高二数学 第二章圆锥曲线与方程导学案

§2.1.1 曲线与方程（1）
1．理解曲线的方程、方程的曲线；
2．求曲线的方程．
3436，找出疑惑之处）
复习1：画出函数22y x = (12)x -≤≤的图象．
复习2：画出两坐标轴所成的角在第一、三象限的平分线，并写出其方程．
二、新课导学 ※ 学习探究
探究任务一：
到两坐标轴距离相等的点的集合是什么？写出它的方程．
问题：能否写成y x =，为什么？
新知：曲线与方程的关系：一般地，在坐标平面
内的一条曲线C 与一个二元方程(,)0F x y =之间， 如果具有以下两个关系： 1．曲线C 上的点的坐标，都是 的
解；
2．以方程(,)0F x y =的解为坐标的点，都是 的点， 那么，方程(,)0F x y =叫做这条曲线C 的方程； 曲线C 叫做这个方程(,)0F x y =的曲线． 注意：1︒ 如果……，那么……； 2︒ “点”与“解”的两个关系，缺一不可；
3︒ 曲线的方程和方程的曲线是同一个概
念，相对不同角度的两种说法；
4︒ 曲线与方程的这种对应关系，是通过坐标平面建立的． 试试：
1．点(1,)P a 在曲线2250x xy y +-=上，则a =___ ．
2．曲线220x xy by +-=上有点(1,2)Q ，则b = ．
新知：根据已知条件，求出表示曲线的方程．
※ 典型例题 例 1 证明与两条坐标轴的距离的积是常数(0)k k >的点的轨迹方程式是xy k =±．
变式：到x 轴距离等于5的点所组成的曲线的方程是50y -=吗？
例2设,A B 两点的坐标分别是(1,1)--，(3,7)，求线段AB 的垂直平分线的方程．
变式：已知等腰三角形三个顶点的坐标分别是
(0,3)A ，(2,0)B -，(2,0)C ．中线AO （O 为原点）所在直线的方程是0x =吗？为什么？
反思：BC 边的中线的方程是0x =吗？
小结：求曲线的方程的步骤：
①建立适当的坐标系，用(,)
M x y表示曲线上的任意一点的坐标；
②写出适合条件P的点M的集合{|()}
P M p M
=；
③用坐标表示条件P，列出方程(,)0
f x y=；
④将方程(,)0
f x y=化为最简形式；
⑤说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．
※动手试试
练1．下列方程的曲线分别是什么？
(1)
2
x
y
x
=(2)
2
2
2
x
y
x x
-
=
-
(3) log a x
y a
=
练2．离原点距离为2的点的轨迹是什么？它的方程是什么？为什么？
三、总结提升
※学习小结
1．曲线的方程、方程的曲线；
2．求曲线的方程的步骤：
①建系，设点；
②写出点的集合；
③列出方程；
④化简方程；
⑤验证．
※知识拓展
求轨迹方程的常用方法有：直接法，定义法，待定系数法，参数法，相关点法（代入法），交轨法等．
※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 与曲线y x
=相同的曲线方程是（）．
A．
2
x
y
x
=B．y=
C．y=D．2log
2x
y=
2．直角坐标系中，已知两点(3,1)
A，(1,3)
B-，若点C满足OC=αOA+βOB，其中α，β∈R，α+β=1，则点C的轨迹为( ) ．
A．射线B．直线C．圆D．线段3．(1,0)
A，(0,1)
B，线段AB的方程是（）．A．10
x y
-+=B．10
x y
-+=(01)
x
≤≤C．10
x y
+-=D．10
x y
-+=(01)
x
≤≤4．已知方程222
ax by
+=的曲线经过点
5
(0,)
3
A和点(1,1)
B，则a= ，b= ．
5．已知两定点(1,0)
A-，(2,0)
B，动点p满足1
2
PA
PB
=，则点p的轨迹方程是．1．点(1,2)
A-，(2,3)
B-，(3,10)
C是否在方程2210
x xy y
-++=表示的曲线上？为什么？
2 求和点(0,0)
O，(,0)
A c距离的平方差为常数c的点的轨迹方程．
§2.1.2 曲线与方程（2）
1. 求曲线的方程；
2. 通过曲线的方程，研究曲线的性质．
3637，找出疑惑之处） 复习1：已知曲线C 的方程为 22y x = ，曲线C 上有点(1,2)A ，A 的坐标是不是22y x = 的解？点(0.5,)t 在曲线C 上,则t =___ ．
复习2：曲线（包括直线）与其所对应的方程(,)0f x y =之间有哪些关系?
