湖南省雅礼中学2009届高三第七次月考数学理科试卷

湖南省雅礼中学2009届高三第七次月考数学
（理工农医类）
命题：高三数学组 审卷：高三数学组
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟． 参考公式： 正棱锥、圆锥的侧面积公式 如果事件A 、B 互斥，那么 cl S 2
1
=锥侧 P （A+B ）=P （A ）+P （B ）
如果事件A 、B 相互独立，那么 其中，c 表示底面周长、l 表示斜高或 P （A ·B ）=P （A ）·P （B ） 母线长 如果事件A 在1次实验中发生的概率是 球的体积公式 P ，那么n 次独立重复实验中恰好发生k 33
4R V π=
球 次的概率k
n k k n n P P C k P --=)1()( 其中R 表示球的半径
第I 卷(共40分)
一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合要求的． １．如果复数)()2(R a i ai ∈+的实部与虚部互为相反数，则a 的值等于
Ａ．1-
Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．2-
２．已知全集,U R =集合{}{}
2,1,A x x B x x =>=≤则()()U U A C B B C A = Ａ．∅ Ｂ．{}
12x x x <≥或C ． {}12x x ≤<}
３．已知ABC △中，a =b =60B =，那么角A 等于
Ａ．135
Ｂ．90
Ｃ．45
Ｄ．30
４．设,,a b c 是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立．．．．
的是 Ａ．b a -≤c b c a -+- 2 Ｃ．2
21a
a +
≥a
a 1+
Ｄ．22b a +≥ab 2
５．设b a ,是两条直线，βα,是两个平面，则b a ⊥的一个充分条件是
Ａ．βαβα//,,⊥⊂b a Ｂ．βαβα//,,⊥⊥b a Ｃ．βαβα⊥⊥,//,b a Ｄ．βαβα⊥⊂,//,b a
６．在航天员进行的一项太空实验中，先后要实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一步或最后一
步，程序B 和C 实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有
Ａ．24种 Ｂ．48种 Ｃ．96种 Ｄ．144种
７．若双曲线122
22=-b
y a x 的右支上存在一点P ，使点P 到左准线的距离与它到右焦点的距离相等，
那么该双曲线的离心率的取值范围是
Ａ．]13,1(+
Ｃ．)13,1(+ Ｄ．)12,1(+ ８．给出定义：若2
1
21+≤<-
m x m （其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x = m ． 在此基础上给出下列关于函数{}x x x f -=)(的四个命题： ①函数y=)(x f 的定义域为R ，值域为⎥⎦
⎤⎢⎣⎡21,0；
②函数y=)(x f 的图像关于直线2
k
x =
（Z k ∈）对称； ③函数y=)(x f 是周期函数，最小正周期为1；
④函数y=)(x f 在⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡-
21,21上是增函数． 其中正确的命题个数为
Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４
第II 卷
二．填空题：本大题共7小题，每小题5分（第14题第一空２分，第二空3分，第15题第一空3
分，第二空2分），共35分．把答案填在答题卡．．．
中对应题号后的横线上． ９．9
1x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭
的展开式中3
x
10．已知||1a =，||2b =，且()a a b ⊥-，则向量a
与向量b
11．设(
)()()200x f x a x •••••x <=⎨⎪+⎩
≥，要使函数()f x 在(),-∞+∞内连续，则
a 12．某单位为了了解用电量度y 与气温x C 之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，
并制作了对照表：
气温(0
C) 18 13 10 -1 用电量(度)
24
34
38
64
由表中数据得线性回归方程y bx a =+中2b =-．现预测当气温为4C -时，用电量的度数约为．
13．底面边长为3，侧棱长为2的正三棱锥ABCD 内接于球O ，则球O ． 14．已知数列{}n a ：1，1，2，1，1，3，1，1，1，4，1，1，1，1，5，…，11,...,1,n n -个
，……．
（i ）n
（ii ）前2009． 15．已知x ，y 满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≤++≤+≥041c by ax y x x ，且目标函数y x z +=2的最大值为7，最小值为4，
则（i ）
++a c b a （ii ）22
x y xy +
三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知sin(π4＋3α) sin(π
4－3α)＝14，α∈(0， π4)，求（１）求角α；（２）求(1－cos2αsin2α －
