专题03 指对幂等函数值比较大小问题 (9大核心考点)(课件)-2024年高考数学二轮复习讲练测

所以 > > ．
故选：A
C． > >
D． > >
）
考点题型二：引入媒介值
4
【对点训练4】（2023·江苏镇江·高三统考开学考试）设， = log 2 3， = 3，则a，b，c的大小顺序为（
A． > >
B． > >
C． > >
【答案】D
【对点训练5】（2023·天津滨海新·天津市滨海新区塘沽第一中学校考模拟预测）已知正实数x，y，z满足2 = 3 =
6 ，则不正确的是（
1
1
）
1
A． + =

C．2 >
B．2 > 3 > 6
【答案】B
【解析】设2


= 3 = 6 = ， > 1，则 = log 2 ， = log 3 ， =
1
1
1
1
B．e > 1+ ( < 0)
A．ln 1 + >
( > 0)

+1
1
1
C．sin + cos ≥ 2 2
D． sin
logcos

> cos
【答案】A
1
1

1
−1

=
1
1
1
−1
2
> 0，所以
在 > 1上单调递增，故 ≥ 1 = ln1 − 1 + 1 = 0，
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5题，5分
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02
知识建构
03
方法技巧
真题研析
（1）利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a，b，c的大小．
（2）指、对、幂大小比较的常用方法：
①底数相同，指数不同时，如 和 ，利用指数函数 = 的单调性；
1
1
>
1 4
16
=
1，即
2
1
4
2
>
1
1
> > 2，
9
16
1
4
>
1
上单调递增，所以ln 3 < lne2，即 = ln1.5 < 2，
2
综上：b < c < a．
故选：D．
0，16 > 27 > 16 > 0，
8 4
27
1
9
因为4 = 2.25 < e，所以3 < e2 ，又因为 = ln在 0, +∞
cos
>1 ，
所以 ln >
π
logsin

4
1
【解析】对于A，令 = 1 + > 1 ，则 = −1，即证ln >
1−
）
logcos

> cos
logsin

1
1
对于C，当是第三象限角时，则sin < 0，cos < 0，所以sin <
π
3
，
则log sin
A． < <
B． < <
C． < <
6．（2020•新课标Ⅰ）若 + = + ，则(B
A． > B． <
C． > D． <
D． < <
)
)
04
核心考点
考点题型一：直接利用单调性
1
【例1】（2023·河北唐山·高一唐山一中校考阶段练习）设 =
A． < <
B． < <
C． < <

)
D． < <

2．（2022•天津）已知 = . ， = (). ， = ，则( C )
A． > >
B． > >
C． > >
D． > >
3．（2022•甲卷）已知 = ， = − ， = − ，则( A )
小顺序为（
A． < <
）
B． < <
C． < <
D．c < a < b
【答案】A
【解析】指数函数 = 0. 3 ， = 0. 4 为R减函数，
∴ = 0. 30.4 < 0. 30.3 < 0. 30 = 1， = 0. 40.3 < 0. 40 = 1
∵幂函数 = 0.3为 0, +∞ 增函数，∴0. 30.3 < 0. 40.3 ，
!
!
!
()!

④( + ) = −






+

− ⋯+
+

(−) +

⑤− = + + + ⋯ + + ( )
⑥( + ) = + +
(−)

!
+ ( )
+ (+ )

1．（2022•新高考Ⅰ）设 = . . ， = ， = −. ，则(C
6

3
lg

，即
lg66
2
>

3

> ，故C正确；
6
选项D， = log 2 × log 3 =
lg2+lg3 2
2
=
lg6 2
，所以
4
又4 2 = 4 log 6
2
=
>
lg
lg2
×
lg
lg3
=
lg 2
，因为lg2
lg2×lg3
× lg3 <
4 lg 2
，
lg6 2
4 lg 2
−1

=1−
1

1
> 1 ，即 ln 1 +
1

π
3
1
1
π
对于D，当1 < < 3 时， = log > 0 为单调递增函数，若
sin
令 = ln − 1 + > 1 ，则′ = − 2 =
<<
0，
< 0，可得
+
< 0，故C错误；
cos
sin
lg
因为4 < 27 < 66 ，又 > 1，所以log 4 = lg4 > log 27 = lg27 >
log 66 =
下面比较 2， 3 3， 6 6的大小关系，因为
6
D． > 4 2
lg
6log 6 = log 6 6 ，
6

>6

1

选项B，2 = 2log 2 = log 2 ，3 = 3log 3 = log 3 3 ，6 =
A． < <
B．b < c < a
C． < <
D． < <
【答案】C
【解析】因为 = e0.8 > e0 = 1， = ln0.8 < ln1 = 0，
0 = lg1 < = lge < lg10 = 1，
所以 < < ．
故选：C．
）
考点题型二：引入媒介值
D． < <
【答案】A
【解析】要比较0. 5 = ，log 0.5 = ，log = 0. 5 中的
【对点训练3】（2023·湖南郴州·统考一模）有三个数： = 20.5 , = sin1, = log 2 3，大小顺序正确的是（
A． > >
B． > >
【答案】A
1
【解析】 = 20.5 = 22 = 2，
3
∴1<<2
= sin1 < 1
3
2
3
= log 2 3 > log 2 8 = log 2 2 = 2，
log 6 ．
1
选项A，
log 6 =
=
1
log 2，
=
1
log 3，

