2021届江西省新余市第一中学高三第四次模拟考试数学(理)试题(解析版)

2021届江西省新余市第一中学高三第四次模拟考试数学（理）
试题
一、单选题
1．设集合{
}
2
|430P x x x =-+≤，{
|Q y y ==，则P Q =
A ．[1,3]
B ．[2,3]
C ．[0,)+∞
D ．∅
【答案】A
【详解】分析：利用一元二次不等式的解法化简集合P ，利用求值域得出集合Q ，根据交集的定义可得P
Q .
详解：因为集合{}
2
|430P x x x =-+≤{}[]
|131,3x x =≤≤=，
{
|Q y y =={}[)|00,y y =≥=+∞，
所以[]
1,3P Q ⋂=，故选A.
点睛：本题主要考查了解一元二次不等式，求集合的交集，属于容易题，在解题过程中要注意交集时要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点，同时将不等式与集合融合，体现了知识点之间的交汇.
2．复数122
z =
+，则在复平面内，复数2z 对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
【答案】B
【分析】首先根据复数代数形式的乘法运算求出2z ，再根据复数的几何意义判断即可；
【详解】解：因为12z =
+，所以2
2
2
2
1111312222442z ⎛⎫⎫⎛⎫==+⨯+=+-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，所以
复数2
z 在复平面内对应的点的坐标为1,22⎛- ⎝⎭
位于第二象限；
故选：B
3．已知函数21log (),0()2,0
x
x x f x x +-<⎧=⎨>⎩，则(1)(1)f f -+=（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
【答案】B
【分析】根据分段函数分别求出()1f 和()1f -的值，即可求解. 【详解】因为21log (),0
()2,0
x
x x f x x +-<⎧=⎨>⎩ 所以()1
122f ==，
()()211log 1101f -=+--=+=⎡⎤⎣⎦，
所以()()11123f f -+=+=， 故选：B
4．垂直于直线2y x =-且与圆221x y +=相切于第三象限的直线方程是（ ）
A ．10x y +-=
B ．0x y +=
C ．0x y +-=
D ．10x y ++=
【答案】B
【分析】由垂直设所求方程为(0)y x m m =-+<，0m <保证直线过第三象限，然后由圆心到切线的距离等于半径求出参数m ．
【详解】设所求方程为(0)y x m m =-+<，圆心到直线的距离为1
r =
=，
∵0m <，∴m = 故选：B ．
5．已知正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是它们所在线段的中点，则满足1//A F 平面1BD E 的图形个数为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【答案】B
【分析】平移直线1A F ，判断平移后的直线：若在面1BD E 上则1//A F 平面1BD E ，还是与面1BD E 交于一点则1A F 与面1BD E 不平行，即可知正确选项.
【详解】②中，11//A F D E ，而1⊄A F 平面1BD E ，1D E ⊂平面1BD E ，故1//A F 平面1BD E ；
①中，平移1A F 至1D F '，知1D F '与面1BD E 只有一个交点1D ，则1A F 与面1BD E 不平行；
③中，同样平移1A F 至1D F '，知1D F '与面1BD E 只有一个交点1D ，则1A F 与面1BD E 不平行；
故选：B．
6．已知实数x，y满足不等式组
2
1
x y
x y
y
+≤
⎧
⎪
-≥
⎨
⎪≥
⎩
，目标函数
1
3
y
z
x
+
=
+
的最大值是（）A．
2
3
B．
4
9
C．
5
9
D．
1
3
【答案】D
【分析】作出可行域，利用目标函数的几何意义，即可求出目标函数最大值.
【详解】不等式组
2
1
x y
x y
y
+≤
⎧
⎪
-≥
⎨
⎪≥
⎩
所表示的平面区域如图所示：
1
3
y
z
x
+
=
+
表示过可行域内的点()
,x y与
点()
3,1
M--的直线的斜率的最大值，
由
20
10
x y
x y
+-=
⎧
⎨
--=
⎩
，解得
31
,
22
A
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，
这时
()
()
1
11
2
33
3
2
MA
k
--
==
--
，
故目标函数
1
3
y
z
x
+
=
+
的最大值是
1
3
.
故选D.
【点睛】本题考查非线性目标函数最优解，对目标函数的几何意义理解是解题的关键，
属于基础题.
