哈工大电路习题答案第6章

答案6.1
解：将i和i
3改写为余弦函数的标准形式，即
2
i4cos(t190)A4cos(t190180)A4cos(t10)A
2
i5sin(t10)A5cos(t1090)A5cos(t80)A
3
电压、电流的有效值为
1002
U70.7V,I1.414A
1
22
45
I2.828A,I3.54A
23
22
初相位
10,100,10,80
uiii
123
相位差
1ui1010090u与i1正交，u滞后于i1；
1
2ui10100u与i2同相；
2
3ui10(80)90u与i3正交，u超前于i3
3
答案6.2
au10cos(t10)V
.
-822
bU610arctg10233.1V,u102cos(t233.1)V
-6
22
-20.8
cI0.220.8arctg20.889.4A,i20.8cos(t89.4)A
m
0.2
dI30180A,i302cos(t180)A
答案6.3
解：(a)利用正弦量的相量表示法的线性性质得：
UI1
11
n,
UIn
22
(b)磁通相量通常用最大值表示，利用正弦量的相量表示法的微分性质得：
UjN
m
m
(c)利用正弦量的相量表示法的线性性质与微分性质得：
URIjLI
答案6.4
解：由KCL得电流i的振幅相量
IIII
m1m2m3m
(2100410580)A
(0.347j1.973.939j0.6950.868j4.924)A
526.86A
电流i的瞬时值为
i5cos(t26.86)A
答案6.5
解：电压表和电流表读数为有效值，其比值为阻抗模，即2()2/RLUI
将已知条件代入，得
22
R(2π50L) 100V 15A
22
R(2π100L)100V 10
联立方程，解得
L13.7mH,R5.08
答案6.6
解：
(a)RC串联电路中电阻电压与电容电压相位正交，各电压有效值关系为
2222
UU2U15040V30V
电流i的有效值为
II
C U
X
C
30V
10
3A
(b)
UXI
CC
302A60V
I R U
R
60V
50
0.3A
RC并联电路中电阻电流与电容电流相位正交，总电流有效值为22221.222.33
IIIAA
CR
(c)
UXI301A30V
CCC
由
U30V
C
UUXII2A
LCLL
X15
L
并联电容、电感上电流相位相反，总电流为
III1A
LC
电阻电压与电容电压相位正交，总电压为：2230240250
UUUVV
CR
答案6.7
解：感抗
XL L
3
210rad/s0.1H200
容抗
X C 11
C
36
210rad/s510F
100
图(a)电路的相量模型如图(b)所示。

+ U
L
j200
_
UU
L I
1 I I R C
UU C
200
j100
I
1
I
C
I
(c)
(b)
R
由已知得I10A，按从右至左递推的方法求得各元件电压、电流相量如R
下：
UIR
CR
2000V
I C U
2000V
C
j X j100
C
290A
III
1CR
(10290)A=(1+2j)A563.43A
UjXIj200563.43V2005153.43V
LL1
UUU
LC
(2005153.432000)V2002135V
由以上各式画出电压、电流相量图如图(c)所示。

由各相量值求得各元件电压、电流瞬时值分别为
i22cos(t90)A,i10cos(t63.43)A
C1
uu2002cos(t)V,u20010cos(t153.43)V
RCL
u400cos(t135)V
答案6.8
解：从右至左递推求得各元件电压、电流相量分别为：
R:I10A,U10V
11
L:II10A,U17.390V
L1L
U10j17.3V2060A,IU/20160A
222
C:III1.73230A,Uj10I17.3260V
C12CC
U
2
U
L
U
II
2
C
I
1 U1
U
C
(b)
答案6.9
解：设U100V，则
R
U
R
I10A,U jXI1090V
RLLR
R
UUU
RL
(1001090)V10245V
I C
U
10245V
j X-j10
C
2135A
III
SRC
(102135)AjA190A 所求电流有效值为
I S1A。

答案6.10
解：图(a)电路各变量相量关系如图(b)所示。

I 2 I
c U
I
1 (b)
由图(b)可推出
45(1)
RX(2)
L
I2I(3)
C1
由式(3)可得
U2U2U
XRXX
22
CLL
2
即
XX
CL
XX
CL
答案6.11
解：利用阻抗的并联及串联等效，图题6.11电路阻抗可表示为
1
200
jX200jC
C
Z()j X jL
L
1jX200
C
200
jC
2
200(200200LC)jL
jL
1j200C1j200C
将500、1000、2000rad/s分别代入上式，得
Z(500)(160j30)
虚部为负值，故此时等效电路为RC串联：
RRe[Z(500)]160
1
XIm[Z(5000)]30
C
C
C 1
X
C
0.4μF
Z(1000)100，虚部为零，故此时等效电路为电阻R，R100。

