二次函数复习ppt课件

点坐标是（1/2，1） ； （2）若抛物线y = a (x+m) 2+n 开口向下，顶点在第四象限，则 a ＜刀
3.求下列二次函数的开口方向,对称轴,顶点坐标.
y=x2 - 2x + 3 y= -2x2 - 4x - 6
解:y=x2-2x+1+2 =(x-1)2+2
y
o
x
a <0,b 0<,c 0. =
y
5.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点,
且它的顶点在第三象限，则a、b、c满足
的条件是：a >0,b 0>,c 0. =
o
x
6.二次函数y=ax2+bx+c中，如果a>0，b<0，c<0，
那么这个二次函数图象的顶点必在第 四象限
y 先根据题目的要求画出函数的草图，再根据 图象以及性质确定结果（数形结合的思想）
二次函数复习
6.二次函数的应用
1. 如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有 二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。
(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？
解：(1) ∵ AB为x米、篱笆长为24米
x
7.已知二次函数的图像如图所示，下列结论： ⑴a+b+c=0 ⑵a-b+c﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷ b=2a 其中正确的结论的个数是（ D） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
y
-1 0 1
x
要点：寻求思路时，要着重观察抛物线的开口方 向，对称轴，顶点的位置，抛物线与x轴、y轴的 交点的位置，注意运用数形结合的思想。
y=2(x-1)2+2
y=2x2
2
1
o 12
x
-1
y=a(x-h)2+k
各种形式的二次函数的关系
左 y = a( x – h )2 + k 上
右
下
平
平
移
移
y = ax2 + k
y = a(x – h )2
上下平移 y = ax2 左右平移
结论: 一般地,抛物线 y = a(x-h)2+k与 y = ax2形状相同,位置不同。
｛得 -9+3b+c=0 c=3
｛ 解得 b=2 c=3
∴ y= -x2+2x+3
二次函数复习
5.a，b，c对二次 函数图象的影响
想一想
1. y=4x2 2. y=2x2 3. y=x2
y 31 2 4
o
X
4. y=0.5x2
y
O
5、y=-4x2 X 6、y=-2x2
75
7、y=-x2 6 8 8、y=-0.5
当x=h时,最大值为k.
小试牛刀
巩固练习1：
（1）抛物线y= 2x2的开口向 上 ,对称轴
是 Y轴 ,顶点坐标3是 (0,0),图象过第 1、2 象限 ；
小试牛刀
巩固练习2： 1 （1）抛物线y = 2x 2+3的开口 向 上 ,对称轴是Y轴 ,顶点坐标 是（0，3）, 是由抛物线y = 1 x 2 向上 平移 3 个单位得到的2；
练习 根据下列条件，求二次函数的解析式。 (1)、图象经过(0，0)， (1，-2) ， (2，3) 三点； (2)、图象的顶点(2，3)， 且经过点(3，1) ；
(3)、图象经过(-2，0)， (3，0) ，(2，-4)。
例1、已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图 象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，6）。求a、b、c。
分析:
(1)由a+b+c=0可知,原抛物线的图象经过(1,0)
(2) 新抛物线向右平移5个单位, 再向上平移4个单位即得原抛物线
答案:y=-x2+6x-5
二次函数复习
3.二次函数与 一元二次方程 的联系
抛物线与x轴的位置关系
一元二次方 程根的情况
值
有2个公 y 共点
y x
x
有两个不相等 的实数根
A、a>0,b=0,c>0,△>0 B、a<0,b>0,c<0,△=0 C、a>0,b=0,c<0,△>0 D、a<0,b=0,c<0,△<0
熟练掌握a，b， c，△与抛物线图象的关系 (上正、下负） (左同、右异)
y
ox
y
o
x
4.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点和 二、三、四象限，判断a、b、c的符号情况：
（2）x取何值时，y 0 ？ 1 x 3
（3）x取何值时，y 0 ？ x 1或x 3
3、若二次函数 y 2x2 (4k 1)x 2k 2 1的
图象与x轴交于两点，求k的取值范围.