二、新课导学 ※ 学习探究 引入：
圆心C 的坐标为(6,0)，半径为4r =，求此圆的方程．
问题：此圆有一半埋在地下，求其在地表面的部分的方程．
探究：若4AB =，如何建立坐标系求AB 的垂直平分线的方程．
※ 典型例题
例1 有一曲线,曲线上的每一点到x 轴的距离等于这点到(0,3)A 的距离的2倍，试求曲线的方程．
变式：现有一曲线在x 轴的下方，曲线上的每一点到x 轴的距离减去这点到点(0,2)A ，的距离的差是2，求曲线的方程．
小结：点(,)P a b 到x 轴的距离是 ；
点(,)P a b 到y 轴的距离是 ； 点(1,)P b 到直线10x y +-=的距离是 ．
例2已知一条直线l 和它上方的一个点F ，点F 到l 的距离是2，一条曲线也在l 的上方，它上面的每一点到F 的距离减去到l 的距离的差都是2，建立适当的坐标系，求这条曲线的方程．
※ 动手试试
练1． 有一曲线,曲线上的每一点到x 轴的距离等于这点到直线10x y +-=的距离的2倍，试求曲线的方程．
练2. 曲线上的任意一点到(3,0)A -,(3,0)B 两点距离的平方和为常数26,求曲线的方程．
三、总结提升 ※ 学习小结
1. 求曲线的方程；
2. 通过曲线的方程，研究曲线的性质．
※ 知识拓展
圆锥曲线的统一定义：
到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e 的点的轨迹是圆锥曲线． 01e <<：椭圆； 1e =： 抛物线； 1e >： 双曲线．
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1．方程[]2(3412)log (2)30x y x y --+-=的曲线经过点(0,3)A -，(0,4)B ，(4,0)C ，57
(,)34
D -中的
（ ）.
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个 2．已知(1,0)A ，(1,0)B -，动点满足
2MA MB -=,则点M 的轨迹方程是（ ）. A ．0(11)y x =-≤≤ B ．0(1)y x =≥
C ．0(1)y x =≤-
D ．0(1)y x =≥ 3．曲线y =与曲线0y x +=的交点个数一定是（ ）．
A ．0个
B ．2个
C ．4个
D ．3个 4．若定点(1,2)A 与动点(,)P x y 满足4OP OA •=,则点P 的轨迹方程是 ．
5．由方程111x y -+-=确定的曲线所围成的图形的面积是 ． 1．以O 为圆心，2为半径，上半圆弧的方程是什么？在第二象限的圆弧的方程是什么？ 2．已知点C 的坐标是(2,2)，过点C 的直线CA 与x 轴交于点A ，过点C 且与直线CA 垂直的直线CB 与y 轴交于点B ．设点M 是线段AB 的中点，求点M 的轨迹方程．
§2.2.1椭圆及其标准方程(1)
1．从具体情境中抽象出椭圆的模型； 2．掌握椭圆的定义； 3．掌握椭圆的标准方程．
3840，文P
32~ P 34找出疑惑之处） 复习1：过两点(0,1) ,(2,0)的直线方程 ．
复习2：方程22(3)(1)4x y -++= 表示以 为圆
心, 为半径的 ． 二、新课导学 ※ 学习探究
取一条定长的细绳，
把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个 ．
如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？ 思考：移动的笔尖（动点）
满足的几何条件是什么？
经过观察后思考：在移动笔尖的过程中，细绳的 保持不变，即笔尖 等
于常数．
新知１： 我们把平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆，
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ． 反思：若将常数记为2a ，为什么122a F F >？ 当122a F F =时，其轨迹为 ； 当122a F F <时，其轨迹为 ．
试试：