Z(2000)(40j120)，虚部为正值，故此时等效电路为RL串联：RRe[Z(2000)]40
1
XIm[Z(2000)]120 L
L
L 1
X L
0.6H
注释：因为感抗和容抗是频率的函数，因此正弦电流电路的等效参数一般与频率有关。

答案6.12
解：
对节点①列节点电压方程
UU
11U
S (jC)U
C
RRRR
2111
C 解得
U C
RU
2S (1)R RjCRR
2112
答案6.13
解：电压源和电流源的相量分别为
U S100V,I S100A
00
对节点①和②列相量形式节点电压方程
1
(jC1S)U1S UjC U gU
1n1n21S2
jL
1S UjC1S UIgU
n12n2S2
由图可知受控源控制量
UU
2n1
解得
U n1j10VU n210j10V
U12U n U n(10j20)V22.36116.57V
12
受控电流源的电压为
u1222.362cost116.57V
答案6.14
解：相量模型如图(b)所示。

jC jC
①②
+
UGUGU o
i
-
(b)
对节点①、②列节点电压方程：(jCjC+G)UjCUjCU(1)
nn2i
1
-jCU+(jCG)U0(2)
nn2
1
联立解得
U n 2
i U 1
3
90
又因为
UU
n2o 所以
U U o
i
1
3
90
即u o越前于u i的相位差为
o 90。

答案6.15
解：对含运算放大器的电路宜列写节点电压方程：
111
33
(j101μF U)(j101uF)U0(1)
n1n2
1k1kΩ1kΩ
UU(2)
n2o
由端口特性得
1
o
UU0V(3)
n1S
2
将式(2)(3)代入(1)得
U o 0.5j0.
5
2
V
0.7
2
18.43V
输出电压瞬时值为
u o1.58cost18.43V
答案6.16
解：列节点电压方程
11
(jC)U n U n jCU n0
123
RR
(1)
1111
U(j2C)UU
n1n2i
RRRR
(2)
WORD格式可编辑
2
(3)
jCU n(j CjC)U n jCU
13i
R
由式(2)和式(3)得
(4)
UUjCR(UU)
in1in1
U,U
n2n3
2(1jCR)2(1jCR)
将式(4)代入式(1)得
222
(1CR)U
i
UU
n1o222
1CRj4CR
(5)
由式(5)求得，当1
RC
时，U o0。

答案6.17
解：图示电路容抗
X C 11
C1000.01
1 ，
感抗
XL
L
(1000.01)1
列节点电压方程
111UU
S1S2 []U（1）
n1
1j(1)11j1j(1)1
将
U S1U S2220V代入(1)式
解得
U1518.43V
n
I
U1U S12
n
1j(1)2
A
电流
icos(100t)A
答案6.18
解：（a）设各支路电流相量如图所示：
Uj5I
C
1j512
I(U12I)I
2C
44
j58
IIII
12
4
80j70
U10IUI
ab1C
4
Z ab U
I
a b
1
80+j70
8+j5
（b）图中含理想变压器，无法用导纳表示其元件方程，须将其电流I1，I2设
为待求量，采用改进节点电压法列写方程：
11
UUII
21
j20j20
11
UUI
22
j2010j20
补充理想变压器特性方程
U2U
2
1
II
12
2
上述方程含有5个未知量，消去I1,I2,U2，可得U与I的关系为U(32j16)I
即
Z ab U/I(32j16)
答案6.19
解：由阻抗的串、并联等效化简规则得
2L1
RjR(L)
1
CC
Z(RjL)//(R)
1
jC2Rj(L)
C
当RL/C时，由上式得ZR，且与频率无关。

