2.1 二阶矩阵与平面列向量 (2)
矩阵与变换
一般地，对于平面上的任意一点（向量） ( x, y ), 若按照对应法则T，总能对应唯一的一个 平面点(向量） x, y ), 则称T 为一个变换，简记 （ 为 T： , y ) x, y )， (x （ 或 x x T： . y y
一般地，对于平面向量的变换T，如果变换 规则为 x x ax + by T： y , 坐标变换的形式 y cx + dy 那么，根据二阶矩阵与向量的乘法规则可以改写为 x x a b x T： y y 矩阵乘法的形式 y c d 的矩阵形式，反之亦然（a, b, c, d R ).
一般地，称形如M1,M2,M3,M4,M5这 样的矩阵为反射变换矩阵，对应的变换叫 做反射变换，其中（2）叫做中心反射， 其余叫轴反射.其中定直线叫做反射轴， 定点称为反射点.
M(l1+l2b) l1M+l2Mb 上式表明，在矩阵M的作用下，直线 l1+l2b 变成直线 l1M+l2Mb. 这种把直线变成直线的变换，通常叫做线 性变换。
切变变换
矩阵
1 k 0 1 把平面上的点P(x,
y)沿x轴方向
平移|ky|个单位: 当ky>0时，沿x轴正方向移动； 当ky<0时，沿x轴负方向移动； 当ky=0时，原地不动. 在此变换作用下，图形在x轴上的点是不动点。
像由矩阵
1 k 0 1 确定的变换通常叫做切变变换,
二阶单位矩阵一般记为E
1 M 垂直伸压变换矩阵： 0
0 1 2
2 N 0
0 1
将平面图形作沿y轴方向伸长或压缩,或作 沿x轴方向伸长或压缩的变换矩阵,通常称做沿 y轴或x轴的垂直伸压变换矩阵. 伸压变换：
苏教版高中数学章节目录(泰州地区)
苏教版高中数学章节目录(泰州地区)必修一第一章集合1.1 集合的含义及其表示1.2 子集、全集、补集1.3 交集、并集第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ2.1 函数的概念和图象2.2 指数函数2.3 对数函数2.4 幂函数2.5 函数与方程2.6 函数模型及其应用必修二第一章立体几何初步1.1 空间几何体1.2 点、线、面之间的位置关系1.3 空间几何体的表面积和体积第二章2.1 直线与方程2.2 圆与方程2.3 空间直角坐标系必修三第一章算法初步1.1 算法的含义1.2 流程图1.3 基本算法语句1.4算法案例第二章统计2.1 抽样方法2.2 总体分布的估计2.3 总体特征数的估计2.4 线性回归方程第三章概率3.1 随机事件及其概率3.2 古典概型3.3 几何概型3.4 互斥事件必修四第一章三角函数1.1 任意角、弧度1.2 任意角的三角函数1.3 三角函数的图象和性质第二章平面向量2.1 向量的概念和表示2.2 向量的线性运算2.3 向量的坐标表示2.4 向量的数量积2.5 向量的应用第三章三角恒等变换3.1 两角和与差的三角函数3.2 二倍角的三角函数3.3 几个三角恒等式必修五第一章解三角型1.1 正弦定理1.2 余弦定理1.3 正弦定理、余弦定理的应用第二章数列3.1 数列2.2 等差数列2.3 等比数列第三章不等式3.1 不等关系3.2 一元二次不等式3.3 二元一次不等式与简单的线性规划问题3.4 基本不等式选修2-1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 简单的逻辑联结词1.3 全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1 圆锥曲线2.2 椭圆2.3 双曲线2.4 抛物线2.5 圆锥曲线的统一定义2.6 曲线与方程第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算3.2 空间向量的应用选修2-2第一章导数及其应用1.1 导数的概念1.2 导数的运算1.3 导数在研究函数中的应用1.4 导数在实际生活中的应用1.5 定积分第二章推理与证明2.1 合情推理2.2 直接证明与间接证明2.3 数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充3.2 复数的四则运算3.3 复数的几何意义选修2-3第一章计数原理1.1 两个基本计数原理1.2 排列1.3 组合1.4 计数应用题1.5 二项式定理第二章概率2.1 随机变量及其概率分布2.2 超几休分布2.3 独立性2.4 二项分布2.5 随机变量的均值和方差2.6 正态分布第三章统计案例3.1 独立性检验3.2 回归分析选修4-2 矩阵与变换2.1 二阶矩阵与平面向量2.1.1 矩阵的概念2.1.2 二阶矩阵与平面列向量的乘法2.2 几何常见的平面变换2.2.1 恒等变换 2.2.2 伸压变换 2.2.3 反射变换 2.2.4 旋转变换2.2.5 投影变换2.2.6 切变变换2.3 变换的复合与矩阵乘法2.3.1 矩阵乘法的概念2.3.2 矩阵乘法的简单性质2.4 逆变换与逆矩阵2.4.1 逆矩阵的概念2.4.2 二阶矩阵与二元一次方程组2.5 特征值与特征向量2.6 矩阵的简单应用选修4-4 坐标系与参数方程4.1 坐标系4.1.1 直角坐标系4.1.2 极坐标系4.1.3 球坐标系4.2 曲线的极坐标方程4.2.1 曲线的极坐标方程的意义4.2.2 常见曲线的极坐标方程4.3 平面坐标系中几种常见变换4.3.1 平面直角坐标系中的平移变换4.3.2 平面直角坐标系中的伸缩变换4.4 参数方程4.4.1 参数方程的意义4.4.2 参数方程与普通方程的互化4.4.3 参数方程的应用4.4.4 平摆线与圆的渐开线感谢您使用本店文档您的满意是我们的永恒的追求！（本句可删）------------------------------------------------------------------------------------------------------------。
高中数学：-矩阵与变换-(新人教A选修-)PPT课件
2 0
0
1
x y
2x
y
T:xyxy2yx
表示的几何变换为:纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍.
8.二元一次方程组 ax by e 可以表示为
cx
dy f
系数矩阵
a
c
b x e
d
y
f
2021
9
2.2 几种常见的平面变换
1.恒等变换矩阵(单位矩阵)为E:
1
0
0
1
2.恒等变换是指对平面上任何一点(向量)或图形施以
s c io n s c s o is n x y x xs c io n s y yc so in s x y
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14
2.2 几种常见的平面变换
cos sin
sin
cos
0 1 0 1
1
0
,
-1
0
0 1x y 1 0y x
T:xyxyyx
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1 0
0 1 2
x y
x y 2
T
:
x y
x
y
x
y
2
1 0 2 0
0
2 , 0
1
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11
2.2 几种常见的平面变换
4.反射变换矩阵是指将平面图形变为关于定直线或定 点对称的平面图形的变换矩阵.
1 0x x
0
1y y
T:xyxyyx
1 0
10,10
矩阵
1
0
0
1
对应的变换,都把自己变为自己.
1 0 x x
x x x
0
1
y
y
T:yyy
1二阶矩阵与平面向量
2.1 二阶矩阵与平面向量学习目标：1.矩阵的相关知识，如行、列、元素，零矩阵的意义和表示；2.握二阶矩阵与平面列向量的乘法法则；3.理解矩阵对应着向量集合到向量集合的映射。
学习过程：一、课前预习1. 矩阵的概念我们把形如24⎡⎤⎢⎥⎣⎦，80906085⎡⎤⎢⎥⎣⎦，23324m -⎡⎤⎢⎥⎣⎦这样的 （或 ）阵列称为矩阵. 用大写黑体拉丁字母 或者 来表示矩阵，其中,i j 分别表示 所在的 与 . 同一横排中按原来次序排列的一行数（或字母）叫做 ；同一竖排中按原来次序排列的一列数（或字母）叫做 ；而组成矩阵的每一个数（或字母）称为 .2. 与矩阵有关的概念（1）零矩阵： ，记为 .（2）行矩阵： .（3）列矩阵： ，通常用 来表示.（4）n 阶矩阵n 阶矩阵.形如a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的数表称为二阶矩阵. 3. 矩阵相等： ，记作 .4. 矩阵与平面向量的关系平面上向量(,)a x y =的坐标和平面上的点(,)P x y 都可以看成是行矩阵[,]x y ，也可以看成是x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.因此，常把[,]x y 称为行向量，把x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦称为列向量.习惯上，把平面向量(,)x y 的坐标写成列向量x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的形式.因此，x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦既可以表示点(,)x y ，也可以表示(,)OP x y =，在不引起混淆的情况下，不加以区别.5.行矩阵[]1112a a 与列矩阵1121b b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的乘法规则为： 。
6.二阶矩阵11122122a a a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦与列向量00x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的乘法规则： 。
7.矩阵的变换一般地，对于平面上的任意一个点（向量）(,)x y ，按照对应法则T ，总能对应唯一的一个平面点（向量）(,)x y ''，则称T 为一个 ，简记为： 或 由矩阵M 确定的变换T ，通常记作 .二、典型例题例1．（1）设矩阵A 为二阶矩阵，且规定其元素2,1,2;1,2ij a i j i j =+==，则A= 。
高中数学第1课时二阶矩阵二阶矩阵与平面向量的乘法二阶矩阵与线性变换教案新人教A版选修4 (9)
2.2 二项分布一、教学目标：1、知识与技能：理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题。
2、过程与方法：能进行一些与n 次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算。
3、情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。
二、教学重点：理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题。
教学难点：能进行一些与n 次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算。
三、教学方法：讨论交流，探析归纳四、教学过程（二）、探析新课：1 独立重复试验的定义：指在同样条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验2．独立重复试验的概率公式：一般地，如果在1次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率k n k k n n P P C k P --=)1()(．它是[](1)nP P -+展开式的第1k +项 3.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是k n k k n n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）． 于是得到随机变量ξ的概率分布如下：由于k n k k n q p C -恰好是二项展开式011100)(q p C q p C q p C q p C p q n n n k n k k n n n n n n +++++=+--中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布（binomial distribution )，记作ξ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数，并记k n k k n q p C -＝b (k ；n ， p )．例1．某射手每次射击击中目标的概率是0 . 8.求这名射手在 10 次射击中，(1)恰有 8 次击中目标的概率； (2)至少有 8 次击中目标的概率．（结果保留两个有效数字．)例2．某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留两个有效数字）：（1）5次预报中恰有4次准确的概率；（2）5次预报中至少有4次准确的概率例3．某车间的5台机床在1小时内需要工人照管的概率都是14，求1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率是多少？（结果保留两个有效数字）例4．某人对一目标进行射击，每次命中率都是0.25，若使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击几次？例5．重复抛掷一枚筛子5次得到点数为6的次数记为ξ，求P(ξ>3)．（四）、课堂练习：1.．十层电梯从低层到顶层停不少于3次的概率是多少？停几次概率最大？2．实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）．（1）试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率．（2）按比赛规则甲获胜的概率．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
高中数学 2.1.1矩阵的概念教案 苏教版选修4-2
3.设A= , B= , 若A=B , 试求x , y , m , n .
4.下图是各大洋面积统计表.
海洋名
情感、态度与价值观：提供自主探索的空间，通过研究实例，学会从实际出发探究问题，总结过程，得出结论。
教学重点：恒等变换、伸压变换的概念
教学难点：恒等变换、伸压变换的矩阵
教学过程：
一、问题情境:
已知△ABC , A(2 , 0) , B(-1 , 0) , C(0 , 2) , 它们在变换T作用下保持位置不变, 能否用矩阵M来表示这一变换?
思考: 若旋转30°, 结果如何呢? 旋转45°呢?
例2、求△ABC在矩阵M= 作用下变换得到的图形, 并画出示意图, 其中A(0 , 0) , B(2 , ), C(0 , 3) .
例3、已知曲线C : y=lgx , 将它绕原点顺时针旋转90°得到曲线C′, 求C′的方程.
四、课堂小结：
五、课堂练习：练习: 书P337 , 8
六、回顾反思：
七、课外作业：
1. 将图形变换为关于x轴对称的图形的变换矩阵为_____________ .
将图形变换为关于y轴对称的图形的变换矩阵为_____________ .
将图形变换为关于原点对称的图形的变换矩阵为_____________ .
2.求△ABC在矩阵M= 作用下变换得到的图形, 其中A(1 , 1) , B(4 , 2) , C(3 , 0) .
四、课堂小结：
五、课堂练习：P331 , 2 .
