高中数学选择性必修二 5 3 2-第2课时 函数的最大(小)值

间[0,3]上的最大值是4，最小值是− .
合作探究
例6中的结论可以从函数 =



−
+ 在区间[0,3]上的图象（左图）得
到直观验证.
合作探究
规律方法
一般地，求函数 y=f(x)在区间[a, b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求函数 y=f(x)在区间（a, b）上的极值；


所以，当 x>0时， − ≤
合作探究
例7 给定函数 = ( + ) .
（1）判断函数f(x)的单调性，并求出f(x)的极值；
（2）画出函数f(x)的大致图象；
（3）求出方程f(x)=a( ∈ ) 的解的个数.
解： （1）函数的定义域为 ∈ .
′ = + ′ + +
解得 a=-2或 a=0（舍）
∴ = −2 2 + 5
对称轴为 =
∴ =
5
4
5
25
时，有最大值
4
8
课堂练习
3 已知某生产厂家的年利润 y (单位：万元)与年产量 x (单位：万件)的函数关
系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为
解：
√
A．13万件 B．11万件 C．9万件
y=f(x)在此区间上的所有函数值
新知讲解
函数的最大（小）值
上图是函数 y=f(x)， ∈ [, ]的图象，你能找出它的极小值、极大值吗？
提示：观察图象，可以发现，
1 ，f 3 ，(5 )是函数 y=f(x)的极小值，
2 ， 4 ，(6 )是函数 y=f(x)的极大值.
点处无函数值，所以无最值，故正确.
(4)函数的最值在函数的极值点或区间端点处取得，故该说法错误.
课堂练习
2 已知二次函数 = + ( + ) 在 x=1处的导数值为1，则该函数的最
大值是多少？
解： ∵ ′ = + +
令 x=1 得 2 + 2 + 1 = 1
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为 f(k－1)＝－ek－1 .
当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上单调递减，
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.
综上可知，
当k≤1时，f(x)min＝－k；
当1＜k＜2时，f(x)min＝－ek－1；
当k≥2时，f(x)min＝(1－k)e.
（3）开区间上的单调连续函数无最值. √
（4）在定义域内，若函数有最值与极值，则极大（小）值就是最大（小）值. ×
解：
1

(1)根据题意，函数 = ,在区间(0, +∞)上单调，但没有最值，则结论错误.
(2)函数在闭区间[a, b]上的最值可能在端点处取得，也可能在极值点处取得.
(3)若单调函数有最值，则一定在区间端点处取得，但开区间上的单调连续函数在端
D．7万件
y′＝－x2＋81，令 y′＝0 得 x＝9或 x＝－9(舍去)．
当 x∈(0,9)时，y′＞0，当 x∈(9，＋∞)时，y′＜0，
则当 x＝9时，y 有最大值．
即使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件．
课堂练习
4 已知函数 f(x)＝(x－k)ex.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．
当 x=-2时， f(x)有极小值 −2 = −
1
2
.
合作探究
例7 给定函数 = ( + ) .
（2）画出函数f(x)的大致图象；
解：
（2）令 f(x)=0，解得 x=-1 .
当x<-1时， f(x)<0；
当 x>-1时， f(x)>0.
所以， f(x)的图象经过特殊点

−, − , −, , ,
5.3.2 函数的最大（小）值
人教A版（2019）
选择性必修第二册
新知导入
问题：求函数极值的一般方法是？
提示：
解方程 ′ = 0，当 ′ 0 = 0 时：
（1）如果在0 附近的左侧 ′ > 0 ，右侧 ′ < 0，那么(0 )是极大值；
（2）如果在0 附近的左侧 ′ < 0 ，右侧 ′ > 0，那么(0 )是极小值.
新知讲解
函数的最大（小）值
极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质.
如果0 是函数 y=f(x)的极大（小）值点，那么在 = 0 附近找不到比(0 )更大（小）的值.
但是在解决实际问题或研究函数的性质时，往往更关心函数在某个区间上，哪个值最大，
哪个值最小.
如果0 在某个区间上函数 y=f(x) 的最大（小）值点，那么(0 )不小（大）于函数
一个是最大值，最小的一个是最小值．
板书设计
1 函数的最大（小）值
2 例6、例7、例8
3 课堂练习
作业布置
课本97页习题5.3
（6、8）
令 ′ = 0，解得r=2.
即半径越大，利润越高；
当半径r<2时， ′ < 0，f(r)单调递
减，即半径越大，利润越低.
合作探究
答：（1）半径为6 cm时，利润最大.
（2）半径为2 cm时，利润最小，这时f(2)<0，表示此种瓶
内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值.
如果我们不用导数工具，直接从函数 f(r)
解：
(1)由 f(x)＝(x－k)ex ，得 f′(x)＝(x－k＋1)ex ，
令f′(x)＝0，得 x＝k－1
f(x)与f′(x)的变化情况如下：
x
(－∞，k－1)
k－1
(k－1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
单调递减
－ek－1
单调递增
所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞).
新知讲解
探究
函数的最大（小）值
你能找出函数 y=f(x)在区间[a, b]上的最小值，最大值吗？
提示：
从图可以看出 ，函数 y=f(x)在区间[a, b]上的最小值是 ，最大值是 f(a).
合作探究
函数的最大（小）值
观察[a, b]上的函数 y=f(x)和 g=f(x)的图象，
它们在[a, b]上有最小值，最大值吗？
2
1
2
或 ≥ 0时，解为1个；
< < 0时，解为2个.
合作探究
规律方法
通常，可以按如下步骤画出函数 f(x)的大致图象：
（1）求出函数 f(x)的定义域；
（2）求导数 ′ 及函数 ′ 的零点；
（3）用 ′ 的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出 ′ 在各
合作探究
例8 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是. 分，
其中r（单位：cm）是瓶子的半径.已知每出售1mL的饮料，制造商可获利
0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm.
（1）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？
（2）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？
=− + =



