安徽省滁州中学新高中数学立体几何多选题专题复习含答案

安徽省滁州中学新高中数学立体几何多选题专题复习含答案
一、立体几何多选题
1．如图，正方体1111ABCD A B C D -中的正四面体11A BDC -的棱长为2，则下列说法正
确的是（ ）
A ．异面直线1A
B 与1AD 所成的角是3
π
B ．1BD ⊥平面11A
C D
C ．平面1ACB 截正四面体11A BDC -所得截面面积为3
D ．正四面体11A BDC -的高等于正方体1111ABCD A B C D -体对角线长的23
【答案】ABD 【分析】
选项A ，利用正方体的结构特征找到异面直线所成的角；选项B ，根据正方体和正四面体的结构特征以及线面垂直的判定定理容易得证；选项C ，由图得平面1ACB 截正四面体
11A BDC -所得截面面积为1ACB 面积的四分之一；选项D ，分别求出正方体的体对角线
长和正四面体11A BDC -的高，然后判断数量关系即可得解. 【详解】
A ：正方体1111ABCD A
B
C
D -中，易知11//AD BC ，异面直线1A B 与1AD 所成的角即直线
1A B 与1BC 所成的角，即11A BC ∠，11A BC 为等边三角形，113
A BC π
∠=
，正确；
B ：连接11B D ，1B B ⊥平面1111D
C B A ，11A C ⊂平面1111
D C B A ，即111AC B B ⊥，又
11
11AC B D ⊥，1111B B B D B ⋂=，有11A C ⊥平面11BDD B ，1BD ⊂平面11BDD B ，所以111BD AC ⊥，同理可证：11BD A D ⊥，1111AC A D A ⋂=，所以1BD ⊥平面11AC D ，正确；
C ：易知平面1ACB 截正四面体11A BDC -所得截面面积为
1
3
4
ACB S
=
，错误；
D ：易得正方体1111ABCD A B C D -()()()
2
2
2
2
2
2
6++=2
的正四面体11A BDC -的高为2
2
222262213⎛
⎫--⨯= ⎪⎝
⎭，故正四面体11A BDC -的高等
于正方体1111ABCD A B C D -体对角线长的2
3
，正确. 故选：ABD. 【点睛】
关键点点睛：利用正方体的性质，找异面直线所成角的平面角求其大小，根据线面垂直的判定证明1BD ⊥平面11AC D ，由正四面体的性质，结合几何图形确定截面的面积，并求高，即可判断C 、D 的正误.
2．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E ，F 在平面1111D C B A 内，若
||5AE =，AC DF ⊥，则（ ）
A ．点E 的轨迹是一个圆
B ．点F 的轨迹是一个圆
C ．EF 21-
D ．A
E 与平面1A BD 21530
+
【答案】ACD 【分析】
对于A 、B 、C 、D 四个选项，需要对各个选项一一验证. 选项A ：由2211||5AE AA A E =
+=1||1A E =，分析得E 的轨迹为圆；
选项B ：由AC DBF ⊥，而点F 在11B D 上，即F 的轨迹为线段11B D ，； 选项C ：由E 的轨迹为圆，F 的轨迹为线段11B D ，可分析得min ||EF d r =-； 选项D ：建立空间直角坐标系，用向量法求最值. 【详解】 对于A:2211||5AE AA A E =
+=221|25A E +=1||1A E =，即点E 为在面
1111D C B A 内，以1A 为圆心、半径为1 的圆上；故A 正确；
对于B: 正方体1111ABCD A B C D -中，AC ⊥BD ，又AC DF ⊥，且BD ∩DF=D ，所以
AC DBF ⊥，所以点F 在11B D 上，即F 的轨迹为线段11B D ，故B 错误；
对于C:在平面1111D C B A 内，