苏教版高中数学高二选修4-2二阶矩阵与平面列向量的乘法
选修4－2矩阵与变换 2.1.2 二阶矩阵与平面列向量的乘法编写人： 编号：002学习目标1、 掌握二阶矩阵与平面列向量的乘法规则。
2、 理解矩阵对应着向量集合到向量集合的映射。
学习过程：一、预习：（一）阅读教材，解决下列问题：规定比赛的最后成绩由初赛和复赛综合裁定,其中初赛占40%,复赛占60%.则甲和乙的综合成绩分别是多少?（二）一般地，我们规定行矩阵[a 11 a 12]与列矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡2111b b 的乘法规则为：二阶矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡22211211a a a a 与列向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡00y x 的乘法规则为：（三）一般地，对于 则称T 为一个变换。
简记为：或练习1、计算：（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡121011 （2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡1201102、已知平面上一个正方形ABCD （顺时针）的四个顶点用矩阵表示为⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a 4000，求a ，b ，c ，d 的值及正方形ABCD 的面积.3、已知变换⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''→⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x y x y x y x 252，试将它写成矩阵的乘法形式.二、课堂训练：例1．计算⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x 1002思考：二阶矩阵M 与列向量的乘法⎥⎦⎤⎢⎣⎡→⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x M y x 和函数)(x f x →的定义有什么异同？例2．（1）已知变换⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡→⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x y x y x 2341''，试将它写成坐标变换的形式； （2）已知变换⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡→⎥⎦⎤⎢⎣⎡y y x y x y x 3''，试将它写成矩阵乘法的形式；例3．已知变换⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''→⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x y x y x y x 252，试将它写成矩阵的乘法形式.例4. 已知矩阵[])(x f A =，[]x x B -=1，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=a 2x C ，若A=BC ，求函数)x (f 在[1,2] 上的最小值.三、课后巩固：1、用矩阵与向量的乘法的形式表示方程组⎩⎨⎧-=-=+1y 2x 2y 3x 2其中正确的是（ ）A 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-122132y xB 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-122312y x C 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-122132y x D 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-121223y x 2、计算:⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡321110=__________ 3、点A （1，2）在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1022对应的变换作用下得到的点的坐标是___________ 4、设矩阵A 为二阶矩阵，且规定其元素，0=+ji ij a a i=1，2，j=1，2，且2a a 2112=-，试求A.5. 若点A 在矩阵1222-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦对应的变换作用下下得到的点为（2，4），求点A 的坐标.6、已知△ABO 的顶点坐标分别是A （4，2），B （2，4），O （0，0）,计算在变换T M =1111⎡⎤⎢⎥-⎣⎦之下三个顶点ABO 的对应点的坐标.。
二阶矩阵与平面图形的变换矩阵的运算法则及其性质二阶矩阵的特征值怎么求
一、二阶矩阵与平面图形的变换
（1）二阶矩阵的定义：由4个数a，b，c，d排成的正方形数表
称为二阶矩阵；
（2）几种特殊线性变换：主要有旋转变换、反射变换、伸压变换、投影变换、切变变换这几种。
求经矩阵变换后的解析式常采用数形结合的方法，先观察是属于哪一种变换，然后利用解析几何中的相关点法（转移代入法）来解。
二、矩阵的定义：
由m×n个数排成的m行n列的表
称为m行n列矩阵（matrix），简称m×n矩阵。
特殊形式矩阵：
（1）n阶方阵：在矩阵中，当m=n时，A称为n阶方阵；
（2）行矩阵：只有一行的矩阵叫做行矩阵；
列矩阵：只有一列的矩阵，叫做列矩阵；
（3）零矩阵：元素都是零的矩阵称作零矩阵。
三、矩阵的运算律：
（1）矩阵的和（差）：当两个矩阵A、B的维数相同时，将它们各位置上的元素加（减）所得到的矩阵称为矩阵A、B的和（差），记作：。
运算律：加法运算律：；
加法结合律：。
（2）数乘矩阵：矩阵与实数的积：设为任意实数，把矩阵A的所有元素与相乘得到的矩阵叫做矩阵A与实数的乘积矩阵，记作：A。
运算律：（）
分配律：；
结合律：。
（3）矩阵的乘积：一般地，设A是m×k阶矩阵，B是k×n阶矩阵，设C为m×n矩阵，如果矩阵C中第i行第j列元素是矩阵A第i个行向量与矩阵B的第j个列向量的数量积，那么矩阵C叫做A与B的乘积，记作：C=AB。
运算律：
分配律：；；
结合律：；。
注：（1）交换律不成立，即：AB≠BA；（2）只有当矩阵A的列数与矩阵B的行数相等时，矩阵之积才有意义。
1.二阶矩阵、二阶矩阵与平面向量的乘法、二阶矩阵与线性变换
第一讲二阶矩阵、二阶矩阵与平面向量的乘法、二阶矩阵与线性变换。
一、二阶矩阵1.矩阵的概念① =OP → →[23][23]初赛复赛甲8090乙8688③概念一：象 的矩形数字（或字母）阵列称为矩[23]80908688⎡⎤⎢⎥⎣⎦23324m ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦阵.通常用大写的拉丁字母A 、B 、C…表示， 横排叫做矩阵的行,竖排叫做矩阵的列.名称介绍：①上述三个矩阵分别是2×1矩阵，2×2矩阵（二阶矩阵），2×3矩阵，注意行的个数在前。
②矩阵相等：行数、列数相等，对应的元素也相等的两个矩阵，称为A ＝B 。
③行矩阵：[a 11,a 12]（仅有一行）④列矩阵：（仅有一列）[a11a21]⑤向量＝（x,y ），平面上的点P （x,y ）都可以看成行矩阵或a →[,]x y 列矩阵，在本书中规定所有的平面向量均写成列向量的形式。
x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦练习1：1.已知,，若A=B ，试求⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=243x A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=21z y B z y x ,,2.设，，若A=B ，求x,y,m,n 的值。
23x A y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦2m n x y B x y m n ++⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦概念二：由4个数a,b,c,d 排成的正方形数表称为二阶矩阵。
a,b,c,d a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦称为矩阵的元素。
①零矩阵：所有元素均为0，即，记为0。
0000⎡⎤⎢⎥⎣⎦②二阶单位矩阵：，记为E 2.1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、二阶矩阵与平面向量的乘法定义：规定二阶矩阵A=，与向量的乘积为a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦x y α→⎡⎤=⎢⎥⎣⎦23m 3－24—2—3—[80 9086 88]23324x y mz x y z ++=⎧⎨-+=⎩23324m ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，即＝＝ax by A cx dy α→+⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦A α→a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ax by cx dy +⎡⎤⎢⎥+⎣⎦练习2：1.（1）＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-131021（2） ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3110212.=，求⎥⎦⎤⎢⎣⎡2101⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x 三、二阶矩阵与线性变换1.旋转变换问题1:P （x,y ）绕原点逆时针旋转180o 得到P ’(x ’,y ’),称P ’为P在此旋转变换作用下的象。
高考讲坛高考数学一轮复习 第1节 二阶矩阵、平面变换与矩阵的乘法课件 理 苏教版选修42
【规律方法】 1．本题可先求出曲线 C′在矩阵 M 所对应的变换作用下得到 曲线 C′的方程再与方程x42＋y2＝1 加以比较得出 a，b 的值，也可 在曲线 C′上取两特殊点经阵 M 所对应的变换作用下得到点在曲 线 C′上，代入 C′方程，求出 a，b 的值． 2．二阶矩阵与线性变换涉及变换矩阵，变换前的曲线方程， 变换后的曲线方程三个要素，知其二可求第三个．
固
启
基
智
础
慧
·
·
自 主
选修 4－2 矩阵与变换
高 考
落
研
实
析
第一节 二阶矩阵、平面变换与矩阵的乘法
提
知
课
能
后·限典时 Nhomakorabea例
自
探
测
究
要求
内容
考
AB C
纲
矩阵的概念
√
传
二阶矩阵与平面向量
√
真
常见的平面变换 √
矩阵的乘法
√
1．矩阵的概念 (1)矩阵：排成的矩形数字(或字母)阵列称做矩阵．组成矩阵的 每一个数(或字母)称为矩阵的元素． (2)二阶矩阵： 2行2列 的矩阵称为二阶矩阵．通常记为 2×2 矩阵． (3)零矩阵： 所有元素都为0 的矩阵叫做零矩阵，记为 0.
(4)单位矩阵：矩阵10 01称为单位矩阵．记为 E. (5)矩阵相等，对于两个矩阵 A、B，只有当 A、B 的行数与列 数 分别相等，并且 对应位置的元素 也分别相等时，A 和 B 才相 等，记作 A＝B.
2．二阶矩阵与平面向量的乘法
(1)行矩阵a11 a12与列矩阵bb1211的乘法规则为a11 a12 bb1211＝
[解] 设曲线 C′：x2＋y2＝1 上任意一点 P(x，y)，在矩阵 M 所对应的变换作用下得到点 P1(x1，y1)，
高三数学《第96课 矩阵》基础教案
第96课时 二阶矩阵与平面向量、平面变换一．课标解读了解矩阵的有关概念，掌握二阶矩阵与平面列向量的乘法二．课前预习1.已知A =4x ⎡⎢⎣ 32⎤⎥-⎦，B =1z ⎡⎢⎣ 2y ⎤⎥-⎦，若A =B ，求x y z ++= .2.(1)将变换''13x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡→=⎢⎥⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎣⎦ 42x y ⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎦⎣⎦写成坐标变换的形式为 . (2) 将变换''3x x x y y y y ⎡⎤-⎡⎤⎡⎤→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦写成矩阵乘法的形式为 . 3在矩阵3123⎡⎤⎢⎥-⎣⎦作用下得到点(2,5)-的平面上的点P 的坐标为 . 4.(1)矩阵1212⎡⎢⎢⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应的变换为 ；(2) 1201⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换为 ； （3）0001⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换为 ； （4）1001-⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换为 ； （5）2001⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换为 .三．典型例题例1.已知曲线1xy =，将它绕坐标原点顺时针旋转90︒后，会得到什么曲线？曲线方程是什么？例2.求线段AB 在1212⎡⎢⎢⎢-⎢⎣ 1212⎤-⎥⎥⎥⎥⎦作用下变换的图形，其中A(0,0)，B(1,2).例3.如图，求把平行四边形ABCD 变成矩形''''A B C D 的变换矩阵M ，其中A(-2,0)，B(2,0)，C(3,2)，D(-1,2)，'A (-2,0)，'B (2,0)，'C (2,2)，'D (-2,2).[来源:高考学习网XK][来源:学.科.网][来源:学,科,网Z,X,X,K]例4.已知O （0,0）,A （2,1）,O ，A ，B ，C 依逆时针方向构成正方形的四个顶点。
（1）求B ，C 两点的坐标（2）把正方形OABC 绕点A 按顺时针方向旋转450得到正方形AB ’C ’O ’，求B ’、C ’、O ’三点的坐标。
矩阵与变换
矩阵知识点归纳一、二阶矩阵：了解二阶矩阵的概念1. 线性变换在平面直角坐标系xOy 中，形如⎩⎨⎧x′＝ax ＋by ，y′＝cx ＋dy ，(其中a ，b ，c ，d 是常数)的几何变换2. 二阶矩阵由四个数a ，b ，c ，d 排成的正方形数表⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 称为，其中a ，b ，c ，d 称为矩阵的元素，矩阵常用大写字母A ，B ，C 表示 3、变换、矩阵的相等练习：已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=243x A ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=21z y B ，若A=B ，试求z y x ,, 二、二阶矩阵与平面向量（列向量）的乘法、平面图形的变换1. 了解矩阵与向量的乘法的意义，会用映射与变换的观点看待二阶矩阵与平面向量的乘法（1）向量a →＝（x,y ），平面上的点P （x,y ）都可以看成行矩阵[,]x y 或列矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，在本书中规定所有的平面向量均写成列向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 的形式（2）二阶矩阵A=⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 与列矩阵a →=⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 的乘法规则为A a →=⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax ＋by cx ＋dy . （3）变换的矩阵表示练习：1. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-131021 2．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2101⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11，求⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x 2. 理解矩阵变换把平面上的直线变成直线（或点），即1212()A A A λαλβλαλβ+=+ （1）设向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，规定实数λ与向量α的乘积λα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤λx λy（2）设向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x1y1，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x2y2，规定向量α与β的和α＋β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x1＋x2y1＋y2 （3）设A 是一个二阶矩阵，α、β是平面上的任意两个向量，λ是一个任意实数，则①A(λα)＝λA α，② A(α＋β)＝A α＋A β 等价于1212()A A A λαλβλαλβ+=+ （4）二阶矩阵对应的变换(线性变换)把平面上的直线变成直线(或一点)练习：1. 在切变变换ρ：1021⎡⎤⎢⎥-⎣⎦作用下，直线y=2x-1变为2. 在A ＝0.5121-⎡⎤⎢⎥⎣⎦作用下，直线l 变为y=-2x-3,则直线l 为 3.在1010⎡⎤⎢⎥-⎣⎦对应的线性边变换作用下，椭圆22124x y +=变为 4.曲线C 在1021⎡⎤⎢⎥-⎣⎦作用下得到圆(x+1)2+(y+1)2=1，则C 方程为 3. 了解几种常见的平面变换：恒等变换、旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换．(1)恒等变换：矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1； (2)旋转变换：逆时针旋转θ角，Rθ对应的矩阵是A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos θ －sin θsin θ cos θ； (3)反射变换：点变换成它关于直线l 的对称点关于x 轴对称：A1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1 关于y 轴对称：A2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1 (4)伸缩变换：将每个点的横坐标变为原来的k 1倍，纵坐标变为原来的k 2倍，k 1，k 2均为非零常数，对应的二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 1 00 k 2 (5)投影变换：将点变换成它在直线l 上的投影（过点作直线的垂线，垂足就是点在直线上的投影） 关于x 轴的投影变换矩阵为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0 (6)切变变换：每个点沿与x 轴（y 轴）平行的方向平移|ky|(|kx|)个单位，其中k为非零常数，则对应矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 k 0 1（A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0k 1） 三、变换的复合——二阶方阵的乘法（1）了解矩阵与矩阵的乘法的意义设矩阵A ＝1111a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ＝2222a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则A 与B 的乘积AB ＝1111a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦2222a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝ 练习：1.