3定积分(第02期)-2017年高考数学(理)备考之百强校小题精练系列含解析

1。

设
2
010sin n xdx
π
=⎰，则
3
1()n
x x -
展开式中的常数项为 （用数字做答）
【答案】210 【解析】
试题分析:由2
2
010sin 10cos |10
n xdx x π
π
==-=⎰，所以二项式的通项
为
55106
110
1031()
()(1)r r r
r r r
r T C x C x x
--+=⋅-=-，令
6
r =,则常数项
5566
66
710
(1)210T C x
-⨯=-=.
考点：二项式定理的应用。

2.
已知dx x a 21
1
1-⎰=-，则6
1)22(⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
-
-+x x a π
展开式中的常数项
为 ． 【答案】160- 【解析】
考点:1、定积分；2、二项式定理。

3. ()1
1sin x x dx -+=⎰___________．
【答案】1 【解析】
试题分析:()()()1
1
1
1
1
1
sin sin x x dx x dx x dx ---+=+⎰⎰⎰,()1
1
x dx -⎰根据定积分
的几何意义可知,函数x 在[]1,1-上的面积为111⨯=,同理,由于
sin y x
=为奇函数，根据定积分的几何意义有
()11
sin 0x dx -=⎰，所以()11
sin 1x x dx -+=⎰. 考点：定积分。

4。

如图曲线2
y x =和直线0x =，1x =，
14
y =
所围成的图形
（如图所示)的面积为（ ）
A ．23
B ．13
C 。

12
D ．14
【答案】D 【解析】
试题分析:令
211,42
x x ==
，所以面积为
1
122
210
2111444x dx x dx ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎰
⎰．
考点：定积分。

5． 定积分420
16x dx -=
⎰ ．
【答案】4π 【解析】
考点：定积分。

6.
(1
221
1x x dx --=
⎰____________．
【答案】232π
+
【解析】 试
题
分
析：
(11
2
2
2
221
11212212213432x x
dx x dx x dx π
π-+-=+-=⋅+⋅⋅⋅=+
⎰
⎰⎰
.
考点:定积分.
7。

两曲线sin y x =，cos y x =与两直线0x =,2
x π
=
所围成的平
面区域的面积为（ ）
A ．2
(sin cos )x x dx
π
-⎰ B ．
40
2(sin cos )x x dx
π
-⎰
C ．20
(cos sin )x x dx
π-⎰
D ．
40
2(cos sin )x x dx
π
-⎰
【答案】D
【解析】
考点：定积分的几何意义.
8. 由曲线2y x =3y x =-及x 轴所围成的图形是面积为（ ) A ．12 B ．24 C ．16 D ．18
【答案】D 【解析】
试题分析：曲线2y x =直线3y x =-的交点为()9,6，由定积分的几何意义可知，曲线2y x =3y x =-及y 轴围成
的面积为()39
9
200941233|232x x dx x x x 2⎛⎫⎡⎤--=-+ ⎪⎣⎦⎝⎭⎰9=182-,故选
D 。

考点：1、定积分的应用；2、定积分的几何意义. 9. 定积分()1
2
031x x
e dx
++⎰的值为 ．
【答案】1e + 【解析】 试题分析：()()()1
2
310031|211
x x x
e dx x e x e e ++=++=+-=+⎰，故答案为1e +.
考点:定积分的求法。

10. 若()6
x a +的展开式中3
x 的系数为160，则1
a
a x dx
⎰的值为
__________。

【答案】7
3
【解析】
试题分析：因336160C a =，即320160a =，故38a =，所以2a =，
故()2
2321117|81333x dx x =
=-=⎰
，故答案为73。

考点:1、二项展开式定理；2、定积分的应用。

11. 若22
a x dx
=⎰，2
3
b x dx
=⎰
，2
sin c xdx
=⎰
，a 、b 、c 大小关系是
（ ) A ．a c b << B ．a b c <<
C ．c b a
<< D ．c a b << 【答案】D 【解析】
考点：1、定积分的应用;2、三角函数的有界性。

12. 如图，矩形OABC 内的阴影部分是由曲线
()()
sin ,0,f x x x π=∈，及直线(),0,x a a π=∈与x 轴围成,向矩形
OABC 内随机投掷一点， 若落在阴影部分的概率为1
4
,则a
的值是（ ）
A ．
712
π B ．
23
π
C.34
π
D ．56π
【答案】B 【解析】 试
题
分
析
：
1112sin (cos )1cos ,,,600423
a a S a dx x x a a S a a
π-=-=-∴==∴=-∴=⨯⎰阴影矩形,故选B 。

考点:几何概型. 13。

已知()20cos a x dx π
=-⎰，则
9
12ax ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中,3
x 项的系数
为( ）
A ．63
8
B ．6316
C ．
212-
D ．
638-
【答案】C 【解析】
考点：定积分、二项式定理. 14。

曲边梯形由曲线2
1y x
=+，0y =，1x =，2x =所围成，
过曲线
2
1y x =+([1,2]x ∈）上一点P 作此曲线切线,使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则这一点的坐标为（ ）
A ．3(,2)2
B ．313(,)24
C 。