已知1(4,0)F -，2(4,0)F ，到1F ，2F 两点的距离之和等于8的点的轨迹是 ． 小结：应用椭圆的定义注意两点： ①分清动点和定点； ②看是否满足常数122a F F >．
新知２：焦点在x 轴上的椭圆的标准方程
()22
2210x y a b a b
+=>> 其中222b a c =-
若焦点在y 轴上，两个焦点坐标 ，
则椭圆的标准方程是 ．
※ 典型例题
例1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程： ⑴4,1a b ==，焦点在x 轴上； ⑵4,a c ==y 轴上； ⑶10,a b c +==
变式：方程214x y m +=表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数m 的范围 ．
小结：椭圆标准方程中：222a b c =+ ；a b > ． 例2 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-，(2,0)，并且经过点53,22⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，求它的标准方程 ．
变式：椭圆过点 ()2,0-，(2,0)，(0,3)，求它的标
准方程．
小结：由椭圆的定义出发，得椭圆标准方程．※动手试试
练1. 已知ABC
∆的顶点B、C在椭圆
2
21
3
x
y
+=上，
顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC
∆的周长是（）．
A
．B．6 C
．D．12
练2 ．方程
2
1
9
x y
m
-=表示焦点在y轴上的椭圆，
求实数m的范围．
三、总结提升
※学习小结
1. 椭圆的定义：
2. 椭圆的标准方程：
※知识拓展
1997年初，中国科学院紫金山天文台发布了一条消息，从1997年2月中旬起,海尔·波普彗星将逐渐接近地球，过4月以后,又将渐渐离去,并预测3000年后,
它还将光临地球上空1997年2月至3月间,许多人目睹了这一天文现象
出彗星出现的准确时间呢？原来，海尔·波普彗星运行的轨道是一个椭圆，通过观察它运行中的一些有关数据，可以推算出它的运行轨道的方程，从而算
※自我评价你完成本节导学案的情况为（）．
A.
很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※当堂检测（时量：5分钟
满分：10分）计分：1．平面内一动点M到两定点
1
F、
2
F距离之和为常数2a
，则点M的轨迹为（）．
A．椭圆B．圆
C．无轨迹D．椭圆或线段或无轨迹2．如果方程222
x ky
+=表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（）．
A．(0,)
+∞B．(0,2)
C．(1,)
+∞D．(0,1)
3．如果椭圆
22
1
10036
x y
+=上一点P到焦点
1
F的距离
等于6，那么点P到另一个焦点
2
F的距离是（）．A．4 B．14 C．12 D．8
4．椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9和15，则椭圆的标准方程是．
5．如果点(,)
M x y在运动过程中，总满足关系式
10，点M的轨迹是，它的方程是．
1. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
⑴焦点在x轴上，焦距等于4，并且经过点(3,P-；
⑵焦点坐标分别为()()
0,4,0,4
-，5
a=；
⑶10,4
a c a c
+=-=．
2. 椭圆
22
1
4
x y
n
+=的焦距为2，求n的值．
§2.2.1 椭圆及其标准方程(2)
1．掌握点的轨迹的求法；
2．进一步掌握椭圆的定义及标准方程．
4142，文P 34~ P 36找出疑惑之处） 复习1：椭圆上22
1259
x y +=一点P 到椭圆的左焦点1F 的距离为3，则P 到椭圆右焦点2F 的距离
是 ．
复习2：在椭圆的标准方程中,6a =,b =则椭
圆的标准方程是 ．
二、新课导学 ※ 学习探究 问题：圆22
650x y x +++=的圆心和半径分别是什么?