计算⎢⎣⎡21 ⎥⎦⎤11-⎢⎣⎡21 ⎥⎦⎤101324⎛⎫ ⎪⎝⎭1104-⎛⎫⎪⎝⎭2.求13α→⎡⎤=⎢⎥⎣⎦在经过σ：A=1021⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，及ρ：B=1201⎡⎤⎢⎥⎣⎦两次变换后的像β→ （2）理解矩阵乘法不满足交换律Ａ＝0111⎡⎤⎢⎥⎣⎦，Ｂ＝1123-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ AB ≠BA （3）会验证二阶方阵乘法满足结合律：(AB)C=A(BC)Ａ＝0111⎡⎤⎢⎥⎣⎦，Ｂ＝1123-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，Ｃ＝0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦（4）理解矩阵乘法不满足消去律:AB=AC 不等价于B=C ，零矩阵四、逆矩阵与二阶行列式（1） 理解逆矩阵的意义，懂得逆矩阵可能不存在（投影变换）①设ρ是一个线性变换，如果存在线性变换σ，使得σρ＝ρσ＝I ，则称变换ρ可逆．并且称σ是ρ的逆变换②设A 是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵B ，使得BA ＝AB ＝E ，则称矩阵A 可逆，或称矩阵A 是可逆矩阵，并且称B 是A 的逆矩阵（2）理解逆矩阵的唯一性和111()AB B A ---= 等性质，了解其在变换中的意义 ①设A 是一个二阶矩阵，如果A 是可逆的，则A 的逆矩阵是唯一的，记为A －1 ②设A ，B 是二阶矩阵，如果A ，B 都可逆，则AB 也可逆，且(AB)－1＝B －1A －1 （3）了解二阶行列式的定义，会用二阶行列式求逆矩阵①矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 等价于ad －bc ≠0 ②把ad －bc 称为二阶行列式，记为det A=|A|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ③二.阶可逆矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤dad －bc－b ad －bc －c ad －bc a ad －bc练习：1.A ＝3142⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ＝2142⎛⎫⎪⎝⎭是否可逆？若可逆，求其逆矩阵2.矩阵0111⎛⎫ ⎪⎝⎭的逆矩阵为3.ρ：''x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1101-⎛⎫ ⎪⎝⎭x y ⎛⎫⎪⎝⎭，求点（－2，3）在ρ－1的作用下的点的坐标五、二阶矩阵与二元一次方程组（1）能用变换与映射的观点认识解线性方程组的意义①方程组ax by ecx dy f +=⎧⎨+=⎩可写成矩阵形式为②设变换ρ：a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭，向量x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭、e f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则方程组ax by ecx dy f +=⎧⎨+=⎩可写成线性变换形式为ρx y ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝e f ⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）会用系数矩阵的逆矩阵解线性方程组如果关于x,y 的二元一次方程组ax by e cx dy f +=⎧⎨+=⎩的系数矩阵A ＝a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭是可逆的，则该方程组有唯一解：x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1a b c d -⎛⎫ ⎪⎝⎭e f ⎛⎫⎪⎝⎭（3）理解线性方程组解的存在性、唯一性①如果关于x,y 的二元一次方程组ax by e cx dy f +=⎧⎨+=⎩的系数矩阵A ＝a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭是可逆的，则该方程组有唯一解：x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1a b c d -⎛⎫ ⎪⎝⎭e f ⎛⎫⎪⎝⎭②二元一次方程组00ax by cx dy +=⎧⎨+=⎩（a,b,c,d 不全为0），有非零解⇔a b c d ＝0练习：1.若关于x,y 的二元一次方程组304110x my x y +=⎧⎨-=⎩有非零解，则m ＝2.用逆矩阵的方法解方程组：①71130x y x y -=⎧⎨+=⎩ ②301240x y x y -=⎧⎨-=⎩ 六、变换的不变量（1）掌握矩阵特征值与特征向量的定义，理解特征向量的意义①设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，α称为A 的一个属于特征值λ的一个特征向量 ②几何意义：变成与自身共线的向量③如果ξ 是属于特征值λ的一个特征向量，则k ξ也是λ的特征向量，其中k ≠0 ④属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线 （2）会求二阶矩阵的特征值与特征向量（只要求特征值是两个不同实数的情形）①特征多项式：A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，把行列式f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d 称为A 的特征多项式 设λ是二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 的一个特征值，它的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎨⎧ ax ＋by ＝λx ，cx ＋dy ＝λy ，也即⎩⎨⎧(λ－a )x －by ＝0，－cx ＋(λ－d )y ＝0.(*) ②如果λ是二阶矩阵A 的特征值，则λ一定是二阶矩阵A 的特征多项式的一个根，即f(λ)＝0，此时，将λ代入二元一次方程组(*)，就可得到一组非零解⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，于是非零向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0即为A 的属于λ的一个特征向量练习：求下列矩阵的特征值及其对应的所有特征向量：① 0140⎛⎫ ⎪⎝⎭ ②1011-⎛⎫ ⎪⎝⎭七、矩阵的应用利用矩阵A 的特征值、特征向量给出A n α简单的表示，并能用它来解决问题①设矩阵A ＝a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭， α 是矩阵A 的属于特征值λ的任意一个特征向量，则n n A αλα=（*n N ∈）②设1λ、2λ是二阶矩阵A 的两个不同特征值，1ξ 、2ξ是矩阵A 的分别属于特征值1λ、2λ的特征向量，对于平面上任意一个非零向量α ，设1122t t αξξ=+ ，则nA α ＝111222n nt t λξλξ+练习：已知矩阵Ａ＝12532-⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，向量ξ ＝416⎛⎫ ⎪⎝⎭，求3A ξ选修4-2 矩阵与变换1. 设23x A y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，2m n x y B x y m n ++⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦，若A=B ，求x,y,m,n 的值。
1.二阶矩阵、二阶矩阵与平面向量的乘法、二阶矩阵与线性变换
第一讲二阶矩阵、二阶矩阵与平面向量的乘法、二阶矩阵与线性变换。
一、二阶矩阵 1.矩阵的概念①OP → =→的坐标排成一列，并简记为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 3③概念一： 象⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 3 80908688⎡⎤⎢⎥⎣⎦23324m ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦的矩形数字（或字母）阵列称为矩阵.通常用大写的拉丁字母A 、B 、C…表示， 横排叫做矩阵的行,竖排叫做矩阵的列. 名称介绍：①上述三个矩阵分别是2×1矩阵，2×2矩阵（二阶矩阵），2×3矩阵，注意行的个数在前。
②矩阵相等：行数、列数相等，对应的元素也相等的两个矩阵，称为A ＝B 。
③行矩阵：[a 11,a 12]（仅有一行）④列矩阵：⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 21 （仅有一列）⑤向量a →＝（x,y ），平面上的点P （x,y ）都可以看成行矩阵[,]x y 或列矩阵x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，在本书中规定所有的平面向量均写成列向量x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的形式。
练习1： 1.已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=243x A ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=21zy B ，若A=B ，试求z y x ,, 2.设23x A y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，2m n x y B x y m n ++⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦，若A=B ，求x,y,m,n 的值。
概念二： 由4个数a,b,c,d 排成的正方形数表a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦称为二阶矩阵。
a,b,c,d 称为矩阵的元素。
①零矩阵：所有元素均为0，即0000⎡⎤⎢⎥⎣⎦，记为0。
②二阶单位矩阵：1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦，记为E 2. 二、二阶矩阵与平面向量的乘法定义：规定二阶矩阵A=a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，与向量x y α→⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的乘积为— 2 — 3— ⎣⎡⎦⎤80 9086 88 231,3242x y m z x y z ++=⎧⎨-+=⎩简记为23324m ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ax by A cx dy α→+⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦，即A α→＝a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝ax by cx dy +⎡⎤⎢⎥+⎣⎦练习2： 1.（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-131021＝ （2） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-311021＝ 2.⎥⎦⎤⎢⎣⎡2101⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11，求⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x三、二阶矩阵与线性变换 1.旋转变换问题1:P （x,y ）绕原点逆时针旋转180o 得到P ’(x ’,y ’),称P ’为P 在此旋转变换作用下的象。
选修4-2矩阵与变换.docx
第 1 页共 21 页选修 4－ 2矩阵与变换第一节平面变换、变换的复合与矩阵的乘法1．二阶矩阵与平面向量(1) 矩阵的概念在数学中，把形如123134，1，20这样的矩形数字 (或字母 )阵列称为矩阵，其35－ 1中，同一横排中按原来次序排列的一行数(或字母 )叫做矩阵的行，同一竖排中按原来次序排列的一列数 (或字母 )叫做矩阵的列，而组成矩阵的每一个数(或字母 )称为矩阵的元素．(2)二阶矩阵与平面列向量的乘法① [a 11a12 ]b11＝ [ a11×b11＋ a 12×b 21 ] ；b21②a11a12x0＝a11× x0＋ a12× y0.a21a22 y0a21× x0＋ a22× y02．几种常见的平面变换10(1) 当 M ＝时，则对应的变换是恒等变换．01(2)k010由矩阵 M ＝或 M ＝(k>0) 确定的变换 T M称为 (垂直 )伸压变换．01k(3)反射变换是轴对称变换、中心对称变换的总称．cos θ － sin θ(4) 当 M ＝时，对应的变换叫旋转变换，即把平面图形(或点 )逆时针旋转sin θcos θθ角度．(5)将一个平面图投影到某条直线 (或某个点 )的变换称为投影变换．1k10 (6) 由矩阵 M ＝或 M ＝k 确定的变换称为切变变换．011 3．矩阵的乘法一般地，对于矩阵a11a12b11b12M ＝a22， N＝，规定乘法法则如下：a21b21b2211 12 11 12a bbb ba ab b11 11＋ a 12 21a 11 12＋ a 12 22MN ＝a 22b 21＝a 21b 11＋ a 22b 21.a 21 b22a 21b 12＋ a 22b 224．矩 乘法的几何意(1) 的复合：在数学中，一一 的平面几何 常可以看做是伸 、反射、旋 、切 的一次或多次复合，而伸 、反射、切 等 通常叫做初等 ； 的矩 叫做初等 矩 ．(2)MN 的几何意 ： 向量x 矩 乘法α＝ 施的两次几何 (先 T N 后 T M )y的复合 ．·(3) 当 向量 施 n ( n ＞ 1 且 n ∈ N * )次 T M ， 地我M n ＝ M ·M ·⋯ ·M .5．矩 乘法的运算性(1) 矩 乘法不 足交 律于二 矩A ，B 来 ，尽管 AB ， BA 均有意 ，但可能 AB ≠BA .(2) 矩 乘法 足 合律A ，B ，C 二 矩 ， 一定有(AB)C ＝ A(BC)．(3) 矩 乘法不 足消去律．A ，B ，C 二 矩 ，当 AB ＝ AC ，可能 B ≠C. [ 小 体 ]1 8 1 x1．已知矩 A ＝3，矩 B ＝.若 A ＝B ， x ＋ y ＝ ________.2y 3解析： 因 A ＝ B ，x ＝ 8， ＋ ＝10.所以y ＝ 2，x y答案： 102．已知x x ′2x ＋ 3y ， 它所 的 矩 ________．y→＝y ′x ＋ yxx ′ 2 3 x解析： 将它写成矩 的乘法形式→′ ＝1 ，所以它所 的 矩y1yy2 3 1 .12 3答案：111．矩 的乘法 着 的复合，而两个 的复合仍是一个 ，且两个 的复合 程是有序的，易 倒．2．矩阵乘法不满足交换律和消去律，但满足结合律．[ 小题纠偏 ]1 2 ， B ＝4 2 1．设 A ＝4k ，若 AB ＝ BA ，则实数 k 的值为 ________．37解析： AB ＝1 24 2 ＝4＋ 2k163 4k 7，12＋ 4k 3442 1 21016BA ＝ k7 34 ＝ ＋＋ 28，k 21 2k 因为 AB ＝ BA ，故 k ＝ 3.答案： 32．已知 A ＝1 0 ， B ＝－ 1 0－ 1 00 0 0 1， C ＝，计算 AB ， AC.0 － 1解： AB ＝1 0 － 1 0－ 1 00 1 ＝，1 0 － 10 － 1 0 . AC ＝0 0－ 1＝ 0 0 0考点一二阶矩阵的运算 基础送分型考点 —— 自主练透[ 题组练透 ]1 11 11．已知 A ＝2 2，计算 A 2， B 2.1 ， B ＝ － 1－ 1 1221 1 11 1 1 解： A 2＝2 2 2 2 2 2 . 1 1 1 ＝1 1 12 2222 21111B 2＝－ 1 － 1 － 1 ＝.－ 12．(2014 江·苏高考 )已知矩阵 A ＝－ 1 211 21 ，B ＝，向量 α＝ ，x ，y 为实数． 若x2－ 1 yA α＝B α，求 x ＋ y 的值．解： 由已知，得 A α＝ － 12 2 ＝ － 2＋ 2y ， α＝ 11 2 ＝ 2＋ y y2 － 1 y1 x 2＋ xy4－ y第 4 页共 21 页因为 A α＝ B α，所以 － 2＋ 2y2＋ y＝，2＋ xy 4－ y－ 2＋ 2y ＝ 2＋ y ，故2＋ xy ＝4－ y.x ＝－ 12，所以 x ＋ y ＝ 7 解得2.y ＝ 4.3．已知矩阵 A ＝1 0 － 4 3 31 ， B ＝ 4 － 2且 α＝ ，试判断 (AB)α与 A(B α)的关系．2 4解： 因为 AB ＝1 0－ 43 －4 31 2＝ ，4 － 2 4 － 1－ 43 3所以 (AB)α＝－ 1 4＝ ，48 因为 B α＝－433 ＝0 ，4 － 2441 0 0 0A(B α)＝24＝. 18所以 (AB)α＝ A(B α)．[ 谨记通法 ]1．矩阵的乘法规则两矩阵 M ， N 的乘积 C ＝ MN 是这样一个矩阵；(1) C 的行数与 M 的相同，列数与 N 的相同；(2) C 的第 i 行第 j 列的元素C ij 由 M 的第 i 行与 N 的第 j 列元素对应相乘求和得到． [ 提醒 ] 只有 M 的行数与 N 的列数相同时，才可以求MN ，否则无意义．2．矩阵的运算律(1) 结合律 (AB)C ＝ A(BC)；(2) 分配律 A(B ±C)＝ AB ±AC ， (B ±C)A ＝ BA ±CA ；(3) λ(AB)＝ (λA )B ＝ A( λB )．考点二平面变换的应用重点保分型考点 —— 师生共研[ 典例引领 ]2 － 2 2 2已知曲线 C ：xy ＝ 1，若矩阵 M ＝对应的变换将曲线C 变为曲线 C ′，求2 222曲线 C ′的方程．解： 设曲线 C 上一点 (x ′ ， y ′ )对应于曲线 C ′ 上一点 (x ，y)，2 － 222x ′x所以＝y，22 ′y222 222′＝所以x ＋ y y － x所以 ′ － ′ ＝ ， ′ ＋′ ＝ ，y ′ ＝ ，所以 x ′ y ′＝2 x2 yx2x2 yy.x22x ＋ y y － x ＝ 1，×2 2所以曲线 C ′ 的方程为 y 2－ x 2＝ 2.[ 由题悟法 ]利用平面变换解决问题的类型及方法：(1) 已知曲线 C 与变换矩阵，求曲线C 在变换矩阵对应的变换作用下得到的曲线C ′的表达式，常先转化为点的对应变换再用代入法(相关点法 )求解．