高中数学学业水平测试课件专题七第28讲函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用

B．y＝f(x)是偶函数
C．y＝f(x)的图象关于点π2，0对称
D．y＝f(x)在区间0，π2上是减函数 答案：D
4．已知函数y＝sin(ωx＋φ) ω＞0，|φ|＜π2 的部分图 象如图所示，则( )
A．ω＝1，φ＝π6 C．ω＝2，φ＝π6 答案：D
B．ω＝1，φ＝－π6 D．ω＝2，φ＝－π6
1．函数y＝cos2x－π3的部分图象可能是(
)
答案：D
2．函数y＝2sin π6－2x (x∈[0，π])为增函数的区间 是( )
A.0，π3
B.1π2，71π2
C.π3，56π
D.56π，π
解析：因为y＝2sin
π6 －2x
10．已Fra Baidu bibliotek函数f(x)＝Asin(3x＋φ)(A＞0，x∈(－∞， ＋∞)，0＜φ＜π)在x＝1π2时取得最大值4.
(1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)的解析式； (3)若f 23α＋1π2＝152，求sin α. 解：(1)因为f(x)＝Asin(3x＋φ)， 所以T＝23π. 即f(x)的最小正周期为23π.
f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝12sin 12x＋1 B．f(x)＝sin12x＋12 C．f(x)＝12sin π2x＋1 D．f(x)＝sin π2x＋12
解析：由函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象可知， A＝1.5－2 0.5＝12， b＝1.5＋2 0.5＝1， 又最小正周期T＝4＝2ωπ， 所以ω＝π2.又0×ω＋φ＝0， 所以φ＝0.
9．已知函数f(x)＝12sin 2xsin φ＋cos2x·cos φ－12sin(π2
＋φ)(0＜φ＜π)，其图象过点π6，12. (1)求φ的值；
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来
的
1 2
，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)
在0，π4上的最大值和最小值．
＝－2sin(2x－
π 6
)，所以
由2kπ＋π2≤2x－π6≤2kπ＋32π(k∈Z)，得kπ＋π3≤x≤kπ＋
56π(k∈Z)．又x∈[0，π]，所以π3≤x≤56π.
答案：C
3．将函数y＝cos
x的图象向左平移
π 2
个单位长度，
得到函数y＝f(x)的图象，则下列说法正确的是( )
A．y＝f(x)的最小正周期为π
解：(1)f(x)＝12sin
2xsin
φ＋cos
2x＋1 2·
cos φ－12cos φ＝12(sin 2xsin φ＋cos 2xcos φ)＝12cos(2x－φ)．
又因为f(x)过点π6，12，
所以12＝12cosπ3－φ，cosπ3－φ＝1.由0＜φ＜π，知φ＝π3.
所以f(x)的解析式为f(x)＝12sinπ2x＋1. 答案：C
剖析：(1)掌握“φ”在y＝Asin(ωx＋φ)的图象中的 作用；
(2)理解“A”与“ω”的作用，同时综合成y＝Asin ωx 图象的作法．
3．三角函数图象性质的应用
设函数f(x)＝3sin(ωx＋φ) ω>0，－π2<φ<π2 的图
答案： 2
8．若函数f(x)＝2sin ωx(ω＞0)在 －23π，23π 上单调 递增，则ω的最大值为________．
解析：因为f(x)在 －T4，T4 上递增，故 －23π，23π ⊆ －T4 ，T4 ，即T4 ≥23π.所以ωmax＝34.
答案：34
③：令x＝51π2，得f(x)＝3sin π＝0，正确． ④：应平移1π2个单位长度，错误． 答案：①③
剖析：(1)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已 知函数模型求解数学问题；二是把实际问题转化成数学问 题，建立数学模型再利用三角函数的有关知识解决问题．
(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数． (3)研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个 整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．
(2)由(1)知，f(x)＝12cos2x－π3.
将f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的
1 2
，纵坐
标不变，变为g(x)＝12cos4x－π3.
因为0≤x≤π4，所以－π3≤4x－π3≤23π.
当4x－π3＝0，即x＝1π2时，g(x)有最大值12；当4x－π3
＝23π，即x＝π4时，g(x)有最小值－14.
