高二数学导数大题练习(详细答案)
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高二数学导数大题练习(详细答案)
一、解答题 1.
已知函数()()2ln 0f x a x ax a =+-> (1)求()f x 的最大值
(2)若()0f x ≤恒成立,求a 的值
2.已知函数()ln e
x f x x =,()2
ln 1g x a x x =-+,e 是自然对数的底数.
(1)求函数()f x 的最小值;
(2)若()0g x ≤在()0,∞+上恒成立,求实数a 的值;
(3)求证:2022
2023
20232023e 20222022⎛⎫
⎛⎫<< ⎪
⎪
⎝⎭
⎝⎭
.
3.已知函数()ln .f x x x ax a =-+
(1)若1≥x 时,()0f x ≥恒成立,求a 的取值范围;
(2)当1a =,01b <<时,方程()f x b =有两个不相等的实数根12,x x ,求证:12 1.x x < 4.已知()21e 2
x f x k x =-.
(1)若函数()f x 有两个极值点,求实数k 的取值范围;
(2)证明:当n *
∈N 时,()22222
1123123e 4e 1e
n n n -+++⋅⋅⋅+<+. 5.已知函数21()ln (R)2
f x x ax x a =--∈ (1)若2a =时,讨论函数()f x 的单调性;
(2)设23
()()12g x f x x =++,若函数()g x 在1
e e ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
,上有两个零点,求实数a 的取值
范围
6.已知函数()32
2f x x ax bx =++-在2x =-时取得极值,且在点()()1,1f --处的切
线的斜率为3- . (1)求()f x 的解析式;
(2)若函数()y f x λ=-有三个零点,求实数λ的取值范围.
7.已知函数()e 2,R x
f x ax a =-∈.
(1)若12
a =,求函数()f x 的极小值.
(2)存在[]02,3x ∈,使得()00f x ≤成立,求实数a 的取值范围.
8.已知函数()()()()e 0=+->x
f x x b a b 在()()1,1f --处的切线方程为
()e 1e e 10x y -++-=.
(1)求a ,b 的值;
(2)若方程()f x m =有两个实数根12,x x , ①证明:12
m >-;
②当0m <时,2121x x m ->+是否成立?如果成立,请简要说明理由.
9.已知函数e ()(1)1x
f x b x a
=+-+
(1)当114
a b ==-,时,求曲线()y f x =在点(0,f (0))处的切线方程; (2)当1a =时,()2f x ≥恒成立,求b 的值. 10.已知函数()()()2
e 1,e 2.718x
f x m x m R =-+∈≈.
(1)选择下列两个条件之一:①12
m =;②1m =,判断()f x 在区间()0,∞+上是否存在极小值点,并说明理由;
(2)已知0m >,设函数()()()1ln g x f x mx mx =-+.若()g x 在区间()0,∞+上存在零点,求实数m 的取值范围.
【参考答案】
一、解答题
1.(1)22ln 2ln 2a a --+ (2)2a = 【解析】 【分析】
(1)求导求解单调性即可求出最值;
(2)要使()0f x ≤成立必须()22ln 2ln 20a a a ϕ=--+≤,求单调性求解即可. (1)
因为()()2ln 0f x a x ax a =+->,所以()()20ax
f x a x
-'=>, 由()0f x '>得20x a <<;()0f x '<得2x a
>;
所以()f x 在20,a
⎛
⎫
⎪⎝⎭上单调递增,在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝
⎭
上单调递减,
故()2
22ln 2ln 2max f x f a a a ⎛⎫
==--+ ⎪⎝⎭
,即()()22ln 2ln 20a a a a ϕ=--+>.
