2021届高考数学二轮复习核心热点突破-专题一第1讲 三角函数的图象与性质

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专题一:三角函数与解三角形 第1讲 三角函数的图象与性质
一:高考定位 三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容,主要从以下两个方面进行考查:1.三角函数的图象,涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题,主要以选择题、填空题的形式考查;2.利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等,主要以解答题的形式考查.
二:真 题 感 悟
1.(2020全国1理7)设函数f (x )=cos(ωx +π
6)在[-π,π]的图象大致如下图,则f (x )的最小正周
期为( )
A .10π9
B .7π6
C .4π3
D .3π2
2.(2020山东、海南10)(多选)下图是函数y =sin(ωx +φ)的部分图象,则sin(ωx +φ)=( )
A .sin(x +π3)
B .sin(π3-2x )
C .cos(2x +π6)
D .cos(5π
6-2x )
3.(2020全国3文5)已知sin θ+sin(θ+π3)=1,则sin(θ+π
6)=( )
A .12
B .33
C .23
D .2
2
4.(2019·全国Ⅱ卷)下列函数中,以π2为周期且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,π2单调递增的是( )
A.f (x )=|cos 2x |
B.f (x )=|sin 2x |
C.f (x )=cos|x |
D.f (x )=sin|x |
5.(2020·江苏卷)将函数y =3sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x +π4的图象向右平移π6个单位长度,则平移后的
图象中与y 轴最近的对称轴的方程是________.
6.(2020·北京卷)若函数f (x )=sin(x +φ)+cos x 的最大值为2,则常数φ的一个取值为__________.
7.(2019·全国Ⅰ卷)函数f (x )=sin ⎝ ⎛

⎪⎫2x +3π2-3cos x 的最小值为________.
8.(2020全国3理9)已知2tan θ–tan(θ+π
4)=7,则tan θ=( )
A .–2
B .–1
C .1
D .2
9.(2020全国3理16)关于函数f (x )=sin x +1
sin x 有如下四个命题:
①f (x )的图象关于y 轴对称. ②f (x )的图象关于原点对称. ③f (x )的图象关于直线x =π
2对称.
④f (x )的最小值为2.
其中所有真命题的序号是__________.
三:考 点 整 合
1.常用的三种函数的图象与性质(下表中k ∈Z ) 函数
y =sin x
y =cos x
y =tan x
图象
递增 区间 ⎣⎢⎡
⎦⎥⎤2k π-π2,2k π+π2 [2k π-π,2k π]
⎝ ⎛

⎪⎫k π-π2,k π+π2 递减 区间 ⎣⎢⎡

⎥⎤2k π+π2,2k π+3π2 [2k π,2k π+π]
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称 中心
(k π,0)
⎝ ⎛

⎪⎫k π+π2,0 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
k π2,0
对称轴 x =k π+π
2 x =k π 周期性


π
2.三角函数的常用结论
(1)y =A sin(ωx +φ),当φ=k π(k ∈Z )时为奇函数;
当φ=k π+π2(k ∈Z )时为偶函数;对称轴方程可由ωx +φ=k π+π
2(k ∈Z )求得. (2)y =A cos(ωx +φ),当φ=k π+π
2(k ∈Z )时为奇函数;
当φ=k π(k ∈Z )时为偶函数;对称轴方程可由ωx +φ=k π(k ∈Z )求得. (3)y =A tan(ωx +φ),当φ=k π(k ∈Z )时为奇函数. 3.三角函数的两种常见变换 (1)y =sin x ――——————————→
向左(φ>0)或向右(φ<0)
平移|φ|个单位
y =sin(ωx +φ)――——————————→纵坐标变为原来的A 倍
横坐标不变
y =A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0).
y =sin ωx ―————————————―→向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ
ω|个单位y =sin(ωx +φ)————————————―→纵坐标变为原来的A 倍
横坐标不变 y =A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0). 四:热点解析
热点一 三角函数的定义与同角关系式
1.已知512
sin ,cos ,1313
αα=
=-,则角α的终边与单位圆的交点坐标是( ) A .512(,)1313- B .512(,)1313- C .125(,)1313- D .125(,)1313
-
2.(2018全国1文11)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x 轴的非负半轴重合,终边上有两点A (1,a ),B (2,b ),且cos2α=2
3,则|a -b |=( )
A .15
B .55
C .255
D .1
3.若sin α=-5
13
,且α为第四象限角,则tan α的值等于_____________.
4.已知tan α=2,则sin αcos α+cos 2
α
2sin αcos α+sin 2α=,sin 2α-2sin αcos α+2= .
5.已知sin α+cos α=1
5
,α∈(0,π),则cos α-sin α= ,tan α= .
探究提高1.三角函数求值(1) 知一求其余三角函数值;(2)关于sin α与cos α的齐次式,同
除cos α或cos 2α,如果不是齐次,借助1=sin 2α+cos 2α构造齐次.(3)sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α间关系式
注意 根据角的范围确定三角函数值正负.无法确定正负时可根据三角函数值的正负(或与特殊角的三角函数值)缩小角的范围.
6.如图,在直角坐标系xOy 中,角α的顶点是原点,始边与x 轴正半轴重合,终边交单位
圆于点A ,且(
,)62ππ
α∈. 将角α的终边按逆时针方向旋转3
π
,交单位圆于点B ,记A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).(1)若11
3
x =,求2x ;(2)分别过A ,B 作x 轴的垂线,垂足依次为C ,D ,
记△AOC 的面积为S 1,△BOD 的面积为S 2,若122S S =,求角α的值.
7.如图,在平面直角坐标系xOy 中,312A ⎫
⎪⎪⎝⎭
为单位圆上一点,射线OA 绕点O 按逆时针
方向旋转θ后交单位圆于点B ,点B 的纵坐标y 关于θ的函数为()y f
θ=.(1)求函数
()y f θ=的解析式,并求223f f ππ⎛⎫⎛⎫
+ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
;(2)若1()3f θ=,求s inα+
s inα-
s inαcosα
inα和cosα tan α
sin2α
7cos sin 36ππθθ⎛⎫⎛