问题：圆上的所有点到 (圆心)的距离都等于 (半径) ；
反之,到点(3,0)-的距离等于2的所有点都在 圆 上．
※ 典型例题
例1在圆224x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足.当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么？
变式： 若点M 在DP 的延长线上，且3
2
DM DP =，
则点M 的轨迹又是什么？
小结：椭圆与圆的关系：圆上每一点的横（纵）坐
标不变，而纵（横）坐标伸长或缩短就可得到椭圆．
例2设点,A B 的坐标分别为()()5,0,5,0-，.直线,AM BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是49-，求点M 的轨迹方程 ．
变式：点,A B 的坐标是()()1,0,1,0-，直线,AM BM 相交于点M ，且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率的商是2，点M 的轨迹是什么？
※ 动手试试 练1．求到定点()2,0A 与到定直线8x =的距离之比的动点的轨迹方程．
练2．一动圆与圆22650x y x +++=外切，同时与圆226910x y x +--=内切，求动圆圆心的轨迹方程式，并说明它是什么曲线．
三、总结提升 ※ 学习小结
1. ①注意求哪个点的轨迹，设哪个点的坐标，然后找出含有点相关等式；
②相关点法：寻求点M 的坐标,x y 与中间00,x y 的关系，然后消去00,x y ，得到点M 的轨迹方程．
※ 知识拓展
椭圆的第二定义：
到定点F 与到定直线l 的距离的比是常数e (01)e <<的点的轨迹． 定点F 是椭圆的焦点； 定直线l 是椭圆的准线； 常数e 是椭圆的离心率．
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟
满分：10分）计分： 1．若关于,x y 的方程22sin cos 1x y αα-=所表示的曲线是椭圆，则α在（ ）．
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 2．若ABC ∆的个顶点坐标(4,0)A -、(4,0)B ，ABC ∆的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为（ ）．
A ．221259x y +=
B ．22
1259y x += (0)y ≠
C ．221169x y +=(0)y ≠
D ．22
1259
x y +=(0)y ≠
3．设定点1(0,2)F - ，2(0,2)F ，动点P 满足条件
124
(0)PF PF m m m
+=+>，则点P 的轨迹是
（ ）．
A ．椭圆
B ．线段
C ．不存在
D ．椭圆或线段 4．与y 轴相切且和半圆224(02)x y x +=≤≤内切的动圆圆心的轨迹方程是 ． 5. 设12,F F 为定点，|12F F |=6，动点M 满足12||||6MF MF +=，则动点M 的轨迹是 ． 1．已知三角形ABC 的一边长为6，周长为16，求顶点A 的轨迹方程． 2．点M 与定点(0,2)F 的距离和它到定直线8y =的距离的比是1:2，求点的轨迹方程式，并说明轨迹是什么图形．
§2.2.2 椭圆及其简单几何性质（1）
1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地
画出它的图形； 2．根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质，画图．
4346
，文P37~ P40找出疑惑之处）
复习1：椭圆
22
1
1612
x y
+=上一点P到左焦点的距离
是2，那么它到右焦点的距离是．
复习2：方程
22
1
5
x y
m
+=表示焦点在y轴上的椭圆，
则m的取值范围是．
二、新课导学
※学习探究
问题1：椭圆的标准方程
22
22
1
x y
a b
+=(0)
a b
>>，它
有哪些几何性质呢？
图形：
范围：x：y：
对称性：椭圆关于轴、轴和都对称；顶点：（），（），（），（）；
长轴，其长为；短轴，其长为；离心率：刻画椭圆程度．
椭圆的焦距与长轴长的比c
a
称为离心率，
记
c
e
a
=，且01
e
<<．
试试：椭圆
22
1
169
y x
+=的几何性质呢？
图形：
范围：x：y：对称性：椭圆关于轴、轴和都对称；顶点：（），（），（），（）；
长轴，其长为；短轴，其长为；离心率：
c
e
a
== ．
反思：
b
a
或
c
b
的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？
※典型例题
例 1 求椭圆22
1625400
x y
+=的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．
变式：若椭圆是22
981
x y
+=呢？
小结：①先化为标准方程，找出,a b，求出c；
②注意焦点所在坐标轴．
例 2 点(,)
M x y与定点(4,0)
F的距离和它到直线
25
:
4
l x=的距离的比是常数
4
5
，求点M的轨迹．