(2)
要使()0f x ≤成立必须()22ln 2ln 20a a a ϕ=--+≤, 因为()2
a a a
ϕ-'=
,所以当02a <<,()0a ϕ'<;当2a >时,()0a ϕ'>. 所以()a ϕ在()0,2上单调递减,在()2,+∞上单调递增. 所以()()20min a ϕϕ==,所以满足条件的a 只有2,即2a =. 【点睛】
用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面: (1)在利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域; (2)不能随意将函数的2个独立的单调递增(或递减)区间写成并集形式; (3)利用导数解决含参函数的单调性问题时,一般将其转化为不等式恒成立问题,解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 2.(1)1- (2)2
(3)证明见解析 【解析】 【分析】
(1)根据导数判断函数()f x 的单调性,进而可得最值;
(2)将不等式恒成立转化为求函数()g x 的最大值问题,可得参数取值范围; (3)根据函数()f x 与()g x 的单调性直接可证不等式. (1)
函数()ln ln e
x f x x x x x ==-的定义域为()0,∞+,
()ln f x x '=,
当()0,1x ∈时,()0f x '<,()1,x ∈+∞时,()0f x '>, 故()f x 在()0,1上单调递减,在()1,+∞上单调递增, 所以()()min 11f x f ==-. (2)
函数()2
ln 1g x a x x =-+,0x >,
则()()2
220a a x g x x x x x
-'=-=>,
当0a ≤时,()0g x '<,()g x 在()0,∞+上单调递减, 此时存在()00,1x ∈,使得()()010g x g >=,与题设矛盾,
当0a >时,x ⎛∈ ⎝时,()0g x '>,x ⎫∈+∞⎪⎪⎭
时,()0g x '<,
故()g x 在⎛ ⎝上单调递增,在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递减,
所以()max 1ln 12222a a a a
g x g a ==+=-+,
要使()0g x ≤在()0,∞+恒成立, 则()max 0g x ≤,即ln 10222
a
a a -+≤,
又由(1)知()ln 1f x x x x =-≥-即ln 10x x x -+≥,(当且仅当1x =时,等号成立).
令2a x =有ln 10222a a a -+≥,故ln 1022a a -+=且12
a =, 所以2a =. (3)
由(1)知()l n 1l n x f x x x x e
x ==-≥-(当且仅当1x =时等号成立).
令()10t x t t +=>,则1x >,故111ln 1t t t t t t +++->-,即11ln 1t
t t ++⎛⎫
> ⎪⎝⎭
,
所以11e t
t t ++⎛⎫> ⎪
⎝⎭
令2022t =,则2023
2023e 2022⎛⎫
> ⎪
⎝⎭
;
由(2)知22ln 1x x ≤-在()0,∞+上恒成立, 所以22ln 1x x ≤-(当且仅当1x =时等号成立).
令()2
10m x m m +=>,则21x >,故11ln 1m m m m ++<-,即1ln 1m
m m +⎛⎫
< ⎪⎝⎭
, 所以1e m
m m +⎛⎫
< ⎪⎝⎭.
令2022m =,则2022
2023e 2022⎛⎫
< ⎪
⎝⎭
综上,2022
2023
20232023e 20222022⎛⎫
⎛⎫<< ⎪
⎪
⎝⎭
⎝⎭
.
【点睛】
导函数中常用的两种常用的转化方法:一是利用导数研究含参函数的单调性,常化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用;二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理.
3.(1)(,1].-∞ (2)证明见解析 【解析】 【分析】
(1)1x ≥,()0ln 0a f x x a x ≥⇔-+
≥,设()ln (1)a
g x x a x x
=-+≥,求导得221()a x a
g x x x x
-'=
-=,分1a ≤与1a >两类讨论,即可求得a 的取值范围;(2)当1
a =时,方程()f x
b =有两个不相等的实数根1x ,2x ,不妨设12x x <,则1201x x <<<,要证121x x ⋅<,只需证2111x x <<
,而12()()f x f x =,只需证明11
1
()()f x f x <,再构造函数,设1
()()()(01)F x f x f x x
=-<<,通过求导分析即可证得结论成立. (1)
1x ≥,()0f x ∴≥,即ln 0a
x a x
-+
≥, 设()ln (1)a
g x x a x x
=-+≥,2
2
1
()a x a
g x x x x -'=-=
,当1a ≤时,()0g x '≥, ()g x ∴在[1,)+∞上单调递增,()(1)0g x g ∴≥=,满足条件;
当1a >时,令()0g x '=,得x a =,当1x a <≤时,()0g x '<;
当x a >时,()0g x '>,()g x ∴在区间[1,]a 上单调递减,在区间[,)a +∞上单调递增,
min ()()ln 1g x g a a a ∴==-+,()(1)0g a g ∴<=,与已知矛盾.