1A 到直线11B D 的距离为2,d
=当点E ，F 落在11A C 上时，min ||21EF =-；故C 正
确； 对于D:
建立如图示的坐标系，则()()()()10,0,0,2,0,0,0,0,2,0,2,0A B A D
因为点E 为在面1111D C B A 内，以1A 为圆心、半径为1 的圆上，可设()cos ,sin ,2E θθ 所以()()()1cos ,sin ,2,2,0,2,2,2,0,AE A B BD θθ==-=-
设平面1A BD 的法向量(),,n x y z =，则有1
·
220·220n BD x y n A B x z ⎧=-+=⎪⎨
=-=⎪⎩ 不妨令x =1，则()1,1,1n =， 设AE 与平面1A BD 所成角为α，则：
2|
||
sin|cos,|
||||
n AE
n AE
n AE
π
θ
α
⎛⎫
+
+
⎪
====
⨯
当且仅当
4
π
θ=时，sinα
15
=，
故D正确
故选：CD
【点睛】
多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证．
3．在正三棱柱111
ABC A B C
-
中，AC=11
CC=，点D为BC中点，则以下结论正确的是（）
A ．
11
11
22
A D A
B A
C AA
=+-
B．三棱锥11
D AB C
-的体积为
6
C．1
AB BC
⊥且
1
//
AB平面
11
AC D
D．ABC内到直线AC、1
BB的距离相等的点的轨迹为抛物线的一部分
【答案】ABD
【分析】
A ．根据空间向量的加减运算进行计算并判断；B．根据
1111
D AB C A DB C
V V
--
=，然后计算出对
应三棱锥的高AD和底面积
11
DB C
S，由此求解出三棱锥的体积；C．先假设
1
AB BC
⊥，然后推出矛盾；取AB中点E，根据四点共面判断1
AB//平面
11
AC D是否成立；D．将问题转化为“ABC内到直线AC和点B的距离相等的点”的轨迹，然后利用抛物线的定义进行判断.
【详解】
A．()
11111
111
222
A D A A AD AD AA A
B A
C AA AB AC AA
=+=-=+-=+-，故正确；
B．
1111
D AB C A
DB C
V V
-
-
=，因为D为BC
中点且AB AC
=，所以AD BC
⊥，
又因为1
BB⊥平面ABC，所以
1
BB
AD
⊥且
1
BB BC B
=，所以AD⊥平面
11
DB C，
又因为AD
===
11
111
1
22
DB C
S BB B C
=⨯⨯=，
所以
111111
11
33226
D AB C A DB C DB C
V V AD S
--
==⨯⨯=⋅=，故正确；
C ．假设1AB BC ⊥成立，又因为1BB ⊥平面ABC ，所以1BB BC ⊥且111BB AB B =，
所以BC ⊥平面1ABB ，所以BC AB ⊥，显然与几何体为正三棱柱矛盾，所以1AB BC ⊥不成立；
取AB 中点E ，连接11,,ED EA AB ，如下图所示：
因为,D E 为,BC AB 中点，所以//DE AC ，且11//AC A C ，所以11//DE AC ，所以
11,,,D E A C 四点共面，
又因为1A E 与1AB 相交，所以1AB //平面11AC D 显然不成立，故错误；
D ．“ABC 内到直线AC 、1BB 的距离相等的点”即为“ABC 内到直线AC 和点B 的距离相等的点”，
根据抛物线的定义可知满足要求的点的轨迹为抛物线的一部分，故正确； 故选：ABD. 【点睛】
方法点睛：求解空间中三棱锥的体积的常用方法：
（1）公式法：直接得到三棱锥的高和底面积，然后用公式进行计算；
（2）等体积法：待求三棱锥的高和底面积不易求出，采用替换顶点位置的方法，使其求解高和底面积更容易，由此求解出三棱锥的体积.