小结：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数（小于1）的点的轨迹是椭圆．
※动手试试
练1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
⑴焦点在x轴上，6
a=，
1
3
e=；
⑵焦点在y轴上，3
c=，
3
5
e=；
⑶经过点(3,0)
P-，(0,2)
Q-；
⑷长轴长等到于20，离心率等于3
5
．
三、总结提升
※学习小结
1 ．椭圆的几何性质：
图形、范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率；
2 ．理解椭圆的离心率．
※知识拓展
（数学与生活）已知水平地面上有一篮球，在斜平行光线的照射下，其阴影为一椭圆，且篮球与地面
※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
※当堂检测（时量：5分钟
满分：10分）计分：
1．若椭圆
22
1
5
x y
m
+=
的离心率e=则m的值
是（）．
A．3B．3或
25
3
C D
2．若椭圆经过原点，且焦点分别为
1
(1,0)
F，
2
(3,0)
F，
则其离心率为（）．
A．
3
4
B．
2
3
C．
1
2
D．
1
4
3．短轴长为，离心率
2
3
e=的椭圆两焦点为
12
,
F F，过
1
F作直线交椭圆于,A B两点，则
2
ABF
∆
的周长为（）．
A．3B．6C．12D．24
4．已知点P是椭圆
22
1
54
x y
+=上的一点，且以点P
及焦点
12
,
F F为顶点的三角形的面积等于1，则点P
的坐标是．
5．某椭圆中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为
18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方
程是．
1．比较下列每组椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个
更扁？
⑴22
936
x y
+=与
22
1
1612
x y
+=；
⑵22
936
x y
+=与
22
1
610
x y
+=．
2．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
⑴经过点(P-，Q；
⑵长轴长是短轴长的3倍，且经过点(3,0)
P；
⑶焦距是8，离心率等于0.8．
§2.2.2 椭圆及其简单几何性质(2)
2．椭圆与直线的关系．
4648
，文P40~ P41找出疑惑之处）
复习1： 椭圆22
11612
x y +=的 焦点坐标是（ ）（ ） ；
长轴长 、短轴长 ； 离心率 ． 复习2：直线与圆的位置关系有哪几种？如何判定？ 二、新课导学 ※ 学习探究 问题1：想想生活中哪些地方会有椭圆的应用呢？
问题2：椭圆与直线有几种位置关系？又是如何确
定？
反思：点与椭圆的位置如何判定？
※ 典型例题
例 1 一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点1F 上，片门位于另一个焦点2F 上，由椭圆一个焦点1F 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点2F ，已知12BC F F ⊥，1 2.8F B cm =，12 4.5F F cm =，试建立适当的坐标系，求截口BAC 所在椭圆的方程．
变式：若图形的开口向上，则方程是什么？ 小结：①先化为标准方程，找出,a b ，求出c ； ②注意焦点所在坐标轴． （理）例2 已知椭圆22
1259
x y +=，直线l ： 45400x y -+=。

椭圆上是否存在一点，它到直线
l 的距离最小？最小距离是多少？
变式：最大距离是多少？
※ 动手试试
练1已知地球运行的轨道是长半轴长
81.5010a km =⨯，
离心率0.0192e =的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，求地球到太阳的最大和最小距离．
练2．经过椭圆2
212
x y +=的左焦点1F 作倾斜角为
60的直线l ，直线l 与椭圆相交于,A B 两点，求AB 的长．
三、总结提升 ※ 学习小结
1 ．椭圆在生活中的运用；
2 ．椭圆与直线的位置关系：
相交、相切、相离（用∆判定）．
※ 知识拓展
直线与椭圆相交，得到弦，
弦长12l x -
=
其中k 为直线的斜率，1122(,),(,)x y x y 是两交点坐标．
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A.
很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟
满分：10分）计分：
1．设P 是椭圆 22
11612
x y +=，P 到两焦点的距离之
差为，则12PF F ∆是（ ）．
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．等腰直角三角形
2．设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）．
A.