7．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则“cos 0b A c -<”，是“ABC 为锐角三角形”的（ ）条件 A ．充分必要 B ．充分不必要 C ．必要不充分 D ．既不充分也不必要
【答案】C
【分析】先化简cos 0b A c -<，再利用充分必要条件的定义分析判断得解. 【详解】ABC 中，cos c b A >， sin sin cos C B A ∴>，
即sin()sin cos sin cos sin cos A B A B B A B A +=+>， sin cos 0A B ∴>，因为sin 0A >，
cos 0B ∴>，所以B 为锐角.
当B 为锐角时，ABC 不一定为锐角三角形；当ABC 为锐角三角形时，B 一定为锐角.
所以“cos 0b A c -<”是“ABC 为锐角三角形”的必要非充分条件. 故选：C
【点睛】方法点睛：判断充分必要条件，一般有三种方法：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法.我们要根据实际情况灵活选择方法，本题选择的是定义法判断充分必要条件.
8．函数1ln
sin 1x
y x x
-=++的图象大致为 A ． B ．
C ．
D ．
【答案】A
【详解】分析：先利用函数为奇函数排除选项C 、D ，再利用特殊函数值的符号排除选项B ．
详解：易知1()ln(
)sin 1x
f x x x -=++的定义域为(1,1)-， 且1()ln()sin()1x
f x x x +-=+-- 1ln()sin ()1x x f x x
+=--=--，
即函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称， 故排除选项C 、D ； 又1111
()ln
sin sin ln 302322
f =+=-<， 故排除选项B ，故选A ．
点睛：在已知函数的解析式判定函数的图象时，常采用排除法，往往从以下几方面进行验证：
定义域（函数的定义域优先原则）、最值、周期性、函数的奇偶性（奇函数的图象关于原点对称、偶函数的图象关于y 轴对称）或对称性、单调性（基本函数的单调性、导数法）、特殊点对应的函数值等．
9．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，公比为q ，11a >，676712a a a a +>+>，记
{}n a 的前n 项积为n
T
，则下列选项错误的是（ ） A ．01q << B ．61a >
C ．121T >
D ．131T >
【答案】D
【分析】等比数列{}n a 的各项均为正数，11a >，676712a a a a +>+>，可得67(1)(1)0a a --<，因此61a >，71a <，01q <<．进而判断出结论．
【详解】解：
等比数列{}n a 的各项均为正数，11a >，676712a a a a +>+>，
67(1)(1)0a a ∴--<，
11a >，若61a <，则一定有71a <，不符合
由题意得61a >，71a <，01q ∴<<，故A 、B 正确． 6712a a +>，671a a ∴>，
6121231267()1T a a a a a a =⋯=>，故C 正确，
13
1371T a =<，故D 错误，
∴满足1n T >的最大正整数n 的值为12．
故选：D ．
10．已知函数()2sin()1f x x ωϕ=++（0>ω，π
2ϕ<
），满足2π(
)2()3
f x f x -=-，且对任意x ∈R ，都有π
()()4
f x f ≥．当ω取最小值时，函数()f x 的单调递减区间为
A ．ππππ
[,]12343k k ++，k ∈Z B ．ππ
[
2π,2π]124k k ++，k ∈Z C ．ππππ
[,]123123
k k -
++，k ∈Z D ．ππ
[2π,2π]1212
k k -++，k ∈Z 【答案】A
【分析】分析：由()223f x f x π⎛⎫
-=- ⎪
⎝⎭，可得()f x 关于,13π⎛⎫ ⎪⎝⎭
对称，对任意(),4x R f x f π⎛⎫
∈≥ ⎪⎝⎭
，可得4x π=时，()f x 取得最小值，即可求解()f x 解析式，
从而利用正弦函数的单调性列不等式，求解函数()f x 的单调递减区间.