4．已知三棱锥A BCD -的三条侧棱AB ，AC ，AD 两两垂直，其长度分别为a ，b ，c ．点A 在底面BCD 内的射影为O ，点A ，B ，C ，D 所对面的面积分别为A S ，B S ，C S ，D S ．在下列所给的命题中，正确的有（ ） A ．2A BCO D S S
S ⋅=； B ．3
3
3
3
A B C D S S S S <++；
C ．若三条侧棱与底面所成的角分别为1α，1β，1γ，则222
111sin sin sin 1αβγ++=；
D ．若点M 是面BCD 内一个动点，且AM 与三条侧棱所成的角分别为2α，2β，2γ，则
22cos α+2222cos cos 1βγ+=．
【答案】ACD 【分析】
由Rt O OA '与Rt O AD '相似，得边长关系，进而判断A 正确；当M 与O 重合时，注意线面角与线线角的关系，即可得C 正确；构造长方体，建立直角坐标系，代入夹角公式计算可得D 正确；代入特殊值，可得B 错误. 【详解】
由三棱锥A BCD -的三条侧棱AB ，AC ，AD 两两垂直，
则将三棱锥A BCD -补成长方体ABFC DGHE -，连接DO 并延长交BC 于O '， 则AO BC ⊥．
对A ：由Rt O OA '与Rt O AD '相似，则2O A O O O D '''=⨯ 又1
2
A S BC O D '=
⋅，1
2
BCO
S BC O O '=
⋅， 2
22211
24
D
S BC O A BC O A ⎛⎫''=⋅=⋅ ⎪⎝⎭
所以2
A BCO
D S S
S ⋅=，故A 正确．
对B ：当1a b c ===时，333
18
B C D S S S ===
，则333
38B C D S S S ++=，
而3
3
328A S ⎛==> ⎝⎭
，此时3333A B C D S S S S >++，故B 不正确． 对D ：分别以AB ，AC ，AD 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．
设(),,M x y z ，则(),,AM x y z =，AM =
(),0,0AB a =，()0,,0AC b =，()0,0,AD c =
所以2
2
2
222
222cos cos cos AM AB AM AC AM AD AM AB
AM AC
AM AD
αβγ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪
⎪⋅⋅⋅⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
2222
2
2
1x y z AM
AM
AM
=
+
+
=，所以D 正确．
对C ：当M 与O 重合时，AO ⊥面BCD ，
由D 有222
222cos cos cos 1αβγ++=，
由各侧棱与底面所成角与侧棱与所AO 成角互为余角，可得C 正确． 故选：ACD.
【点睛】
关键点睛：本题考查空间线面角、线线角、面积关系的问题，计算角的问题关键是建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用数量积的公式代入计算，解决这道题目还要结合线面角与线线角的关系判断.
5．如图，点E 为正方形ABCD 边CD 上异于点C ，D 的动点，将ADE 沿AE 翻折成
SAE △，在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）
A ．存在点E 和某一翻折位置，使得S
B SE ⊥ B ．存在点E 和某一翻折位置，使得//AE 平面SBC
C ．存在点E 和某一翻折位置，使得直线SB 与平面ABC 所成的角为45°
D ．存在点
E 和某一翻折位置，使得二面角S AB C --的大小为60° 【答案】ACD 【分析】
依次判断每个选项：当SE CE ⊥时，⊥SE SB ，A 正确，//AE 平面SBC ，则
//AE CB ，这与已知矛盾，故B 错误，取二面角D AE B --的平面角为α，取4=AD ，
计算得到
2
cos 3
α=
，C 正确，取二面角D AE B --的平面角为60︒
，计算得到5
tan 5
θ=
，故D 正确，得到答案. 【详解】
当SE CE ⊥时，SE AB ⊥，SE SA ⊥，故SE ⊥平面SAB ，故⊥SE SB ，A 正确； 若//AE 平面SBC ，因AE ⊂平面ABC ，平面ABC 平面SBC BC =，则//AE CB ，
这与已知矛盾，故B 错误；
如图所示：DF AE ⊥交BC 于F ，交AE 于G ，S 在平面ABCE 的投影O 在GF 上， 连接BO ，故SBO ∠为直线SB 与平面ABC 所成的角，
取二面角D AE B --的平面角为α，取4=AD ，3DE =，故5AE DF ==，
1CE BF ==，125DG =
，12cos 5OG α=
，故只需满足12
sin 5
SO OB α==， 在OFB △中，根据余弦定理：
2
2
2
1213121312sin 1cos 2cos cos 55555OFB ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+---∠ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，解得2cos 3α=，故C 正确； 过O 作OM
AB ⊥交AB 于M ，则SMO ∠为二面角S AB C --的平面角，
取二面角D AE B --的平面角为60︒，故只需满足22DG GO OM ==，
设OAG OAM θ∠=∠=，8
4
ππθ<<，则22
DAG π
θ∠=-，
tan tan 22DG OG
AG πθθ=
=
⎛⎫- ⎪⎝⎭
，化简得到2tan tan 21θθ=，解得5
tan θ=，验证满
足，故D 正确； 故选：ACD .