2 B. 12
C. 2
D. 1 3．已知椭圆22
1169
x y +=的左、
右焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆上，若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（ ）．
A. 95
B. 3
C. 9
4 D.
4．椭圆的焦距、短轴长、长轴长组成一个等到比数列，则其离心率为 ．
5．椭圆22
14520
x y +=的焦点分别是1F 和2F ，过原点
O 作直线与椭圆相交于,A B 两点，
若2ABF ∆的面积是20，则直线AB 的方程式是 ． 1． 求下列直线310250x y +-=与椭圆22
1
254
x y +=的交点坐标．
2．若椭圆22149x y +=，一组平行直线的斜率是3
2
⑴这组直线何时与椭圆相交？
⑵当它们与椭圆相交时，这些直线被椭圆截得的线段的中点是否在一直线上？
§2.3.1 双曲线及其标准方程
1．掌握双曲线的定义； 2．掌握双曲线的标准方程．
5255，文P 45~ P 48找出疑惑之处）
复习1：椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什
么？
复习2：在椭圆的标准方程2
2
221x y
a b
+=中，,,a b c 有何关系？若5,3a b ==，则?c =写出符合条件的椭圆方程． 二、新课导学 ※ 学习探究 问题1：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？ 如图2-23，定点12,F F 是两个按钉，MN 是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点M 移动时，
12MF MF -是常数，这样就画出一条曲线； 由21MF MF -是同一常数，可以画出另一支．
新知1：双曲线的定义： 平面内与两定点12,F F 的距离的差的 等于常数(小于12F F )的点的轨迹叫做双曲线。

两定点12,F F 叫做双曲线的 ，
两焦点间的距离12F F 叫做双曲线的 ．
反思：设常数为2a ，为什么2a <12F F ？
2a =12F F 时，轨迹是 ； 2a >12F F 时，轨迹 ．
试试：点(1,0)A ，(1,0)B -，若1AC BC -=，则点C 的轨迹是 ．
新知2：双曲线的标准方程：
22222
22
1,(0,0,)
x y a b c a b a b -=>>=+（焦点在x 轴） 其焦点坐标为1(,0)F c -，2(,0)F c ．
思考：若焦点在y 轴，标准方程又如何？
※ 典型例题
例1已知双曲线的两焦点为1(5,0)F -，2(5,0)F ，双
曲线上任意点到12,F F 的距离的差的绝对值等于6，
求双曲线的标准方程．
变式：已知双曲线221169x y -=的左支上一点P 到左焦点的距离为10，则点P 到右焦点的距离为 ．
例2 已知,A B 两地相距800m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2s ，且声速为340/m s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程．
变式：如果,A B 两处同时听到爆炸声，那么爆炸点在什么曲线上？为什么？
小结：采用这种方法可以确定爆炸点的准确位置．
※ 动手试试 练1：求适合下列条件的双曲线的标准方程式：
（1）焦点在x 轴上，4a =，3b =；
（2）焦点为(0,6),(0,6)-，且经过点(2,5)-．
练2．点,A B 的坐标分别是(5,0)-，(5,0)，直线
AM ，BM 相交于点M ，且它们斜率之积是4
9
，
试求点M 的轨迹方程式，并由点M 的轨迹方程判断轨迹的形状．
三、总结提升 ※ 学习小结
1 ．双曲线的定义；
2 ．双曲线的标准方程． ※ 知识拓展
GPS(全球定位系统)： 双曲线的一个重要应用． 在例2中，再增设一个观察点C ，利用B ，C 两处测得的点P 发出的信号的时间差，就可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定点P 的准确位置．
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A.