(2) 已知曲线 C ′是曲线 C 在平面变换作用下得到的，求与平面变换对应的变换矩阵， 常根据变换前后曲线方程的特点设出变换矩阵，构建方程(组 )求解．[ 即时应用 ]a 022x ＋ y已知圆 C ：x 2＋ y 2＝ 1 在矩阵 A ＝(a>0，b>0) 对应的变换作用下变为椭圆＝0 b9 41，求 a ， b 的值．解：设 P(x ，y)为圆 C 上的任意一点， 在矩阵 A 对应的变换下变为另一个点 P ′ (x ′ ，y ′ )，x ′ a 0x x ′＝ ax ， 则 ＝，即y ′0 byy ′ ＝ by.2 2 2222xya xb y又因为点 P ′ (x ′ ， y ′ )在椭圆 9 ＋ 4 ＝ 1 上，所以 9 ＋ 4 ＝ 1. 由已知条件可知，x 2＋ y 2＝1，所以 a 2 ＝ 9， b 2＝ 4.因为 a>0 ， b>0 ，所以 a ＝ 3， b ＝ 2.考点三 变换的复合与矩阵的乘法 重点保分型考点 —— 师生共研[ 典例引领 ]在平面直角坐标系xOy 中，已知点 A(0,0)，B(－ 2,0)，C(－ 2,1)．设 k 为非零实数，矩阵k 0 0 1A 1，B 1，C 1，M ＝1 ， N ＝，点 A ， B ， C 在矩阵 MN 对应的变换下得到点分别为1 0△ A 1B 1C 1 的面积是△ ABC 面积的 2 倍，求 k 的值．k 0 0 1 0 k解： 由题设得 MN ＝1 1＝，1 0 由 0k 0 0 0 k － 2，＝，＝1 00 01－ 20 k －2k，可知 A 1(0,0)，B 1(0，－ 2)， C 1(k ，－ 2)．1 0＝1－ 2计算得△ABC 的面积是1，△A 1 1 1 的面积是 |k|，B C则由题设知： |k|＝ 2× 1＝ 2.所以 k 的值为 2 或－ 2.[ 由题悟法 ]矩阵的乘法对应着变换的复合，而两个变换的复合仍是一个变换，且两个变换的复合过程是有序的，不能颠倒．二阶矩阵的运算关键是记熟运算法则．[ 即时应用 ]1 0已知圆 C ：x 2＋ y 2＝ 1，先将圆 C 作关于矩阵 P ＝的伸压变换，再将所得图形绕原0 2点逆时针旋转 90°，求所得曲线的方程．0 － 1解： 绕原点逆时针旋转 90° 的变换矩阵 Q ＝，1 0则 M ＝ QP ＝0 － 11 0 0 － 210 2＝.1设 A(x 0， y 0 为圆 C 上的任意一点，在T M 变换下变为另一点 A ′ (x 0′ ， y 0′ )，)′－x 0′ ＝－ 2y 0，2则＝，即y 0 ′ 10 y 0y 0′ ＝ x 0，x 0＝ y 0′ ，所以x 0′y 0＝－ 2 .又因为点 A(x 0， y 0) 在曲线 x 2＋ y 2＝ 1 上，2x 0′ 2所以 (y 0′ ) ＋ －＝ 1.2故所得曲线的方程为x4＋ y 2 ＝1.0 11， N ＝1 ，求 MN .1．设 M ＝00 120 11 0 0 112.解： MN ＝0 ＝1211 2 T 把曲2．(2016 南·京三模 )已知曲线 C ：x 2＋ 2xy ＋ 2y 2＝ 1，矩阵 A ＝所对应的变换1 0线 C 变成曲线 C 1，求曲线 C 1 的方程．1 2 解： 设曲线 C 上的任意一点 P(x ， y)， P 在矩阵 A ＝对应的变换下得到点 Q(x ′ ，1 0y ′ )．1 2 x x ′ x ＋ 2y ＝ x ′ ，则10 ＝， 即y′ x ＝ y ′ ，yx ′ －y ′所以 x ＝ y ′ ， y ＝ .2x ′ － y ′＋2x ′ － y ′2＝ 1，即 x ′ 2＋ y ′ 2＝ 2，代入 x 2＋ 2xy ＋2y 2＝ 1，得 y ′ 2 ＋2y ′ ·22所以曲线 C 1 的方程为 x 2＋ y 2＝ 2.3． (2016 南·通、扬州、泰州、淮安三调 )在平面直角坐标系xOy 中，直线 x ＋ y － 2＝ 0 在矩阵 A ＝1 ax ＋ y － b ＝ 0(a ， b ∈ R) ，求 a ＋ b 的值．1 对应的变换作用下得到直线2解： 设 P(x ， y)是直线 x ＋ y －2＝ 0 上任意一点，由 1a x ＝x ＋ ay ，得 (x ＋ ay)＋ (x ＋ 2y)－ b ＝ 0，即 x ＋ a ＋ 2 － b＝ 0.12 y x ＋ 2y2 y 2a ＋ 22 ＝ 1， a ＝ 0，所以 a ＋b ＝ 4.由条件得解得－b＝－ 2，b ＝ 4，2第 8 页共 21 页4．已知 M ＝1－ 22 － 12 ， W ＝－ 3，试求满足 MZ ＝ W 的二阶矩阵 Z .3 1a b解： 设 Z ＝d ，c则 MZ ＝ 1 － 2 a b a － 2cb －2d＝.23 c d 2a ＋ 3c 2b ＋3d又因为 MZ ＝ W ，且 W ＝2 － 1，－ 31a － 2cb － 2d 2 － 1所以＋ ＝ － 3 1 ， ＋3c3d2a 2ba ＝ 0，a － 2c ＝ 2，1b ＝－b － 2d ＝－ 1，7，所以解得2a ＋ 3c ＝－ 3， c ＝－ 1，2b ＋ 3d ＝ 1.d ＝ 37.0 1 － 7故 Z ＝.－ 1371 15． (2016 苏·锡常镇一调 )设矩阵 M ＝y ＝ sin x 在矩阵， N ＝ 2，试求曲线21MN 变换下得到的曲线方程．11解： 由题意得 MN ＝ 1 0 2 0＝ 20 . 0 20 1 0 2设曲线 y ＝ sin x 上任意一点 P(x ， y)在矩阵 MN 变换下得到点 P ′ (x ′， y ′ )，x ′1x则2，＝yy21x ＝ 2x ′ ， 即 x ′ ＝ 2x ，得1y ′ ＝ 2y ，y ＝2y ′ .因为 y ＝ sin x ，所以 1 ′ ＝′ ，即 ′ ＝ ′2ysin 2xy2sin 2x .因此所求的曲线方程为 y ＝ 2sin 2x.6．(2017 苏·锡常镇调研 )已知变换 T 把平面上的点 (3，－ 4)，(5,0)分别变换成 (2，－ 1)，(－1,2)，试求变换 T 对应的矩阵 M .a b a b3 2 a b 5 ＝－ 1解： 设 M ＝，由题意，得＝ ， ，c dc d－ 4 － 1 c d 0 213a － 4b ＝ 2， a ＝－ 5，13，3c － 4d ＝－ 1，b ＝－20所以解得2 5a ＝－ 1，c ＝5，5c ＝ 2.11d ＝ 20.113－5－20即 M ＝.2 11 5207．(2016 ·通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调南 )在平面直角坐标系xOy 中，设点 A(－ 1,2)－ 1 0 在矩阵 M ＝对应的变换作用下得到点 A ′，将点 B(3,4)绕点 A ′逆时针旋转90°得0 1到点 B ′，求点 B ′的坐标．解： 设 B ′(x ， y)，－ 1 0－ 11 依题意，由0 1＝，得 A ′ (1,2) ．22―→ ―→则 A ′ B ＝ (2,2) ， A ′ B ＝ (x － 1， y － 2)．0 － 1记旋转矩阵 N ＝，1 00 － 1 2x － 1 － 2x － 1 则＝，即＝，10 2－ 2－ 2y 2y 解得x ＝－ 1，y ＝ 4，所以点 B ′ 的坐标为 (－ 1,4)．1 0 1 02x 2－ 2xy ＋ 1＝ 0 在矩阵 MN 对应的变换作8．已知 M ＝， N ＝，求曲线0 2－ 1 1用下得到的曲线方程．1 0 1 01 0解： MN ＝2 － 11＝，－ 22设 P(x ′ ， y ′ )是曲线 2x 2－ 2xy ＋ 1＝ 0 上任意一点，点 P 在矩阵 MN 对应的变换下变为点 P ′ ( x ， y)，x1 0 x ′x ′则有＝2 ′＝，y－ 2－ ′ ＋ ′y2x 2yx ＝ x ′ ，即y ＝－ 2x ′ ＋ 2y ′ ，x ′ ＝x ，于是yy ′ ＝x ＋ 2.代入 2x 2－ 2xy ＋ 1＝ 0 得 xy ＝ 1，所以曲线 2x 2－ 2xy ＋ 1＝0 在 MN 对应的变换作用下得到的曲线方程为xy ＝ 1.第二节逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量1．逆变换与逆矩阵(1) 对于二阶矩阵 A ， B ，若有 AB ＝ BA ＝ E ，则称 A 是可逆的， B 称为 A 的逆矩阵．(2) 若二阶矩阵 A ，B 均存在逆矩阵，则 － 1－ 1 － 1AB 也存在逆矩阵，且 (AB) ＝ B A .(3) 利用行列式解二元一次方程组．2．逆矩阵的求法一般地，对于二阶矩阵a b － 1A ＝，当 ad － bc ≠ 0 时，矩阵 A 可逆，且它的逆矩阵 Ac dd－ b ad － bc ad － bc＝.－ c aad － bcad － bc3.特征值与特征向量的定义设 A 是一个二阶矩阵，如果对于实数 λ，存在一个非零向量 α，使得 A α＝ λα，那么 λ称为 A 的一个特征值，而α称为 A 的属于特征值 λ的一个特征向量．4．特征多项式的定义a b是一个二阶矩阵， λ∈ R ，我们把行列式f(λ)＝λ－ a － b 2设 A ＝d － c＝ λ－ (a ＋ d)λcλ－ d＋ ad － bc 称为 A 的特征多项式．5．特征值与特征向量的计算设 λ是二阶矩阵a bλ与 α的步骤为：A ＝的特征值， α为 λ的特征向量，求c d第一步：令矩阵λ－ a － b2A 的特征多项式 f(λ)＝λ－ d ＝ λ－ (a ＋ d)λ＋ ad － bc ＝ 0，求出 λ－ c的值．第二步： 将 λ的值代入二元一次方程组λ－ a x － by ＝ 0，得到一组非零解 x 0 ，于是－ cx ＋ λ－ d y ＝ 0，y非零向量 x 0即为矩阵 A 的属于特征值 λ的一个特征向量．y 06．A n α(n ∈ N * )的简单表示(1) 设二阶矩阵 A ＝a b ， α是矩阵 A 的属于特征值 λ的任意一个特征向量，则A n α＝cdn *)．λα(n ∈ N， λ是二阶矩阵 A 的两个不同特征值，α， β是矩阵 A 的分别属于特征值 λ， λ(2) 设 λ1 212的特征向量，对于平面上任意一个非零向量γ，设 γ＝ t 1 α＋ t 2β(其中 t 1， t 2 为实数 )，则 A n γ＝n n* ．1λ1α＋ t 2λ2β(n ∈ N)t[ 小题体验 ]1 61．矩阵 M ＝ － 2－ 6 的特征值为 __________ ．解析： 矩阵 M 的特征多项式为 f(λ)＝ λ－ 1 － 6λ＋2)( λ＋ 3) ，令 λ＝ ，得 M 的特(f( ) 02 λ＋ 6征值为 λ＝－1 2， λ＝－2 3.答案： － 2 或－ 32．设2 a 2 a 的值为 ________．3是矩阵 M ＝ 的一个特征向量，则实数322解析： 设是矩阵 M 属于特征值 λ的一个特征向量，3a 2 2 2则2 ＝ λ ， 33 32a ＋ 6＝2λ， λ＝ 4，故解得12＝ 3λ a ＝ 1.答案： 11．不是每个二阶矩阵都可逆， 只有当ab中 ad － bc ≠ 0 时，才可逆， 如当 A ＝10 ， c d0 01 0因为 1× 0－ 0× 0＝ 0，找不到二阶矩阵 B ，使得 BA ＝ AB ＝E 成立，故 A ＝ 不可逆．0 2．如果向量 α是属于 λ的特征向量，将它乘非零实数t 后所得的新向量t α与向量 α共线，故 t α也是属于 λ的特征向量，因此，一个特征值对应多个特征向量，显然，只要有了特征值的一个特征向量，就可以表示出属于这个特征值的共线的所有特征向量了．[ 小题纠偏 ]1．矩阵 A ＝2 35的逆矩阵为 ____________． 6x y 解析：法一： 设矩阵 A 的逆矩阵 A－1＝，z w2 3 x y1 0 则6 z w＝ ， 512x ＋ 3z 2y ＋ 3w 1 0即＝0 1 ， 5x ＋ 6z 5y ＋ 6w2x ＋ 3z ＝ 1，x ＝－ 2，2y ＋ 3w ＝ 0，y ＝ 1，所以解得55x ＋ 6z ＝ 0， z ＝ 3，5y ＋ 6w ＝ 1，2w ＝－ 3.A －1＝－21故所求的逆矩阵5－ 2 .3 3法二： 注意到 2× 6－ 3×5＝－ 3≠0，故 A 存在逆矩阵 A－1，6 － 3－ 3－ 3－ 21且 A －1＝＝52 .－ 5 2－3 3－ 3 － 3－ 2 1 答案：5 － 2331 222．已知矩阵 A ＝－ 4 的一个特征值为 λ，向量 α＝ 是矩阵 A 的属于 λ的一个特a－ 3 征向量，则 a ＋ λ＝ _____.解析： 因为 A α＝ λα，所以2－ 6＝ 2λ， 即解得2a ＋ 12＝－ 3λ，所以 a ＋ λ＝－ 3－ 2＝－ 5.答案： － 51 2 2 2a－ 4 － 3 ＝ λ ，－ 3a ＝－ 3，λ＝－ 2，考点一求逆矩阵与逆变换重点保分型考点 —— 师生共研[ 典例引领 ]－ 1 01 2 A －1已知矩阵 A ＝2， B ＝，求矩阵 B.6 解： 设矩阵 A 的逆矩阵为a bc，d－ 1 0 a b1 0，即 － a － b 1 0则＝＝ ，2 c d12c 2d 0 11故 a ＝－ 1， b ＝ 0， c ＝ 0， d ＝2.所以矩阵 A 的逆矩阵为 A －1＝－ 11 .2所以 A－ 1 0 1 2－ 1－ 2－1B ＝1＝.0 632[ 由题悟法 ]求一个矩阵 A 的逆矩阵或证明一个矩阵不可逆时，常用两种解法．法一： 待定矩阵法：先设出其逆矩阵，根据逆矩阵的定义 AB ＝ BA ＝ E ，应用矩阵相等的定义列方程组求解，若方程组有解，即可求出其逆矩阵，若方程组无解，则说明此矩阵不可逆，此种方法称为待定矩阵法．a b法二： 利用逆矩阵公式，对矩阵A ＝ ：c d①若 ad － bc ＝ 0，则 A 的逆矩阵不存在．d－ b ②若 ad － bc ≠ 0，则－ 1ad － bc ad － bc.A ＝－ caad － bc ad － bc[ 即时应用 ]11 1已知 A ＝ 1， B ＝，求矩阵 AB 的逆矩阵．1 021 0 1－ ＝ 1≠ 0， 解：法一： 因为 A ＝1 ，且 1 ×2 02 0212 －111 0所以 A－1＝22 ＝，20 1－ 1 12 2 1－ 1.同理 B－1＝0 1因此 (AB)－1＝ B－1A －1＝1－ 1 1 0 1 － 20 2 ＝.0 1 0 211 1法二： 因为 A ＝10 ， B ＝，20 1所以1 0 1 1 ＝ 11 ，且× 1－ × ＝ 1≠ 0，AB＝11 10 0 120 1222第 15 页 共 21 页1 － 1 21 11 － 2所以 (AB)－1＝22.＝20 1 01 12 2考点二特征值与特征向量的计算及应用重点保分型考点 —— 师生共研[ 典例引领 ]2 a已知矩阵 M ＝，其中 a ∈ R ，若点 P(1，－ 2)在矩阵 M 的变换下得到点 P ′(－ 4,0)．2 1(1) 求实数 a 的值；(2) 求矩阵 M 的特征值及其对应的特征向量．解： (1) 由 2 a1－ 4 ，得 － ＝－＝＝3.2 1 －22 2a4? a2 3λ－ 2 － 3(2) 由 (1)知 M ＝，则矩阵 M 的特征多项式为 f (λ)＝ ＝( λ－ 2)( λ－ 1)－ 621－ 2 λ－ 12＝ λ－ 3λ－4.令 f(λ)＝ 0，得矩阵 M 的特征值为－ 1 与 4.λ－ 2 x － 3y ＝ 0，把 λ＝－ 1 代入二元一次方程组－ 2x ＋ λ－ 1 y ＝0，得 x ＋ y ＝ 0，1所以矩阵 M 的属于特征值－ 1 的一个特征向量为；－1λ－ 2 x － 3y ＝ 0，把 λ＝ 4 代入二元一次方程组－ 2x ＋ λ－ 1 y ＝ 0，得 2x － 3y ＝ 0.所以矩阵 M 的属于特征值4 的一个特征向量为3.2[ 由题悟法 ](1) 求矩阵 A 的特征值与特征向量的一般思路为：先确定其特征多项式 f(λ)，再由 f(λ)＝ 0求 出 该 矩 阵 的 特 征 值 ， 然 后 把 特 征 值 代 入 矩 阵 A所 确 定 的 二 元 一 次 方 程 组λ－ a x － by ＝ 0， 即可求出特征向量．－ cx ＋ λ－ d y ＝ 0，(2) 根据矩阵 A 的特征值与特征向量求矩阵A 的一般思路：设 A ＝a b c ，根据 A α＝λαd构建 a ， b ， c ， d 的方程求解．[ 即时应用 ]1x 1 的属于特征值 － 21． (2015 江·苏高考 )已知 x ， y ∈ R ，向量 a ＝ 是矩阵 A ＝y 0 － 1的一个特征向量，求矩阵A 以及它的另一个特征值．解： 由已知，得 Aa ＝－ 2a ，x 11－ － 2即＝x 1＝，y0 － 1y2x － 1＝－ 2， x ＝－ 1， 则即y ＝ 2，y ＝ 2，－11 所以矩阵 A ＝2.从而矩阵 A 的特征多项式f (λ)＝ (λ＋ 2)( λ－ 1)，所以矩阵 A 的另一个特征值为1.1 2．已知二阶矩阵 M 有特征值 λ＝ 3 及对应的一个特征向量 α1＝，并且矩阵 M 对应的1变换将点 (－1,2)变换成 (9,15) ，求矩阵 M .解： 设 M ＝ a b ，则a b 1 1 3 a ＋ b ＝ 3，＝ 3＝，故c dc d 113c ＋d ＝ 3.a b － 1 9－a ＋ 2b ＝ 9，又＝ ，故c d215－ c ＋ 2d ＝ 15.联立以上两方程组解得a ＝－ 1，b ＝ 4，c ＝－ 3，d ＝ 6，－ 1 4故 M ＝.－ 3 6考点三根据 A ， α计算 A n αn ∈ N *重点保分型考点 —— 师生共研[ 典例引领 ]1 23给定的矩阵 A ＝ ， B ＝ .－ 1 4 2 (1) ， λ及对应的特征向量 α， α；求 A 的特征值 λ1 2 12(2) 求 A 4B.解： (1) 设 A 的一个特征值为 λ，由题意知：λ－ 1 － 2＝ 0，即 (λ－ 2)(λ－ 3)＝ 0，所以 λ1＝ 2， λ2＝ 3.1λ－ 4当 λ1＝ 2 时，由1 2 xx2 的特征向量 α1＝24 ＝ 2，得 A 属于特征值；－ 1 yy1当 λ2＝ 3 时，由1 2 xx 3 的特征向量 α2＝14 ＝ 3，得 A 属于特征值.－ 1 y y1(2) 由于 B ＝32 1＝ α＋ α，＝ ＋ 2 1 1 1 2故 A 4＝4 α＋ α ＝ 4α＋ 34α＝ 16α＋ 81α＝ 32 81＝ 1132 ＋ .16 8197[ 由题悟法 ]已知矩阵 A 和向量 α，求 A n α(n ∈ N * )，其步骤为：(1) 求出矩阵， λ和对应的特征向量 α， αA 的特征值 λ1 2 12. (2) 把 α用特征向量的组合来表示：α＝ s α1＋ t α2.nnn表示 A n(3) 应用 A α＝ s λα11 ＋ t λα.2α2[ 即时应用 ]已知 M ＝ 1 2 ， β＝ 1 ，计算 M 5β21 7.λ－ 1 － 2解： 矩阵 M 的特征多项式为f( λ)＝2＝ λ－ 2λ－ 3.－ 2 λ－ 1令 f(λ)＝ 0，解得 λ＝1 3，λ＝－2 1，12 xx，得x ＋ 2y ＝ 3x ，令＝ 32 1 y y2x ＋ y ＝ 3y ，从而求得 λ1＝3 的一个特征向量为1α1＝，11同理得对应λ2＝－1的一个特征向量为α2＝－ 1.令β＝ mα1＋ nα2，则 m＝4， n＝－ 3.55α－ 3α555551－ 3× (－ 1)51β＝＝α－＝－＝×＝M M (44(M3(Mα4(λα3(λα312)1)2) 1 1)22)41－ 1975.9691．(2016 无·锡期末 )已知矩阵 A＝1012－1对应的变换把直线 l 0， B＝，若矩阵 AB21变为直线 l′： x＋ y－ 2＝ 0，求直线 l 的方程．解：由题意得 B－1＝1－ 2，01101－ 21－ 2所以 AB－1＝＝，020102设直线 l 上任意一点 (x， y)在矩阵 AB－1对应的变换下为点 (x′， y′ )，则1－ 2x＝02yx′x′＝ x－ 2y，，所以y′y′＝ 2y，将 x′， y′代入 l′的方程，得 (x－ 2y)＋ 2y－2＝ 0，化简后得 l： x＝ 2.12－ 11－12． (2016 江·苏高考 )已知矩阵 A＝0－2，矩阵 B 的逆矩阵 B＝2，求矩阵02AB.解：设 B＝ab，c d－11－1a b10则 B2＝，＝B c d010 2即错误 ! ＝错误 ! ，1a ＝ 1， a － 2c ＝ 1，1，11b ＝ 1b － 2d ＝ 0，4所以 B ＝4故解得.2c ＝ 0，c ＝ 0，121d ＝2d ＝ 1，2，1 1 1 51424因此， AB ＝ 0－ 2＝.1 0－123． (2016 南·京、盐城、连云港、徐州二模)已知 a ， b 是实数，如果矩阵 3 aA ＝所b － 2对应的变换 T 把点 (2,3) 变成 (3,4)．(1) 求 a ， b 的值；(2) 若矩阵 A 的逆矩阵为 B ，求 B 2.3 a23解： (1) 由题意得＝，b － 2 34所以 6＋ 3a ＝ 3,2b － 6＝ 4，所以 a ＝－ 1， b ＝ 5.3 － 1(2) 由 (1)得 A ＝.5 － 22 － 1由矩阵的逆矩阵公式得B ＝.5 － 32 － 1 2 － 1－ 1 1所以 B 2＝＝. 