分类讨论问题

分类讨论问题
一、内容提要： 分类讨论的主要因素： （1）根据本身就是分类定义；
（2）有些性质、公式在不同条件下有不同的结论； （3）一些定义、定理、公式和法则有范围或条件限制； （4）题目的条件或结论不唯一时；
（5）解含参数（字母系数）的题目时，必须根据参数（字母系数）的不同取值范围进行讨论；
（6）推理过程中，遇到数量的大小不确定，图形的位置或形状不确定的。

四个步骤： （1）确定分类对象 （2）进行合理分类 （3）逐类讨论，分级进行 （4）归纳并作出结论 二、例题精选 1．按图形的性质分类
例1 如图1，⊙O 是等边ΔABC 的外接圆，D 是 BC
上异于B 、C 的一点。

若 BD
与 DC 的度数之比是1∶3，⊙O 的半径为1，取点F ，使ΔDCF 为等腰三角形，且顶角为钝角，试指出这时DF 的长或其取值范围。

分析：题目中，没有确定DC 是等腰三角形的底还是腰，所以要分为不同的情况讨论，在不同状态下求DF 。

解：因为 BC
为120°， BD 与 DC 的度数的比是1∶3，所以 DC 为90°， D
C
B A
O
连结OC、OD，
则=
①以CD为底边时，如图2，DF可变化，若∠F为直角，则DF=1，而本题∠F为钝角，有<DF<1。

②以CF为底边时，如图3，DF确定，DF＝DC=。

③以DF为底边时，如图4，DF可变化，
若∠C=90°，则DF=2，所以∠C为钝角时，DF>2。

又DF<2，所以2<DF<2。

说明：题目中的已知条件只是用来确定DC的长度，而后面的分类讨论内容与圆没有关系，是对等腰三角形的边进行计算，分类讨论注意全面，不要遗漏。

例2、抛物线y=m x2-(3m+)x+4与x轴交于两点A，B，与y轴交于C点，若ΔABC是等腰三角形，求抛物线的解析式。

解：在y=mx2-(3m+)x+4中令x=0, 得到y=4，
∴ c(0,4 )
令y=0，则m x2-(3m+)x+4=0
∵ m≠0, ∴ x1=3, x2=。

∴ A(3,0), B(,0),
又∵ A，B两点不重合，∴ m≠
故m≠0且m≠。

由已知ΔABC是等腰三角形，
∴（1）若AB=AC，则，
∴ m=或m=-,
∴ y=x2-x+4或y=-x2+x+4
（2）若AB=BC，则，∴ m=-,
∴ y=-x2+x+4。

（3）若AC=BC，则，
∴ m=-或m=(舍)
∴ y=-x2+4, ∴所求抛物线解析式如下：
（1）当AB=AC时，y=x2-x+4或y=-x2+x+4。

（2）当AB=BC时，y=-x2+x+4。

（3）当AC=BC时，y=-x2+4。

说明：分类讨论问题，必须找到分类讨论的突破口，本例由ΔABC是等腰三角形可知，ΔABC有两边相等，至于三边中哪两边相等没有说明，这是讨论的突破口，一气呵成，三种情况。

2．按位置关系分类
例1．在直角坐标系中，点O′(2,0)，⊙O′与x轴交于原点O和点A，又B、C、E 三点的坐标分别为(-1,0), (0,3)，(0,b)且0<b<3，如图所示。

（1）求点A的坐标和直线BC的解析式；
（2）点E在线段OC上移动时，直线BE与⊙O'有哪几种
位置关系，并求出每种位置时b的取值范围。

解：（1）由题意得A(4,0)，再用待定系数法解得直线BC的解析式为y=3x+3。

（2）当点E在OC上移动时，直线BE与⊙O′有三种位置关系：相交、相切、相离。

若BE与⊙O′相切时，设切点为F，连结O′F。

则O′F⊥BE，于是RtΔBOE∽RtΔBFO′。

所以O′F∶OE=BO′∶BE。

又O′F=2, BO′=3, BE=,所以, b=。

故当0<b<时，直线BE与⊙O′相交；当b=时，直线BE与⊙O′相切；当
<b<3时，直线BE与⊙O′相离。

例2．已知ΔABC中，AB=AC，点D、E满足AD=AE，且可推出ΔABD≌ΔACE。

请你画出一个符合条件的图形，并加以证明。

分析：因为ΔABC是等腰三角形，又因为等腰三角形是轴对称图形，故AD与AE只要满足关于等腰三角形的对称轴对称即可推出ΔABD≌ΔACE，进而又分为点D、E在ΔABC内、边上及形外三种情况作图（如图所示）
注：（1）中D、E可交换位置就是（4）；（2）中的点D、E可与B、C两点交换位置或点B、C位置不变，点D、E交换位置（除此之外还有其它答案，请思考）。

