材料力学第十三章

（a）
（b）
图13-4
（c）
（d）
解 （1）求动荷因数。 将梁视为均质材料，受力如图 13-4（b）所示；构件在相应静载荷作用 下的受力如图 13-4（c）所示。由梁的自重引起的均布载荷集度为
q P 24 kN/m 4 kN/m l6
当以加速度 a 起吊时，梁的均布载荷集度为
qg
q
qa g
1
为使问题简化，特作如下假定。 （1）冲击物为刚体，即略去其变形的影响。 （2）被冲击物的质量很小，可略去不计，并认为两物体一经接触就 附着在一起，成为一个运动系统。 （3）材料服从胡克定律，并忽略冲击过程中的能量损失。
例如，图 13-6（a）、（b）、（c）所示的受自由落体冲击的构件或结构， 都可简化为图 13-7 所示的冲击模型。只是各种情况下与弹簧等效的各自的弹 簧刚度系数不同而已。例如，图 13-6（a）、（b）所示的构件，其等效弹簧的
FNjmax A
Kd
P gAl
A
求出最大动应力后，可建立其强度条件为
dmax Kd jmax [ ]
或
jmax
[ ]
Kd
（13-2） （13-3）
可见，在求得动荷因数 Kd 后，只需将静许用应力[ ] 除以 Kd ，就可按式（133）（与静载荷问题一样）进行强度校核了。
二、匀速转动时的应力计算
M max W
6 103 (0.35 0.52 ) / 6
Pa 0.411 MPa
（3）计算动应力。
吊索： 梁：
d Kd jmax 2.02111.1 MPa 224.4 MPa d Kd jmax 2.02 0.411 MPa 0.83 MPa
例 13-2 在 AB 轴的 B 端有一个质量很大的飞轮（见图 13-5）。与飞轮相 比，轴的质量可以忽略不计。轴的另一端 A 装有刹车离合器。飞轮的转速 n 300 r/min，转动惯量 Ix 0.5 kN m s2 。轴的直径 d 100 mm 。制动时使 轴在 10 s 内均匀减速停止转动。试求轴内最大动应力。
材料力学
第十三章 动载荷
一 概述
二 构件做匀加速直线运动或匀速转动时的应力计算
三
构件受冲击时的应力和变形
四
冲击韧性
五
构件在强迫振动时的应力计算
第一节 概 述
讨论杆件的变形和应力计算时，认为载荷从零开始平稳地增加，以 至在加载过程中，杆件各点的加速度很小，可以略去不计。载荷加到最终 值后也不再随时间而改变，这样的载荷即是静载荷。
d
FNd A
FNj A
1
a g
j
1
a g
式中， j
为静应力。令 Kd
1
a g
，于是有
FNd Kd FNj ， d Kd j Kd 称为动荷因数。
（13-1）
吊索内动应力的分布如图 13-2（c）所示，最大动应力产生在吊索上端
x l 处，则有
dmax
Kd jmax
Kd
第二节 构件做匀加速直线运动或匀速转动时的应力计算
达朗贝尔原理指出，受外力作用而做加速运动的构件，它的各个质点都 有加速度，必然会产生相应的惯性力。只要在构件上虚加上惯性力，构件上 的原力系与惯性力系就会组成平衡力系。
一、匀加速直线运动时的应力
图 13-1（a）所示为一等直杆在外力 F 作用下沿水平面向右做匀加速直线运 动。现在不考虑摩擦力影响，计算杆内的动应力。设杆长为 l ，横截面面积为 A ， 单位体积的质量为 。在外力 F 作用下，杆的加速度为
杆受到沿其长度均匀分布的惯性力和轴力 FNd ，如图 13-1（b）所示。由平
衡条件 Fx 0 可得
FNd qg x 0 由此求得
FNd qg x Aax
应用轴向拉伸时杆横截面上正应力公式，可求得 m m 横截面上的动应力 为
d
FNd A
ax
应力沿杆轴线按线性规律变化，如图 13-1（c）所示，最大动应力产生在杆
（a） （b）
图13-5
解 轴与飞轮的角速度为
0
nπ 30
300π 30
rad/s
10π
rad/s
当飞轮与轴同时作均匀减速运动时，其角加速度为
1 0 (0 10π) rad/s π rad/s2
t
10 s
负号只是表示角加速度与角速度的方向相反（见图 13-5）。按动静法，在
飞轮上加上方向与角加速度相反的惯性力偶矩 M g ，且有
