[k12精品]2018年秋高中数学第一章常用逻辑用语1.2充分条件与必要条件1.2.1充分条件与必要条件1.2.2充要条件

1.2 充分条件与必要条件
1.2.1 充分条件与必要条件
1.2.2 充要条件
学习目标：1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．(重点、难点)2.会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件．(重点)3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．(难点)
[自主预习·探新知]
1．充分条件与必要条件
q
(2)以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p ；④q是p 的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？
[提示](1)相同，都是p⇒q(2)等价
2．充要条件
(1)一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．
概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．
(2)若p⇒q，但q p，则称p是q的充分不必要条件．
(3)若q⇒p，但p q，则称p是q的必要不充分条件．
(4)若p q，且q p，则称p是q的既不充分也不必要条件．
思考2：(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？
(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？
[提示](1)正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q.
(2)①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．
②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．
[基础自测]
1．思考辨析
(1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( )
(2)q不是p的必要条件时，“pD⇒/q”成立．( )
(3)若q是p的必要条件，则q成立，p也成立．( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
2．“x >2”是“x 2
－3x ＋2>0”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
A [由x 2
－3x ＋2>0得x >2或x <1，故选A.]
3．下列各题中，p 是q 的充要条件的是________(填序号)． (1)p ：b ＝0，q ：函数f (x )＝ax 2
＋bx ＋c 是偶函数； (2)p ：x >0，y >0，q ：xy >0； (3)p ：a >b ，q ：a ＋c >b ＋c .
【导学号：97792015】
(1)(3) [在(1)(3)中，p ⇔q ，所以(1)(3)中p 是q 的充要条件，在(2)中，q ⇒p ，所以(2)中p 不是q 的充要条件．]
[合 作 探 究·攻 重 难]
件”“充分必要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．
(1)在△ABC 中，p ：∠A >∠B ，q ：BC >AC ；
(2)对于实数x ，y ，p ：x ＋y ≠8，q ：x ≠2或y ≠6； (3)p ：(a －2)(a －3)＝0，q ：a ＝3； (4)p ：a ＜b ，q ：a b
＜1.
[思路探究] 判断p ⇒q 与q ⇒p 是否成立，当p 、q 是否定形式，可判断q 是p 的什么条件．
[解] (1)在△ABC 中，显然有∠A >∠B ⇔BC >AC ，所以p 是q 的充分必要条件． (2)因为x ＝2且y ＝6⇒x ＋y ＝8，即q ⇒p ，但p ⇒q ，所以p 是q 的充分不必要条
件．
(3)由(a －2)(a －3)＝0可以推出a ＝2或a ＝3，不一定有a ＝3；由a ＝3可以得出(a －2)(a －3)＝0.因此，p 是q 的必要不充分条件．
(4)由于a ＜b ，当b ＜0时，a b
＞1；
当b ＞0时，a b ＜1，故若a ＜b ，不一定有a b
＜1；
当a ＞0，b ＞0，a b ＜1时，可以推出a ＜b ； 当a ＜0，b ＜0，a b
＜1时，可以推出a ＞b . 因此p 是q 的既不充分也不必要条件． 等价法：将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题．逆否法：这是等价法的一种特殊情况． 是q 的必要条件，q 是p 的充分条件； q
p ，则p 是q 的必要不充分条件；⇔
q 互为充要条件；p
，且跟踪训练1．(1)设a ，b 是实数，则“a >b ”是“a 2
>b 2
”的( )
【导学号：97792016】
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
D [令a ＝1，b ＝－1，满足a >b ，但不满足a 2
>b 2
，即“a >b ”不能推出“a 2
>b 2
”；再令
a ＝－1，
b ＝0，满足a 2>b 2，但不满足a >b ，即“a 2>b 2”不能推出“a >b ”，所以“a >b ”是
“a 2
>b 2
”的既不充分也不必要条件．]
(2)对于二次函数f (x )＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)，下列结论正确的是( ) ①Δ＝b 2
－4ac ≥0是函数f (x )有零点的充要条件； ②Δ＝b 2－4ac ＝0是函数f (x )有零点的充分条件； ③Δ＝b 2－4ac >0是函数f (x )有零点的必要条件； ④Δ＝b 2－4ac <0是函数f (x )没有零点的充要条件．
A ．①④
B ．①②③
C ．①②③④
D ．①②④
D [①Δ＝b 2
－4ac ≥0⇔方程ax 2
＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根⇔f (x )＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)有零点，故①正确．
②若Δ＝b 2
－4ac ＝0，则方程ax 2
＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根，因此函数f (x )＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)有零点，故②正确．
③函数f (x )＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)有零点时，方程ax 2
＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根，未必有Δ＝b 2
－4ac >0，也可能有Δ＝0，故③错误．
④Δ＝b 2
－4ac <0⇔方程ax 2
＋bx ＋c ＝0(a ≠0)无实根⇔函数f (x )＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)无零点，故④正确．]
A ．0<x <4
B ．0<x <2
C ．x >0
D ．x <4
(2)已知x ，y 都是非零实数，且x >y ，求证：1x <1
y
的充要条件是xy >0.
[思路探究] (1)先解不等式x 2－4x <0得到充要条件，则充分不必要条件应是不等式x 2
－4x <0的解集的子集．
(2)充要条件的证明可用其定义，即条件⇒结论且结论⇒条件．如果每一步的推出都是等价的(⇔)，也可以把两个方面的证明合并在一起，用“⇔”写出证明．
[解析] (1)由x 2
－4x <0得0<x <4，则充分不必要条件是集合{x |0<x <4}的子集，故选B.