综上所述,a 的取值范围是(,1].-∞ (2)
证明:当1a =时,()ln f x x '=,则()f x 在区间(0,1]上单调递减,
在区间[1,)+∞上单调递增,由方程()f x b =有两个不相等的实数根12,x x , 不妨设12x x <,则1201x x <<<,要证121x x ⋅<,只需证21
1
1x x <<,
()f x 在区间[1,)+∞上单调递增,只需证1
21()(
)f x f x < 又()()12f x f x =,∴只需证明111
()()f x f x <,设1()()()(01)F x f x f x x
=-<<, 则22211
()ln ln ln 0x F x x x x x x
-'=-=>,()F x ∴在区间(0,1)上单调递增,
()(1)0F x F ∴<=,1
()()0f x f x
∴-<,即11
1
()(
)f x f x <成立, ∴原不等式成立,即121x x ⋅<成立.
【点睛】
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具,而函数是高中数学中重要的知识点,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行:(1)考查导数的几何意义,往往与解析几何、微积分相联系.(2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性,求参数.(3)利用导数求函数的最值(极值),解决生活中的优化问题.(4)考查数形结合思想的应用. 4.(1)1
(0,)e
(2)证明见解析 【解析】 【分析】
(1)求解导函数,再构造新函数,求导,判断单调性,求解极值,分类讨论
1e k ≥与10e <<k 两种情况;(2)由(1)知,1
e e
x x ≤,可证2121(1)e (1)n n n n -++≤,
由21111
(1)(1)1n n n n n <=-+++,可得2111(1)e 1n n n n n -≤-++,从而利用裂项相消法求和可证明()
22222
1123123e 4e 1e n n
n -+++⋅⋅⋅+<+. (1)
由21
()e 2
x f x k x =-,得()e e ()e x x x
x
f x k x k '=-=-. 设()e x x
g x =
,则1()e
x x g x -'=,当1x <时,()0g x '>,()g x 是增函数;当1x >时,()0g x '<,()g x 是减函数.又(1)0g '=,
∴max 1
()()(1)e
g x g x g ===极大.设1e λ≥,当1ln x λ<-时,
1
1
111ln ln ()ln e x x g x e λλλλλ--=
<=-<-.由于(0)0g =,所以()g x 在区间(,0)-∞上的值域是(,0)-∞.
又0x >时,()0>g x ,所以当0k ≤时,直线y k =与曲线()y g x =有且只有一个交点,即()'f x 只有一个零点,不合题意,舍.
当1e
k ≥时,()0f x '≥,()f x 在R 上是增函数,不合题意,舍.
当10e <<k 时,若1x ≤,由(1)可知,直线y k =与曲线()y g x =有一个交点.下面证明若1x >,直线y k =与曲线()y g x =有一个交点.由于()g x 是区间(1,)+∞上的减函数,所以需要证明()g x 在区间(1,)+∞上的值域为1(0,)e
,即对21(0,)e
λ∀∈,都存在01x >,使得020()g x λ<<.
构造函数2()e x h x x =-,则()e 2x h x x '=-,∴当ln 2x >时,()'()20x
h x e =->',()h x '在
区间(ln2,)+∞上是增函数,∴当1x >时,()(1)e 20h x h ''>=->,即()h x 是区间
[1,)+∞的增函数,∴1x >时,()(1)e 10h x h >=->,此时2e x x >.设21
0e λ<<,当
21
x λ>
时,0()e x x g x <=<221
x x x
λ=<,
∴当1
0e
<<k 时,直线y k =与曲线()y g x =有两个交点,即()'f x 有两个零点.设这两零点分别为1x ,212()x x x <,则1201x x <<<,不等式()0f x '>的解集为
12(,)(,)x x -∞+∞,不等式()0f x '<的解集为12(,)x x .所以1x 为函数()f x 的极大值
点,2x 为函数()f x 的极小值点. 综上所述,实数k 的取值范围是1
(0,)e
. (2)
证明:由(1)知,1
e e
x x ≤,∴对*n N ∀∈,2121(1)e (1)n n n n -++≤.
∵211(1)(1)n n n <=++11
1n n -+, ∴
2111
(1)1
n n n e n n -<-++,
∴22
22
21123
11111
111(1)()()()123e 4e (1)e 2233411
n n n n n n -++++
<-+-+-+
+-=-+++, 所以,
22
22
21
12312
3e 4e (1)e n n
n -++++
<+.
