高中数学椭圆教案

椭圆
【考点透视】 一、考纲指要
1．熟练掌握椭圆的定义、标准方程、简单的几何性质及参数方程．
2．考查椭圆的离心率，直线的方程，平面向量的坐标表示，方程思想等数学思想方法和综合解题能力. 二、命题落点
圆锥曲线是解析几何的重点，也是高中数学的重点内容，高考中主要出现三种类型的试题：①考查圆锥曲线的概念与性质；②求曲线方程和轨迹；③关于直线与圆锥曲线的位置关系的问题，主要考查直线方程,平面向量及椭圆的几何性质等基本知识,考查综合运用数学知识解决问题以及推理能力. 【典例精析】
例1：已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OB OA +与)1,3(-=a 共线． （1）求椭圆的离心率；
（2）设M 为椭圆上任意一点，且),( R OB OA OM ∈+=μλμλ，证明22μλ+为定值．
解析:（1）设椭圆方程为22221(0),(,0)x y a b F c a b +=>>,则直线AB 的方程y x c =-代入2
2
22
1x y
a b +=,化简得2
2
2
2
22
22
()20a b x a cx a c a b +-+-=．
令1122(,),(,)
A x y
B x y ,则
22222
22221212
2,a c a c a b
x x x x a b a b -+=
=++．
由
1212(,),(3,1),OA OB x x y y a OA OB
+=++=-+与a 共线,
得 12123()()0
y y x x +++=,又
1122,y x c y x c
=-=-，
12121233(2)()0,2c
x x c x x x x ∴+-++=∴+=
．
即2
22
232a c c a b
=+,所以223a b = ，22
63a c a b ∴=-=， 故离心率
6
3c e a =
=．
（2）由（１）知223a b =,所以椭圆2
2
22
1x y
a b +=可化为22233x y b += 设(,)OM x y =,由已知得1122(,)(,)(,)
x y x y x y λμ=+，
1212,.x x x y y y λμλμ=+⎧⎪∴⎨
=+⎪
⎩ (,)M x y 在椭圆上,2
2
2
1212()3()3x x y y b λμλμ∴+++=，
即
2222222
11221212(3)(3)2(3)3x y x y x x y y b
λμλμ+++++= ①
由（1）知
2
22212331,,222x x c a c b c
+===， 22
22
2
22
12121212123,833()()
a c a
b x x
c a b
x x y y x x x c x c -∴==+∴+=+--
2
1212222
43()339322
0.x x x x c c
c c c =-++=-+=
又
2222
2
2
112233,33x y b x y b
+=+=代入①，得22
1λμ+=．
故2
2μλ+为定值,定值为1 ．
例2：如图，点A 、B 分别是椭圆22
13620x y +=长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，
且位于x 轴上方，PA PF ⊥． （1）求点P 的坐标；
的距离等于
MB
，
（2）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP
求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值． 解析:（1）由已知可得点A （－6，0），F （4，0）
x
设点P 的坐标是
},4{},,6{),,(y x FP y x AP y x -=+=则， 由已知得
.623,018920
)4)(6(120
362
22
2-===-+⎪⎩
⎪⎨⎧=+-+=+x x x x y x x y x 或则由于
).325
,23(,325,23,0的坐标是点于是只能P y x y ∴==
>
（2）直线AP 的方程是.063=+-y x
设点M 的坐标是（m ，0），则M 到直线AP 的距离是2|
6|+m ，
于是,2,66|,6|2|
6|=≤≤--=+m m m m 解得又椭圆上的点),(y x 到点M 的距离d ，有,
15)29
(94952044)2(222
2
2
2
+-=-++-=+-=x x x x y x d
由于.
15,29
,66取得最小值时当d x x =∴≤≤-
例3：（2005·福建）已知方向向量为)3,1(=v 的直线l 过点（32,0-）和椭圆
)
0(1:22
22>>=+b a b y a x C 的焦点，且椭圆C 的中心关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上. （1）求椭圆C 的方程；
（2）是否存在过点E （－2，0）的直线m 交椭圆C
于点M 、N ，满足
4
OM ON ⋅=
∠MON≠0（O
为原点）.若存在，求直线m 由.