（1）梁两端为刚性支座，如图 13-8（a）所示； （2）梁两端支撑在弹簧上，如图 13-8（b）所示。
（a）
图 13-8
（b）
解 分别计算两种情况下由静载荷作用于梁跨度中点 m 所引起的静变形和 动荷因数。在第一种情况下，变形只是梁的变形；在第二种情况下，由于每个弹
簧受力 P /2 的作用而缩短，梁的静变形增加了。
静变形和静应力分别乘以动荷因数即得动变形和动应力，分别如下
情况一： 情况二：
dmax 2.15103 m ， dmax 129 MPa d m a x6 . 7 8 13 0 ，mdmax 43.6 MPa
例 13-4 重物重为 P ，以速度 v 沿水平方向分别冲击图 13-9 所示的三个杆的 杆端。试比较三种情况中的动应力。已知杆长为 l ，l1 0.1l ，横截面面积分别为 A 及 A1 2A，材料的弹性模量为 E 。
2FNd
π
0 qg
sin
D d
2
0
求得
FNd
qg D 2
A D2
4
2
由此求得圆环横截面上的应力为
（13-4）
d
FNd A
D2 2
4
v2
（13-5）
这里 v 1 D 为环内各点的线速度。
2
式（13-5）即为旋转薄圆环动应力的计算公式。且求得的动应力应满足的强 度条件是
d v2 [ ]
（13-6）
式（13-6）表明环内动应力只与材料密度 和各点线速度 v 有关，而与环的横截
面面积 A 无关。
设变形后的平均直径为 D ，则直径的改变量为
D D 而圆环的周向应变量为
d
π(D
)
πD
πD
D
于是有
dD
（13-7）
设材料仍满足胡克定律，因而有
d
d
E
将式（13-8）代入式（13-7），得平均直径的改变量为
时 Kd 2 。
例 13-3 如图 13-8 所示，重量 P 150 N 的重物自距梁顶上方高 h 75 mm 处 自由 下落 冲击 于梁 跨度中 点 m 处。 已知 钢梁 的截面 为 50 mm 50 mm ， E 200 GPa ， l 1 m ，弹簧刚度系数 k 300 kN/m 。试求以下两种情况下梁内 的最大正应力：
或者写成
Pd d d G j j
Pd
d j
G
（13-11）
d
d j
j
（13-12）
将式（13-11）代入式（13-10），得
G(h
d
)
1 2
d2 j
G
或 从以上方程解出
引用记号
d2 2 j d 2h j 0
d j 1
1
2h
j
Kd
d j
1
1 2h
j
（13-13）
（13-14） （13-15）
a F Al
（a）
（b） （c）
图 13-1
对于做匀加速直线运动的均质等直杆来说，在单位长杆上应施加的惯性力， 可用线分布力集度来度量。均质等直杆的惯性力集度等于每单位长度杆的质量 与加速度的乘积，以 qg 表示惯性力集度，则有
qg Aa 将集度为 qg 的惯性力加在杆上，方向与加速度方向相反。于是作用于杆件 上的外力 F 和惯性力组成平衡力系。
a g
q
动荷因数 Kd 为
a 10 Kd 1 g 1 9.8 2.02
（2）计算静应力。
由图 13-4（c）求得吊索静拉力作用下的应力为
j
FN A
ql 2A
4 6103 2 108
MPa
111.1 MPa
由图 13-4（d）可得，梁的最大静弯矩为 6 kN m ，最大静应力为
jmax
和吊索的惯性力
A ax
。应用动静法，由平衡
方程 Fy 0 ，得
FNd
P
Pa g
(A gx
Aax)
0
由此求得
FNd
(P
A
gx)
1
a g
式中， (P A gx) 为 a 0 时吊索在11截面上的内力，即静载荷作用下的内
力，以 FNj 表示，则有
a
FNd
FNj
1
g
该截面上的动应力为
0.5π 103 N m 8106 Pa 8 MPa π (100 103 m)3
16
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第三节 构件受冲击时的应力和变形