令 ′ = ，解得 x=1.
合作探究
当x变化时， ′ ，()的变化情况如下表所示.
x
(0,1)
1
(, +∞)
′
-
0
+
s(x)
单调递减
0
单调递增
所以，当 x=1时，s(x)取得最小值.所以 ≥ =
即


− + ≥
= + + = +
令 ′ = 0，解得 x=-2 .
′
合作探究
′ ， f(x) 的变化情况如下表所示.
x
′
f(x)
(−∞, −)
单调递减
-2
(, +∞)
0

−

+
单调递增
所以， f(x)在区间 −∞, −2 上单调递减，在区间 (−2, +∞)上单调递增.
解： （3）方程f(x)=a( ∈ ) 的解的个数为函数
y=f(x)的图象与直线y=a的交点个数.
由（1）及右图可得，
当 x=-2时， f(x)有最小值 −2 = −
1
2
.
所以，关于方程 f(x)=a( ∈ ) 的解的个数有如下结论：
1

当 < − 2 时，解为0个；
当 = −
当−
1
当 ∈ (, )，′ < ；
解： 由题意可知，每瓶饮料的利润是

′ > .
当

∈
(,
)，

= = . × − .

因此，

= .
− , < ≤
′
当半径r>2时，
> 0，f(r)单调递增，

所以， ′ = 0.8 2 − 2 .
（2）将函数 y=f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)， f(b)比较，其中最大
的一个是最大值，最小的一个是最小值.
合作探究
证明：当x>0时，

− ≤

证明： 将不等式①转化为


①
− + ≥


设 () = − + ，那么
′
−
如果有，最大值和最小值分别是什么？
合作探究
函数的最大（小）值
一般地，如果在区间[a, b]上的函数 y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，
那么它必有最大值和最小值.
结合上面两图 ，以及函数极值中的例子，不难看出，只要把函数y=f(x)的
所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值.
区间上的正负，并得出f(x)的单调性与极值；
（4）确定f(x)的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势；
（5）画出f(x)的大致图象.
合作探究
问题 饮料瓶大小对饮料公司利润的影响
（1）你是否注意过，市场上等量ห้องสมุดไป่ตู้小包装的物品一般比大包装的要贵些？
你想从数学上知道它的道理吗？
（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？
合作探究
例6 求函数 =



− + 在区间[0,3]上的最大值与最小值.
解： 由例5可知，在[0,3]上，


当 x=2 时 ， 函 数 = − +


有极小值，并且极小值为 = − .
又 由 于 f(0)=4 ， f(3)=1 ，


所 有 ， 函 数 = − + 在 区
课堂练习
4 已知函数 f(x)＝(x－k)ex.
(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．
解： （2）当k－1≤0，即k≤1时，函数 f(x) 在[0,1]上单调递增，
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k，
当0＜k－1＜1，即1＜k＜2时，
由(1)知f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1,1]上单调递增，
课堂总结
函数的最值与导数的关系
(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它
必有最大值和最小值．
(2) 求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤
① 求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
② 将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的

当 → −∞时，与一次函数相比，指数函数 = − 呈爆炸性增长，
从而 =
+1
−
→ 0；
当 → +∞时， () → +∞, ′ () → +∞ .
根据以上信息，我们画出 f(x)的大致图象如图所示.
合作探究
例7 给定函数 = ( + ) .
（3）求出方程f(x)=a( ∈ ) 的解的个数.
的图象（右图）上观察，你有什么发现？
从图象上容易看出，当 r=3时，f(3)=0，即瓶子
的半径是3 cm时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好
相等；当 r>3时，利润才为正值.
课堂练习
1 判断正误
（1）所有的单调函数都有最值.
×
（2）函数f(x)在区间[a, b]上的最大值和最小值，一定在区间端点处取得. ×