--+
⎪ ⎪⎝⎭⎝

的值.
热点二 三角函数的图象
辨析
(2019全国1理5)函数f (x )=
sin x +x
cos x +x 2
在[-π,π]的图象大致为( )
A .
B .
C .
D .
(2019全国1文5)函数f (x )=
sin x +x
cos x +x 2
在[-π,π]的图象大致为( )
A .
B .
C .
D .
3.(2017全国1文8)函数y =
sin2x
1-cos x
的部分图象大致为( )
A .
B .
C .
D .
12.(2020·天津和平区·高一期末)如图是函数()2sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛
⎫=+>< ⎪⎝
⎭的部分
图象,则ω和ϕ的值分别为( )
A .2,
6
π
B .2,3
π
-
C .1,
6
π
D .1,3
π
-
2.已知函数y =A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0)的图象求解析式时,常采用待定系数法,由图中的最高点、最低点或特殊点求A ;由函数的周期确定ω;确定φ常根据“五点法”中的五个点求解,一般把第一个“零点”作为突破口,可以从图象的升降找准第一个“零点”的位置.
2.(多选)已知函数()()()2sin 0,||f x x ωϕωϕπ=+><的部分图象如图所示,则( )
A .2ω=
B .3
π
ϕ=
C .若123
x x π
+=
,则()()12f x f x =
D .若123
x x π
+=
,则()()120f x f x +=
3.(多选)函数()sin(2)0,||2f x A x A πϕϕ⎛

=+><
⎪⎝

部分图象如图所示,
对不同x 1,x 2∈[a ,b ],若f (x 1)=f (x 2),有f (x 1+x 2)3=,则( )
A .a +b =π
B .2
b a π
-=
C .3
π
ϕ=
D .()3f a b +=热点四 三角函数的性质
1.已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-
<<的图象关于直线3
x π
=对称,则ϕ的值是 .
2.已知函数y =A sin(2x +φ)的对称轴为x =π
6,则φ的值为 .
3.已知函数y =cos(2x +φ)为奇函数,则φ的值为 .
4.将函数()
π()2sin 26f x x =+的图象至少向右平移 个单位,所得图象恰关于坐标原点对
称.
5.若函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图象与直线y m =的三个相邻交点的横坐标分别是6π,3π,23
π
,则实数ω的值为 .
6.已知函数()sin()(030)f x x ωϕωϕ=+<<<<π,.
若4x π=-为函数()f x 的一个零点,3x π=为函数()f x 图象的一条对称轴,则ω的值为 .
探究提高:三角函数对称问题
方法:对于函数y =A sin(ωx +φ)或y =A cos(ωx +φ) 若x =x 0为对称轴⇔f (x 0)=±A . 若(x 0,0)为中心对称点⇔f (x 0)=0.
推论:对于函数y =A sin(ωx +φ)或y =A cos(ωx +φ)
若函数y =f (x )为偶函数⇔f (0)=±A .若函数y =f (x )为奇函数⇔f (0)=0.
7.将函数()
π()sin 6f x x ω=-(0ω>)的图象向左平移π3
个单位后,所得图象关于直线πx =
对称,则ω的最小值为 . 8.对于函数()1
2sin 3()42
f x x x R π⎛⎫=-++∈ ⎪⎝
⎭,有以下四种说法: ①函数的最小值是32-
②图象的对称轴是直线()312
k x k Z ππ
=
-∈ ③图象的对称中心为,0()312k k Z ππ⎛⎫-∈
⎪⎝⎭④函数在区间7,123ππ⎡⎤
--⎢⎥⎣
⎦上单调递增. 其中正确的说法的个数是( ) A .1
B .2
C .3
D .4
9.下列命题正确的是( )
A .函数sin ||y x =是偶函数又是周期函数
B .函数
y =是奇函数
C .函数tan 6y ax π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的最小正周期是a π D .函数cos(sin )y x =是奇函数
10.设函数()()2sin 3f x x x R π⎛⎫
=+
∈ ⎪⎝

,下列结论中错误的是( ) A .()f x 的一个周期为2π吗 B .()f x 的最大值为2 C .()f x 在区间263
ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
,上单调递减 D .3f x π⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的一个零点为 6x π=
热点四 三角函数性质与图象的综合应用
1.若动直线x a =与函数())12
f x x π
=+
与()cos()12
g x x π
=+
的图象分别交于M 、
N 两点,则||MN 的最大值为( )
A B .1
C .2
D .3
2.设函数()()2sin 0,2f x x πωφφφ⎛

=+><
⎪⎝

的部分图象如图.若对任意的()()2x R f x f t x ∈=-,恒成立,则实数t 的最小正值为____.
3.(多选)已知函数,f (x )=2sin x -a cos x 的图象的一条对称轴为6
x π
=-,则( )
A .点(
,0)3
π
是函数,f (x )的一个对称中心
B .函数f (x )在区间(
,)2
π
π上无最值
C .函数f (x )的最大值一定是4
D .函数f (x )在区间5(,
)66ππ
-
上单调递增
4.已知函数()sin cos f x x a x =+的图象关于直线6
x π
=
对称,
1x 是()f x 的一个极大值点,2x 是()f x 的一个极小值点,则12x x +的最小值为______.。

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