【点睛】
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具,而函数是高中数学中重要的知识点,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行: (1)考查导数的几何意义,往往与解析几何、微积分相联系. (2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性,求参数. (3)利用导数求函数的最值(极值),解决生活中的优化问题. (4)考查数形结合思想的应用.
5.(1)单调递减区间为1),单调递增区间为1,)+∞ (2)(3,2e] 【解析】 【分析】
(1)当2a =时,221
()x x f x x
--'=,由()0f x '<,可求()f x 的单调递减区间,由
()0f x '>,可求()f x 的单调递增区间;
(2)函数()g x 在1e e ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦,上有两个零点等价于1ln 2x a x x x =+-
在1e e ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
,上有两解,构造函数1
ln ()2x h x x x x =+-,1e e x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
,,利用导数可求得实数a 的取值范围. (1)
当2a =时,21
()2ln 2
f x x x x =--,定义域为()0+∞,
, 则212()21
x x x x
f x x '=----=
, 令()0f x '=
,解得1x =
,或1x =(舍去),
所以当1)x ∈时,()0f x '<,()f x 单调递减;
当1,)x ∈+∞时,
()0f x '>,()f x 单调递增;
故函数的单调递减区间为1)
,单调递增区间为1,)+∞. (2)
设223
()()121ln 2
g x f x x x ax x =++=-+-,
函数()g x 在1e e
⎡⎤
⎢⎥⎣⎦,上有两个零点等价于1ln 2x a x x
x =+-
在1e e ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
,上有两解, 令1ln ()2x h x x x x =+-,1e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,,则22
1
ln 1()2x x x
h x x x ⋅-'=--2222ln x x
x -+=, 令2
()22ln t x x x =-+,1e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,,显然,()t x 在区间1e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
,上单调递增, 又()10t =,所以当1[,1)e
时,有()0t x <,即()0h x '<, 当(1e]x ∈,时,有()0t x >,即()0h x '>,
所以()h x 在区间11e ⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
,
上单调递减,在区间(1,e]上单调递增, 则min ()(1)3h x h ==,12
()2e e
e
h =+,(e)2e h =,
由方程1ln 2x a x x x =+
-在1e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
,上有两解及()1e e h h ⎛⎫
> ⎪⎝⎭, 可得实数a 的取值范围是(3,2e].
6.(1)()32
32f x x x =+-
(2)()2,2- 【解析】 【分析】
(1)由已知可得()()20
13f f ⎧-=⎪⎨-=-''⎪⎩
,可得出关于实数a 、b 的方程组,解出这两个未
知数的值,即可得出函数()f x 的解析式;
(2)分析可知,直线y λ=与函数()f x 的图象有3个交点,利用导数分析函数
()f x 的单调性与极值,数形结合可得出实数λ的取值范围.
(1)
解:因为()322f x x ax bx =++-,则()2
32f x x ax b '=++,
由题意可得()()212401323
f a b f a b ⎧-=-+=⎪⎨-=-+=-''⎪⎩,解得30a b =⎧⎨=⎩,所以,()32
32f x x x =+-.
当3a =,0b =时,()2
36f x x x '=+,经检验可知,函数()f x 在2x =-处取得极值. 因此,()32
32f x x x =+-.
(2)
解:问题等价于()f x λ=有三个不等的实数根,求λ的范围.
由()2
360f x x x '=+>,得2x <-或0x >,
由()2
360f x x x '=+<,得20x -<<,
所以()f x 在(),2-∞-、()0,∞+上单调递增,在()2,0-上单调递减, 则函数()f x 的极大值为()22f -=,极小值为()02f =-,如下图所示:
由图可知,当22λ-<<时,直线y λ=与函数()f x 的图象有3个交点, 因此,实数λ的取值范围是()2,2-. 7.(1)1;
(2)2,+e 4a ∞⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭
.
【解析】 【分析】
(1)利用导数求()f x 的单调性,即可求极值.
(2)将问题转化为在[]2,3x ∈上min e
2()x
a x
≥,再应用导数求()e =x g x x 的最小值,
即可求a 的范围. (1)
当12
a =时()e x f x x =-,则()e 1x
f x '=-,令0f x
,得0x =.