5 － 3 5 － 3 － 544． (2016 常·州期末 )已知矩阵 M ＝a 2 8 的一个特征向量是e ＝14的属于特征值 ，点b1P(－ 1,2)在 M 对应的变换作用下得到点Q ，求 Q 的坐标．a 2 1 1 解： 由题意知4 b ＝ 8×，11a ＋ 2＝ 8，a ＝ 6，故解得4＋ b ＝ 8，b ＝ 4，6 2 － 1 ＝－ 2所以42，所以点 Q 的坐标为 (－2,4)．4 4－ 1 45． (2016 苏·州暑假测试 )求矩阵 M ＝2 的特征值和特征向量．6λ＋ 1 － 42解： 特征多项式f(λ)＝＝ λ＋1)( λ－6)＝ λ－7)( λ＋ 2) ，－ ＝ λ－ λ－(85 14(－ 2 λ－ 6由 f(λ)＝ 0，解得 λ1＝ 7，λ2＝－ 2.8x － 4y ＝ 0，1 将 λ＝ 7 代入特征方程组，得即 y ＝ 2x ，可取为属于特征值 λ＝ 7 的11－ 2x ＋ y ＝ 0，2一个特征向量．－ － ＝ ，4x 4y 0同理， λ＝－2 2 时，特征方程组是即 x ＝－ 4y ，所以可取为属于－ 2x － 8y ＝ 0，－ 1特征值 λ2＝－ 2 的一个特征向量．M ＝ － 1 4λ1＝ 7， λ2＝－ 2.属于 λ1＝7 的一个特征向量综上所述，矩阵2 有两个特征值61，属于 λ2＝－ 2 的一个特征向量为4为－ 1. 23 6λ＝ 8 的一个特征向量e ＝ 6，及属于特征值 λ＝－ 36．矩阵 M ＝有属于特征值255的一个特征向量 e ＝13 ，计算 M3α2－ 1 .对向量 α＝ 8.解： 令 α＝ me ＋ ne ，将具体数据代入，有m ＝ 1，n ＝－ 3，所以 α＝e － 3e 所以M 3α 1212 .3333 3 3 6 1 3 153＝ M － 3e ＝ － 3M － 3× (－3) 3 ＝(e 1＝ λ － 3λ ＝ 8.5－ 1 2 479－ 1 27． (2016 泰·州期末 )已知矩阵 M ＝5x 的一个特征值为－ 2，求 M 2.2λ＋ 1－ 22解： 把 λ＝－ 2 代入－λ－ ＋ ＝ ，得＝ ，＝ λ－5λ－ x(x1)(x 5)x 3－2第 21 页共 21 页－ 124所以矩阵 M ＝65，所以 M 2＝.351428．已知二阶矩阵 M 有特征值 λ＝ 8 及对应的一个特征向量 e 1＝1 ，并且矩阵 M 对应的1变换将点 (－1,2)变换成 (－ 2,4). 求：(1) 矩阵 M;(2) 矩阵 M 的另一个特征值，及对应的一个特征向量e 2 的坐标之间的关系；(3) 直线 l ： x －y ＋ 1＝ 0 在矩阵 M 的作用下的直线 l ′的方程．a ba b 1 18解： (1) 设 M ＝，则c d 1 ＝ 8 ＝ ，c d1 8a ＋ ＝ ，b－1－2－a ＋ 2b ＝－ 2，b8a＝ ，故故c d＋ ＝8.24－c ＋ 2d ＝ 4.c da ＝ 6，b ＝ 2，62 联立以上两方程组，解得故 M ＝.c ＝ 4，44d ＝ 4，2(2) 由 (1) 知，矩阵 M 的特征多项式为f (λ)＝ (λ－ 6)( λ－ 4)－ 8＝λ－ 10λ＋ 16，故其另一个特征值为λ＝ 2.设矩阵 M 的另一个特征向量是e 2＝x ，y则 Me 2＝6x ＋ 2yx ，解得 2x ＋ y ＝0.＝ 2y4x ＋ 4y(3) 设点 (x ，y)是直线 l 上的任意一点， 其在矩阵 M 的变换下对应的点的坐标为 (x ′ ，y ′ )，则 6 2 x ＝x ′，即 x ＝ 1 ′ －1 ′ ， ＝－1′ ＋3′ ，代入直线l 的方程后并化简，4 4 y′4x8yy4x8yy得 x ′ － y ′ ＋ 2＝0，即 x －y ＋ 2＝ 0.。
二阶矩阵与平面向量的乘法
两个二阶矩阵相乘时，需要满足一定的代数关 系，例如$ac = ca$，$bd = db$等。
02
平面向量的基本概念
向量的表示
01
02
03
实数域上的向量
在平面直角坐标系中，一 个向量可以用一个有方向 的线段来表示，其长度即 为向量的模。
向量的坐标
一个向量可以由其起点和 终点的坐标来确定，记作 $overrightarrow{AB}$。
向量的线性变换
线性变换
二阶矩阵与平面向量的乘法可以实现向量的线性变换。给定一个向量$mathbf{v} = (v_1, v_2)$和一个线性变换 矩阵$A = begin{pmatrix} a & b c & d end{pmatrix}$，则$mathbf{v} cdot A = (av_1 + cv_2, bv_1 + dv_2)$，实现了向量$mathbf{v}$的线性变换。
通过点乘和模长计算得到。
向量射影
与向量投影类似，向量射影也是将一个向量映射到另一个向量或平面上的操作。通过二 阶矩阵与平面向量的乘法，可以得到向量在另一个向量或平面上的射影向量。具体来说，
射影向量可以通过点乘和模长计算得到。
05
二阶矩阵与平面向量乘 法的计算方法
计算矩阵与向量乘法的步骤
01
确定矩阵的行数和列数，以及向量的维数。
二阶矩阵与平面向量 的乘法
目 录
• 二阶矩阵的定义与性质 • 平面向量的基本概念 • 二阶矩阵与平面向量的乘法规则 • 二阶矩阵在平面向量中的应用 • 二阶矩阵与平面向量乘法的计算方法
01
二阶矩阵的定义与性质
二阶矩阵的表示
二阶矩阵可以用2x2的方阵表示，其中包含四个元素，通常表示为$A = begin{bmatrix} a & b c & d end{bmatrix}$。
二阶矩阵与平面列向量的乘法 说课稿 教案 教学设计
二阶矩阵与二元一次方程组
学习目标
1、 了解二阶行列式的定义，会用二阶行列式求逆矩阵和解方程组。
2、 能用变换与映射的观点认识解线性方程组解的意义。
3、 会用系数矩阵的逆矩阵求解方程组。
4、 会通过具体的系数矩阵，从几何上说明线性方程组解的存在性、惟一性。
学习过程：
一、预习：
（一）阅读教材，解答下列问题：
问题1、方程⎩⎨⎧=+=+n dy cx
m
by ax 的解是：
问题2、定义：det(A) ＝a b
c d ＝
因此方程组的解为⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x ＝m b
n d
a b
c d
y ＝a
m c n a b
c d
记：D ＝a b c d ，D x ＝m b n d ，D y ＝a m c n ，所以，方程组的解为⎩⎨⎧x ＝D x
D
y ＝D y D
思考：二阶矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a 与二阶行列式d
c b
a 有什么异同？
练习：
1、求下列行列式的值 ⑴ 21 43 ⑵21 43- ⑶21 - 40 ⑷ 2b a d c
2、若x= θθsin con θθcon sin （θ∈R ） 试求f(x)=x 2+2x-3 的最值。
二、课堂训练：
例1．利用行列式求解二元一次方程组⎩⎨⎧=+=-7y 3x 4
2y 3x
例2、利用行列式求解A ＝⎢⎣⎡33 ⎥⎦⎤
12-的逆矩阵
例3、用逆矩阵方法求二元一次方程组⎩⎨⎧=+=-7
y 3x 42y 3x 的解。
高二数学word版电子稿
2.1二阶矩阵与平面向量2．1.1 矩阵的概念[对应学生用书P1]1．矩阵在数学中，把形如⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 3 m 3 －2 4，⎣⎢⎡⎦⎥⎤80 9065 85这样的矩形数字(或字母)阵列称作矩阵，一般地，我们用大写黑体拉丁字母A ，B ，…或者(a ij )来表示矩阵，其中i ，j 分别表示元素所在的行和列．同一横排中按原来次序排列的一行数(或字母)叫做矩阵的行，同一竖排中按原来次序排列的一列数(或字母)叫做矩阵的列，组成矩阵的每一个数(或字母)称为矩阵的元素，所有元素都为0的矩阵称为零矩阵，记为0.2．行矩阵，列矩阵一般地，我们把像[a 11 a 12]这样只有一行的矩阵称为行矩阵，而把像⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11a 21这样只有一列的矩阵称为列矩阵，并用希腊字母α，β，…来表示．平面上向量α＝(x ，y )的坐标和平面上的点P (x ，y )都可以看做是行矩阵[x ，y ]，也可以看做是列矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y .因此，我们又称[x y ]为行向量，称⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 为列向量，在本书中，我们把平面向量(x ，y )的坐标写成⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 的形式．3．矩阵相等对于两个矩阵A ，B ，只有当A ，B 的行数与列数分别相等，并且对应位置的元素也分别相等时，A 和B 才相等，此时记作A ＝B .[对应学生用书P1][例1] 画出矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 43 1 －11所表示的三角形，并求该三角形的面积． [思路点拨] 写出平面图形顶点的坐标即可．[精解详析]矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 4 3 1 －11所表示的三角形的三个顶点分别为(－1,1)，(4，－1)，(3,1)．所求三角形的面积为4.1．矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 43 1 －1 1可以表示点A (－1,1)，B (4，－1)，C (3,1)或由它们构成的三角形；2．表示同一个三角形的矩阵不唯一，如本例三角形，可用矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 1 4 －1 3 1等表示；3．空间图形也可以用矩阵表示，不过需注意空间中点的坐标是由3个实数构成的有序数组．1．在平面直角坐标系内，分别画出矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－2所表示的以坐标原点为起点的向量．解：矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－2所表示的以坐标原点为起点的向量对应的坐标分别为(1,2)，(－1,2)，(1，－2)，(0，－2)．按要求画出相应向量即可．2．已知A (0,0)，B (2,3)，C (6,3)，D (4,0)，写出表示四边形ABCD 的一个矩阵．解：表示四边形ABCD 的矩阵可以为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 2 6 40 3 3 0或⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 02 36 34 0等．[例2] 已知甲、乙、丙三人中，甲与乙相识，甲与丙不相识，乙与丙相识．用0表示两人之间不相识，用1表示两人之间相识，请用一个矩阵表示他们之间的相识关系(规定每个人和自己相识)．[思路点拨] 先列出一个表格表示他们之间的相识关系，然后利用表格再用矩阵表示即可．[精解详析] 将他们之间的相识关系列表如下：故用矩阵表示为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 1 01 1 10 1 1.用矩阵表示实际问题时，要注意元素的次序，矩阵中元素的次序不一样，表示的实际问题可能就不一样．3．某物流公司负责从两个矿区向三个企业配送煤：从甲矿区向企业A ，B ，C 送的煤分别是100万吨、200万吨、150万吨；从乙矿区向企业A ，B ，C 送的煤分别是150万吨、150万吨、300万吨．试用矩阵表示上述数据关系．解：列表如下(单位：万吨)：记M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 200 150150 150 300，则矩阵M 就是上述数据关系的一个表示． 4．两类药片有效成分如下表所示：试用矩阵表示A 、B 两种药品每片中三种成分所含的质量．解：表示A 、B 两种药品成分的矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 5 11 76.[例3] 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ a c －d c ＋d b ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2b ＋2 d －76－c 2a －4，若A ＝B ，试求a ，b ，c ，d 的值．[思路点拨] 我们说两个矩阵是相等的，是指两个矩阵的行数和列数相同，并且相应位置的元素也分别相等，本题考查对矩阵相等定义的理解．[精解详析]因为A ＝B ，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤ a c －d c ＋d b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2b ＋2 d －76－c 2a －4，由矩阵相等的意义可知 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＋2，c －d ＝d －7，c ＋d ＝6－c ，b ＝2a －4，由此解得a ＝2，b ＝0，c ＝1，d ＝4.两个同行同列的矩阵，只要有一个对应位置上的元素不一样，这两个矩阵就不相等，如⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 423≠⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 42 －3两个不同行(或者不同列)的矩阵一定是不相等的，如以零矩阵为例：[0,0]和⎣⎢⎡⎦⎥⎤0000，尽管两个矩阵的元素均为0，但两者不相等．这好比，现在有甲、乙两支球队进行足球比赛，前一个零矩阵可表示他们之间进行了一场比赛，比赛结果为0∶0，而后者可表示他们之间进行了两场比赛，两场比赛的结果均为0∶0.5．已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋y 0 0 －2－y ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 00 x －2y ，若A ＝B ，求x 与y 的值．解：∵A ＝B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝x ，－2－y ＝x －2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1.6．已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy 54，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m ＋n 3x －y x ＋y m －n ，且A ＝B ，求x ，y ，m ，n 的值．解：由矩阵相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝x ，3x －y ＝y ，x ＋y ＝5，m －n ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，m ＝3，n ＝－1.[对应学生用书P3]1．设A 为二阶矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22，且规定元素a ij＝i ＋j (i ＝1,2，j ＝1,2)，试求A .解：由题意可知a 11＝2，a 12＝3，a 21＝3，a 22＝4， ∴A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 334.2．矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 1 31 3 1表示平面中三角形ABC 的顶点坐标，问三角形是什么三角形？解：由A (1,1)，B (1,3)，C (3,1)，画图可得△ABC 是等腰直角三角形． 3．已知二元一次方程组的系数矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 －23 1，方程组右边的常数项矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，试写出该方程组．解：⎩⎪⎨⎪⎧4x －2y ＝3，3x ＋y ＝2.4．营养配餐中心为学生准备了各种菜肴，每份中能量、脂肪、蛋白质的含量各不相同．“红烧肉”中所含上述三种营养成分分别为649千卡(1千卡＝4 187 焦耳)、30 g 、10 g ；“青椒肉丝”中所含上述三种营养成分分别为258千卡、20 g 、19 g ；“韭菜豆芽”中所含上述三种营养成分分别为131千卡、15 g 、3 g ，试将上述结果用矩阵表示出来．解：每千克各种菜肴中各种营养成分的含量如下表：所以可用矩阵M 表示为M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤649 30 10258 20 19131 15 3.5．已知平面上正方形ABCD (顺时针)的四个顶点可以用矩阵表示为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 a 0 b 0 c 4d ，求a ，b ，c ，d 的值及正方形ABCD 的面积．解：由题意知正方形ABCD 的四个顶点的坐标依次为A (0,0)、B (a ，c )、C (0,4)、D (b ，d )，从而可求得a ＝－2，b ＝2，c ＝d ＝2.∴|AB |＝22，正方形ABCD 的面积为8.6．已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ x7－1 y ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤y －1 m ＋n m －n 2，若A ＝B ，试求x ，y ，m ，n 的值． 解：由于A ＝B ，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝y －1，y ＝2和⎩⎪⎨⎪⎧7＝m ＋n ，－1＝m －n ，解得x ＝1，y ＝2，m ＝3，n ＝4. 7．已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 cos α＋sin αcos β－sin β －1，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 22 －1，若A ＝B ，求α、β.解：由矩阵相等的充要条件得⎩⎨⎧cos α＋sin α＝2，cos β－sin β＝ 2.∴⎩⎨⎧sin (α＋π4)＝1，cos (β＋π4)＝1.∴⎩⎨⎧α＝π4＋2k π (k ∈Z )，β＝－π4＋2k π (k ∈Z ).8．设M 是一个3×3的矩阵，且规定其元素a ij ＝2i ＋j ，i ＝1，2,3，j ＝1,2,3，试求M . 解：由题意可知，a 11＝3，a 12＝4，a 13＝5，a 21＝5，a 22＝6，a 23＝7，a 31＝7，a 32＝8，a 33＝9.故矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3 4 55 6 77 8 9.2．1.2 二阶矩阵与平面列向量的乘法1．二阶矩阵与平面列向量的乘法规则(1)行矩阵[]a 11 a 12与列矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 21的乘法规则：[]a 11 a 12 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 21＝[]a 11×b 11＋a 12×b 21； (2)二阶矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22与列向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0的乘法规则：⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11×x 0＋a 12×y 0a 21×x 0＋a 22×y 0.