详解：由()223f x f x π⎛⎫
-=- ⎪⎝⎭，化为()223f x f x π⎛⎫-+= ⎪⎝⎭
， 可得()f x 图象关于点,13π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称， 对任意(),4x R f x f π⎛⎫
∈≥ ⎪⎝⎭
，
所以4
x π
=
时，()f x 取得最小值，当ω取最小值时，
即周期T 最大，可得14
3
4
T π
π
=
-
，可得3
T π
=
，
那么
26
3
π
ωπ
=
=，函数()()261f x sin x ϕ=++，
当4
x π
=
时，()f x 取得最小值，
32112sin πϕ⎛⎫∴++=- ⎪⎝⎭
，
,02
π
ϕϕ<
∴=，
即函数()261f x sin x =+， 令3262,2
2
k x k k Z π
π
ππ+
≤≤+
∈，
得
31234
k k x ππππ+≤≤+， 所以，函数()f x 的单调递减区间为：
ππππ,12343k k ⎡⎤
++⎢⎥⎣
⎦，k ∈Z ,故选A. 点睛：sin()y A x ωϕ=+的函数的单调区间的求法：(1) 代换法：①若0,0A ω>>,把
x ωϕ+看作是一个整体，由22
k x ππωϕ+≤+≤()322
k k Z ππ+∈求得函数的减区
间，222
2
k x k π
π
πωϕπ-
+≤+≤
+求得增区间；②若0,0A ω><,则利用诱导公式
先将ω的符号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2) 图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.
11．设,a b 是正实数，若存在0,3a x b ⎡⎤∈⎢⎥⎣
⎦
，使000ln ln 03b x x x a -+≤成立，则b
a 的取
值范围为（ ） A ．133e ⎛⎤ ⎥⎝⎦
，
B ．3
e e ⎛⎤ ⎥⎝⎦
，
C ．33e ⎛⎤ ⎥⎝⎦
，
D ．133
e ⎛⎤ ⎥⎝⎦
，
【答案】A
【分析】设()ln ln 3
b
h x x x x a =-+，结合函数的单调性，分类讨论，最后综合讨论结果，可得
b
a
的取值范围. 【详解】据题意
,03a
b a <> 即13
b a > ()ln ln 3
b
h x x x x a =-+
()ln 1ln ln
1x h x x a a
'=+-=+ 0,3a x b ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
001,33x a x a ∴≥≥
令ln
10,x a
+> 即当a
x e > 时()h x 单调递增
当
3a a
x e
<<时 ()0,()h x h x '<单调递减, 若a b e ≤
即11,3b a e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()h x 在,3a b ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减
min 12()()ln
ln 0,333
b b b b h x h b b b a e ∴==+≤+=-< 所以b a 11,3e ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦ 满足题意
若当
,3a a b e << 即1,b a e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()h x 在,3a b ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上先减后增
min ()ln ln 33a a a a
b a b h x h a e e e e
e ⎛⎫∴==-+=-+ ⎪⎝⎭
令03
a b
e -
+≤得3b a e ≤，即13
b e a e
<
,即13,b a e e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦满足题意
综上所述，b a 的取值范围为13,3e ⎛⎤ ⎥⎝⎦
故选：A.
【点睛】本题属于不等式恒有解问题 对于恒有解问题，常用到以下两个结论： （1）()a f x ≥ 恒有解 min ()a f x ⇔≥ （2）()a f x ≤ 恒有解 max ()a f x ⇔≤
二、多选题
12．下列大小关系正确的有（ ） A ． 2.122 2.1> B ． 3.922 3.9<
C ．
1ln 2ln 22
< D ．58log 3log 5<
【答案】BD
【分析】结合指数函数2x
y =和幂函数2y
x 的性质可判断选项A 、B ，利用作差法可
判断选项C ，利用作商法可判断选项D ，进而可得正确答案. 【详解】由指数函数2x
y =和幂函数2y
x 可知，当()2,4x ∈时22x x <，
因为2 2.14<<，所以 2.122 2.1<，选项A 不正确； 因为2 3.94<<，所以 3.922 3.9<，故选项B 正确； 因为ln1ln 2ln e <<，所以0ln 21<<，即()2
01ln 2<<
所以()2
2ln 21ln 20
ln 222ln 2
--=>，所以1ln 2ln 22>，故选项C 不正确； 因为5log 30>，8log 50>，
所以()()22
85
2
2
2lg 3lg8log lg 3lg8lg 3lg8lg 3lg8lg 2421log 5lg 5lg 52lg 5lg 25lg 5lg 53+⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⨯+⎝⎭=⨯=≤==< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 所以58log 3log 5<，故选项D 正确， 故选：BD
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是熟悉指数函数2x
y =和幂函数2y
x ，记住同
一直角坐标系中它们的图象，当()2,4x ∈时22x x <，另外代数式比较大小可以用作差法与0比较大小，同号的可以利用作商法与1比较大小，变形的过程很灵活，属于常考题型.