3)sin4α的值． 解：（１）sin(
3)sin(3)sin(3)cos(3)4444ππππ
αααα+-=++ 111sin(6)cos62224
παα=+==， 即1cos62α=，又6α∈(0，3π2)，∴63πα=，即18
π
α=．…………………………6分
（２）（1－cos2α
sin2α
－3
）
sin4α
sin 4sin 40o α= 2(sin 60cos10cos 60sin10)2sin 50sin 40sin 40cos10cos10
o o o o o o o
o o
---=⋅=⋅ sin 801cos10o
o
-==-．………………………………………………………………………12分
C 1
B
17．（本小题满分12
分）
已知斜三棱柱111ABC A B C -，∠
2AC BC ==，1A 在底面ABC 上的射影恰
为AC 的中点D ，又知11BA AC ⊥． （１）求证：1AC ⊥平面1A BC ； （２）求二面角1A A B C --的大小．
解：（１）取AB 的中点E ，则//DE BC ，所以DE AC ⊥，又1A D ⊥平面ABC ，以1,,DE DC DA 为,,x y z 轴建立空间坐标系，则
()0,1,0A -，()0,1,0C ，()2,1,0B ，()10,0,A t ，()10,2,C t ，()10,3,AC t =，
()12,1,BA t =--，()2,0,0CB =，由10AC CB ⋅=，知1
A C C
B ⊥， 又11BA A
C ⊥，从而1AC ⊥平面1A BC ． …………………………………………6分
（２）由
1AC ⋅2
130BA t =-+=，得
t =1
A A
B 的法向量为(),,n x y z =，
(1AA =，()2,2,0AB =，所以 10
220
n AA y n AB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪
⎩，
设1z =，则(
)
3,n =
-．
再设平面1A BC 的法向量为(),,m x y z =，(10,CA =-，()2,0,0CB =，
所以 130
20
m CA y m CB
x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，设1z =
，则()
m =．
根据法向量的方向，可知二面角1A A B C --的大小为． ……………12分 几何法（略） 18．（本小题满分12分）
在一种智力有奖竞猜游戏中，每个参加者可以回答两个问题（题1和题2），且对两个问题可以按自己选择的顺序进行作答，但是只有答对了第一个问题之后才能回答第二个问题．假设：答
对题i （2,1=i ），就得到奖金i a 元，且答对题i 的概率为i p （2,1=i ），并且两次作答不会相互影响．
（１）当20001=a 元，6.01=p ，10002=a 元，8.02=p 时，某人选择先回答题1，设获得奖金为ξ，求ξ的分布列和ξE ．
（２）若212a a =，121=+p p ，若答题人无论先回答哪个问题，答题人可能得到的奖金一样多，求此时
1
2
p p 的值． 解：（１）分布列：
ξ
0 2000 3000 P
0.4
0.12
0.48
168048.0300012.020004.00=⨯+⨯+⨯=ξE ． ………………………………6分（２）设
选择先回答题1，得到的奖金为1ξ；选择先回答题2，得到的奖金为2ξ，
则有11121212(1)()E a p p a a p p ξ=-++，22211212(1)()E a p p a a p p ξ=-++．根据题意可知：
22212112221211211(1)(1)[2(1)](21)
E E a p p a p p a p p a p p ξξ-=---=--=+-，
当211210p p -+=时，11p =-（负号舍去）．当11p =时，
21
22
212=--=p p ， 12E E ξξ=，先答题1或题2可能得到的奖金一样多．………………………………12分
19．（本小题满分13分）
已知函数()ln 2f x x =-．（１）求()f x 的单调区间；（２）若不等式ln x m
x
-> 恒成立，求实数m 的取值组成的集合．
解：（１）由已知得0x >．因为/1()f x
x
=
-= 所以当/
/
(0,1)()0,(1,),()0x f x x f x ∈⇒<∈+∞⇒>．
故区间(0,1)为()f x 的单调递减区间，区间(1,)+∞为()f x 的单调递增区间．……5分
（２）①当(0,1)x ∈时，
ln x m
m x x x
->⇔>-．
令()g x x x =，则/()1
g x ===
． 由（１）知当(0,1)x ∈时，有()(1)0f x f >=，所以/
()0g x >，
即得()g x x x =在(0,1)上为增函数，所以()(1)1g x g <=，
所以1m ≥． ………………………………………………………………………………9分 ②当(1,)x ∈+∞
时，
ln x m
m x x x
->⇔<． 由①可知，当(1,)x ∈+∞
时，()g x x x =为增函数，所以()(1)1g x g >=，
所以1m ≤．
综合以上得1m =．故实数m 的取值组成的集合为{1}． …………………………13分 20．（本小题满分13分）
已知12,,A A B 是椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的顶点（如图）,直线l 与椭圆交于异于顶点的,P Q 两