513(,)24
D ．5(,2)2
【答案】B 【解析】
试题分析：设
2
00(,1)
P x x +，'2y x
=，所以切线方程为()
2
000(1)2y x x x x -+=-,分别令
1,2
x x ==代入上式,求得22
10010021,41
y x x y x x =-++=-++,
梯
形
的
面
积
为
2
2
1200031313312244y y S x x x +⎛⎫==-++=--+≤
⎪⎝
⎭，即313,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 考点:定积分，曲边梯形的面积。

15. 设()f x x =
()y f x =的图象,x 轴，直线1x =和
直线4x =所围成的封闭图形的面积为 ．
【答案】143
【解析】
试题分析:
34
4211
214|33xdx x ⎛⎫==
⎪⎝⎭⎰。

考点:定积分．
16。

函数()sin()f x x ωϕ=+的导函数'()y f x =的部分图象如图所示，其中A ,C 为图象与x 轴的两个交点，B 为图象的最低点，若在曲线段ABC 与x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在ABC ∆内的概率为 ．
【答案】4
π
【解析】
考点：1。

定积分的计算；2.几何概型。

17。

用{}min ,a b 表示,a b 两个数中的较小的数,设
(){
}2min f x x x
=，那么由函数()y f x =的而图像、x 轴、直线
1
2x =
和直线4x =所围成的封闭图形的面积
为 ．
【答案】119
24
【解析】试题分析:联立方程⎪⎩⎪⎨⎧==2x y x y ，可得交点坐标为）（1,1，
根据题意可得由函数)(x f y =的图象、x 轴、直线21
x =
和直
线4x =所围成的封闭图形的面积是
⎰⎰
=+=+=1
2141
23
3224
11914x 32211
x 31dx x dx x S ．故答案为:24119
．
考点：定积分。

18。

设
()()12,x x
f x
g x tdt x R
++=∈⎰
，若函数()f x 为奇函数,则()
g x 的解析式可以为（ ）
A ．3
x B ．1x +
C ．cos x
D ．x
xe
【答案】B 【解析】
考点：定积分与函数的表达式及奇偶性。

19. 定积分⎰
的值为（ ）
A ．4π
B ．2π
C ．π
D ．2π
【答案】A 【解析】
试题分析:因⎰
dx
x ⎰--=1
2)1(1，令
t
x =-1，则
⎰
4
arcsin 211200
1
2
π
π
=
=-=--⎰t dt t ，故应选A 。

考点：定积分的计算公式及运用。

20。

已知二项式
9
12x ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3
x 的系数为
21
2-
,则
1e
a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰的值为( ）
A ．212e +
B ．232e -
C 。

232e +
D ．252e -
【答案】C 【解析】
试题分析：二项式
9
)21(ax
x +
的展开式的通项公式为
r
r
r r
r r
r x
a ax x T C C 299991
2121--+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=，令3,32-9==r r ，将3=r 代入得
221)21(33
9-=a C ，解得1-=a ，23|)ln 21()1(2121-=-=-⎰e x x dx x x e
e 。

故选C 。

考点：二项式的展开,定积分.
21。

已知0a >，0b >，'()f x 为()f x 的导函数，若()ln
2x f x =,
且
31
112'()12b b dx f a b x =+-⎰
，则a b +的最小值为（
）
A ．42
B ．22
C ．9
2
D ．9
22
2+
【答案】C 【解析】
考点:(1）定积分的计算;（2）基本不等式的应用. 22。

函数221(x+1),(2x 0)
f(x)=x x,(0<x 1)⎧≤≤⎪⎨
≤⎪⎩－－－的图象与x 轴所围成的封
闭图形面积为 ．
【答案】1π+62
【解析】
试题分析：∵
221(x+1),(2x 0)
f(x)=x x,(0<x 1)
⎧≤≤⎪⎨
≤⎪⎩－－－，∴函数
221(x+1),(2x 0)f(x)=x x,(0<x 1)
⎧≤≤⎪⎨
≤⎪⎩－－－的图象与x 轴所围成的封闭图形面积为1
221
30
1()(1
)2
13
62
22x x dx x x π
π
π+-=
+-=
+⎰．故答案为：1π+62
.
考点：定积分的应用.
23. 设曲线()n
y x x N *
=∈与x 轴及直线1x =围成的封闭图形
的面积为n
a ,设1n
n n b
a a +=，则122012
b b b +++=(
）
A ．5031007
B ．20112012
C.20122013
D ．20132014
【答案】A 【解析】
考点：定积分计算公式及裂项相消法求数列和。

24. 曲线 2y x =和曲线 2y x =围成的图形面积是（
)
A ．
13
B ．23
C.1 D ．4
3
【答案】A 【解析】 试题分析:由
2
2
00
y x
x y y x ⎧==⎧⎪⇒⎨⎨==⎪⎩⎩或
11x y =⎧⎨
=⎩⇒
所求的面积为
31
2
312
00
211()()|333
x x dx x x -⇒-=⎰，故选A 。

4
2
2
4
6
8
10
551015
考点：定积分.
25. 如图，点A 的坐标为()1,0，点C 的坐标为()2,4,函数
()2
f x x =。

若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影
部分的概率等于 ．
【答案】5
12
【解析】
考点：1、几何概型；2、定积分。