=
1
log 6，则
+ = log 2 + log 3 =
1
，故A正确；

所以
6
2
6
= 8，
3
3
6
= 9，
= 6，
6
6
<
2
6
<
lg
log 3 3 =
3
lg 3
< log 2 =
lg
lg 2
生的抽象思维能力．
考点要求
考题统计
考情分析
【命题预测】
预测2024年高考，多以小题形式出现，应
2022年新高考I卷第7题，5分
2022年天津卷第5题，5分
指对幂比较大小
该会以压轴小题形式考查．具体估计为：
（1）以选择题或填空题形式出现，考查
学生的综合推理能力．
2022年甲卷第12题，5分
（2）热点是灵活构造函数比较大小．
1
= log 5 2 < log 5 5 = 2，
π
1
又 = sin 6 = 2，所以 < ；
又因为函数 = log 4 在 0, +∞ 上单调递增，所以
1
log 4 3 > log 4 2 = 2，
所以 > ．
综上， > > ．
故选：C
考点题型一：直接利用单调性
【对点训练2】（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考模拟预测）设 = 0. 30.4 , = 0. 40.3 , = log 0.4 0.3，则a，b，c的大
log cos
> log cos
log sin
1<<




log cos
log sin
1<<


1
>
( > 0)，故A正确；
+1
故选：A．
对于B，当 = −1时e > 1+显然不成立，故B错误；
1<<
π
3
π
3
矛盾，故D错误．
，这与log sin
log cos
=


考点题型三：含变量问题
，所以
lg6 2
> 4 2 ，故D正确；故选：B．
考点题型三：含变量问题
【对点训练6】（2023·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）已知0. 5 = ，log 0.5 = ，log = 0. 5 ，则（
A． < <
B． < <
C． < <
考点题型一：直接利用单调性
π
【对点训练1】（2023·北京顺义·高三校考阶段练习）已知 = log 5 2， = log 4 3， = sin 6 ，比较a，b，c的大小为
（
）
A． > >
B． > >
C． > >
D．�� > >
【答案】C
【解析】因为函数 = log 5 在 0, +∞ 上单调递增，所以
2024
高考二轮复习讲练测
专题03 一网打尽指对幂
等函数值比较大小问题
目录
C
O
N
T
E
01
考情分析
N
T
S
02
03
04
知识建构
方法技巧
真题研析
核心考点
01
考情分析
指、对、幂形数的大小比较问题是高考重点考查的内容之一，也是高考的热点问题，
命题形式主要以选择题为主，分值5分．每年高考题都会出现，难度逐年上升，考查学
②指数相同，底数不同，如 和 利用幂函数 = 单调性比较大小；
③底数相同，真数不同，如 和 利用指数函数 单调性比较大小；
④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的
判定．
（3）转化为两函数图象交点的横坐标
< log 6 6 =
lg
6
，即3 < 2 < 6，故
lg 6
B不正确；

1
1

1
选项C，2 = 2 log 2 = log 4 ，3 = 3 log 3 = log 27 ，6 = 6 log 6 =
log 66 ，
3
6
6
3 ，即 6 < 2 <
3
3，又 > 1，所以
A． > >
B． > >
C． > >
D． > >
4．（2021•全国）已知 > > ，则以下四个数中最大的是( A )
A．
B． C． D．

5．（2021•新高考Ⅱ）已知 = ， = ， = ，则下列判断正确的是( C
∴ < < 1，
∵对数函数 = log 0.4 为 0, +∞ 减函数，
∴ = log 0.4 0.3 > log 0.4 0.4 = 1，即 > 1，
∴ < < ．
故选：A．
考点题型二：引入媒介值
【例2】（2023·天津河东·一模）已知�� = lge， = ln0.8， = e0.8 ，则，，的大小顺序为（
【解析】∵ 3 = 6log 3 2 = log 3 64 < log 3 81 = 4，
3 = 3log 2 3 = log 2 27 > log 2 16 = 4，又3 = 4，
∴ 3 < 3 < 3，即 > > ．
故选：D．
D． > >
）
考点题型三：含变量问题
【例3】（2023·辽宁·大连二十四中校联考模拟预测）下列不等式中，正确的有（
（
3 2 ，
4
= ln1.5， =
3
2 4 ，则a，b，c的大小顺序是
3
）
A．c < < b
B． < <
C． < <
D．b < c < a
【答案】D
【解析】因为 =
9
8
3
4
1
2
=
9
16
1
4
> 0， =
2
3
3
4
=