由 0，得k的取值范围为 k 9 8
二次函数复习
4.求二次函数 的解析式
求抛物线解析式的三种方法
设每个涨价x元， 那么
（1）销售价可以表示为 （50+x）元
（2）一个商品所获利润可以表示为 （50+x-40）元
（3）销售量可以表示为 (500-10x) 个 （4）共获利润可以表示为 (50+x-40)(500-10x)元
观察y=x2与y=x2-6x+7的函数图象，说说y=x2-6x+7的图象 是怎样由y=x2的图象平移得到的？
解：∵二次函数的最大值是2 ∴抛物线的顶点纵坐标为2 又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上 ∴当y=2时，x=1 ∴顶点坐标为（ 1 ， 2） ∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2 又∵图象经过点（3，-6） ∴-6=a (3-1)2+2 ∴a=-2 ∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2
（h，k）
直线x=h
y=a(x-h)2+k(a<0)
（h，k） 直线x=h
位置
由h和k的符号确定
由h和k的符号确定
开口方向
向上
向下
增减性 最值
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
当x=h时,最小值为k.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
想一想
1.a决定了抛物线的开＿口＿方＿向＿和形＿状＿＿
2 c决定了图象与__y___轴的交点位置；
对称轴由＿a和＿b＿决定；
a的绝对值越大,开口越小, 当a的绝对值相等时,其形状完全相 同,
小试牛刀
例.已知y=ax2+bx+c的图象如图所示,
a_<__0, b_< _0, c_>__0, abc_>__0
y y=2(x+1y)2=2x2 y=2(x-1)2
y=2(x+2)2
y=2(x-2)2
-2 -1 o 1 2
x
y y=2x2
y=2(x-1)2+2
2
1
y=2(x-1)2
o 12
x
-1
-2
Y=a(x-h)2+k
2
Y=2(x-1)
+2的图象可看作是
由y=2x2 的图象经过怎样平
移得到的
y=2x2+2 y
0
有1个公 y 共点
y x
x
有两个相等的
实数根 0
y
无公共点
y x
x
无实数根 0
知识迁移
例1：抛物线 y ax2 bx c
的图象如图所示， 请根据图象回答：
y
-1
o
x 3
（1）方程 ax2 bx c 0 的解是什么？
由图知：抛物线与x轴交点的横坐标为-1，3
所以方程的解为 x1 1, x2 3
因为a=1>0, 所以开口向上
解:y= -2x2-4x-6 = -2(x2+2x+1+2) = -2(x+1)2-4
因为a=-2<0, 所以开口向下
对称轴:直线x=1 顶点坐标:(1,2)
对称轴:直线x=-1 顶点坐标:(-1,-4)
二次函数复习
2.二次函数的 平移
想一想
y=a(x-h)2 (a≠0)
Ax
∴OC=2，点C（0，-2） C
巩固. 如图，已知直线 y= -x+3与X轴、y轴分别交于 点B、C，抛物线y= x2+bx+c经过点B、C。 求抛物线的解析式；
y
（0，3）
C
A
o
B（3，0）
x
解：令y=0，则 –x+3=0，x=3，∴B（3，0），
令x=0， 则y=3，
∴C（0，3），
把B（3，0）（0，3）代入y= -x2+bx+c
抛物线的平移规 律 左加右减 上 加下减
说一说
.函数y=5(x－3)2－2的图象可由函 数y=5x2的图象沿x轴向 平移 个单位，再沿y轴向 平移 个 单位得到.