一般地，前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等时才能进行乘法运算． 2．二阶矩阵与平面列向量乘法的几何意义(1)一个列向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 左乘一个2×2矩阵M 后得到一个新的列向量，如果列向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 表示一个点P (x ，y )，那么列向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 左乘矩阵M 后的列向量就对应平面上的一个新的点． (2)对于平面上的任意一个点(向量)(x ，y )，若按照对应法则T ，总能对应唯一的一个点(向量)(x ′，y ′)，则称T 为一个变换，简记为：T ：(x ，y )→(x ′，y ′)或T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′. (3)一般地，对于平面向量变换T ，如果变换规则为T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax ＋by cx ＋dy ，那么根据二阶矩阵与平面列向量的乘法规则可以改写为T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 的矩阵形式，反之亦然(a 、b 、c 、d ∈R )．(4)由矩阵M 确定的变换，通常记为T M ，根据变换的定义，它是平面内点集到自身的一个映射，平面内的一个图形它在T M 的作用下得到一个新的图形．[对应学生用书P4][例1] 设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －1－1 1，Z ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，Y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，求AZ 和AY . [思路点拨] 利用二阶矩阵和平面列向量的乘法公式求解．[精解详析] AZ ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －1－1 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1，AY ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －1－1 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ x －y －x ＋y .若矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，列向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则Aα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax ＋by cx ＋dy ，其结果仍是一个列向量，同时应注意，给出点的坐标可写成列向量的形式．1．计算：(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ；(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤00；(4)⎣⎢⎡⎦⎥⎤111 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y . 解：(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1·x ＋0·y 0·x ＋1·y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ； (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0·x ＋1·y 1·x ＋0·y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤y x ；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ·0＋b ·0c ·0＋d ·0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00； (4)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 111 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1·x ＋1·y 1·x ＋1·y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋y x ＋y . 2．给定向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00 0，C ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 0 1，D ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤011 0，计算Aα，Bα，Cα，Dα.解：根据矩阵与向量的乘法，得 Aα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，Bα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 00 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00， Cα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 01 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 2，Dα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23.[例2] (1)已知变换⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3215 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，试将它写成坐标变换的形式； (2)已知变换⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3y y ，试将它写成矩阵的乘法形式． [思路点拨] 直接应用二阶矩阵与向量乘积的规定． [精解详析] (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋2y x ＋5y . 故它表示的坐标变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ＋2yy ′＝x ＋5y .(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －30 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y .对于⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，首先由二阶矩阵与平面列向量乘法得⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax ＋by cx ＋dy ，再由向量相等，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ax ＋by ，y ′＝cx ＋dy .3．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋3yy ′＝y ，试将它写成二阶矩阵与平面向量相乘的形式．解：因为⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝x ＋3y ，y ′＝y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋3y ，y ′＝0·x ＋1·y ， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ x ＋3y 0·x ＋1·y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤130 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y . 故⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1301 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y . 4．解下列用矩阵表达式表示的方程组．(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －42 －3 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21； (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －26 5 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 16. 解：(1)由⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －42 －3 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x －4y 2x －3y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，即⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＝2，2x －3y ＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.(2)由⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －26 5 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 16，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x －2y 6x ＋5y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 16，即⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝－1，6x ＋5y ＝16， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.[例3] 已知变换T ：平面上的点P (2，－1)，Q (－1,2)分别变换成点P 1(3，－4)，Q 1(0,5)，求变换矩阵A .[思路点拨] 由题意可知，变换矩阵A 为二阶矩阵，根据二阶矩阵与列向量的乘法，可列出方程组，解方程组即可求出二阶矩阵中的各元素．[精解详析] 设所求的变换矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d .依题意可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－4， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤05，即⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝3，2c －d ＝－4，－a ＋2b ＝0，－c ＋2d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝2.所以所求的变换矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21－12.求变换矩阵的常用方法是待定系数法，要正确利用条件，合理准确计算．5．若点A (1,1)在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 b a1对应变换的作用下得到的点为B (－1,1)，求矩阵M .解：由M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋b a ＋1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋b ＝－1，a ＋1＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2，a ＝0，所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1.6．设矩阵M 对应的线性变换把点A (1,2)变成点A ′(2,3)，把点B (－1,3)变成点B ′(2,1)，那么这个线性变换把点C (－5,10)变成什么？解：设变换矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，∴M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋2b c ＋2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23. M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3b －a 3d －c ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21. ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝2，c ＋2d ＝3，3b －a ＝2，3d －c ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝25，b ＝45，c ＝75，d ＝45.∴M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤25 4575 45.M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5 10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤25 4575 45 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5 10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤61. ∴该线性变换把点C (－5,10)变成了点C ′(6,1)．[对应学生用书P5]1．给定向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 5，利用矩阵与向量的乘法，试说明下列矩阵把向量α分别变成了什么向量．(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002；(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0.解：(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 10. (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5－3. (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 0. 2．求点(x ，y )在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2对应的变换作用下对应点的坐标．解：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤ x 2y ，所以点(x ，y )在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 2对应的变换作用下对应点的坐标为(x,2y )．3．(1)已知⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1102 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，试将它写成坐标变换的形式； (2)已知⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y 2x －y ，试将它写成矩阵的乘法形式． 解：(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×x ＋1×y 0×x ＋2×y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋y 2y . (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y 2x －y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 22 －1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y . 4．计算⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 －1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，并解释计算结果的几何意义．解：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 －1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤31＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 5－1.几何意义：表示点(3,1)在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 －1对应的变换作用下变成点(5，－1)．5．已知在一个二阶矩阵M 对应的变换作用下，点A (1,2)变成了点A ′(7,10)，点B (2,0)变成了点B ′(2,4)，求矩阵M .解：设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤710，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤20＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤24， 即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2b ＝7，c ＋2d ＝10，2a ＝2，2c ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，c ＝2，d ＝4.所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 324.6．已知点(x ，y )在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 012对应的变换作用下变为点(－1,1)，试求x ，y 的值．解：由⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 012 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1， 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，x ＋2y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1.7．