答案6.20
解：(1)求开路电压U
OC
对图(a)电路列节点电压方程
111
(1)
()SUU20A
n1n2
20j10j10
(2)
11
SUSU0.1SU
n1n21
j10j10
受控源控制量U即为节点电压U
n1，即
1
UU(3)
1n1
将式(3)代入式(2)再与式(1)联立解得U n140V，U n2U OC402135V
(2)求等效阻抗Z i
在ab端外施电压源U，求输入电流I，U与I的比值即为等效阻抗
abab Z。

i
由节点②得
II10.1SU1
UU
11 2010
又
U ab(20j10)I1(20j10) U
1 20
得
Z i
U
1
(20j10)
U
2022.36153.43 ab
11
I
U
()
1
2010
答案6.21
解：(a)对图(a)电路，感抗
XL L
3
10rad/s0.2H=200
由分压公式得端口开路电压
U oc
(100j200)
(100j200+200)
o
2000V12429.7V
求等效阻抗，将电压源作用置零
Z i
200(100j200) (100j200)//20012429.7
(200100j200)
(b)对图(b)电路，应用互感消去法，将电路等效成图(b-1)。

M LM
1
LM
2
U
U
SOC
200
(b-1)
图中
M0.1H,LM0.2H。

由分压公式得
RjLM
2
(25j175)V176.7781.87V UU
OCS
RjLMjLM
21
等效阻抗
ZjM[Rj(L M)]//j(L M)
i21
RjLMjLM
21
jM(150j50)158.118.43
RjLMjLM
21
答案6.22
解：对图(a)电路做戴维南等效，如图(b)所示。

+U
OC
U
Z
in -
(b)
Z i jL1/(jC)(1)
U OCj I
S
C
(2)
由图(b)可知，当Z i0时，电阻两端电压U与电阻R无关，始终等于U OC(R0)。

由式(1)解得
1/LC100rad/s
将式(3)代入式(2)得
UU OC
1
100A1090V
j100rad/s0.01F
u102co（s t90）V
答案6.23
解：先对图(a)电路ab端左侧电路作戴维南等效，如图(b)所示。

R
I
U
OC
C
Z
i
(b)
令
XL L
3 2000rad/s210H4
得等效阻抗
Z i
4j4 8//8//j42(1j) 4j4
由
U OC i
ZR i
j 1 C
知，欲使电流i 有效值为最大，电容的量值须使回路阻抗虚部为零，即：
Im[Z i R
j
1 C
] 2 1 C
等效后电路如图(b)所示。

解得
C
1 2
250μF
答案6.24
解：应用分压公式，输出电压
U 可表示为 o
UUU
on1n2
1
UjC i
1
2
R
jC
U i
UUjCR1 ii
U
21jCR2(jCR1)
i
当R0， U 超前于 o U 180；
i
当 R
1 C
，U o 超前于U i 90；
当R ， U 与U i 同相位。

o
即当R 由零变到无穷时，U o 超前于U i 相位差从180到0变化。

答案6.25
解：图示电路负载等效导纳为
1RL
YjCj(C)
2222
RjLR(L)R(L)
(1)
22
2
RL12LC2
2
Y(2)
C(C)
222222
R(L)R(L)R(L)
由式(2)可见：当21/(2LC)时，YC 与R 无关，电流有效值IY U CU 不随R 改变。

解得
C 2 1 2 L
5uF
将、L 、C 值代入(1)式，得
Y
324 Rj510(R10)
24 R10
当R0，I 滞后 U 为90；
S
当0R100，I 滞后
U 为从90向0变化； S
当R100，I 与 U 同相位； S
当R100，I 越前
U 为从0向90变化； S
当R ，I 越前
U 为90。

S
图(b)为电流相量图：
R
I
C I (R100) L
I I(R100) L
U
I II L
(R100) R0
(b)
I 的终点轨迹为半圆，当R 从0变到时，I 的辐角从90变到90。

答案6.26
解：由分压公式得
R
j 1 C
11 R//R
UjCjC 2
111
URRR 1(//)
jCjC1jC
R
1 j CR
jC
R 2
3RjRC1/C
令虚部
21
RC
C 0，得
1
RC
1
即f时，且U1与U2同相位
22πRC
U1
2
3U
1
答案6.27
解：对节点①列节点电压方程
(jCGjCG)U(GjC)U(1)
2211o11i
式中G为相应电阻的倒数。

K
由式(1)解得
UGjCG(1jC/G)
o11111
(CC) UGGj(CC)(GG)[1j]
12
i1212
12
(GG)
12
由上式可知，当
C1/G1(C1C2)/(G1G2)
即C RCR时，
1122
UGR
o12
UGGRR
i1212
此时U与U
i在任何频率下同相位。

o
答案6.28
解：方法一：
设U，各支路电流如图(a)所示
1200V
o
jX
AIB
1
1
U
*
II3
RR3
2
1
*
jX
3
WORD格式可编辑
jX
M
j
X
2
(a)
列支路电流方程如下：
III
123
URIjXIjXIj X IjXI
1111M2M122
jXIjXI(R jX)I
M122333
解得
I14.2749.04A，21.9117122.475A
I。

