2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第3课__逻辑联结词与量词含解析

____第3课__逻辑联结词与量词____
1. 能正确对含有一个量词的命题进行否定．
2. 能正确判断用“或”“且”“非”联结的命题的真假.
1. 阅读：阅读选修21第10～18页．
2. 解悟：①含有一个量词的命题的否定分别是什么？②由简单逻辑联结词构成的命题的真假怎么判断？
3. 践习：在教材空白处，完成第15页练习第2题；第18页习题第4题.
　基础诊断　
2. 命题“∃x∈R，2x>0”的否定是__∀x∈R，2x≤0__．
3. 下列四个命题：①3≤π；②1≥1；③π≤e；④2<3或3<2.其中假命题有__1__个．
解析：①②④正确，③错误．
4. 已知命题“∃x∈[1，2]，x2＋2x＋a≥0”为真命题，则实数a的取值范围是__[－8，＋∞)__．
解析：原命题的否定为∀x∈[1，2]，x2＋2x＋a<0.因为y＝x2＋2x在区间[1，2]上单调递增，所以x2＋2x≤8<－a，所以a<－8.根据含有逻辑联结词的命题的真假判断，可知原命题中a的取值范围是a<－8的补集，即a≥－8，故a的取值范围是[－8，＋∞)．
　范例导航　
考向❶以函数的单调性和值域为背景，求命题的真假所对应参数的取值范围
(a－32)x
例1　设命题p：函数f(x)＝是R上的减函数；命题q：函数g(x)＝x2－4x＋3在区间[0，a]上的值域为[－1，3]．若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求实数a的取值范围．解析：因为“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，所以命题p，q中有且仅有一个
命题为真命题．
若命题p 为真，则0<a －<1，所以<a <；323252
若命题q 为真，则g (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1在[0，a ]上的值域为[－1，3]，
故解得2≤a ≤4.{a ≥2，a 2－4a ＋3≤3，)
①若p 真q 假，则{32<a <52
，a <2或a >4，)
所以<a <2；32
②若p 假q 真，则{2≤a ≤4，
a ≤32或a ≥52，)
所以≤a ≤4.52
综上所述，实数a 的取值范围为∪.(32，2)[52，4
]
已知a >0，设命题p ：函数y ＝a x 在R 上单调递增；命题q ：不等式ax 2－ax ＋1>0对∀x ∈R 恒成立．若“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，求实数a 的取值范围．
解析：因为函数y ＝a x 在R 上单调递增，
所以命题p ：a >1.
因为不等式ax 2－ax ＋1>0对∀x ∈R 恒成立，
所以a >0且a 2－4a <0，解得0<a <4，
所以命题q ：0<a <4.
因为“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，
所以p ，q 中必是一真一假．
若p 真q 假，则解得a ≥4；{a >1，a ≥4，)
若p 假q 真，则解得0<a ≤1.{0<a ≤1，0<a <4，)
综上所述，a 的取值范围为(0，1]∪[4，＋∞).
考向❷ 以函数的能成立和恒成立为背景，求命题的真假所对应参数的取值范围
例2　已知命题p ：∃x ∈R ，|sin x |>a 有解；命题q ：∀x ∈R ，ax 2＋2ax ＋4>0恒成立．若命题“p 或q ”是真命题，命题“p 且q ”是假命题，求实数a 的取值范围．
解析：命题p ：∃x ∈R ，|sin x |>a 有解，则a <1；
由命题q 得，a ＝0或
解得0<a <4，{a >0，Δ<0，)所以命题q ：0≤a <4.
因为命题“p 或q ”是真命题，命题“p 且q ”是假命题，所以命题p ，q 中有且仅有一个真命题．
若p 真q 假，则解得a <0；{a <1，a ≥4或a <0，)
若p 假q 真，则解得1≤a <4.{a ≥1，0≤a <4，)
综上所述，实数a 的取值范围是(－∞，0)∪[1，4)．
已知m ∈R ，设命题p ：∀x ∈[－1，1]，x 2－2x －4m 2＋8m －2≥0恒成立；命题q ：∃x ∈[1，2]，log (x 2－mx ＋1)<－1成立，如果“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求实数m 的取值
12
范围．
解析：若p 为真，则∀x ∈[－1, 1]，4m 2－8m ≤x 2－2x －2恒成立．
设f (x )＝x 2－2x －2，配方得f (x )＝(x －1)2－3，
所以f (x )在区间[－1，1]上的最小值为－3，
所以4m 2－8m ≤－3，解得≤m ≤，1232
所以当p 为真时，≤m ≤；1232
若q 为真，则∃x ∈[1，2], x 2－mx ＋1>2成立，
所以∃x ∈[1，2]，m <成立．x 2－1x
设g (x )＝＝x －，x 2－1x 1x
易知g (x )在区间[1，2]上是增函数，
所以g (x )的最大值为g (2)＝，所以m <，3232
所以当q 为真时，m <.32
因为“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，
所以p 与q 必是一真一假，
当p 真q 假时，所以m ＝；{12≤m ≤32，m ≥32
，)32当p 假q 真时，所以m <.{m <12或m >32，m <32
，)12综上所述，m 的取值范围是{m |m <或m ＝}.1232
考向❸ 以圆锥曲线为背景，求命题的真假所对应参数的取值范围
例3　已知k 为实常数，命题p ：方程＋＝1表示椭圆；命题q ：方程＋＝1x 22k －1y 2k －1x 24y 2
k －3表示双曲线.
(1) 若命题p 为真命题，求k 的取值范围；
(2) 若命题“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求k 的取值范围．
解析：(1) 若命题p 为真命题，则
{2k －1>0，
k －1>0，2k －1≠k －1，)
解得k>1，即k 的取值范围是(1，＋∞)．
(2) 若命题q 为真命题，则k －3<0，即k<3.
因为“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，
所以p ，q 必是一真一假．
当p 真q 假时， 解得k ≥3；{
k >1，k ≥3，)当p 假q 真时，解得k ≤1.{k ≤1，k <3，
)综上所述，k 的取值范围是(－∞，1]∪[3，＋∞)．
　自测反馈　
1. 命题“∀x>0，x ＋1>”的否定是__∃x>0，x ＋1≤__．
x x 2. 若命题“p 且q ”是假命题，“非q ”是假命题，则p 是__假__命题．(填“真”或“假”)解析：因为“p 且q ”为假命题，则命题p ，q 中必是一真一假．又因为“非q ”是假命题，所以q 为真命题，所以p 为假命题．
3. 若命题“∃x ∈R ，x 2＋2mx ＋m ≤0”是真命题，则实数m 的取值范围是__(－∞，0)∪[1，＋∞)__．
解析：由题意得Δ＝4m 2－4m ≥0，解得m ≤0或m ≥1，故实数m 的取值范围是(－∞，0]∪[1，＋∞)．。