工程力学第21讲 应力状态分析：求斜截面应力

工程力学第21讲应力状态分析：求斜截面应力
在工程力学中，应力状态分析是研究物体受到外力作用后内部应力分布的一门学科。

在实际工程中，经常需要求解物体内部某一点的应力值。

在本文中，我们将着重介绍如何求解斜截面上的应力值。

斜截面应力状态的分析是典型的三维问题，但在一些实际应用中，我们只需要在某一平面上求解应力分量。

为了方便分析，我们通常假设物体是等截面的，其剖面可以看成一个平面截形，如下图所示。

假设物体受到一个外作用力F，我们需要分析该力作用在斜截面xy上，求解点P处的应力状态（包括法向应力σn和切应力τxy）。

点P的坐标可以表示为(x,y,z)。

截面上的任一元素dA的面积可以表示为dA=dxdy，其对应的法向为b。

为了求解点P处的应力状态，我们可以采用以下的步骤：
### 第一步：求解对x分量的力和对y分量的力
为了便于分析，我们可以将作用力F分解成两个分量F_x和F_y，如下图所示。

在这里，我们需要注意F_x和F_y的方向。

如图所示，F_x沿x轴正方向，F_y沿y轴正方向，因为较难确定夹角a和b的正负号，所以F_x和F_y以及后面的应力分量都是以箭头的方向表示。

同时我们还需要注意到式中的F_z。

如下图所示，我们可以建立一个平面一对应着力分解后的F_x，F_y和截面。

然后我们可以求解在x和y方向上的应力分量。

对应的应力分量为：
$$\sigma_x=\frac{F_x}{A_x}$$$$\sigma_y=\frac{F_y}{A_y}$$
其中，Ax和Ay分别是上图中标注的x和y方向上的面积。

由于F_x和F_y都垂直于z 轴，所以在z方向上不存在应力分量。

### 第三步：求解点P处的应力状态
现在我们已经求解了对x分量的力和对y分量的力在x和y方向上的应力分量，接下来我们需要求解点P处的应力状态。

如下图所示，我们需要确定切线方向上的应力σ_t和法线方向上的应力σ_n。

对于点P的切线方向和法线方向，我们可以借助平面的切线方向和法线方向。

其中点
P的法线方向为b，切线方向为t。

**法线应力σn：**
我们可以通过投影求解法线方向上的应力σ_n。

对于沿着b方向的元素，其上的压力可以表示为(σ_ndA)cosΦ，其中Φ表示b向x轴正方向的角度。

对所有在b方向上的元
素进行积分，我们可以得到法向应力σ_n的表达式。

$$\int_{b} σ_n cosΦdA=F_z$$
在等式左边进行变形，得到：
对于平截面的情况，我们可以通过以下方法求解cosΦ：
$$cosΦ=\frac{sinα}{cosβ}$$
其中α和β分别为z正方向和b正方向所形成的夹角。

由于角度Φ不是均匀分布的，所以我们可以求解公式右侧的面积，然后再进行积分：
**切向应力τx y**
在截面上的任何点，切向应力都与任意一个平面元素相对应。

在该平面元素上的两个
方向分别为t和n。

若平面元素的大小为dA，则切向应力的大小为(τxydA)。

如下图所示，我们划分出长度为dy并垂直于x轴的单元strip，以此计算t方向上的应力。

在图中，我们可以看到每一个strip都与一个相应的同高矩形有一个应力分量。

每个strip的长度为dy。

对于每个strip，我们可以写出其切向应力τxy的大小：
$$τ_{xy}×dy\simeq[(σ_x+∂σ_x)(y+dy)-σ_xy]dx$$
解开等式中的积分，得到：
进一步展开可以得到：
$$τ_{xy}=\frac{1}{2G}[\frac{\partial F_x}{\partial y}-\frac{\partial
F_y}{\partial x}]$$
其中G是剪切模量，表征了物体在剪切变形时的硬度。

在实际工程中，我们可以通过
实验来测定G的数值。

最终，我们可以通过上述公式计算出点P处的法向应力σ_n和切向应力τ_xy的大小。

这些信息对于深入理解物体的应力状态非常重要，也对于实际的应变分析和工程设计具有
重要的意义。