三、填空题
13．已知()1,3a =-，()1,b t =，若()
2a b a -⊥，则t =________. 【答案】2
【分析】由()
2a b a -⊥可得(2)0a b a -⋅=，展开代入数据计算即可. 【详解】由题知2103,1a a b t ⋅=-+=
(2)a b a -⊥
2(2)2102(13)0a b a a a b t ∴-⋅=-⋅=--+=
2t ∴=
故答案为：2.
14．已知正数a ，b 满足1a b +=，则1
b a b
+的最小值为________. 【答案】3
【分析】首先将1换成+a b ，再利用基本不等式求最小值. 【详解】
1a b +=，且0,0a b >> ，
1113b b a b b a a b a b a b +∴+=+=++≥=， 当
b a
a b =时等号成立，即12a b ==时等号成立，1b a b
+的最小值为3. 故答案为：3
15．已知直线l ：(4)y k x =+与圆22(2)4x y ++=相交于A ，B 两点，M 是线段AB 中点，则M 到直线3460x y --=的距离的最大值为______. 【答案】4
【分析】先求出点M 的轨迹方程，再结合点到直线垂足最短来求出最大值。

【详解】设A 点坐标为()4,0-，
显然A 点坐标符合方程(4)y k x =+与2
2
(2)4x y ++=。

所以设线段AB 中点M 坐标为(),x y ，
则B 点坐标为()24,2x y +，因B 点坐标符合圆的方程，
所以22
(242)44x y +++=，即为22
(3)1x y ++=.
故M 在圆22
(3)1x y ++=上，除去点A 所以M 到直线3460x y --=的距离h d r ≤+ 其中d 为圆心()3,0-到直线3460x y --=的距离，
r 为圆22(3)1x y ++=的半径.
所以有
14h ≤
+=，
所以M 到直线3460x y --=的距离的最大值为4. 故答案为：4
【点睛】本题考查点到直线的距离和曲线的方程，是一道很好的综合题。

16．鳖臑（biē nào ）出自《九章算术·商功》：“斜解立方，得两重堵．斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑．”鳖臑是我国对四个面均为直角三角形的三棱锥的古称．如图，三棱锥A BCD -是一个鳖臑，其中AB BC ⊥，AB BD ⊥，BC CD ⊥，且
4AB BC DC ===，过点B 向AC 引垂线，垂足为E ，过E 作CD 的平行线，交AD
于点F ，连接BF ．设三棱锥A BCD -的外接球的表面积为1S ，三棱锥A BEF -的外接球的表面积为2S ，则
1
2
S S =________．
【答案】
125
． 【分析】证明CD AC ⊥后可得AD 为四面体ABCD 的外接球直径，在A BEF -中证得,,EA EF EB 两两垂直后可得A BEF -的直径的平方等于,,EA EB EF 的平方和，从而可得球的表面积12,S S ，从而可得结论． 【详解】AB BC ⊥，AB BD ⊥，BC
BD B =，则AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面
BCD ，
∴AB CD ⊥，又CD BC ⊥，BC
AB B =，∴CD ⊥平面ACB ，
,BE AC ⊂平面ACB ，∴CD AC ⊥，CD BE ⊥．又//CD EF ，∴EF BE ⊥，
AC EF ⊥，又BE AC ⊥，
∴三棱锥E ABF -可补形成以,,EA EF EB 为棱的一个长方体，其外接球的直径的平方等于,,EA EF EB 的平方和，而由,AB BD AC DC ⊥⊥，则AD 是三棱锥A BCD -外接球的直径．
∵4AB BC DC ===，
∴42AC =2EF =，22EB =22EA
，42BD =，
224(42)43AD =+=
∴22220EA EB EF ++=，
2
148444824AD S πππ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，2
2204202S ππ⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭
， ∴
124812
205
S S ππ==． 故答案为：
12
5
． 【点睛】关键点点睛：本题考查求三棱锥外接球的表面积，解题关键是外接球球心，求出球的直径．
三棱锥外接球球心在过各面外心且与此面垂直的直线上．有时可利用直角三角形去寻找外接球球心．
四、解答题
17．在ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知sin 2sin a B b A =. （1）求角B 的大小；
（2）给出三个条件①2b =，②ABC 外接圆半径r =
，③a c +=选择两个可以确定ABC 的条件，并求ABC 的面积.