此题目，可以选择一种情况画图并证明，证明略。

例3．已知正方形ABCD的边长为10cm，一动点P从点A出发，以2cm/秒的速度沿正方形的边逆时针匀速运动。

如图，回到A点停止，求点P运动t秒时，P，D两点间的距离。

解：点P从A点出发，分别走到B，C，D，A所用时间是秒，秒，秒，秒，即5秒，10秒，15秒，20秒。

∴（1）当0≤t<5时，点P在线段AB上，|PD|=|P1D|=(cm) （2）当5≤t<10时，点P在线段BC上，|PD|=|P2D|=
（3）当10≤t<15时，点P在线段CD上，|PD|=|P3D|=30-2t （4）当15≤t≤20时，点P在线段DA上，|PD|=|P 4D|=2t-30 综上得：
|PD|=
说明：本题从运动的观点，考查了动点P与定点D之间的距离，应根据P点的不同位置构造出不同的几何图形，将线段PD放在直角三角形中求解或直接观察图形求解。

例4．已知锐角ΔABC的边BC的长为6，面积为12，PQ//BC，点P在AB上，点Q在AC上，四边形PQRS为正方形（RS与A在PQ的异侧），其边长为x，正方形PQRS与ΔABC 的公共面积为y。

（1）当正方形PQRS的边RS恰好落在BC上时，求边长x。

（2）当RS不落在BC上时，求y关于x的函数关系式以及自变量x的取值范围。

（3）求y的最大值。

分析：（1）中可由相似求得较容易，（2）中RS不落在BC上意味着RS可以落在三角形的内部或外部两种情形。

解：（1）当正方形PQRS的边RS恰好落在BC上时，PQ//BC，ΔAPQ∽ΔABC，
过A作AE⊥BC交PQ于D，
则，又，BC=6，∴ AE=4， AD=4-x，∴，∴x=。

（2）当RS落在三角形内时，y=x2 (0<x<)
当RS落在三角形外时，如图（2），过A作AE⊥BC于E交PQ于D，
同上，，
∴ AD=x, ∴ DE=4－x,
∴ S四边形PMNQ=DE·x=(4-x)x
∴ y=-x2+4x (<x<6)
（3）y=-(x2-6x)=-(x-3)2+6
∴当x=3时，y max=6。

按照参数（字母系数）取值分类
例1．如果一次函数y=kx+b的自变量x的取值范围是-2≤x≤6，相应函数值的范围是-11≤y≤9，求此函数解析式。

分析：一次函数y=kx+b(k≠0)中，k的正负，直接影响y随x变化的规律。

所以此题对k进行分类讨论。

解：（1）当k>0时，y=kx+b中，y随x的增大而增大，
∴ x=-2时，y=-11, ∴x=6时，y=9,
∴, ∴,
∴函数解析式为y=x-6。

（2）当k<0时，y=kx+b中，y随x的增大而减小，
∴ x=-2时，y=9，x=6时，y=-11。

∴, ∴
∴ y=-x+4。

∴综上（1）（2），所求函数解析式为y=x-6或y=-x+4。

例2．已知一次函数y=-x+8和反比例函数y=(k≠0)
（1）k满足什么条件时，这两个函数在同一坐标系中的图像有两个交点？
（2）设（1）中两个交点为A，B，试比较∠AOB与90°角的大小。

解：（1）由，消去y得：x2-8x+k=0。

∵图像有两个交点得：Δ=82-4k>0,
∴ k<16且k≠0。

（2）利用数形结合的方法，分析角度，如图，
①当0<k<16时，由图∠AOB<90°。

②当k<0时，由图∠AOB>90°。

例3．国家规定个人发表文章，出版图书获得稿费的纳税计算办法是：
（1）稿费不高于800元的不纳税
（2）稿费高于800元又不高于4000元的应缴纳超过800元那部分稿费的14%。

（3）稿费高于4000元应缴纳全部稿费的12%的税，今知丁老师获得一笔稿费，并缴纳个人所得税a(a>0)元，求丁老师这笔稿费有多少元。

解：设丁老师这笔稿费为x元，∵a>0, ∴x>800,
（1）当800<x≤4000时，丁老师应纳税(x-800)×14%元，由已知得
(x-800)×14%=a,
∴ x=a+800
800<a+800≤4000
0<a≤448,
即当0<a≤448时，x=a+800。

（2）当x>4000时，丁老师所纳税x·12%元，
∴ 12%x=a, ∴x=a,
∴a>4000, a>480。

即a>480时，x=a=a。

答：当丁老师所纳税a(元)不超过448元时，丁老师的稿费是(a+800)元，当丁老师所纳税a(元)超过480元时，丁老师获得的稿费是a。

说明：这道试题是一个实际应用问题，我们在对a进行分类讨论的时候，运用了逆向思维方法。

即先对x进行分类讨论，求得a的范围，然后用求得a的范围反过来说明所要解决的问题。