应用反比例函数中k的几何意义解题举例

反比例图像上的点与坐标轴围成图形的面积

一般地，如图1，过双曲线上任一点A 作x 轴、y 轴的垂线AM 、AN ，，所得矩形AMON 的面积为：S=AM×AN=|x|×|y|=|xy|. 又∵y=x

k

，∴xy=k. ∴AMON S 矩形=|k|.∴||2

1

k S AOM

=∆. 这就是说，过双曲线上任一点，做X 轴、Y 轴的垂线，所得矩形的面积为|k|,这是系数k 的几何意义，明确了k 的几何意义会给解题带来许多方便，请思考下列问题： 1、求函数的解析式

例1如图2所示，在平面直角坐标系中，一次函数1y kx =+的图象与反比例函数9

y x

=

的图象在第一象限相交于点A ．过点A 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足为点B 、C ．如果四边形OBAC 是正方形，求一次函数的关系式．

解析 四边形OBAC 是正方形及反比例函数9

y x

=的图象

在第一象限相交于点A ，

则正方形OBAC 的面积为：S ＝xy ＝9，所以正方形的边长为3，即点A 的坐标（3，3，）。 将点A （3，3，）代入直线得y=3

2

x+1。 2.特殊点组成图形的面积

例2如图3，点A 、B 是双曲线3

y x

=

上的点，分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段，若1S =阴影，则12S S += ．

解析 由A,B 分别向两坐标轴作垂线围成图形的面积相等， ∴S 1+S 阴影＝S 2+S 阴影＝xy ＝3. ∵1S =阴影，

∴12S S +=2＋2＝4。 例3如图4，A 、B 是函数2

y x

=

的图象上关于原点对称的任意 A

N M

X

Y O A

C

O

B

x

图2

x

y

A

B

O

1

S 2

S 图3

两点，

BC ∥x 轴，AC ∥y 轴，△ABC 的面积记为S ，则（ ） A ．2S = B ．4S = C ．24S << D ．4S >

解析 ∵A 、B 是函数2

y x

=的图象上关于原点对称的任意两点， ∴△ABC 的面积记为S ＝4S △AOD =4×2

1

xy=4.

3、求字母的值

例4如图5，直线y=mx 与双曲线y=

x

k

交于A 、B 两点，过点A 作AM ⊥x 轴，垂足为M ，连结BM,若ABM S ∆=2，则k 的值是（ ） A ．2 B 、m-2 C 、m D 、4 解析 ∵直线y=mx 与双曲线y=x

k

交于A 、B 两点，已知A,B 两点关于原点O 对称，所以ABM S ∆=2S △AOM =2×2

1xy=xy=2 ∴k=2。

例5如图6，已知双曲线)0k (x

k y ＞=经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ．若△OBC 的面积为3，则k ＝____________．

解析：由双曲线)0k (x

k

y ＞=经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ， 设点D 的坐标（x,y ），又DE ∥BA, ∴点B 的坐标为（2x,2y ）， ∵△OBC 的面积3,

∴

21OA.AB=21×2x×2y=2xy=2k=3, ∴k=2

3

.

4、求线段的长度

例6如图7，已知一次函数1y x =+的图象与反比例函数k

y x

=

的图象在第一象限相交于点A ，与x 轴相交于点C AB x ，⊥轴于点B ，AOB △的面积为1，则AC 的长为 （保留根号）． 解析：∵AOB △的面积为1，

图5

图6

∴

2

1

k=1,k=2。

解方程组 y=x+1

Y=

x

2, 得 A 的坐标（1，2）。

由一次函数1y x =+的图象与x 轴相交于点C ， ∴OC=1,BC=2,AB=2,由勾股定理得AC ＝22。 5、探讨面积的变化

例7如图7，在直角坐标系中，点A 是x 轴正半轴上的一个定点，点B 是双曲线3

y x

=（0x >）上的一个动点，当点B 的横坐标逐渐增大时，

OAB △的面积将会（ ）

A ．逐渐增大

B ．不变

C ．逐渐减小

D ．先增大后减小 解析 ∵A 是x 轴正半轴上的一个定点， ∴OA 的长度是定值，即OAB △的底边一定。 ∵点B 是双曲线3

y x

=

（0x >）上的一个动点，当点B 的横坐标逐渐增大时， ∴纵坐标y 的值逐渐减小，故OAB △的面积将会逐渐减小，选B 。 6.确定自变量的取值范围

例8已知一次函数,11+=x y 点P 在反比例函数)0(2φk x

k

y =

的图象上,PA ⊥x 轴,垂足为A,PB ⊥y 轴,垂足为B,且四边形AOBP(O 为坐标原点)的面积为2. ⑴求k 值;

⑵求所有满足21y y =的x;

⑶试根据这两个函数的图象,写出满足21y y φ的x 的取值范围(只需直接写出结论). 分析:根据四边形AOBP 的面积为2,可以求出反比例函数中的k 值.再利用21y y =转换为一元二次方程求出相应的x 值.

解:(1)四边形AOBP(O 为坐标原点)的面积为2,k=2. ⑵,2

1x

x =

+解得x=-2或x=1. ⑶由图象得当-2＜x ＜0或x ＞1时,满足21y y φ.

图8

x

图7