河南省中原名校2014届高三上学期期中联考试卷 数学(理) 含答案

中原名校2013－2014学年上学期期中联考
高三数学（理）试题
考试时间：120分钟试卷满分：150分
本试卷分第Ⅰ卷(选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，分别答在答题卷上。

第Ⅰ卷（选择题共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给
出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
－≤0}，则A∪B＝1．若集A＝{x｜－1≤2x＋1≤3｝，B＝｛x｜2x
x
A．｛x｜－1≤x＜2｝B．{x｜－1≤x≤2} C．｛x｜0≤x≤2｝D．｛x｜0≤x≤1} 2．设f（x）＝lgx＋x－3，用二分法求方程lgx＋x－3＝0在(2，3）内近似解的过程中得
f（2．25）＜0，f（2．75）＞0，f（2．5）＜0,f（3）＞0,则方程的根落在区间
A．（2，2．25) B．（2．25，2．5)
C．（2．5，2．75）D．（2．75,3）
3．已知α，β为不重合的两个平面，直线m⊂α，那么“m⊥β”是“α⊥β”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
π）的4．函数f（x）＝Asin（ωx＋ϕ）（其中A＞0，ω＞0，｜ϕ｜＜
2
图象如图所示,为
了得到g （x ）＝sin2x 的图象，则只需将f(x ）的图象 度单位 A ．向右平移6
π个长
度单位
B ．向右平移3
π个长
度单位 C ．向左平移6
π个长
度单位
D ．向左平移3
π个长
5．已知｛n
a ｝为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中
项，n
S 为｛n
a ｝的前n 项
和，n ∈N ﹡，则S 10的值为
A ．－110
B ．－90
C ．90
D ．110
6．已知x ＞0，y ＞0，若2
22y x m m x y
8＋＞＋恒成立，则实数m 的取值范围
是
A ．m ≥4或m ≤－2
B ．m ≥2或m ≤－4
C ．－2＜m ＜4
D ．－4＜m ＜2 7．已知向量a ＝（cos θ,sin θ)，向量b ＝（
3,－1),则｜2a －b ｜的最大
值与最小
A ．4
2
B ．6
C ．4
D ．16
8．已知函数f （x ）＝n
x ＋11
n n a
x --＋22n n a x --＋…＋1a x ＋0a （n ＞2
且n ∈N
﹡）设0
x 是函数f(x ）的零点的最大值，则下述论断一定错误的是
A ．0
()0f x '≠ B ．0
()f x '＝0 C ．0
()f x '＞0 D ．0
()f x '＜0
9．给出下列四个命题:
①命题p:x∀∈R，sinx≤1,则p⌝：x∃∈R，sinx＜1．
②当a≥1时，不等式｜x－4|＋｜x－3｜＜a的解集为非空．
③当x＞0时，有lnx＋1
ln x
≥2．
④设复数z满足（1－i）z＝2i，则z＝1－i．
其中真命题的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
10．已知F是双曲线2
221
x
a b 2
y
－＝（a＞0，b＞0）的左焦点，E是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B 两点,若△ABE是锐角三角形,则该双曲线的离心率e的取值范围为
A．(1，＋∞）B．（1，2）C．(1,1＋2）D．(2，1＋2）
11．已知
n
a＝1()3n，把数列｛n a}的各项排列成如下的三角形状，记A（m，n）表示第m行的第n个数，则A(10，12）＝
A．931()
3B．921()
3
C．941()
3
D．1121()
3
12．在平面直角坐标系xOy中，点A（5，0),对于某个正实数k,存在函数f(x）＝a2x
(a＞0）．使得OP＝λ·（OA
OA ＋OQ
OQ
）(λ为常数），这里点P、Q的坐
标分别为
P （1，f （1））,Q （k,f （k ）），则k 的取值范围为
A ．（2，＋∞)
B ．（3，＋∞）
C ．［4，＋∞）
D ．［8,＋∞)
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分 13．81(
)2x x
＋
的展开式中常数项为___________________．
14．设z ＝2x ＋y,其中x,y 满足0
00x y x y ⎧⎪⎨⎪⎩
＋≥－y ≤≤≤k ，若
z 的最大值为6，则z 的最
小值为_________．
15．在平面直角坐标系中，记抛物线y ＝x －2
x 与x 轴所围成的平面
区域为M ，该抛物线与直线y ＝kx （k ＞0）所围成的平面区域为A ，向区域M 内随机抛掷一点P ，若点P 落在区域A 内的概率为827
，则k 的值为__________．
16．如图，在四边形ABCD 中，BC ＝λAD (λ∈
R)，|AB |＝｜AD ｜＝2,｜CB －CD ｜＝23,
且△BCD 是以BC 为斜边的直角三角形,
则CB ·BA 的值为__________．
三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分10分)已知α，β为锐角,且sin α＝35
，tan(α－β）＝－
13
． 求cos β的值．
18．(本小题满分12分）已知各项均为正数的数列｛n
a }满足2
1
n a +－1n n
a
a
＋－22n
a ＝0,
n ∈N ﹡,且3
2a ＋是a 2，a 4的等差中项．
（1)求数列｛n
a ｝的通项公式；
（2）若n
b ＝n
a
12
log n a ，n S ＝b 1＋b 2＋…＋n b ，求n S 的值．
19．（本小题满分12分）在△ABC 中,A 、B 、C 为三个内角，a 、b 、c 为相应的三条边,
3
π
＜C ＜2π，且
b
a b -＝sin 2sin sin 2C A C
-． （1）判断△ABC 的形状；
（2）若｜BA ＋BC ｜＝2,求BA ·BC 的取值范围．
20．（本小题满分12分）已知函数f （x)＝2
ax －（a ＋2)x ＋lnx.
（1)当a ＝1时,求曲线y ＝f(x ）在点（1，f (1)）处的切线方程； （2)当a ＞0时，若f(x ）在区间［1，e)上的最小值为－2，求a 的取值范围．
21．（本小题满分12分）已知A （－5，0），B （5,0），动点P 满足|PB ｜，
1
2
｜PA ｜，
8成等差数列．
（1)求P 点的轨迹方程;
（2）对于x 轴上的点M ，若满足|PA ｜·｜PB |＝2
PM ，则称点M
为点P 对应的“比例点”。