【点睛】
本题考查了线线垂直，线面平行，线面夹角，二面角，意在考查学生的计算能力，推断能力和空间想象能力.
6．已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -，过对角线1BD 作平面α交棱1AA 于点E ，交棱1CC 于点F ，以下结论正确的是（ ） A ．四边形1BFD E 不一定是平行四边形 B ．平面α分正方体所得两部分的体积相等 C ．平面α与平面1DBB 不可能垂直 D ．四边形1BFD E 面积的最大值为2 【答案】BD 【分析】
由平行平面的性质可判断A 错误;利用正方体的对称性可判断B 正确;当E ､F 为棱中点时,通过线面垂直可得面面垂直,可判断C 错误;当E 与A 重合,F 与1C 重合时,四边形1BFD E 的面积最大,且最大值为2,可判断D 正确. 【详解】 如图所示,
对于选项A,因为平面1111//ABB A CC D D ,平面1BFD E 平面11ABB A BE =,平面1BFD E
平
面111CC D D D F =,
所以1//BE D F ,同理可证1//D E BF ,所以四边形1BFD E 是平行四边形,故A 错误; 对于选项B,由正方体的对称性可知,平面α分正方体所得两部分的体积相等,故B 正确; 对于选项C,在正方体1111ABCD A B C D -中,有1,AC BD AC BB ⊥⊥, 又1BD BB B ⋂=,所以AC ⊥平面1BB D , 当E ､F 分别为棱11,AA CC 的中点时, 有//AC EF ,则EF ⊥平面1BB D , 又因为EF ⊂平面1BFD E ,
所以平面1BFD E ⊥平面1BB D ,故C 错误;
对于选项D,四边形1BFD E 在平面ABCD 内的投影是正方形ABCD , 当E 与A 重合,F 与1C 重合时,四边形1BFD E 的面积有最大值,
此时1212S D E BE =⋅=⋅=,故D 正确; 故选:BD. 【点睛】
本题考查了正方体的几何性质与应用问题,也考查了点线面的位置关系应用问题,属于中档题.
7．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2,AB BC AA P ===是1A B 上的一动点，则下列选项正确的是( )
A ．DP 35
B ．DP 5
C ．1AP PC +6
D ．1AP PC +的最小值为
170
5
【答案】AD 【分析】
DP 的最小值，即求1DA B △底边1A B 上的高即可；旋转11A BC 所在平面到平面11ABB A ，1AP PC +的最小值转化为求AC '即可.
【详解】
求DP 的最小值，即求1DA B △底边1A B 上的高，易知115,2
A B A D BD ===，所以1A B 边上的高为3
55
h =
111,AC BC ，得11A BC ，以1A B 所在直线为轴，将11A BC 所在平面旋转到平面11ABB A ，设点1C 的新位置为C '，连接AC '，则AC '即为
所求的最小值，易知11
1
2
2,2,cos 10
AA AC AAC '
'
==∠=-， 所以217042222()105
AC '=+-⨯⨯⨯-
=. 故选：AD. 【点睛】
本题考查利用旋转求解线段最小值问题.