0x >时0f
x
,函数()f x 的单调递增区间为()0,+∞, 0x <时0f x
,函数()f x 的单调递减区间为(),0-∞;
所以函数()f x 的极小值为()0
0e 01f =-=.
(2)
由题设,在[]2,3x ∈上min e
2()x a x
≥,
设()e =x
g x x ,则()()2
e 1x x g x x
-'=,显然当[]2,3x ∈时0g x 恒成立,
所以()g x 在[]2,3单调递增,则()min
2
2e ()2
g x g ==,
综上,22
e e 224a a ≥⇒≥,故2,+e 4a ∞⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭
.
8.(1)1a =,1b =
(2)①证明见解析,②成立,理由见解析 【解析】 【分析】
(1)求出导函数,再根据导数的几何意义及切点即在切线上又再曲线上,解出方程,解之即可;
(2)①,由(1)求得函数的解析式及导数,利用导数求出函数()f x 的单调区间,从而可求得函数()f x 的最值,再根据方程()f x m =有两个实数根12,x x ,可得函数()f x 的最值m 的关系,即可得证;
②,分别求出当直线过()1,0-,()()00,x f x 时和直线过()0,0,()()00,x f x 时割线方程,从而得1243x x x x ->-结合①即可得出结论. (1)
解:()()1e x
f x x b a =++-',
因为函数()f x 在()()1,1f --处的切线方程为()e 1e e 10x y -++-=,
所以()111e e
b f a '-=-=-,()()1
110e
f b a ⎛⎫
-=--= ⎪⎝
⎭
,
∴1a =,1b =或1e
=a ,2e b =-(舍),
所以1a =,1b =;
(2)
①证明:由(1)可知()()()1e 1x f x x =+-,()()2e 1x f x x '=+-,
令()()()2e 1x g x f x x '==+-,
则()()3e x
g x x '=+,令()0g x '=,得3x =-, 所以函数()g x 在(),3-∞-上递减,在()3,-+∞上递增,
所以()()min 3g x g =-,
即()()3min 3e 10f x f -''=-=--<,
又x →+∞,()f x '→+∞,3x <-,()0f x '<,
且()010f '=>,()1110e f '-=-<,
∴()01,0x ∃∈-,使得()00f x '=,即()002e 10x x +-=,即001e 2
x x =+, 当0x x <时,()0f x '<,当0x x >时,()0f x '>,
所以函数()f x 在()0,x -∞上递减,在()0,x +∞上递增,
所以()()()()()0000min 011e 1112x f x f x x x x ⎛⎫==+-=+- ⎪+⎝⎭
()()()()()2
200
0000211122222x x x x x x +-⎡⎤+⎡⎤⎣⎦=-=-=-++-⎢⎥+++⎣⎦, ∵()01,0x ∈-,∴()021,2x +∈,
令()()1,1,2h x x x x
=+∈,
则()()2110,1,2h x x x '=->∈ , 所以函数()h x 在()1,2上递增,
故()00
1522,22x x ⎛⎫
++∈ ⎪+⎝⎭, 所以()001122,022x x ⎡⎤⎛⎫-++-∈-⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎣⎦, 即()min 12f x >-, ∴12m >-;
②解:成立,理由如下:
当直线过()1,0-,()()00,x f x 时割线方程为()()
()00112x y x m x +=-+=+,
得()()
030211m x x x -+=-+, 当直线过()0,0,()()00,x f x 时割线方程为()()
200012x y x m x x -+==+, 得()
()0042021mx x x x -+=+, ∴()()()0124320002112111222m x m
x x x x m x x x +->-=+=+>++++-+.
【点睛】
本题考查了导数得几何意义,考查了利用导数解决方程的根的问题,考查了不等式的证明问题,,考查了数据分析和处理能力,考查了转化思想,计算量比较大,属于难题.
9.(1)25y x =+
(2)0b =
【解析】
【分析】
(1)利用切点和斜率求得切线方程.
(2)由()2f x ≥恒成立构造函数()()2g x f x =-,对b 进行分类讨论,结合()
'g x 研究()g x 的最小值,由此求得b 的值.
(1) 当114
a b ==-,时,()4e 21x f x x =-+,则()4e 2x f x '=-
又因为(0)5,(0)2f f '==
所以曲线()y f x =在点(0,f (0))处的切线方程为()520y x -=-, 即25y x =+.
