数形结合思想在高中数学解题中的应用

数形结合思想在高中数学解题中的应用
数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，
且解法简捷。

华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休。

”数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性
的有机结合。

纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果。

数形结合的重点是研究“以形助数”。

这在解选择题、填空题中
更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓思维视野。

数
形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有
助于把握数学问题的本质。

另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解
法简捷。

运用数形结合思想解题的三种类型及思维方法：
一、“由形化数”：就是借助所给的图形，仔细观察研究，提示出图形中蕴含的数量关系，反映几何图形内在的属性。

纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起
到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。

例如：已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像如图，在下列代数式中
（1）a+b+c＞0，
（2）-4a＜b＜-2a，
（3）abc＞0，
（4）5a-b+2c＜0，
其中正确的个数为（A）。

A．1个B．2个C．3个D．4个
由图形可知：抛物线开口向上，与y轴交点在正半轴，∴a＞0，b＜0，c＞0，即abc＜0，故（3）错误。

又x=1时，对应的函数值小于0，故将x=1代入得：a+b+c＜0，故（1）错误。

∵对称轴在1和2之间，∴1＜-＜2，又a＞0，∴在不等式左右两边都乘以-2a得：-
2a＞b＞-4a，故（2）正确。

又x=-1时，对应的函数值大于0，故将x=1代入得：a-b+c＞0，又a＞0，即4a＞0，c＞0，∴5a-b+2c=（a-b+c）+4a+c＞0，故（4）错误。

综上，正确的有1个，为选项（2），故选A。

因此要注意培养这种思想意识，要争取
胸中有图、见数想图，以开拓自己的思维视野。

问题若从“形”的角度去思考，可以找到直观、简捷的解题方案，这充分展现了“形”的无穷魅力。

二、“由数化形”：就是根据题设条件正确绘制相应的图形，使图形能充分反映出它们相
应的数量关系，提示出数与式的本质特征。

例如：已知f(x)=(x-a)(x-b)-2（其中a＜b，且α、β是方程f(x)=0的两根（α＜β，则实数a、b、α、β的大小关系为（A）。

A.α＜a＜b＜β
B.α＜a＜β＜b
C.a＜α＜b＜β
D.a＜α＜β＜b
分析：a,b是方程g(x)=(x-a)(x-b)=0的两根，在同一坐标系中作出函数f(x)、g(x)的图像就
可以得到结果。

注意在解题过程中不要为了“数形结合”而数形结合。

具体运用时，一要考虑
是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖
掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图像时应设法选择直线与定二次
曲线。

三、“数形转换”：就是根据“数”与“形”既对立又统一的特征，观察图形的形状，分析数
与式的结构，引起联想，适时将它们相互转换，化抽象为直观并提示隐含的数量关系。

在一些含有根号的代数式的题目中，其结构没有明显的几何意义，此时利用两点间距离
公式可能做不出来，若能利用换元法，运用数形结合的思想方法，也可以很快解决问题，例如，若直线y=x+k与曲线x=1-y2恰有一个公共点，求k的取值范围。

解法1：（代数法）曲线方程可化为x2+y2=1(x≥0)，把y=x+k代入x2+y2=1(x≥0) 可得：
2x2+2kx+k2-1=0(x≥0)，由题意可知方程仅有一个非负根。

（1）当方程有等根时，即△=（2k）2-8（k2-1）=0，可得k=±2，当k=2时，方程可化为2x2+22x+1=0，得x=-不合题意；当k=-2时，方程为2x2-22x+1=0,得x=符合
题意，可知k=-2。

（2）当方程根为x=0时，得k2-1=0，k=±1，当k=-1时，方程为2x2-2x=0，得方程两个
根为x1=0,x2=1不合题意，应舍去；当k=1时，方程为2x2+2x=0，得方程两个根为x1=0,x2=-1，适合题意，可知k=1。

（3）当方程根为一正一负时，只需x1x2=＜0，可得-1＜k＜1。

综上所述：所求 k的取值范围为k=-2或-1＜k≤1。

解法2：(几何法)曲线x=1-y2是单位圆x2+y2=1的右半圆（x≥0），k是直线y＝x+k在
y轴上的截距。

在同一坐标系中画出两曲线图像如图所示知：直线与曲线相切时，k=-2，由图形：可得k=-2或-1＜k≤1。

可见：上述两种解法可以看出利用代数法求解过程较为复杂、繁琐且容易错；而利用几
何法即一种数形结合的思想方法，却能使复杂问题简单化，抽象问题具体化，它在数学解题
中具有极为独特的指导作用。