问：对任意一个确定的点P ，它总能对应几个“比例点”？
22．（本小题满分12分）设函数f(x ）＝2
x ＋14，g （x)＝12
ln(2ex)（其
中e 为自然对数
的底数）
（1）求y ＝f （x ）－g （x ）(x ＞0）的最小值；
（2）是否存在一次函数h(x ）＝kx ＋b 使得f(x ）≥h （x ）且h （x)≥g(x ）对一切
x ＞0恒成立;若存在，求出一次函数的表达式,若不存在,说
明理由：
（3）数列｛n
a ｝中，a 1＝1，n
a ＝g （1
n a -）（n ≥2），求证：
1
2
＜1
n a ＋＜n
a ＜1且111
()n
k
k k k a
a a =-∑＋＋＜
38
．
中原名校2013—2014学年上学期期中联考
高三数学（理）参考答案
一．选择题
1-—-5 BCAAD 6——-10 DCDAB 11———12 AA 二．填空题 3513.8
14。

—2 15。

13
16。

-4
三．解答题 17。

解：
0;22
2
πππαβαβ⎛⎫
∈∴-<-< ⎪⎝
⎭
，，，
()(
)(
)1tan 0,0, (232)
sin 10
34
,cos , (55)
π
αβαβαβαβααα-=-<∴-<-<∴-=-∴-=
=又
分
4分cos .................................5分为锐角，sin =()()(
).............6cos cos cos sin 43..............................1055βααβααβααβ∴=--=-+-⎡⎤⎣⎦⎛=+⨯=⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⎝⎭
分
cos sin 分
18。

解：（1）
()()2
111120,20.n n n n n n n n a a a a a a a a ++++--=∴+-= (1)
分
{}{}{}111324243111112
0,20,22,232+=242884,2,=2.......6(2)1log ,=-2.7n
n n n n n n n n n n n a n n n n a a a a a a a n N a a a a a a a a a a a a a a n ++*+∴+>-=⋯⋯⋯⋯⋯⋯∴=∈∴⋯⋯⋯⋯⋯⋯+∴+∴+=+=∴⋯⋯⋯⋯=⋯⋯⋯⋯⋯⋯数列的各项均为正数，分，数列是以为公比的等比数列。

分是与的等差中项，，
数列的通项公式为分
由（）及b 得b ()
()231223412
3
1
11,222322,2222322,21222222
2122,1212n n n n n n n n
n n n n S S n S n S n n n ++++=++⋅⋅⋅∴=----⋅⋅⋅-=----⋅⋅⋅--∴=+++⋅⋅⋅+-=
-=--⋯⋯-分
b b b 分
19。

解：（1)由sin 2sin sin 2b C
a b A C =--及正弦定理，有
sin sin 2,.........................................................................222.............................................................422,B ,B+C 323
B C B C B C B C C ππππ
π=⋯⋯⋯⋯⋯⋯∴=+=⋯⋯⋯⋯⋯⋯=<<∴<<分或分
若，且222
2>(.....................52A=C ABC ......................622cos 4,.........................8,
2cos =,cos =cos 2,
1cos 1,2B C BA BC a c ac B a c a B B C a
B ππ⋯⋯⋯∴+=∴⋯⋯⋯⋯⋯⋯+=∴++=⋯⋯⋯⋯⋯⋯=--<<∴舍），分
，则，为等腰三角形。