求解翻折、旋转问题的关键是弄清原有的性质变化与否， (1)点的变化，点与点的重合及点的位置变化；(2)线的变化，翻折、旋转前后应注意其位置关系的变化；(3)长度、角度等几何度量的变化．
8．M ，N 分别为菱形ABCD 的边BC ，CD 的中点，将菱形沿对角线AC 折起，使点D 不在平
面ABC 内，则在翻折过程中，下列结论正确的有（ ）
A ．MN ∥平面ABD
B ．异面直线A
C 与MN 所成的角为定值
C ．在二面角
D AC B --逐渐变小的过程中，三棱锥D ABC -外接球的半径先变小后变大
D ．若存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直，则ABC ∠的取值范围是0,2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
【答案】ABD 【分析】
利用线面平行的判定即可判断选项A ；
利用线面垂直的判定求出异面直线AC 与MN 所成的角即可判断选项B ；
借助极限状态，当平面DAC 与平面ABC 重合时，三棱锥D ABC -外接球即是以ABC ∆外接圆圆心为球心，外接圆的半径为球的半径，当二面角D AC B --逐渐变大时，利用空间想象能力进行分析即可判断选项C;
过A 作AH BC ⊥,垂足为H ,分ABC ∠为锐角、直角、钝角三种情况分别进行分析判断即可判断选项D. 【详解】
对于选项A:因为M ，N 分别为菱形ABCD 的边BC ，CD 的中点，所以MN 为BCD ∆的中位线，所以//MN BD ,因为MN ⊄平面ABD ,BD ⊂平面ABD ，所以MN ∥平面ABD ,故选项A 正确；
对于选项B ：取AC 的中点O ，连接,DO BO ,作图如下：
则,AC DO AC BO ⊥⊥,BO DO O =,由线面垂直的判定知，AC ⊥平面BOD ,所以
AC BD ⊥,因为//MN BD ,所以AC MN ⊥,即异面直线AC 与MN 所成的角为定值90，
故选项B 正确；
对于选项C:借助极限状态，当平面DAC 与平面ABC 重合时，三棱锥D ABC -外接球即是以ABC ∆外接圆圆心为球心，外接圆的半径为球的半径，当二面角D AC B --逐渐变大时，球心离开平面ABC ，但是球心在底面的投影仍然是ABC ∆外接圆圆心，故二面角
D AC B --逐渐变小的过程中，三棱锥D ABC -外接球的半径不可能先变小后变大， 故选项C 错误；
对于选项D:过A 作AH BC ⊥,垂足为H ,若ABC ∠为锐角，H 在线段BC 上；若ABC ∠为直角，H 与B 重合；若ABC ∠为钝角，H 在线段BC 的延长线上；
若存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直，因为AH BC ⊥，所以CB ⊥平面AHD ,由线面垂直的性质知,CB HD ⊥,
若ABC ∠为直角，H 与B 重合，所以CB BD ⊥,在CBD ∆中，因为CB CD =, 所以CB BD ⊥不可能成立，即ABC ∠为直角不可能成立；
若ABC ∠为钝角，H 在线段BC 的延长线上，则在原平面图菱形ABCD 中，DCB ∠为锐角，由于立体图中DB DO OB <+,所以立体图中DCB ∠一定比原平面图中更小，，所以DCB ∠为锐角，CB HD ⊥，故点H 在线段BC 与H 在线段BC 的延长线上矛盾，因此
ABC ∠不可能为钝角；综上可知，ABC ∠的取值范围是0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
.故选项D 正确;
故选：ABD 【点睛】
本题考查异面垂直、线面平行与线面垂直的判定、多面体的外接球问题；考查空间想象能力和逻辑推理能力；借助极限状态和反证法思想的运用是求解本题的关键；属于综合型强、难度大型试题.