点,且2//l A B ．若椭圆的离心率
且2||A B =
（１）求此椭圆的方程；
（２）设直线1A P 和直线BQ 的倾斜角分别
为αβ,．试判断αβ+是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由．
解：
（１）由已知可得225
c a a b ⎧=
⎪⎨⎪+=⎩
，所以.1,2==b a 椭圆方程为2214x y +=． ……4分 （２）αβ+是定值π．理由如下：
由（１），A 2（2，0），B （0，1），且l //A 2B ，所以直线l 的斜率21
2
A B k k ==-．…6分
设直线l 的方程为11221,(,),(,)2y x m P x y Q x y =-+,2
21412x y y x m
⎧+=⎪⎪
⎨⎪=-+⎪⎩
联立，
222220x mx m -+-=.048)22(442
22≥-=--=∆∴m m m
即22≤≤-m ，且 ⎩⎨⎧-==+2222
2
121m x x m
x x ． ………………………9分
,,2
2
P Q π
π
αβ∴≠
≠
两点不是椭圆的顶点
12
1211
tan ,tan 2A P BQ y y k k x x αβ-∴==
==+． …………………………………………10分
又因为m x y m x y +-=+-
=22112
1
,21，
221112tan tan x y x y -++=
+βα211212
(2)(1)
(2)x y x y x x ++-=+
21122112
111
()()2()2
222(2)x x m x x m x m x x x -++-++-+--=
+
＝
212121212
(1)()22(1)2(22)22
0(2)(2)m x x x x m m m m m x x x x -+-+----+-==++ tan tan tan()01tan tan αβ
αβαβ
++=
=-．
又),0(,πβα∈)2,0(πβα∈+∴ πβα=+∴是定值．…………………………13分
21．（本小题满分13分）
定义：将一个数列中部分项按原来的先后次序排列所成的一个新数列称为原数列的一个子数
列．已知无穷等比数列{}n a 的首项和公比均为
12
． （１）试求无穷等比子数列{}31k a -（*
N k ∈）各项的和； （２）已知数列{}n a 的一个无穷等比子数列各项的和为
1
7
，求这个子数列的通项公式； （３）证明：在数列{}n a 的所有子数列中，不存在两个不同的无穷等比子数列，使得它们各项的和相等．
解：（１）依条件得：*3131
1(N )2k k a k --=
∈ 则无穷等比数列31{}k a -各项的和为：
223
1
22177128
a ==-． ……………………………………………………………………3分 （２）解法一：设子数列的首项为1
b ，公比为q ，由条件得：1
02
q <≤，
则
1112q ≤-<，即 1121q <
≤-， 1111(1)[,)7147
b q ∴=-∈． 而 *
11(N )2m b m =
∈ ，则 111,88
b q ==． 所以，满足条件的无穷等比子数列存在且唯一，它的首项．公比均为
1
8
，
其通项公式为18n
n b ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，*
N n ∈． ………………………………………………7分
解法二：由条件，可设此子数列的首项为1b ，公比为12
m q =*
(N )m ∈． 由*N m ∈⇒1
0112m
<-
<⇒1111712
m b b <=-………… ① 又若1116b ≤，则对每一*N m ∈，都有11b -11
11
161611187111222
m m a ≤≤=<---………… ②
从①、②得111111678b b <<⇒=；则1112m b -11
18171122m m
a ==--⇒171
1288m q ==-=；
因而满足条件的无穷等比子数列存在且唯一，此子数列是首项．公比均为1
8
无穷等比子数列，
通项公式为18n
n a ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，*N n ∈． …………………………………………7分
（３）假设存在原数列的两个不同的无穷等比子数列，使它们的各项和相等．设这两个 子数列的首项与公比分别为
1122a m 、和1122
b n
、，其中*
a b m n N ∈、、、且a b ≠或m n ≠，则11
22111122
a b m n =--⇒1111(1)(1)2222a n b m
-=-………… ①
若a b =且m n ≠，则①⇔11
22
m n =⇔m n =，矛盾；若a b ≠且m n =，则①⇔
1122a b =⇔a b =，矛盾；故必有a b ≠且m n ≠，不妨设a b >，则 111111222222
n m a b n m n m <⇒->-⇔>⇔>． ①⇔1112(1)22
a b
n m --=-⇔121222a b a b n m ---=-………… ②
②⇔2222m m n a b m a b --+--=-
⇔()()2221n a b m n a b n ----++-=()m n a b -<-或
()()()2221m m n a b m a b -----+-=()m n a b ->-，两个等式的左,右端的奇偶性均矛盾．
故不存在原数列的两个不同的无穷等比子数列，使得它们的各项和相等． ………13分。