【答案】（1）
3π；（2）选①③或②③，ABC 【分析】（1）根据二倍角公式及正弦定理的边角互化，即可求角B ；
（2）确定ABC 的条件为①③或②③，结合正余弦定理求ac ，进而可求ABC 的面积；
【详解】（1）因为sin 2sin a B b A =，所以2sin cos sin a B B b A =， 由正弦定理得2cos ab B ba =， ∴1cos ,0π2B B =
<<，3
B π∴=； （2）显然可知当选择条件①②时，AB
C 不唯一；
当选择条件①③时，ABC 唯一，此时，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-， 即2
2
2
4()3123a c ac a c ac ac =+-=+-=-，解得8
3
ac =.
所以ABC 的面积118sin 22323
S ac B =
=⨯⨯=
. 当选择条件②③时，ABC 唯一，此时，由正弦定理可知2sin 2b r B =⋅=. 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，即2
2
2
4()3123a c ac a c ac ac =+-=+-=-.解得8
3
ac =
.
所以ABC 的面积118sin 223S ac B =
=⨯=
. 【点睛】本题考查了正余弦定理，由二倍角正弦公式、正弦定理边角互化求角，以及根据条件判断是否可确定三角形，再结合正余弦定理求三角形面积； 18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2、3n a 、3n S 成等差数列.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若n n b n a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .
【答案】（1）23n
n a =；（2）()12123
n n n T ++-⋅=
. 【分析】（1）由已知条件得出632n n a S =+，令1n =可求出1a 的值，令2n ≥，由
632n n a S =+可得11632n n a S --=+，两式作差可推导出数列{}n a 为等比数列，确定该
数列的首项和公比，由此可求得数列{}n a 的通项公式；
（2）求得23
n
n n b ⋅=，利用错位相减法可求得n T .
【详解】（1）由于2、3n a 、3n S 成等差数列，则632n n a S =+. 当1n =时，11163232a S a =+=+，解得12
3
a =
； 当2n ≥时，由632n n a S =+可得11632n n a S --=+， 上述两式作差得1663n n n a a a --=，12n n a a -∴=，
所以，数列{}n a 是等比数列，且首项为23，公比为2，因此，122233
n
n n a -=⨯=；
（2）23n
n n n b n a ⋅=⋅=，
则23
1222322333
3
n
n n T ⋅⋅⋅⋅=+++
+， 可得234
1
12223222333
3
n n n T +⋅⋅⋅⋅=+++
+， 上式-下式得
()()123
1
12
121222222223333
33
1233
n n n n n n n n n T +++--⋅-⋅⋅-=
++++
-=-=
-， 因此，()1
2123
n n n T ++-⋅=
.
【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法： （1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；
（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求
和；
（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法； （4）对于11n
n a a +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法求和.
19．如图，四棱锥-P BCDE 中，//BC DE ，2222BC CD DE PE ====，2CE =，
O 是BE 中点，PO ⊥平面BCDE .
（1）求证：平面PBE ⊥平面PCE ； （2）求二面角B PC D --的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）
222
11
. 【分析】（1）根据题中所给长度可得222CE DE CD =+，即90CDE ∠=︒，利用余弦定理，可求得2BE =
，则可得CE BE ⊥，利用线面垂直的性质，可得PO CE ⊥，
根据线面垂直的判定定理即可得证.
（2）如图建系，分别求得平面PCD 和平面PBC 的法向量，利用向量法求得二面角B PC D --的余弦值，进而可求得答案.
【详解】（1）证明：∵1CD DE ==，2CE =
∴222CE DE CD =+，即90CDE ∠=︒，45CED ∠=︒， ∵//BC DE ，∴45BCE CED ∠=∠=︒，
∵2BC =，∴222222cos 452BE BC CE BC CE BC CE =+-⋅⋅︒==-， ∴CE BE ⊥，
∵PO ⊥平面BCDE ，∴PO CE ⊥， ∵PO BE O ⋂=，PO ，BE ⊂平面PBE ， ∴CE ⊥平面PBE ， ∵CE ⊂平面PCE ，
∴平面PBE ⊥平面PCE .