9．半正多面体（semiregularsolid ）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），若它的所有棱长都为
2，则（ ）
A ．BF ⊥平面EAB
B ．该二十四等边体的体积为
203
C ．该二十四等边体外接球的表面积为8π
D ．PN 与平面EBFN 所成角的正弦值为2 【答案】BCD 【分析】
A 用反证法判断；
B 先补齐八个角成正方体，再计算体积判断；
C 先找到球心与半径，再
计算表面积判断；D 先找到直线与平面所成角，再求正弦值判断． 【详解】
解：对于A ，假设A 对，即BF ⊥平面EAB ，于是BF AB ⊥，
90ABF ∠=︒，但六边形ABFPQH 为正六边形，120ABF ∠=︒，矛盾， 所以A 错；
对于B ，补齐八个角构成棱长为2的正方体，
则该二十四等边体的体积为3
112028111323
-⋅⋅⋅⋅⋅=，
所以B 对；
对于C ，取正方形ACPM 对角线交点O ， 即为该二十四等边体外接球的球心， 其半径为2R =
，其表面积为248R ππ=，所以C 对；
对于D ，因为PN 在平面EBFN 内射影为NS ， 所以PN 与平面EBFN 所成角即为PNS ∠， 其正弦值为
2
2
PS PN ==，所以D 对． 故选：BCD ．
【点睛】
本题考查了正方体的性质，考查了直线与平面所成角问题，考查了球的体积与表面积计算问题．
10．如图，正四棱锥S －BCDE 底面边长与侧棱长均为a ，正三棱锥A －SBE 底面边长与侧棱长均为a ，则下列说法正确的是（ ）
A ．AS ⊥CD
B ．正四棱锥S －BCDE 的外接球半径为
22
C ．正四棱锥S －BCDE 的内切球半径为212a ⎛- ⎝
⎭ D ．由正四棱锥S －BCDE 与正三棱锥A －SBE 拼成的多面体是一个三棱柱 【答案】ABD 【分析】
取BE 中点H ，证明BE ⊥平面SAH 即可证AS CD ⊥；设底面中心为1O ，有
112O B O S ==
2
；用等体积法求内切球半径即可判断；由////SA DE BC 且==SA DE BC 可知多面体是一个三棱柱.
【详解】 如图所示：
A 选项：取BE 中点H 连接,AH SH ，正三棱锥A SBE -中，,AH BE SH BE ⊥⊥ 又AH
SH H =，所以BE ⊥平面SAH ，则BE AS ⊥，又//BE CD 所以AS CD ⊥ ，
故A 正确；
B 选项：设底面中心为1O ，球心为O 半径为R ，因为正四棱锥S －BCDE 外接球球心在
1O S 上，所以OS OB R ==，因为，正四棱锥S －BCDE 底面边长与侧棱长均为a
所以112O B O S ==，由()222
11OB O B O S OS =+- 得22
22222R a R ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
解得2
R =
，故B 正确； C 选项：设内切球半径为r ，易求得侧面面积为2213sin 234
S a a π=
⋅=， 由等体积法得2221
21134333a a r r =⋅+⋅⋅ 解得624
a r = ，故C 错；
D 选项：取S
E 中点
F ，连结AF ，DF ，BF ，则BFD ∠和BFA ∠分别是D SE B --和A SE B --的二面角的平面角，由
)
2
2
2
222
2
3321cos 23
32a
BF DF BD
BFD BF DF ⎫⎫
+-⎪⎪+-⎝⎭⎝⎭∠===-⋅⎫
⎪⎝⎭
2
2
2
2222
331
cos 2332a AF BF BA AFD AF BF ⎫⎫+-⎪⎪
+-⎝⎭⎝⎭∠===⋅⎫
⎪⎝⎭
，故BFD ∠与BFA ∠互补，所以ASDE 共面，又因为AS AE ED SD ===，则ASDE 为平行四边形，故
AS ED BC故正四棱锥S－BCDE与正三棱锥A－SBE拼成的多面体是一个三棱柱，所以////
D正确
故选：ABD
【点睛】
求外接球半径的常用方法：
（1）补形法：侧面为直角三角形或正四面体或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；
（2）利用球的性质：几何体在不同面均对直角的棱必然是球的直径；
（3）定义法：到各个顶点距离均相等的点为球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.。