当一运动物体以某一速度与另一物体相撞时，两物体的速度在瞬间发 生急剧的变化，这时两物体之间就会产生很大的相互作用力，这种现象称 为冲击或撞击。其中，运动的物体称为冲击物，受冲击的物体称为被冲击 物。物体间的作用力称为冲击力。
（13-8）
d D D22
E 4E
若圆环是飞轮的轮缘，且它与轮芯采用过盈配合，当转速过大时，圆环则
可能由于变形过大而自行脱落。
例 13-1 矩形截面梁如图 13-4（a）所示，自重 P 24 kN ，长 l 6 m 。截面宽 b 0.35 m ，高 h 05. m 。用横截面面积 A 108 mm2 的两根吊索以加速度 a 10 m/s2 起吊，试求吊索横截面上和梁内的最 大动应力。
对于情况一，梁跨度中点的变形量为
j
Pl 3 48EI
150 13 12 48 200 109 (50 103 )4
m
30 106
m
自由落体冲击时的动荷因数为
Kd 1
1 2h 1 j
1
2
75103 30 106
71.7
对于情况二，梁跨度中点的变形由梁的弯曲和弹簧的缩短两部分组成，其变
形量为
j
式中，Kd 称为冲击时的动荷因数，或称为落体冲击动荷因数，这样可得出 以下各式
d Kd j ， Pd KdG ， d Kd j
于是梁的最大动应力为
（13-16）
故梁的强度条件为
dmax Kd jmax
dmax Kd jmax [ ]
（13-17）
若令式（13-15）中 h 0 ，即相当于重物 G 被突然加于受冲击的构件上，此
弹簧刚度系数应分别为 EA ， 3EA 。
l
l3
（b）
（a）
（c） 图13-6
图13-7
从冲击物与弹簧开始接触到弹簧变形到最低位置，其动能由 T 变为零，
变化量 T Gv2 ，其中 v 2g
2gh ；重量为 G 的重物向下移动的距离为 d 。将
冲击后的位置取作势能零点，势能的变化量V Gd 。
由于圆环做匀角速旋转，因此圆环内各点只有法向加速度 an ，且
an (D/2)2 ，于是沿径向均匀分布的惯性力集度为
qg
Aan
A
D 2
2
方向与 an 相反，背离圆心，如图 13-3（b）所示。
（a）
（b） 图13-3
（c）
现在求圆环的环向应力。将环沿直径截开，取上半部分圆环为研究对象，
如图 13-3（c）所示，由平衡条件 Fy 0 得
Mg Ix 0.5π kN m
设作用在轴上的摩擦力矩为 M f ，由平衡方程 M x 0，求出
M f Mg 0.5π kN m AB 轴由于摩擦力矩 M f 和惯性力偶矩 Mg 引起扭转变形，横截面上的扭矩 为
T Mg 0.5π kN m 横截面上的最大扭转切应力为
max
T Wp
1 2
Pd d
，它等于弹簧的变形能，即
Ud
W
1 2
Pd d
将 T，V，Ud 代入式（13-9），得
G(h
d
)
1 2
Pd
d
（13-10）
若重量为 G 的重物以静载的方式作用于构件上，构件的静变形与静应
力为 j 和 j 。在冲击载荷 Pd 作用下，相应的动变形和动应力为 d 和d 。试
验证明，在线弹性范围内载荷、应力、变形成正比，故有
由于不计冲击过程中的能量损失，根据机械守恒定律，冲击系统的动能和
势能的变化应等于弹簧的变形能，若以Ud 表示弹簧的变形能，即
T V Ud
（13-9）
重物的速度为零时弹簧受到的冲击载荷为 Pd ，在材料服从胡克定律的情况下，
它与弹簧的变形成正比，且都是从零开始增加到最终值。所以冲击过程中冲击
载荷完成的功为
Pl3 48EI
P 2k
30106
m
150 2 300 103
m
280106
m
动荷因数为
Kd 1
1 2h 1
j
1
2 75103 280 106
24.2
对于两种情况，由静载荷 P 引起的梁内最大正应力均为
jmax
M max W
Pl 4W
1501 6 4 503 109
Pa 1.8 MPa
的右端 x l 处，最大动应力为
dmax al 本例中的动应力与横截面面积 A 无关。
对于做铅垂向上匀加速运动的构件，其动应力的计算同样可应用上 述计算方法。
（a）
（b） 图13-2
（c）
作用在保留部分上的力有重物的重力 P，吊索重力 A gx 和作用在截面上
的轴力
FNd
，以及重物惯性力
Pa g