策变量数：n个 第j个变量≥0 第j个变量≤0 第j个变量是自由变量
现在提一个新的问题：
第三章 LP问题的对偶理论 duality theory
1、对偶问题的一般概念 （要求：会写出某个LP问题的对偶问题） 2、对偶问题的性质 （重点：互补松弛定理） 3、对偶问题的解 4、对偶问题的经济解释——影子价格 （要求：理解影子价格的意义，并能够初步应用） 5、对偶单纯形法
（2）怎样写出非对称形式的对偶问题？
把一个等式约束写成两个不等式约束，再 根据对称形式的对偶关系定义写出； 按照原始-对偶表直接写出 ；
原问题
原问题的对偶问题
这两个式子之间的变换关系称为“对称形式的对偶关 系”。
（3）原始-对偶表
写出下面线性规划的对偶问题：
MaxZ 2 x1 x2 3x1 4 x2 15 s.t.5 x1 2 x2 10 x , x 0 1 2
Min f = 65y1+ 40y2 + 75y3 s.t. 3y1+2y2 ≥1500
（不少于甲产品的利润） （不少于乙产品的利润）
对偶
2y1+y2+3y3 ≥2500
y1 , y2 , y3 ≥ 0
对偶问题：用于 生产第 i 种产品的 资源转让收益不 小于生产该种产 对偶问题 品时获得的利润
§3.1 对偶问题的一般概念
4
课堂练习：写出下面线性规划的对偶规划：
MinZ 4 x1 2 x 2 3 x 3 4 x1 5 x 2 6 x 3 7 8 x1 9 x 2 10 x 3 11 s .t . 12 x 1 13 x 2 14 x1 0 , x 2 符号不限 , x 3 0 MaxW 7 y1 11y2 14 y3 MaxW 7 y1 11y 2 14 y3
4 y1 8 y2 12y3 4 4 y1 8 y 2 12 y3 4 5 y1 9 y2 13y3 2 5 y1 9 y 2 13y3 2 s.t. s.t. 6 y1 10y2 3 6 y1 10 y 2 3 , y2 0, y3 0 , y 2 0, y3 0 y1符号不限 y1符号不限
3.1.1b 换个角度审视生产计划问题
原问题和对偶问题的关系
DUAL
怎样通过增加更多的资源来增加利润？ 怎样使用不同类型的资源来增加利润？
生产计划问题
某工厂拥有A、B、C 三种类型的设备，生产甲、 乙两种产品。每件产品在生产中需要占用的设备 机时数，每件产品可以获得的利润以及三种设备 可利用的时数如下表所示。求获最大利润的方案。
产品甲 设备A 设备B 设备C 利润（元/件） 3 2 0 1500 产品乙 2 1 3 2500 设备能力（h） 65 40 75
3.1.2 原问题和对偶问题的关系
1、对称形式的对偶关系 a. 对称形式的对偶关系的矩阵描述 b. 怎样从原始问题写出其对偶问题？ 2、非对称形式的对偶关系： 3、混合型对偶问题（教材P102）
如果工厂不再打算生产产品A，B，而是把 原材料和设备以比买价高的价格卖出，把 工厂的生产能力以更高的工时费来接受外 协加工，那么材料和设备工时的定价应该 是多少才划算？
引例——俩家具制造商间的对话：
家具生意还真赚钱， 但是现在的手机生 意这么好，不如干 脆把我的木工和油 漆工租给他，又能 收租金又可做生意。 唉!我想租您的木工和 油漆工一用。咋样？价 格嘛……好说，肯定不 会让您兄弟吃亏。 王老板做家 具赚了大钱， 可惜我老李 有高科技产 品，却苦于 没有足够的 木工和油漆 工咋办？只 有租咯。
2）价格应尽量低，否则没有竞争力（此价格可成 为与客户谈判的底价 租赁者考虑：希望价格越低越好，否则另找他人。 于是，能够使双方共同接受的是 ：
m in W 360 y1 200 y 2 300 y 3 9 y 4 y 3 y 70; 1 2 3 s .t . 4 y 5 y 10 y 120; 1 2 3 y ,y ,y 0 1 2 3
利润元/kg 70 120
你就是老板！ 常规性生产
按设计生产 （生产计划） 采购原材料
市场销售
1
换一种方式赚钱，给没有大脑的懒人
厌倦了极尽繁琐的原材料进货； 厌倦了毫无生气的生产计划与控制； 厌倦了近乎谄媚的市场销售； 不想承担R&D的风险； 又想赚大把大把的银子 怎么办？
上述两个LP问题的数学模型是在同一企业的资源 状况和生产条件下产生的，且是同一个问题从不 同角度考虑所产生的，因此两者密切相关。称这 两个LP问题是互为对偶的两个LP问题。其中一个 是另一个问题的对偶问题。
该考虑此问题？假如现在工厂自己不生产产品A、B， 而将可利用的资源都出让给其它企业，试确定这些资源 的最低可接受价格。最低可接受价格是指按这种价格转 让资源比自己生产产品A、B合算的价格。
MinW b1 y1 b2 y2 bm ym a11 y1 a21 y2 am1 ym c1 a y a y a y c 12 1 22 2 m2 n 2 s.t. a y a y a y c mn n n 1n 1 2 n 2 y1 , y2 , , ym 0
MaxZ 4 x1 2 x2 3 x3
解:1)决策变量：设y1, y2，y3分别表示出售劳动力 、单位原材料的价格（含附加值）和出租设备单 位工时的租金 2）目标函数：此时工厂的总收入为 W=360y1+200y2＋300y3,这也是租赁方需要付出 的成本.而在这个问题中,是企业不生产,将自己的 资源出售或出租,因此,此时,起决定作用的是租赁 方,所以此时的目标函数为 Min W=360y1+200y2＋300y3 3)约束条件:工厂决策者考虑： （1）出售原材料和出租设备应不少于自己生产 产品的获利，否则不如自己生产为好。因此有