很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟
满分：10分）计分： 1．动点P 到点(1,0)M 及点(3,0)N 的距离之差为
2，则点P 的轨迹是（ ）
． A. 双曲线 B. 双曲线的一支 C. 两条射线 D. 一条射线
2．双曲线2255x ky +=的一个焦点是，那么实数k 的值为（ ）．
A ．25-
B ．25
C ．1-
D ．1 3．双曲线的两焦点分别为12(3,0),(3,0)F F -，若
2a =，则b =（ ）
． A. 5 B. 13 C. D. 4．已知点(2,0),(2,0)M N -，动点P 满足条件||||PM PN -=则动点P 的轨迹方程
为 ．
5．已知方程22
121
x y m m -=++表示双曲线，则m 的
取值范围 ． 1． 求适合下列条件的双曲线的标准方程式： （1）焦点在x 轴上，a =(5,2)A -； （2）经过两点(7,A --，B ． 2．相距1400m ,A B 两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s ，已知声速是340/m s ，问炮弹爆炸点在怎样的曲线上，为什么？
§2.3.2双曲线的简单几何性质(1)
1．理解并掌握双曲线的几何性质． 5658，文P 49~ P 51找出疑惑之处） 复习1：写出满足下列条件的双曲线的标准方程： ①3,4a b ==，焦点在x 轴上；
②焦点在y 轴上，焦距为8，2a =．
复习2：前面我们学习了椭圆的哪些几何性质？
二、新课导学：
※ 学习探究 问题1：由椭圆的哪些几何性质出发，类比探究双曲线22
221x y a b
-=的几何性质?
范围：x ： y ： 对称性：双曲线关于 轴、 轴及 都对称． 顶点：（ ），（ ）． 实轴，其长为 ；虚轴，其长为 ． 离心率：1c
e a
=>．
渐近线：
双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为：0x y a b
±=．
问题2：双曲线22221y x
a b
-=的几何性质? 图形：
范围：x ： y ： 对称性：双曲线关于 轴、 轴及 都对称． 顶点：（ ），（ ） 实轴，其长为 ；虚轴，其长为 ． 离心率：1c e a =>． 渐近线： 双曲线22
221y x
a b
-=的渐近线方程为： ． 新知：实轴与虚轴等长的双曲线叫 双曲线． ※ 典型例题 例1求双曲线22
14925
x y -=的实半轴长、虚半轴的长、焦点坐标、离心率及渐近线的方程．
变式：求双曲线22916144y x -=的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程． 例2求双曲线的标准方程： ⑴实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x 轴上；
⑵离心率2e =，经过点(5,3)M -；
⑶渐近线方程为23y x =±，经过点9(,1)2
M -．
※ 动手试试 练1．求以椭圆22
185x y +=的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程．
练2．对称轴都在坐标轴上的等到轴双曲线的一个焦点是1(6,0)F -，求它的标准方程和渐近线方程．
三、总结提升： ※ 学习小结
双曲线的图形、范围、顶点、对称性、离心率、渐近线． ※ 知识拓展
与双曲线22
221x y a b -=有相同的渐近线的双曲
线系方程式为22
22x y
λ-= (0)λ≠
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（
）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D.
较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1． 双曲线22
1168
x y -=实轴和虚轴长分别是（ ）
． A ．8、 B ．8、 C ．4、 D ．4、2．双曲线224x y -=-的顶点坐标是（ ）． A ．(0,1)± B ．(0,2)± C ．(1,0)± D ．（2,0±）
3． 双曲线22
148
x y -=的离心率为（ ）
． A ．1 B C D ．2
4．双曲线2241x y -=的渐近线方程是 ． 5．经过点(3,1)A -，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程是 ．
1．求焦点在y 轴上，焦距是16，4
3
e =的双曲线的标准方程．
2．求与椭圆22
14924
x y +=有公共焦点，且离心率
5
4e =的双曲线的方程．
§2.3.2双曲线的简单几何性质(2)
1．从具体情境中抽象出椭圆的模型； 2．掌握椭圆的定义； 3．掌握椭圆的标准方程． 5860，文P 51~ P 53找出疑惑之处） 复习1：说出双曲线的几何性质?
复习2：双曲线的方程为22
1914
x y -=，
其顶点坐标是( )，( )；
渐近线方程 ．
二、新课导学 ※ 学习探究
探究1：椭圆22464x y +=的焦点是？
探究2
：双曲线的一条渐近线方程是0x +=，则可设双曲线方程为？
问题：若双曲线与22464x y +=有相同的焦点，它
的一条渐近线方程是0x +=，则双曲线的方程是？
※ 典型例题
例1双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12m ，上口半径为13m ，下口半径为25m ，高为55m ，试选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程．
例2点(,)M x y 到定点(5,0)F 的距离和它到定直线
l :165
x =的距离的比是常数5
4，求点M 的轨迹．
（理）例3过双曲线22
136
x y -=的右焦点，倾斜角
为30的直线交双曲线于,A B 两点，求,A B 两点的坐标．
变式：求AB ？
思考：1AF B ∆的周长？
※ 动手试试
练1．若椭圆22214x y a +=与双曲线22
12
x y a -=的焦
点相同，则a =____.
