高考数学大一轮复习 第二章 第十二节 定积分与微积分基本定理课件

2 3
3
x2
-
1 2
x2
+
2x

40＝136
[题点发散 1] 由曲线 y＝ x，直线 y＝y＝－xx－＋22 及 xy 轴所围成的图
7 形的面积为__6___．
解：如图所示，由 y＝ x及 y＝－x＋2
可得 x＝1.由定积分的几何意义可知，
由 y＝ x，y＝－x＋2 及 x 轴所围成的
( ×) ( √)
考点一 定积分的计算 (基础送分型考点——自主练透) [必备知识]
1．定积分的性质
b
b
(1)akf(x)dx＝kaf(x)dx(k 为常数)；
b
b
b
(2)a[f1(x)±f2(x)]dx＝af1(x)dx±af2(x)dx；
b
c
b
(3)af(x)dx＝af(x)dx＋cf(x)dx(其中a<c<b)．
2．微积分基本定理
一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，且F′(x)＝
b
f(x)，那么

a
f(x)dx＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，
又叫做牛顿—莱布尼茨公式．
其中F(x)叫做f(x)的一个原函数．
b
为了方便，常把F(b)－F(a)记作F(x)|ba，即af(x)dx＝F(x) |ba＝F(b) －F(a)．
＝1－12－0＋12×22－2－12×12－1＝1.
[类题通法] 运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点 (1)对被积函数要先化简，再求积分； (2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间 的可加性”，分段积分再求和； (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号再 求积分； (4)注意用“F′(x)＝f(x)”检验积分的对错．
得交点 B(3，－1)．
故所求面积 S＝∫10
x＋13 xdx＋∫312－x＋13

xdx

＝23
x
3 2
＋16

x2


10＋2x－13
x2


31＝23＋16＋43＝163.
[类题通法] 利用定积分求平面图形面积的四个步骤 (1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象； (2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的 上、下限； (3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； (4)计算定积分，写出答案． [提醒] 利用定积分求平面图形的面积，一定要找准积分 上、下限及被积函数，当图形的边界不同时，要分情况讨论．
第十二节定积分与微积分基本定理
基础盘查一 定积分的概念、几何意义与性质 (一)循纲忆知
了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积 分的概念．
(二)小题查验
1．判断正误
bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
b
(1)设函数 y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则af(x)dx＝af(t)dt ( √ )
(2)定积分一定是曲边梯形的面积
π
π
π
(3) (sin x－cos x)dx＝ sin xdx－ cos xdx＝
0
0
0
(－cos x) |0π－sin x |π0＝2.
2
1
2
(4) |1－x|dx＝ (1－x)dx＋ (x－1)dx
0
0
1
＝x－12x2 |10＋12x2－x |21
[一题多变]
[典型母题]
由曲线 y＝ x，直线 y＝x－2 及 y 轴所围成的图形的面积为
16 __3___．
[解析] 由 y＝ x及 y＝x－2 可得，x＝4，即两曲线交于点 (4,2)．由定积分的几何意义可知，由 y＝ x及 y＝x－2 及 y 轴所 围成的封闭图形面积为
∫04(
x－x＋2)dx＝
[题组练透]
计算下列定积分：
3
(1)-1(3x2－2x＋1)dx；
π
(3)0(sin x－cos x)dx；
(2)21x－1xdx；
2
(4)0 |1－x|dx.
3
解：(1)-1(3x2－2x＋1)dx ＝(x3－x2＋x)|3－1＝24. (2)21x－1xdx＝12x2－ln x|21＝32－ln 2.
考点二 定积分几何意义的应用 (题点多变型考点——全面发掘) [必备知识]
定积分的几何意义 如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有
b
f(x)≥0，那么定积分af(x)dx表示由直线x＝ a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的 曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积．
[提醒] 曲边梯形的面积非负，而定积分的结果可以为负．
解析：S＝
m2 0
(m－
x)dx＝
mx
-
2 3
x
3 2


m2 0
＝m3－23m3＝83，所以
m
＝2.
[题点发散3] 若本例变为：求曲线y＝ x，y＝2－x，y＝－13x所围 成图形的面积．
解：由yy＝＝2－x，x 得交点 A(1,1)．
y＝2－x，
由y＝－13x
了解微积分基本定理的含义．
(二)小题查验 1．判断正误
(1)微积分基本定理中 F(x)是唯一的
a
(2)若 f(x)是连续的奇函数，则-af(x)dx＝0
2．(人教 A 版教材习题改编)计算：
(1)
π
2 0
(3x＋sin
x)dx＝__3_8π_2_＋__1_.
(2) 12ex－2xdx＝__e_2－__e_－__2_l_n_2__.
(×)
b
(3)若af(x)dx<0，那么由 y＝f(x)，x＝a，x＝b 以及 x 轴所围成的
图形一定在 x 轴下方
(×)
a
a
(4)若 f(x)是偶函数，则-af(x)dx＝20f(x)dx
1
π
2．(人教 A 版教材习题改编)

0
1－x2dx＝_4__.
( √)
基础盘查二 微积分基本定理 (一)循纲忆知
封闭图形的面积为
1 0
xdx＋
2 1
(－x＋2)dx＝
2 3
3
x2

1 0
＋2x－x22

2
1
＝76.
[题点发散 2] 若本例中“y＝x－2”改为“y＝m”，且由曲线 f(x) ＝ x与 y 轴及直线 y＝m(m＞0)围成的图形的面积为83，则 m 的
值为__2__．