（2）以O 为坐标原点，以过点O 且平行于CD 的直线为x 轴，过点O 且平行于BC 的直线为y 轴，直线PO 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系
.
由1PE =，1222OE BE =
=
，PO BE ⊥知2
2
PO =， 则11,,022B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，13,,022C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，13,,022D ⎛⎫
- ⎪⎝⎭，20,0,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
， 设平面PCD 的法向量为()1111,,n x y z =，
则1100n CD n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1110320
x y z =⎧⎪
⎨=⎪⎩， 令12z ，可得120,
,23n ⎛
= ⎝， 设平面PBC 的法向量为()2222,,n x y z ，
则2200n PB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222220
x y z y ⎧--=⎪⎨=⎪⎩， 令22z ，可得(22,0,2n =， ∴12121233
,n n cos n n n n ⋅<>=
=⋅，
则二面角B PC D --222
. 【点睛】当题中条件有边的具体长度，考虑用勾股定理证明垂直，再结合线面垂直的判定定理，性质定理进行证明，学生需熟练掌握各个定理，考查推理证明，求值计算的能力.
20．在2019年女排世界杯中，中国女子排球队以11连胜的优异战绩成功夺冠，为祖国母亲七十华诞献上了一份厚礼.排球比赛采用5局3胜制，前4局比赛采用25分制，每
个队只有赢得至少25分，并同时超过对方2分时，才胜1局；在决胜局（第五局）采用15分制，每个队只有赢得至少15分，并领先对方2分为胜.在每局比赛中，发球方赢得此球后可得1分，并获得下一球的发球权，否则交换发球权，并且对方得1分.现有甲乙两队进行排球比赛：
（1）若前三局比赛中甲已经赢两局，乙赢一局.接下来两队赢得每局比赛的概率均为
1
2
，求甲队最后赢得整场比赛的概率； （2）若前四局比赛中甲、乙两队已经各赢两局比赛.在决胜局（第五局）中，两队当前的得分为甲、乙各14分，且甲已获得下一发球权.若甲发球时甲赢1分的概率为
25
，乙发球时甲赢1分的概率为
3
5
，得分者获得下一个球的发球权.设两队打了(4)x x ≤个球后甲赢得整场比赛，求x 的取值及相应的概率p （x ）. 【答案】（1）
3
4
（2）x 的取值为2或4, 4(2),25p =
72(4)625p =. 【分析】（1）先确定甲队最后赢得整场比赛的情况，再分别根据独立事件概率乘法公式求解，最后根据互斥事件概率加法公式得结果；
（2）先根据比赛规则确定x 的取值，再确定甲赢得整场比赛的情况，最后根据独立事件概率乘法公式以及互斥事件概率加法公式得结果.
【详解】（1）甲队最后赢得整场比赛的情况为第四局赢或第四局输第五局赢， 所以甲队最后赢得整场比赛的概率为
1113
2224
+⨯=， （2）根据比赛规则，x 的取值只能为2或4,对应比分为16:14,17:15.
两队打了2个球后甲赢得整场比赛，即打第一个球甲发球甲得分，打第二个球甲发球甲得分，此时概率为224(2)5525
p =
⨯=； 两队打了4个球后甲赢得整场比赛，即打第一个球甲发球甲得分，打第二个球甲发球甲失分，打第三个球乙发球甲得分，打第四个球甲发球甲得分，或打第一个球甲发球甲失分，打第二个球乙发球甲得分，打第三个球甲发球甲得分，打第四个球甲发球甲得分，此时概率为333222272(4)555555523565
p =
⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=. 【点睛】本题考查独立事件概率乘法公式以及互斥事件概率加法公式，考查综合分析求解能力，属中档题.
21．已知函数()ln f x mx nx x =+的图象在点()()
,e f e 处的切线方程为4y x e =-. （1）求函数()f x 的解析式；
（2）若对任意(1,)x ∈+∞，不等式()(1)1f x t x >-+恒成立，求正整数t 的最大值. 【答案】（1）()2ln f x x x x =+；（2）4.
【分析】（1）首先求出函数()f x 的定义域与导函数，然后根据题意及导数的几何意义建立关于m 和n 的方程求解即可； （2）首先将不等式化为2ln 1
1
x x x t x +-<
-，然后构造函数，通过研究新函数的单调性
求得其最小值，从而根据恒成立求得正整数t 的最大值.