练 2 ．若双曲线
22
1
4
x y
m
-=的渐近线方程
为
y=，求双曲线的焦点坐标．
三、总结提升
※学习小结
1．双曲线的综合应用：与椭圆知识对比，结合；
2．双曲线的另一定义；
3．（理）直线与双曲线的位置关系．
※知识拓展
双曲线的第二定义：
到定点的距离与到定直线的距离之比大于1
的点的轨迹是双曲线．
※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
※当堂检测（时量：5分钟
满分：10分）计分：
1．若椭圆
22
1
2516
x y
+=和双曲线
22
1
45
x y
-=的共同
焦点为F1，F2，P是两曲线的一个交点，则
12
PF PF
•的值为（）．
A．
21
2
B．84C．3D．21
2．以椭圆
22
1
2516
x y
+=的焦点为顶点，离心率为2
的双曲线的方程（）．
A.
22
1
1648
x y
-= B.
22
1
927
x y
-=
C.
22
1
1648
x y
-=或
22
1
927
x y
-= D. 以上都不对
3．过双曲线的一个焦点
2
F作垂直于实轴的直线，
交双曲线于P、Q，
1
F是另一焦点，若∠
12
PFQ
π
=，则双曲线的离心率e等于（）．
1 B. C. 1
+ D. 2
4．双曲线的渐近线方程为20
x y
±=，焦距为
10，这双曲线的方程为_______________.
5．方程
22
1
41
x y
k k
+=
--
表示焦点在x轴上的双曲
线，则k的取值范围．
1．已知双曲线的焦点在x轴上，方程为
22
22
1
x y
a b
-=，
两顶点的距离为8，一渐近线上有点(8,6)
A，试求
此双曲线的方程．
§2.4.1抛物线及其标准方程
掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形．
6467
，文P56~ P59找出疑惑之处）
复习1：函数2
261
y x x
=-+的图象是，
它的顶点坐标是（），对称轴是．
复习2：点M与定点(2,0)
F的距离和它到定直线
8
x=的距离的比是1:2，则点M的轨迹是什么图
形？
二、新课导学
※学习探究
探究1：若一个动点(,)
p x y到一个定点F和一条定直线l的距离相等，这个点的运动轨迹是怎么样的呢？
新知1：抛物线
平面内与一个定点F和一条定直线l的
距离的点的轨迹叫做抛物线．
点F叫做抛物线的；
直线l叫做抛物线的．
新知2：抛物线的标准方程
定点F到定直线l的距离为p（0
p>）．
建立适当的坐标系，得到抛物线的四种标准形式：
图形标准方程焦点坐标准线方程
22
y px
=
,0
2
p
⎛⎫
⎪
⎝⎭2
p
x=-
抛物线220
y x
=的焦点坐标是（），
准线方程是；
抛物线2
1
2
x y
=-的焦点坐标是（），
准线方程是．
※典型例题
例1 （1）已知抛物线的标准方程是26
y x
=，求它
的焦点坐标和准线方程；
（2）已知抛物线的焦点是(0,2)
F-，求它的标准方
程．
变式：根据下列条件写出抛物线的标准方程：
⑴焦点坐标是(0,4)；
⑵准线方程是
1
4
x=-；
⑶焦点到准线的距离是2．
例2 一种卫星接收天线的轴截面如图所示，卫星波
束呈近似平行状态的射入轴截面为抛物线的接收
天线，经反射聚集到焦点处，已知接收天线的口径
为4.8m，深度为0.5m，试建立适当的坐标系，求抛
物线的标准方程和焦点坐标．
※动手试试
练1．求满足下列条件的抛物线的标准方程:
(1)焦点坐标是(5,0 )
F-；。