解析:（1）直线:l y =- ①
过原点垂直l 的直线方程为x
y 33
-=， ②
解①②得
.
23=x ∵椭圆中心（0，0）关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上，
.323
22=⨯=∴c a
∵直线l 过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）.
.2,6,222===∴b a c 故椭圆C 的方程为.
1262
2=+y x ③
（2）设M （11,y x ），N （22,y x ）.
当直线m 不垂直x 轴时，直线)2(:+=x k y m 代入③，整理得
,061212)13(2222=-+++k x k x k
,
136
12,131222212221+-=⋅+-=+∴k k x x k k x x
,13)
1(62136124)1312(14)(1||2
2222222
212212
++=+-⋅-+-+=-++=k k k k k k k
x x x x k
MN
点O 到直线MN 的距离21|2|k k d +=
．
,
cot 634
MON ON OM ∠=⋅ 即
||||cos 0,OM ON MON ⋅∠=
≠
||.632,634sin ||||⋅∴=∴=
∠⋅∴∆d MN S MON ON OM OMN 即).
13(634
1||6422
+=+k k k 整理得
.
33
,312±=∴=k k 当直线m 垂直x 轴时，也满足
632
=
∆OMN S .
故直线m 的方程为
,33233+=
x y
或,
33
233--=x y 或.2-=x
经检验上述直线均满足0≠⋅ON OM .所以所求直线方程为,
33
233+=x y 或
,33
233--
=x y 或.2-=x
【常见误区】
解析几何问题，基本上都与方程思想相结合，因而要注意直线方程与曲线方程联立起来，结合根与系数的关系，或直接解出根，是高考常用的方法，要注意有关方法的练习、归纳，要注意运算的优化，要注意利用数形结合，挖掘隐含性质,这也是考生思维的一个障碍点. 【基础演练】
1．若焦点在x 轴上的椭圆1222=+m y x 的离心率为21
，则m= （ ）
A ．3
B ．23
C ．38
D ．32
2．设
b a b a b a +=+∈则,62,,2
2R 的最小值是
（ ）
A ．22-
B ．
335-
C ．－3
D ．27
-
3． 设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是
（ ）
A ．2
2
B ．21
2 C ．22 D 21
4．点)1,3(-P 在椭圆)0(122
22>>=+b a b y a x 的左准线上，过点P 且方向为)5,2(-=a 的光线经直线2-=y 反
射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为
（ ）
A ．33
B ．31
C ．22
D ．21
5．已知B A ),0,21(-是圆221
:()4(2F x y F
-+=为圆心）上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则
动点P 的轨迹方程为 .
6．如图所示, 底面直径为12cm 的圆柱被与底面成30的平面所截， 其截口是一个椭圆，则这个椭圆的长轴长 ，
短轴长 ，离心率为 ．
7． 已知椭圆)0(122
2
2>>=+b a b y a x 的左、右焦点分别是 )0,(1c F -、)0,(2c F ，Q 是椭圆外的动点，满足a Q F 2||1=，
点Ｐ是线段Q F 1与该椭圆的交点，点Ｔ在线段Q F 2上，并且
满足0||,022≠=⋅TF TF PT ．
（1）设x 为点Ｐ的横坐标，证明 x a c a P F +
=||1；
（2）求点Ｔ的轨迹Ｃ的方程；
（3）试问：在点Ｔ的轨迹Ｃ上，是否存在点Ｍ，使△21MF F 的面积2
b S =．若存在，求∠21MF F 的正切
值；若不存在，请说明理由．
8．已知椭圆C ：22a x ＋2
2
b y ＝1（a ＞b ＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为e. 直线l ：y ＝ex ＋a 与x
轴．y 轴分别交于点A 、B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F1关于直线l 的对称点，设AM ＝λAB .
（1）证明：λ＝1－e2；
（2）若
43
=
λ，△PF1F2的周长为6，写出椭圆C 的方程；
（3）确定λ的值，使得△PF1F2是等腰三角形.
Ｑ
y
x
O
1
F 2
F P
9． 设A 、B 是椭圆
λ=+223y x 上的两点，点N （1，3）是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点.
（1）确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程；
（2）试判断是否存在这样的λ，使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上？并说明理由.。