(2)
当1a =时,令函数()()()2e 11x g x f x b x =-=+--, 则()2f x ≥恒成立等价于()0g x ≥恒成立.
又()e 1,x g x b '=+-.
当1b ≥时,()e 10,x g x b '=+->,g (x )在R 上单调递增,显然不合题意; 当1b <时,令()e 10,x g x b '=+-<,得ln(1)x b <-.令()e 10x g x b '=+->,得()ln 1x b >-,
所以函数g (x )在(,ln(1))b -∞-上单调递减,在(ln(1),)b -+∞上单调递增, 所以当ln(1)x b =-时,函数g (x )取得最小值.
又因为()00g =,所以0x =为g (x )的最小值点.
所以ln(1)0b -=,解得0b =.
10.(1)选择①不存在,理由见解析;选择②存在,理由见解析
(2)[)1,+∞
【解析】
【分析】
(1)若选择①,则()1x f x e x '=--,令()1x q x e x =--,由于()q x '在R 上单调递
增,且()00f '=,从而可求出求出()f x '的单调区间,进而可求出()f x '的最小值
非负,则()f x 无极值;若选择②,则()22x f x e x '=--,令()22x n x e x =--,由
()n x '在R 上单调递增,且()ln 20n '=,可得()f x '的单调区间,从而得其最小值小于0 ,进而可判断函数的极值,
(2)令()0g x =,则可得()()()1
ln 1ln ln 0x x mx e x mx e x mx mx
----+=--=⎡⎤⎣⎦,令()ln t x mx =-,即转化为10t e t --=有解,构造函数()1t h t e t -=-,由导数可得()1t h t e t -=-由唯一零点1t =,从而将问题转化为()1ln x mx =-在()0,∞+有解,即1ln ln m x x +=-,再构造函数()ln l x x x =-,利用导数求出函数的值域可得1ln m +的范围,从而可求出实数m 的取值范围
(1)
若选择①1
2m =,则()()2
112x f x e x =-+,则()1x f x e x '=--. 令()1x q x e x =--,则()1x q x e '=-,由()q x '单调递增,且
()00q '=,得()0q x '>在()0,∞+上恒成立,所以()f x '在()0,∞+上单调递增, 所以当()0,x ∈+∞时,()()00f x f ''>=,则()f x 在()0,∞+上单调递增,不存在极小值点.
若选择②1m =,则()()21x f x e x =-+,则()22x f x e x '=--.
令()22x n x e x =--,则()2x n x e '=-,()n x '单调递增,且()ln 20n '=,
所以()f x '在()0,ln 2上单调递减,()ln 2,+∞上单调递增.
又()ln 22ln 20f '=-<,()2260f e '=->,
所以存在()0ln 2,2x ∈,满足()00f x '=.
则()f x 在()00,x 上单调递减,在()0,x +∞上单调递增,所以()f x 存在极小值点0x .
(2)
令()0g x =,则()12ln 0x e mx mx mx --+=.又0mx >,
所以()()()()()11ln 1ln ln ln ln 0x x x mx mx e e x mx x mx e x mx mx e
-----+=-+=--=⎡⎤⎣⎦. 令()ln t x mx =-,即可转化为10t e t --=有解.
设()1t h t e t -=-,则由()110t h t e -'=-<可得1t <,
则()h t 在(),1t ∈-∞上单调递减,在()1,t ∈+∞上单调递增.
又()10h =,所以()1t h t e t -=-有唯一的零点1t =.
若()g x 在区间()0,∞+上存在零点,则()1ln x mx =-在()0,∞+有解.整理得. 设()ln l x x x =-,由()11l x x '=-,知()l x 在()0,1x ∈上单调递减,在()1,x ∈+∞上单调递增,又当0x +→时,()l x →+∞,则()()11l x l ≥=,
所以1ln 1m +≥,得1m ≥.故实数m 的取值范围是[)1,+∞.
【点睛】
关键点点睛:此题考查导数的应用,考查利用导数解决零点问题,解题的关键是由()0g x =可得()()ln 1ln 0x mx e x mx ----=⎡⎤⎣⎦,令()ln t x mx =-,将问题转化为
10t e t --=有解,构造()1t h t e t -=-利用导数讨论其解的情况即可,考查数学转化
思想和计算能力,属于较难题。