已知矩阵T ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ac b0，O 为坐标原点，点A (1,0)在矩阵T 的变换下得到点P .设b ＞0，当△POA 的面积为3，∠POA ＝π3时，求a ，b 的值．解：由⎣⎢⎡⎦⎥⎤a c b 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ，得点P 坐标为(a ，b )． 又b ＞0，所以S △POA ＝12×1×b ＝ 3.所以b ＝2 3.又∠POA ＝π3，所以a ＝2.即a ＝2，b ＝2 3.8.已知图形F 表示的四边形ABCD 如图所示，若由二阶矩阵M 确定的变换T ，使F 上点的纵坐标变为原来的一半而横坐标不变．求矩阵M.解：图形F 对应的矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 2 200 1 32，变换后的图形F ′对应的矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 2 2 00 12 32 1，设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则有⎩⎨⎧⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤212＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤02，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，c ＝0，d ＝12，∴M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 12.2．2几种常见的平面变换2．2.1～2.2.2 恒等变换 伸压变换1．恒等变换矩阵和恒等变换对平面上任何一点(向量)或图形施以矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001对应的变换，都把自己变成自己．我们把这种特殊的矩阵称为恒等变换矩阵或单位矩阵(简记为E )，所实施的对应的变换称作恒等变换．2．伸压变换矩阵和伸压变换像矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1这种将平面图形作沿y 轴方向伸长或压缩，作沿x 轴方向伸长或压缩的变换矩阵，通常称做沿y 或x 轴的垂直伸压变换矩阵；对应的变换称为垂直伸压变换，简称伸压变换．[说明](1)线段经过伸压变换以后仍然是线段，直线仍然是直线，恒等变换是伸压变换的特例． (2)将平面图形F 作沿x 轴方向的伸压变换，其对应的变换矩阵的一般形式是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 00 1(k >0)，沿y 轴方向的伸压变换对应的矩阵形式是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00k (k >0)．[对应学生用书P8][例1] 在直角坐标系xOy 内矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 2对应的坐标变换公式是什么？叙述这个变换的几何意义，并求出点P (4，－3)在这个变换作用下的象P ′.[思路点拨] 根据矩阵与变换之间的关系求出变换公式，此变换为伸缩变换，然后写出点P 在此变换下的象．[精解详析] 由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1200 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝x ′，2y ＝y ′.对应的坐标变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x y ′＝2y ，这个变换把平面上的点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标伸长到原来的2倍；当x ＝4，y ＝－3时，x ′＝2，y ′＝－6，故点P 在这个变换下的象为P ′(2，－6)．把变换与矩阵之间的对应关系理解清楚，用数(即二阶矩阵与列向量的乘法)研究形(即变换作用下的象)．1．已知矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤30012，求出点A (3，12)在矩阵M 对应变换作用下的象A ′.解：⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3 00 12 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤312＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤914 ∴A ′(9，14)．2．研究直角坐标平面内正方形OBCD 在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1对应的变换作用下得到的几何图形，其中O (0,0)，B (2,0)，C (2,2)，D (0,2)．解：矩阵M 为恒等变换矩阵，O 、B 、C 、D 在矩阵对应的恒等变换作用下变成自身，即分别为O ′(0,0)，B ′(2,0)，C ′(2,2)，D ′(0,2)，仍然是正方形OBCD .[例2] 在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆4x 2＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001对应的变换作用下得到曲线F ，求曲线F 的方程．[思路点拨] 求曲线F 的方程即求F 上的任意一点的坐标(x ′0，y ′0)满足的关系式． [精解详析] 设P (x 0，y 0)是椭圆上的任意一点，点P (x 0，y 0)在矩阵A 对应的变换作用下得到的点为P ′(x ′0，y ′0)，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′0y ′0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 001 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x 0y 0， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ′0＝2x 0，y ′0＝y 0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ′02，y 0＝y ′0，又因为点P (x 0，y 0)在椭圆上，所以4x 20＋y 20＝1， 从而有x ′20＋y ′20＝1，所以曲线F 的方程是x 2＋y 2＝1.先利用二阶矩阵与列向量的乘法把P (x 0、y 0)与P ′(x ′0，y ′0)的关系找出，再利用已知曲线的方程即可得到所求的方程．3．求圆C ：x 2＋y 2＝4在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 001对应的伸压变换下所得的曲线的方程，并判断曲线的轨迹．解：设P (x ，y )是圆C ：x 2＋y 2＝4上的任意一点，而P 1(x ′，y ′)是P (x ，y )在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 001对应的伸压变换下的曲线上的对应点，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤200 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′2，y ＝y ′.代入x 2＋y 2＝4得x ′24＋y ′2＝4，所以方程x 216＋y 24＝1即为所求的曲线方程，其表示的曲线的轨迹为椭圆．4．已知圆C ：x 2＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a00b (a >0，b >0)对应的变换下变为椭圆x 2＋y 24＝1，求a ，b 的值．解：设P (x 0，y 0)为圆C 上的任意一点，在矩阵A 对应的变换下变为点P ′(x ′0，y ′0)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′0y ′0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，⎩⎪⎨⎪⎧x ′0＝ax 0，y ′0＝by 0，所以⎩⎨⎧x 0＝x ′0a，y 0＝y ′0b .又因为点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上， 所以x 20＋y 20＝1，所以(x ′0)2a2＋(y ′0)2b2＝1，即圆C 在矩阵A 对应的变换下的象为x 2a 2＋y 2b 2＝1.由已知条件可知，变换后的椭圆方程为x 2＋y 24＝1，所以a 2＝1，b 2＝4，又因为a >0，b >0，所以a ＝1，b ＝2. 5．已知矩阵M 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 001，M 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 12，研究圆x 2＋y 2＝1先在矩阵M 1对应的变换作用下，再在矩阵M 2对应的变换作用下，所得的曲线的方程．解：设P 0(x 0，y 0)为圆上的任意一点，在M 1的作用下变为P 1(x 1，y 1)，P 1在M 2的作用下变为P 2(x 2，y 2)，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 001 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2y 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10012 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x 0，y 1＝y 0，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝x 1，y 2＝12y 1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝2x 0，y 2＝12y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝12x 2，y 0＝2y 2. ∵P 0在圆x 2＋y 2＝1上， ∴x 20＋y 20＝1. ∴14x 22＋4y 22＝1， 故所求曲线的方程为x 24＋4y 2＝1.[对应学生用书P9]1．求圆x 2＋y 2＝9在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001对应的变换作用后所得图形的面积．解：矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001所对应变换是恒等变换，在它的作用下，圆x 2＋y 2＝9变成一个与原来的圆恒等的圆，故所求图形的面积为9π.2．已知点(x ，y )在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 003对应的变换作用下变为点(－1,3)，试求x ，y 的值．解：由⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 003 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3， 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1. 3．在平面直角坐标系中，已知线性变换对应的二阶矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 0 0 12.求：(1)点A (15，3)在该变换作用下的象；(2)圆x 2＋y 2＝1上任意一点P (x 0，y 0)在该变换作用下的象．解：(1)由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 0 0 12 153⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1532， 得点A (15，3)在该变换作用下的象为(15，32)；(2)由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10 0 12 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 0y 02，得点P (x 0，y 0)在变换作用下的象为(x 0，y 02)．4．求出如图所示的图形在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1.5对应的变换作用下所成的图形，并画出示意图，其中点A (1,0)，B (2,0)，C (2,1)，D (3,1)，E (3,2)，F (0,2)，G (0,1)，H (1,1)．解：M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1.5对应的是沿y 轴的伸压变换，保持横坐标不变，而纵坐标变成原来的1.5倍．在此变换下，A →A ′(1,0)，B →B ′(2,0)，C →C ′(2,1.5)，D →D ′(3，1.5)，E →E ′(3,3)，F →F ′(0,3)，G →G ′(0,1.5)，H →H ′(1,1.5)．变换后的图形如图所示．5．求椭圆C ：x 24＋y 29＝1先在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1对应的变换，再在矩阵N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 13对应的变换作用下得到的曲线C ′的方程．解：因为矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 1对应的变换是恒等变换，所以曲线C ′是椭圆C ：x 24＋y 29＝1在矩阵N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 13对应变换下得到的曲线，设椭圆C 上任意一点P (x ，y )在矩阵N 对应的变换下得到曲线C ′上的点P (x ′，y ′)，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10013 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝13y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′，y ＝3y ′.因为x 24＋y 29＝1，所以x ′24＋(3y ′)29＝1，即x ′24＋y ′2＝1.故曲线C ′的方程为x 24＋y 2＝1.6.如图，一个含有60°角的菱形ABCD ，试求变换矩阵M ，使得只变换四个顶点中的两个顶点后，菱形即变成为正方形．试问该变换矩阵唯一吗？若不唯一，写出所有满足条件的变换矩阵．解：由题设知，这里的变换是伸压变换，且变换不唯一． 由题设知，AC ∶BD ＝3∶1，若只变换A ，C 两点，则必须将A ，C 的横坐标进行压缩，于是变换矩阵为M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13 0 0 1.若只变换B ，D 两点，则应把B ，D 的纵坐标伸长到原来的3倍，于是变换矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 3， 所以满足条件的所有变换矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13 0 0 1或⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 3.7．求出梯形OABC 先在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 001对应的变换作用下，再在矩阵N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1对应的变换作用下的图形，其中O (0,0)，A (2,0)，B (1,1)，C (0,1)．解：矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001对应的是沿x 轴的伸压变换，保持纵坐标不变，而横坐标变为原来的2倍．而矩阵N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1对应的是沿x 轴的伸压变换，保持纵坐标不变，而横坐标变为原来的12倍，也就是说梯形OABC 先后两次变换，横、纵坐标不变，即图形保持不变．8．设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1，试求曲线C ：y ＝sin x 在矩阵M 、N 对应的变换先后两次作用下得到的曲线的方程．解：设P 0(x 0，y 0)为曲线C 上的任意一点，在T M 的作用下变为P 1(x 1，y 1)，P 1在T N 的作用下变为P 2(x 2，y 2)，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2y 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝x 0，y 1＝2y 0，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝12x 1，y 2＝y 1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝12x 0，y 2＝2y 0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x 2，y 0＝12y 2. ∵P 0在曲线C 上， ∴y 0＝sin x 0. ∴12y 2＝sin 2x 2， 即y 2＝2sin 2x 2.∴所求曲线的方程为y ＝2sin 2x .2．2.3 反射变换1．反射变换矩阵和反射变换 像⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 0 1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1这样将一个平面图形F 变为关于定直线或定点对称的平面图形的变换矩阵，我们称之为反射变换矩阵，对应的变换叫做反射变换．相应地，前者叫做轴反射，后者称做中心反射．其中定直线称为反射轴，定点称做反射点．2．线性变换二阶非零矩阵对应的变换把直线变为直线，这种把直线变为直线的变换称为线性变换．二阶零矩阵把平面上所有的点都变换到坐标原点(0,0)，此时为线性变换的退化情况．[对应学生用书P11][例1] (1)矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 01将点A (2,5)变成了什么图形？画图并指出该变换是什么变换．(2)矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110将点A (2,7)变成了怎样的图形？画图并指出该变换是什么变换．[思路点拨] 先通过反射变换求出变换后点的坐标，再画出图形即可看出是什么变换． [精解详析](1)因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 0 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤25＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 5， 即点A (2,5)经过变换后变为点A ′(－2,5)，它们关于y 轴对称， 所以该变换为关于y 轴对称的反射变换(如图1)．