【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，()ln f x n x m n '=++，
所以有()24()4f e m n f e me ne e e =+=⎧⎨=+=-'⎩，解之得21m n =⎧⎨=⎩
，
故函数的解析式为：()2ln f x x x x =+；
（2）()(1)1f x t x >-+可化为2ln (1)1x x x t x +>-+， 因为(1,)x ∈+∞，所以2ln 1
1
x x x t x +-<-，
令2ln 1
()1
x x x g x x +-=-（1x >），则由题意知对任意的(1,)x ∈+∞，()min t g x <，
而2
2ln ()(1)x x
g x x --'=
-，(1,)x ∈+∞，
再令()2ln h x x x =--（1x >），则11
()10x h x x x
'
-=-=>， 所以()h x 在(1,)+∞上为增函数，
又(3)1ln30h =-<，(4)2ln 40h =->，
所以存在唯一的0(3,4)x ∈，使得0()0h x =，即002ln x x -=，
当0(1,)x x ∈时，()0h x <，()0g x '<，所以()g x 在0(1,)x 上单调递减， 当0(,)x x ∈+∞时，()0h x >，()0g x '>，所以()g x 在0(,)x +∞上单调递增， 所以00000000002ln 12(2)1
()()111
min x x x x x x g x g x x x x +-+--====+--，
所以01t x <+，
又0(3,4)x ∈，所以01(4,5)x +∈， 因为t 为正整数，所以t 的最大值为4.
【点睛】本题考查导数的几何意义、不等式恒成立问题、导数的应用，意在考查逻辑思
维能力、划归与转化能力、运算求解能力以及方程思想，属于常考题.
22．如图所示，抛物线2:2(0)C y px p =>上点()3,T m 到焦点F 的距离为4，A 是抛物线C 上的动点，过点A 的切线l 交x 轴于G 点，以F 为圆心的圆与直线l 及直线
AM 分别相切于B ､M 两点，且直线AM 与x 轴的正半轴交于H 点.
（1）求证：AF GF =； （2）求FH 的最小值. 【答案】（1）证明见解析；（2）
16
9
. 【分析】（1）设(
)
2
,2A t t ，利用抛物线定义得到AF ，求出切线方程从而得到G 的坐标，求出GF ，即可证明；
（2）求出()1,0F 到AB 的距离，则可得到圆的方程，设出AH 的方程，利用圆心F 到
AH 的距离等于半径求出AH k ，从而得到AH 的方程.求出H 点和FH 的表达式，利用
基本不等式求出FH 的最小值. 【详解】解：（1）易知34,2
p
TF =+
=得2,p =则抛物线C 的方程为24y x = 设(
)
2
,2A t t ，由抛物线定义可知21AF t =+ 切线AB 的方程为：(
)()2
2x t
m y t -=-，
联立2
4y x =得2
2
4480y my t mt --+=，
由(
)
2
2
164480m t mt =--+=得：m t = 即切线AB 的方程为：2
x ty t =-， 所以(
)
2
,0G t -，因此21GF AF t ==+.
（2）AB 的方程为：2x ty t =-，则()1,0F 到AB 的距离为222
11r t t =
=++所
以圆2C 的方程为：()222
11x y t -+=+ 设直线AM 的方程为：2
2()y t k x t -=-，
有：
22211
t k =++
平方得：()2
2
222(341310)t
t
k t t k t -+-+-=
即：()
()2
2
3()()3110kt t t t k ----=，
由1
AB
k t
=知：22
31(3)AH t k t t -=- 直线AH 的方程为：22
2
312()(3)
t y t x t t t --=--， 令0y =，得422
5,031t t H t ⎛⎫
+ ⎪-⎝⎭
所以424222222
521(1)1313131
t t t t t FH t t t ++++=-==--- 令231t u -=，则11616
899
FH u u ⎛⎫=
++≥ ⎪⎝⎭，则， 等号成立当且仅当2
53
t =. 故FH 的最小值为
169
.
【点睛】求抛物线的切线方程的方法：
方法一：将抛物线转化为二次函数，然后利用导数求解切线方程，这在开口朝上的抛物线中经常用到。

方法二：设切线的方程，与抛物线的方程联立，采用判别式法求解．。