小试牛刀
基础练习
1.由y=2x2的图象向左平移两个单位,再向下
平 移三个单位,得到的图象的函数解析式为
y_=__2_(_x_+_2_)_2-_3__=_2__x_2_+_8_x_+__5__
∴ 花圃宽为（24－4x）米
A
D
∴ S＝x（24－4x） ＝－4x2＋24 x （0<x<6）
B
C
(2)当x＝
b 2a
3
时，S最大值＝
4ac 4a
b2
＝36（平方米）
某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品， 现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，
由于其他生产条件没变，由此每增加一台机器，每台机器平 均每天将减少生产4件产品。请问增加多少台机器，可以使每 天的总产量最大？最大产量是多少？
b = 2a, 2a-b_=__0, 2a+b__<___0 b2-4ac__>___0
a+b+c__<___0,
a-b+c__>__0 4a-2b+c__>___0
-2 -1 0 1
练习： １、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图 y
B 所示，则a、b、c的符号为（ ）
A、a<0,b>0,c>0 B、a<0,b>0,c<0 C、a<0,b<0,c>0 D、a<0,b<0,c<0
1、已知抛物线上的三点，通常设解析式为 ____y_=_a_x_2_+_b_x_+_c_(_a_≠0)
2、已知抛物线顶点坐标（h, k），通常设 抛物线解析式为_y_=_a_(_x_-_h_)2_+_k_(_a_≠_0_)
3、已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为_y_=_a_(_x_-_x_1)_(_x_-x_2_) (a≠0)
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二次函数复习
1.二次函数的 定义及几种形 式
想一想
形如:y=ax2+bx+c(a≠0) 的函数叫二次函数
y
O
抛物线
x
抛物线y=a(x-h)2+k的图象性质
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 ３.增减性与最值 根据图形填表：
抛物线 顶点坐标
对称轴
y=a(x-h)2+k(a>0)
·co
x
2、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象
A 如图所示，则a、b、c的符号为（ ）
A、a>0,b>0,c=0 B、a<0,b>0,c=0
C、a<0,b<0,c<0 D、a>0,b<0,c=0 3、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图
C 所示，则a、b、c 、 △的符号为（ ）
解：设增加x台，每天的总产量为y件。 （解设）
y=(80+ x)(384- 4x)
（根据题意列式）
=-4x2+64x+30720
（化为一般式）
当x b 8, y
4ac b2
30976
2a
最大值
4a
答：每天增加8台机器总产量最大，最大产量是30976件。
2.某商场将进价40元一个的某种商品按50元一个售出 时，能卖出500个，已知这种商品每个涨价一元，销量 减少10个，为赚得最大利润，售价定为多少？最大利 润是多少？ 分析：利润=（每件商品所获利润）× （销售件数）
即： y=-2x2+4x
练习1、已知抛物线y=ax2+bx-1的对称轴是 x=1 ，最高点在直线y=2x+4上。且图象经 过点（2，0） （1）求抛物线解析式.
（2）求抛物线与直线y=2x+4上的交点坐标.
解：∵二次函数的对称轴是x=1 ∴图象的顶点横坐标为1 又∵图象的最高点在直线y=2x+4上 ∴当x=1时，y=6 ∴顶点坐标为（1，6）
例2、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴正、负 半轴分别交于A、B两点，与y轴负半轴交于 点C。若OA=4，OB=1，∠ACB=90°，求 抛物线解析式。
解：∵点A在正半轴，点B在负半轴
OA=4，∴点A（4，0） y
OB=1， ∴点B（-1，0）
又 ∵ ∠ACB=90°
∴OC2=OA·OB=4
BO
2.由函数y= -3(x-1)2+2的图象向右平移4个 单位,再向上平移3个单位,得到的图象的函 数解析式为：
y_=__-_3_(_x_-_1_-4__)2_+_2_+__3__=_-_3_x_2+_3_0_x_-_7_0_
3.若a+b+c=0,a0,把抛物线y=ax2+bx+c向下平移 4个单位,再向左平移5个单位所到的新抛物线的 顶点是(-2,0),求原抛物线的解析式.
小试牛刀
练习巩固3： (1)y = - 2(x+3) 2的开口向 下 ，
对称轴是 x=-3 , 顶点坐标是（-3，0），
小试牛刀
（2）如图是y = a（x-h）2的图 象，则a ＜ 0，h ＞ 0 ；
y
A
O
X
B
小试牛刀
练习巩固4: （1）抛物线 y = 2 (x -1/2 ) 2+1
的开口向 上 , 对称轴 X=1/2, 顶