U AB R1I1jX1I1jX M I2
83.636.58V
所以电压有效值为
U AB83.63V
方法二：
应用互感消去法，图(a)电路可等效成图(b)所示。

Rj(XX M)jX
AB
1
1M
R
3
U j(XX)
2M
I
jX
3
m2
I
m1
(b)
列网孔电流方法
[R j(XX)j(XX)]Ij(XX)I U
(1)
11M2Mm12Mm2
(2)
j(XX)I[j X RjXj(XX)]0
2Mm1M332M
将已知条件代入，得
(12j34)Ij16I1200V
12
-j16I(8j16)I0
12
解得
I4.2749.04A
m1
I3.8222.47A
m2
U[Rj(XX M)]I(j X M)I
AB11m1m2
0.86.58V
所以有效值
U AB83.63V。

注释：对含互感的电路宜用支路电流法或回路电流法列写方程。

答案6.29
解：应用支路电流法，如图所示
u
S l
1
i
i
**
1
M
L
1 l
2
L
2
R
列KVL方程
jMIjLIRIU
12
S(1)
jMIjLIU
11 S
(2)
方程(1)乘L，方程(2)乘M，二者相减消去
1 I得电流I与输入电压
1
U的关系
S
表达式
I
(L M)U
1S
2 RLj(L LM)
112
由上式可见：当MLL即互感为全耦合时，
12
LM
1
IU
RL
1
S，I与U S同相
且与频率无关。

i的有效值为
IU S(L1M)/(RL1)
答案6.30
解：网络N的等效阻抗
Z(10j10)//(j20)
(10j10)(j20)(10j10)(j20)
10j10j2010j10
200 输入电流
I
U
30 Z
2A
网络N的平均功率为
2Re['](2A)22080W
PIZ
无功功率
2Im['](2A)200
QIZ
功率因数
coscos01
视在功率
SP/cos80VA
答案6.31
解：等效阻抗
U2236V
ZRX
L
I10A
0.6(1)
2得由平均功率PIR
R P288W
I
22
(10A)
0.7
将式(2)代入式((1)解得
223.622.8822.16XZR
L
所以等效阻抗为
ZRjX L(2.88j2.16)
当314rad/s时，负载的等效电阻和等效电感分别为
R2.88，L X L0.9
314rad/s
18.44mH
注释：功率表的读数等于电压线圈电压有效值、电流线圈电流有效值及电压与电流相位差夹角余弦三者之积。

答案6.32
解：方法一：
平均功率PU1I1cos，可推出电压与电流的相位差
P500W
arccosarccos60
UI100V10A
11
设I1100A，则U110060V
负载端电压相量
U2U15j5I136.690V
有效值为
U236.6V
负载阻抗
ZUI
L2/1j3.66
方法二：
图(a)电路可表示成图(b)形式。

I
1 5 j
5
R
U
1 X
(b)
电源输出的平均功率等于所有电阻吸收的平均功率，由此得
PIRR500W
2(5)102(5)
解得
R0 又因
U
122 Z(5R)(5X)
I
1 100 10
解得
X3.66
所以负载阻抗
ZRj X j3.66
负载端电压
U2I1Z3.66V
答案6.33
解：功率表的读数等于电压线圈电压有效值、电流线圈电流有效值以及上述电压、电流相位差夹角余弦三者之积。

对图示电路，功率表读数表达式为
P W U ab I2cosRe[U AB I](1)
2
下面分别计算I和U。

设U1000V，端口等效阻抗
2ab
Z i30(j20)//(10j10)
j2010j10
3050
j2010j10
I1U/Z i20A
由分流公式得
j20I
1
I2j2A(2)
2
j2010j10
则
U ab30I110I280j20V(3)
将式(2)、(3)代入式(1)得功率表的读数为
P W Re[U AB I]Re[80j202j2]200W
2
说明：本题功率表的读数也等于两个电阻吸收的平均功率之和，但这是由于题中已知条件导致的一种巧合。