φ ω
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
(1)将函数y＝sin x－π3 的图象上所有点的横坐 标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左
平移π3个单位，得到的图象对应的解析式是( )
A．y＝sin 12x
B．y＝sin12x－π2
C．y＝sin12x－π6
(2)因为当x＝1π2时，f(x)有最大值4，所以A＝4. 所以4＝4sin3×1π2＋φ， 所以sinπ4＋φ＝1.即π4＋φ＝2kπ＋π2，得φ＝2kπ＋π4(k ∈Z). 因为0＜φ＜π，所以φ＝π4. 故f(x)＝4sin3x＋π4.
(3)因为f 23α＋1π2＝4sin[3(23α＋1π2)＋π4]＝4sin2α＋π2 ＝4cos 2α.
由f 23α＋1π2＝152，得4cos 2α＝152，所以cos 2α＝35，
所以sin2α＝12(1－cos
2α)＝15，得sin
α＝±
5 5.
5．为了得到函数y＝cos
1 3
x的图象，只需要把y＝
cos x图象上所有的点的( )
A．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变
B．横坐标缩小到原来的13，纵坐标不变
C．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变
D．纵坐标缩小到原来的13，横坐标不变
答案：A
6．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A、ω、φ为常数，A＞0，ω ＞0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝______．
要找五个特征点
如下表所示：
x
0－φ π2－φ π－φ 32π－φ 2π－φ
ωωω
ω
ω
ωx＋φ
____
π 2
____
3π 2
____
y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
答案：0 π 2π
3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的图象的步骤如下
答案：|φ|
解析：由函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象可知，
T 2
＝
－π3
－－23π＝π3，所以T＝23π.因为T＝2ωπ＝23π，所以ω＝3.
答案：3
7．若动直线x＝a与函数f(x)＝sin x和g(x)＝cos x的 图象分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为_______．
解析：设x＝a与f(x)＝sin x的交点为M(a，y1)，x＝a 与g(x)＝cos x的交点为N(a，y2)，则|MN|＝|y1－y2|＝|sin a－cos a|＝ 2sina－π4≤ 2.
解析：因为最小正周期为π，所以2ωπ＝π，即ω＝2，
所以f(x)＝3sin(2x＋φ)，f 23π＝3sin43π＋φ，
则sin
43π＋φ
＝±1.又φ∈
－π2，π2
，
4π 3
＋φ∈
56π，116π，所以43π＋φ＝32π，即φ＝π6，
所以f(x)＝3sin2x＋π6. ①：令x＝0，得f(x)＝32，正确． ②：令2kπ＋π2≤2x＋π6≤2kπ＋32π，k∈Z， 解得kπ＋π6≤x≤kπ＋23π，k∈Z.令k＝0，得π6≤x≤23π， 即f(x)在 π6，23π 上单调递减，而在 1π2，π6 上单调递增， 错误．
(2)y＝cos 2x→y＝cos(2x＋1)＝cos2x＋12. 答案：(1)C (2)C 剖析：(1)熟悉参数A、ω、φ对函数y＝Asin(ωx＋φ) 图象的影响． (2)熟练掌握由y＝sin x的图象得到函数y＝Asin(ωx＋ φ)＋k(x∈R)的图象的方法．
2．由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象如图所示，则
D．y＝sin2x－π6
(2)要得到函数y＝cos(2x＋1)的图象，只要将函数y ＝cos 2x的图象( )
A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位 C．向左平移12个单位 D．向右平移12个单位 解析：(1)将函数y＝sinx－π3的图象上所有点的横坐 标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，可得函数y＝ sin 12x－π3 ，再将所得的图象向左平移 π3 个单位，得函数y ＝sin12x＋π3－π3，即y＝sin12x－π6.
象关于直线x＝
2π 3
对称，它的最小正周期是π，则下列说
法正确的是________(填序号)．
①f(x)的图象过点0，32；
②f(x)在1π2，23π上是减函数；
③f(x)的一个对称中心是51π2，0； ④将f(x)的图象向右平移|φ|个单位长度得到函数y＝
3sin ωx的图象．
专题七 基本初等函数Ⅱ（三角函数）
第28讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx 振幅 周期 频率 相位
＋φ)(A>0， ω>0)，x∈R
A
T＝2ωπ f＝T1＝2ωπ ____
初相 ____
答案：ωx＋φ φ
2.用五点法画 y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，