分（2），分结合得而2224
1,........................................................10312cos 2,1.......................................123a BA BC a B a <<⋯⋯⋯⋯⋯⋯⎛⎫
∴==-∈⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⎪⎝⎭
分由（）知a=c,分
20。

解：()()2
1
(113ln ,23,a f x x
x x f x x x
'==-+=-+）当时， (1)
分
()()()()()()()()22
10,12,.................................................3....................................................4(2)2ln 0+221
1022f f f x ax a x x ax a a f x ax a x x x
'∴==-⋯⋯⋯⋯⋯⋯=-++∞-+-'>=-++=>分所以切线方程是y=-2.分函数的定义域是，，
当时，()()()()()()
20......52212110=0,
11
..............................................................62ax a x ax f x f x x x
x x a
-+---''=====⋯⋯⋯分令，即所以或分
当110≤<a
，即1≥a 时，)(x f 在[1，e ］上单调递增，
所以)(x f 在［1，e]上的最小值是2)1(-=f ;………………8分
当e a
<<11时，)(x f 在［1，e ］上的最小值是2)1()1(-=<f a
f ，不合题意； 10
分
当e a
≥1时，)(x f 在［1，e ］上单调递减，
所以)(x f 在［1，e]上的最小值是2)1()(-=<f e f ，不合题意………………11分 故
a
的取值范围为
[)1,+∞；………………………………………………………12分
21.解：（1）由已知得8PA PB -=，
()()()()()()()22
2200
00022
000000A B P 140 (5169)
(2),4,,0.1,
169
91;5,,5,,
16P x y x x x y P x y x M m x y PA x y PB x y PA PB ∴∴-=≥>≥-=⎛⎫∴=-=---=-- ⎪⎝⎭=
点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支，且a=4,b=3,c=5,
点的轨迹方程为标不扣分，不标扣1分分
设又则()()()()()2
20202
2
2
2
2
200002
202
052516
16162529,16
=2+7=0..........................................=428360,x x PM PM x m y x mx m PA PB PM m mx x -==-⎝⎭==-+=
-+--*⋯⋯⋯⋯⋯⋯∆-≥>∴*又由得，，10分
方程恒有P ..............................12∴⋯两个不等实根
对任意一个确定的点，它总能对应2个“比例点”分
22。

解：(1）
214102,22x x y x x x
-'>=-=时，
()()()()11
0,0,
22
110,+2221
0 (32)
x y x y y f x g x y f x g x ''<<<>>⎛⎫⎛⎫
=-∞⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
=-⋯⋯⋯⋯⋯⋯易知0时时所以在上递减，而在，上递增，分故x=时取最小值；分
(2）由（1）可知，111
,222
f g ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
()()()()()()()()()()()()()()()()22
11111
,=2222211
+-,02224=10,1,,
11
ln 2,1,22110+22h x kx b f x h x h x g x h h k k h x kx f x h x x kx k k h x x G x h x g x x ex G x x
G x =+≥⎛⎫⎛⎫≥≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=≥-+-≥∆-≤=='=-=-
=-⎛⎫⎛⎫
∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以若存在一次函数使得且总成立，则
即；所以可设代入得恒成立，
所以所以此时设则易知在，上递减，在，上递增，
()()()()1=002=...........................6G x G h x g x x h x x ⎛⎫≥≥> ⎪⎝⎭
⋯⋯⋯⋯⋯⋯所以，即对一切恒成立；综上，存在一次函数符合题目要求。

分
（3)先证{}n
a 递减且11(2),2
n
a
n <<≥
()()()()()()()()()()()()00001211
2,0+122
111=112221
1(2).
2
111(1)2==11,12221
2,212,
2
1
,0+2
n k g x x g x x g g x x g x a n n g g a g a n k k N k a k x g x x g x *<∞<<⎛⎫
<<<<< ⎪⎝⎭
<<≥⎛⎫
=<<<< ⎪⎝⎭
=∈≥<<≥><∞由（）知x>时又在，上递增，所以当时总有，即也成立。

下面用数学归纳法证明时，因为所以成立；
（）假设时结论成立，即由于时，又在，上递增()(){}()()+11-1111111111
11,122211
(1)21(2)122
1
=1 (92)
2k k k n n n n n n n n n n k k k k k k k k k k a g a g a a n a a g a a a a a a a a a a a a a +++++==⎛⎫>>>=<< ⎪⎝⎭
<<≥<≤=<<⋅⋅⋅<<<⋅⋅⋅<⋯⋯⋯⋯⋯⋯+-<-=∑∑，
则即也成立。

由（）知，恒成立；而时，
所以递减。

综上所述
，分
所以221
1
22
1121134 (12228)
n
k k n a a a a +=+---=<
=⋯⋯⋯⋯⋯⋯∑
分。