答案6.34
解：由已知条件得负载1和2的功率因数角分别为
1arccos136.86，2arccos253.13(因为负载2为容性)
则负载1、2的视在功率和无功功率分别为
SP/80W/0.8100VA，QSsin60var
111111
SPQS
/30W/0.650VA，sin40var222222
平均功率和无功功率分别具有守恒性，两并联负载的总平均功率和无功功率为负载1、2之和，即
PP1P2110W,QQ1Q220var
视在功率为
22111.8VASPQ
功率因数为
P/S0.98
答案6.35
解：电路总平均功率为
PPP日光灯
白炽灯
40W10040W1008000W
日光灯的功率因数角
arccos0.560
白炽灯的功率因数为1，不存在无功功率，因此两种灯的总无功功率为：QP日光灯tg6928.2var
视在功率
2210583VASPQ
总电流
IS/U48.1A
总功率因数
P/S0.756
并联电容后，电路的功率因数角为
arccos0.925.84
电容的并联接入不改变平均功率，而无功功率变为
QPtg3874.58var
并联电容后总功率的变化量等于电容上的无功功率，即
QQQ
C
0.8var
因为
2
QCU，所以
C
C
Q
C
2
U
0.10var
2π50rad/s220V
2 201F
并联电容后的总电流为：
I
P
U
8000W
220V0.9
0.9A
答案6.36
解：设
U12000V，1arccos0.836.86
P
1
I，II
5A536.86A1111
U
1
IU，III
/(j100)j2A4jA4.1214.04C1C1
U10IU240j10V240.22.39
1
I4.12A，U240.2V
答案6.37
解：对原电路做戴维南等效，如图（b）所示。

ri
1F
i
u2
S 0.11F
Z U Z OC
Z
i
(a)(b)
（1）求输入阻抗，由图（c）得：
rIrI
jj
I
I
①
+-+
2
2
II2
1
j2
U
x
+
U S U
-
j2
U
OC -I
(c)(d)
x
UjIrI(1j)I
x
113j IIIII(jI)()()I
x12
2j222
U(1j)I
x
ZRjX(0.8j0.4)
iii
1
II
x(3j)
2 （2）求开路电压，如图（d）所示：
UUrI
OC
2//(j2)U
S
Ur
S
2//(j2)(j)2//(j2)(j)
1j 1j3 U(0.4j0.2)2V=0.21026.57V S
（3）求最大功率：
根据最大功率传输定理，当Z L Z i(0.8j0.4)时，Z L可获得最大功率：
P max
22
U
(0.210)
OC
4R40.8
i
W0.125W
答案6.38
解：L、C及R的等效阻抗
2
ZjL L
R/(jC)
2
R1/(jC) 2
当L、C改变时，Z的实部及虚部均发生变化，根据最大功率传输定理知，
L
当ZR，R
2可获得最大功率，
LS
即
R
2
2 1(RC)
2 R S
L
2
RC
2
2
1(RC)
2
联立解得
C
R/R1
2S
R
2
0.10F
LRRC
2S
0.12mH
此时
P max
2
U
1V
S
4R4125
S
2mW
答案6.39
解：由理想变压器的阻抗变换关系得
2
ZnZ
LL
当变比n改变时Z的模改变而阻抗角不变，此时获得最大功率条件是模匹配，即
2
RZnZ
SLL
由此求得：
R 2S
n
Z
L
51
22
1612
4
n0.5
设
U1000V，则理想变压器原端电流：
S
I
1
U
S
RZ
SL
100010
54j33
1018.4A
副端电流为
InI 21 5
3
10-18.4A
负载吸收的最大平均功率为
510
22
PI16()16444.44W
max2
3
答案6.40
解：方法一：
M
R
**
1
UZ L
L
SL
1
2 U S
I
1
R
1 *
jL
1
jM+
*
jL
2
U O C
_
(a)(b)
由k
M
LL
12
得
MkL1L20.211H0.2H
（1）求开路电压，电路如图(b)所示。

U S R1I1jL1I1(R1jL1)I1
可得
I 1
U
20V20V
S
RjL(10j10)10245A
11
245A(1)
U OC jMI1，
将(1)式代入，得
U OC j100.2245V2245V
2
(M)
ZjL(0.2j9.8)
i2
RjL
11
方法二：
Z
i
U o c Z
L Z
' L
(d)
(c)
图(a)电路从ab端口看进去，可等效成电感与阻抗串联电路，如图(d)所示。

令
2(M)
ZRjL
L11
jLZ
2L
得Z L(0.2j9.8)时，负载消耗功率最大。

P max
22
U(20V)
S
4R410
1
10W。