两个重要极限

e= e−1
e2
x
+ 2
a
=
lim x→a
sin x
x−
2 −a
a
⋅ cos
= x + a 2
lim x→a
sin x
x−
2 −a
a
⋅ limx→a
cos
= x + a 2
cos a
2
2
例子
15.3.（重要极限）证明 limx→∞
1 +
1 x
x
= e
证明：首先假设 x > 0 。 设 n ≤ x < n + 1 ,则
x
x
<
π)
2
因为lim cos x = 1 ,所以由定理 13.4.（迫敛性）可得 x →0
lim x→0
sin x
x
=1
证毕。
sin x
0
注记 15.1. （I）上述问题的一个基本特征是：当 x → 0 时 x 呈现出 0 的
特征。
（II）我们容易看出，若 limx→x0
φ(x)
=
0 ，则 limx→x0
limx→−∞ 1+ = 1x x
limt→+∞ 1+ −1t= −t
limt →+∞

t
−1 t
−t
=
limt→+∞= t −t 1 t
limt →+∞
1 +
t
1 −1
t
=
limt →+∞
1 +
t
1 −1
t −1
1 +
lim
x→0

sin x
x
⋅
co= 1s x
li= mx→0 sinx x limx→0 co1s x 1
lim
x
→0

sin x
x
⋅
1 cos
x

（II）我们有
= limx→0 1− xco2 s x
li= mx→0 2 sinx22x / 2
2sin2 x / 2 limx→0 4(x / 2)2
sin φ ( x) φ(x)
=1。
例子 15.2. 计算
tan x
1− cos x
sin 5x
（I） limx→0 x ； （II） limx→0 x2 ； （III） limx→0 sin 2x
（IV）
lim x→a
sin
x x
− −
sin a
a
解：（I）我们有
lim x→0
t= an x x
t
−1= 1
e
综上可得 limx→∞
1 +
1 x
x
= e 。证毕。
1
注记 15.2. （I）不难看出上述极限也可以表达成 limx→0 (1+ x)x = e 。同时，
我们容易看出，若 limx→x0 φ(x) = ∞ （或 limx→x0 φ(x) = +∞ ，或 limx→x0 φ(x) = −∞ ），则
x
→
∞
时
1
+
1 x

x
呈现出1∞
的特征
例子 15.4.
计算（I）
lim
x→∞
1
−
1 x
x

；
1
（II） limx→0 (1+ ) 2x x2 ；
（III）
lim x→∞

x x
+1 −1
x

解：（I） limx→∞ 1−= 1x x
lim x→∞

1
+
1 −x
−= x −1
e−1
（II）
lim x→0
(1 +
2x)
1 x2
= limx→0

(1
+
1
) 2 x 2x2
2
=e2
（III）我们有
lim x→∞

x x
+1 −1
x

= limx→∞
1+
x
2 −1
x −1

1+
x
2 −1
φ(x)
1
lim x → x0
1+
φ(x)

= e
（II）上述结果的证明过程中，首先通过不等式将 x → ∞ 时函数极限问
题转化成了数列极限问题，又通过变量代换将 x → −∞ 时函数极限问题转
化成了 x → ∞ 时函数极限问题。这种处理技巧值得借鉴。
（III）上述问题的一个基本特征是：当
第十五讲、两个重要极限
例子
15.1.（重要极限）证明：
lim x→0
sin x
x
=1
证明:
如图所示，当 x
∈
(
0
,
π 2
)时，
△AOB 的面积＜圆扇形 AOB 的面积＜△AOD 的面积
即
1 2
sin
x
<1x < 2
1 tan x
2
故有1 < x < 1
sin x cos x
于是得到 cos x < sin x < 1 (0 <
12= limx→0 sinx /x2/ 2 2
1 2
（III）我们有 limx= →0 ssiinn 52xx
lim x→0
sin 5x 5x
⋅= 2x ⋅ 5 sin 2x 2
5 2
（IV）我们有
lim x→a
sin
x x
− −
sin a
a
=
lim x→a
2 sin
x
− a cos 2 x−a
1 +
1 n n +1
<
1 +
1 x
x
<
1 +
1 n
n+1
注意到
limn→∞
1
+
n
1 +
1
n=
limn→∞
1 +
n
1 +
1
n+1
1
+
n
1 +
1
−1
=
limn→∞
1 +
1 n +1
n+1

limn→∞
1 +
1
−1

n +1
=
e
及
limn→∞
1
+
1 n
n=+1
limn→∞
1 +
1 n
n
1
+
1 n

=
limn→∞
1
+
1 n
n
limn→∞
1
+
1n=
e
所以由定理
பைடு நூலகம்
13.4.（迫敛性）可得 limx→+∞
1 +
1 x
x

= e
当 x < 0 时， 设t = −x 则

li= mx→∞ 1+ x 2−1 x2−1 2 1+ x 2−1 e2
或
lim
x→∞

x x
+ −
1 1
x

=
lim
x→∞

1 1
+ −
1 1
/ /
x x
x

=
lim x→∞ lim x→∞
(1 (1
+ −
1 1
/ /
xx= ))xx