[答案] B
(2)法一：充分性：由xy >0及x >y ，得x xy >y xy ，即1x <1
y
. 必要性：由1x <1y ，得1x －1y <0，即y －x xy
<0.
因为x >y ，所以y －x <0，所以xy >0. 所以1x <1
y
的充要条件是xy >0.
法二：1x <1y ⇔1x －1y <0⇔y －x xy
<0.
由条件x >y ⇔y －x <0，故由
y －x
xy
<0⇔xy >0.
所以1x <1
y
⇔xy >0，
即1x <1
y
的充要条件是xy >0.
2．(1)不等式x (x －2)<0成立的一个必要不充分条件是( )
【导学号：97792017】
A ．x ∈(0,2)
B ．x ∈[－1，＋∞)
C ．x ∈(0,1)
D ．x ∈(1,3)
B [由x (x －2)<0得0<x <2，因为
－1，＋∞)，所以“x ∈[－1，＋∞)”是“不
等式x (x －2)<0成立”的一个必要不充分条件．]
(2)求证：关于x 的方程ax 2
＋bx ＋c ＝0有一个根是1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0. [证明] 假设p ：方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根是1，
q ：a ＋b ＋c ＝0.
①证明p ⇒q ，即证明必要性． ∵x ＝1是方程ax 2
＋bx ＋c ＝0的根， ∴a ·12
＋b ·1＋c ＝0，即a ＋b ＋c ＝0. ②证明q ⇒p ，即证明充分性． 由a ＋b ＋c ＝0，得c ＝－a －b . ∵ax 2
＋bx ＋c ＝0， ∴ax 2＋bx －a －b ＝0， 即a (x 2－1)＋b (x －1)＝0. 故(x －1)(ax ＋a ＋b )＝0. ∴x ＝1是方程的一个根．
故方程ax 2
＋bx ＋c ＝0有一个根是1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0.
1．记集合A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，若p 是q 的充分不必要条件，则集合A 、B 的关系是什么？若p 是q 的必要不充分条件呢？
提示：若p 是q 的充分不必要条件，则A
B ，若p 是q 的必要不充分条件，B A .
2．记集合M ＝{x |p (x )}，N ＝{x |q (x )}，若M ⊆N ，则p 是q 的什么条件？若N ⊆M ，M ＝
N 呢？
提示：若M ⊆N ，则p 是q 的充分条件，若N ⊆M ，则p 是q 的必要条件，若M ＝N ，则p 是q 的充要条件．
已知p ：x 2
－8x －20≤0，q ：x 2
－2x ＋1－m 2
≤0(m >0)，且p 是q 的充分不必要
条件，则实数m 的取值范围为________．
[思路探究]
[解析] 由x 2
－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，由x 2
－2x ＋1－m 2
≤0(m >0)，得1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．
因为p 是q 的充分不必要条件，所以p ⇒q 且q
p .
即{x |－2≤x ≤10}是{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}的真子集，
所以⎩⎪⎨⎪
⎧
m >0，1－m <－2，
1＋m ≥10
或⎩⎪⎨⎪
⎧
1－m ≤－2，m >0，1＋m >10，
解得m ≥9.
所以实数m 的取值范围为{m |m ≥9}． [答案] {m |m ≥9}(或[9，＋∞))
>0}
1．“|x|＝|y|”是“x＝y”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
B[若x＝1，y＝－1，则|x|＝|y|，但x≠y；若x＝y，则|x|＝|y|，故选B.]
2．“x2－4x－5＝0”是“x＝5”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B[由x2－4x－5＝0得x＝5或x＝－1，则当x＝5时，x2－4x－5＝0成立，但x2－4x －5＝0时，x＝5不一定成立，故选B.]
3．下列条件中，是x2<4的必要不充分条件是( )
A．－2≤x≤2 B．－2<x<0
C．0<x≤2 D．1<x<3
A[由x2<4得－2<x<2，必要不充分条件的x的范围真包含{x|－2<x<2}，故选A.] 4．若“x＜m”是“(x－1)(x－2)＞0”的充分不必要条件，则m的取值范围是________.
【导学号：97792018】(－∞，1][由(x－1)(x－2)＞0可得x＞2或x＜1，
由已知条件，知{x|x＜m x|x＞2或x＜1}，
∴m ≤1.]
5．求证：关于x 的方程x 2
＋mx ＋1＝0有两个负实数根的充要条件是m ≥2.
[证明] (1)充分性：因为m ≥2，所以Δ＝m 2
－4≥0，所以方程x 2
＋mx ＋1＝0有实根，设两根为x 1，x 2，
由根与系数的关系知，x 1·x 2＝1>0，所以x 1，x 2同号． 又x 1＋x 2＝－m ≤－2<0，所以x 1，x 2同为负数． 即x 2
＋mx ＋1＝0有两个负实根的充分条件是m ≥2.
(2)必要性：因为x 2
＋mx ＋1＝0有两个负实根，设其为x 1，x 2，且x 1x 2＝1，
所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
Δ＝m 2
－4≥0，x 1＋x 2＝－m <0，即⎩
⎪⎨
⎪⎧
m ≥2或m ≤－2，
m >0，
所以m ≥2，即x 2
＋mx ＋1＝0有两个负实根的必要条件是m ≥2.
综上可知，m ≥2是x 2
＋mx ＋1＝0有两个负实J 根的充分必要条件．。