(2)因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤27＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤72，即点A (2,7)经过变换后变为点A ′(7,2)，它们关于y ＝x 对称，所以该变换为关于直线y ＝x 对称的反射变换(如图2)．(1)点在反射变换作用下对应的象还是点．(2)常见的反射变换矩阵：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1表示关于原点对称的反射变换矩阵，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1表示关于x 轴对称的反射变换矩阵，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 0 1表示关于y 轴对称的反射变换矩阵，⎣⎢⎡⎦⎥⎤110表示关于直线y ＝x 对称的反射变换矩阵，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －1－1 0表示关于直线y ＝－x 对称的反射变换矩阵．1．计算下列各式，并说明其几何意义．(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤53； (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤53； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤53. 解：(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤53＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 5－3；(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤53＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5－3； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤53＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤35. 三个矩阵对应的变换分别是将点(5,3)作关于x 轴反射变换、关于原点的中心反射变换以及关于直线y ＝x 的轴反射变换，得到的点分别是(5，－3)，(－5，－3)和(3,5)．2．求出△ABC 分别在M 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1，M 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1，M 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1对应的变换作用下的几何图形，并画出示意图，其中A (0,0)，B (2,0)，C (1,2)．解：在M 1下，A →A ′(0,0)，B →B ′(－2,0)，C →C ′(－1,2)； 在M 2下，A →A ″(0,0)，B →B ″(2,0)，C →C ″(1，－2)； 在M 3下，A →A ，B →B－2,0)，C →C－1，－2)．图形分别为[例2] 椭圆x 29＋y 2＝1在经过矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110对应的变换后所得的曲线是什么图形？[思路点拨] 先通过反射变换求出曲线方程，再通过方程判断图形的形状． [精解详析] 任取椭圆x 29＋y 2＝1上的一点P (x 0，y 0)，它在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110对应的变换作用下变为P ′(x ′0，y ′0)．则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′0y ′0，故⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x ′x 0＝y ′0. 因为点P 在椭圆x 29＋y 2＝1上，所以x 209＋y 20＝1， ∴y ′209＋x ′ 20＝1；因此x ′ 20＋y ′209＝1. 从而所求曲线方程为x 2＋y 29＝1，是椭圆．矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110把一个图形变换为与之关于直线y ＝x 对称的图形，反射变换对应的矩阵要区分类型：点对称、轴对称．3．求曲线y ＝1x (x >0)在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1对应的变换作用下得到的曲线．解：矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1对应的变换是关于原点对称的变换，因此，得到的曲线为y ＝1x (x <0)． 4．求直线y ＝4x 在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －1－1 0作用下变换所得的图形．解：任取直线y ＝4x 在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －1－1 0作用下变换所得的图形上的一点P (x ，y )，一定存在变换前的点P ′(x ′，y ′)与它对应，使得⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 －1－1 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－y ′，y ＝－x ′.(*) 又点P ′(x ′，y ′)在直线y ＝4x 上，所以y ′＝4x ′，从而有y ＝14x ，从而直线y ＝4x 在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 －1－1 0作用下变换成直线y ＝14x .根据(*)，它们关于直线y ＝－x 对称．如图所示．[对应学生用书P13]1．计算⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 －1－1 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，并说明其几何意义．解：⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 －1－1 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－y －x ，其几何意义是：由矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 －1－1 0确定的变换是关于直线y ＝－x 的轴反射变换，将点(x ，y )变换为点(－y ，－x )．2．在矩阵变换下，图(1)，(2)中的△ABO 变成了△A ′B ′O ，其中点A 的象为点A ′，点B 的象为点B ′，试判断相应的几何变换是什么？解：(1)对应的是关于原点的中心反射变换，矩阵形式为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1.(2)对应的是关于y 轴的轴反射变换，矩阵形式为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 01. 3．求△ABC 在经过矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 01对应的变换后所得图形的面积，其中A (1,0)，B (－2,0)，C (5,4)．解：矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 0 1确定的变换是关于y 轴的轴反射变换，它将点(x ，y )变换为点(－x ，y )．所以平面△ABC 在经过矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 01对应的变换后所得图形是与原图形全等的三角形，故只需求出△ABC 的面积即可．所以所求图形的面积为6.4．求出曲线y ＝e x 先在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1对应的变换，后在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1对应的变换作用下形成的曲线，并说明两次变换后对应的是什么变换？解：因为矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 0 1对应的变换是关于y 轴的轴反射变换，变换后曲线为y ＝e －x .又因为矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1对应的变换是关于原点O 的中心反射变换，变换后曲线为－y ＝e x ，即y ＝－e x .两次变换对应的变换是关于x 轴的轴反射变换．5．变换T 使图形F ：y ＝x 2－1变为F ′：y ＝|x 2－1|，试求变换T 对应的变换矩阵A . 解：当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001；当x ∈[－1,1]时，A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1.6．若曲线x 24＋y 22＝1经过反射变换T 变成曲线x 22＋y 24＝1，求变换T 对应的矩阵．(写出两个不同的矩阵)解：T ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110或T ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 －1－1 0. 7．求关于直线y ＝3x 对称的反射变换所对应的矩阵A .解：在平面上任取一点P (x ，y )，令点P 关于y ＝3x 的对称点为P ′(x ′，y ′)． 则⎩⎪⎨⎪⎧y －y ′x －x ′×3＝－1，y ＋y ′2＝3×x ＋x ′2，化简得⎩⎨⎧x ′＝－45x ＋35y ，y ′＝35x ＋45y .∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4535 35 45 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y .∴关于直线y ＝3x 对称的反射变换对应的矩阵为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－45 3535 45.8．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0.在平面直角坐标系中，设直线2x －y ＋1＝0在变换T M ，T N 先后作用下得到曲线F ，求曲线F 的方程．解：∵T M 是关于直线y ＝x 对称的反射变换， ∴直线2x －y ＋1＝0在T M 的作用下得到直线F ′： 2y －x ＋1＝0.设P (x 0，y 0)为F ′上的任意一点，它在T N 的作用下变为P ′(x ′，y ′)，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y ′，y 0＝－x ′. ∵点P 在直线F ′上， ∴2y 0－x 0＋1＝0， 即－2x ′－y ′＋1＝0.∴所求曲线F 的方程为2x ＋y －1＝0.2．2.4 旋转变换[对应学生用书P14]1．旋转变换将一个图形F 绕某个定点O 旋转角度θ所得图形F ′的变换称为旋转变换．其中点O 称为旋转中心，角度θ称为旋转角．2．旋转变换矩阵像⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos θ －sin θsin θ cos θ这样的矩阵，称为旋转变换矩阵． 旋转变换只改变几何图形的相对位置，不会改变几何图形的形状．[对应学生用书P14][例1] 在直角坐标系xOy 内，将每个点绕原点O 按逆时针方向旋转135°的变换称为旋转角是135°的旋转变换．(1)试写出这个旋转变换的坐标变换公式和相应的矩阵； (2)求点A (4,8)在这个旋转变换作用下的象A ′.[思路点拨] 根据其坐标变换公式写出旋转变换对应的矩阵后求解． [精解详析] (1)该变换的坐标变换公式为：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x cos 135°－y sin 135°y ′＝x sin 135°＋y cos 135°，该变换对应的矩阵为： ⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 135° －sin 135°sin 135° cos 135°＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22 －22 22 －22. (2)由(1)知，当x ＝4，y ＝8时， x ′＝－62，y ′＝－22，所以点A (4,8)在这个旋转变换作用下的象为 A ′(－62，－22)．由旋转角θ的大小，写出旋转变换矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos θ －sin θsin θ cos θ是解决这类问题的关键．逆时针旋转时，θ为正值，顺时针方向旋转时，θ为负值．1．求出△ABC 分别在M 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1，M 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，M 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22 －2222 22对应的变换作用下的图形这里A (0,0)，B (2,0)，C (1,1)．解析：在M 1下，A →A ′(0,0)，B →B ′(－2,0)，C →C ′(－1，－1)． 在M 2下，A →A ″(0,0)，B →B ″(0,2)，C →C ″(－1,1)． 在M 3下，A →A ，B →B2，2)，C →C，2)．图形分别为2．在直角坐标系xOy 内，将每个点绕坐标原点O 按顺时针方向旋转60°的变换称为旋转角为－60°的旋转变换，求点A (－1,0)在这个旋转变换作用下得到的点A ′的坐标．解：由题意得旋转变换矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos (－60°) －sin (－60°)sin (－60°) cos (－60°)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 12 32－32 12， 故对应的坐标变换公式为⎩⎨⎧x ′＝12x ＋32y y ′＝－32x ＋12y .令x ＝－1，y ＝0得⎩⎨⎧x ′＝－12y ′＝32.所以所求的点A ′的坐标为⎝⎛⎭⎫－12，32.[例2] 已知曲线C ：x 2＋y 2＝2，将曲线C 绕坐标原点逆时针旋转60°后，求得到的曲线C ′的方程．[思路点拨] 先求出旋转变换矩阵，再根据变换公式求曲线方程． [精解详析] 旋转变换对应的矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 60° －sin 60°sin 60° cos 60°＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－3232 12， 设P (x 0，y 0)为曲线C 上任意的一点，它在矩阵M 对应的变换作用下变为P ′(x ′0，y ′0)． 则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 －3232 12 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′0y ′， 故⎩⎨⎧x 0＝12(x ′0＋3y ′0)，y 0＝12(y′0－3x ′0).因为点P (x 0，y 0)在曲线C ：x 2＋y 2＝2上， 所以x 20＋y 20＝2，即 ⎣⎡⎦⎤12(x ′0＋3y ′0)2＋⎣⎡⎦⎤12(y ′0－3x ′0)2＝2， ∴x ′20＋y ′20＝2.从而曲线C ′的方程为x 2＋y 2＝2.理解与掌握旋转变换对应的变换矩阵和坐标变换公式是解答该类问题的关键，对于特殊图形的旋转变换，也可根据数形结合直接得出，如本例中，曲线C 是以原点为圆心的圆，所以它不管旋转多少度，所得的图形仍是其自身．3．将双曲线C ：x 2－y 2＝1上的点绕原点逆时针旋转45°，得到新图形C ′，试求C ′的方程．解：根据题意，得旋转变换矩阵 M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 45° －sin 45°sin 45° cos 45°＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22 －222222， 任意选取双曲线x 2－y 2＝1上的一点P (x 0，y 0)，它在变换作用下变为P ′(x ，y )，则有⎩⎨⎧x ＝22x 0－22y 0，y ＝22x 0＋22y 0，那么⎩⎨⎧x 0＝22(x ＋y )，y 0＝22(y －x )，又因为点P 在曲线x 2－y 2＝1上，所以x 20－y 20＝1，即有12(x ＋y )2－12(y －x )2＝1，整理可得2xy ＝1，所以所求C ′的方程为xy ＝12.4．已知椭圆Γ：x 24＋y 23＝1，试求该曲线绕逆时针方向旋转90°后所得到的曲线，画出示意图．解：设椭圆与坐标轴的交点分别为A (－2,0)，B (0，－3)，C (2,0)，D (0，3)(如图所示)．因为绕原点逆时针旋转90°的变换所对应的矩阵为 M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 90° －sin 90°sin 90° cos 90°＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0.所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 0， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤20＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤02，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤03＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 0. 故点A ，B ，C ，D 在旋转变换M 的作用下分别变为点A ′(0，－2)，B ′(3，0)，C ′(0,2)，D ′(－3，0)，从而椭圆曲线Γ：x 24＋y 23＝1在逆时针旋转90°后所成的曲线为椭圆曲线Γ ′：x 23＋y 24＝1.[对应学生用书P15]1．若点A ⎝⎛⎭⎫22，22在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α －sin αsin α cos α对应的变换作用下得到的点为(1,0)，求α.解：由⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α －sin αsin α cos α⎣⎢⎡⎦⎥⎤2222＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10， 得⎩⎨⎧22cos α－22sin α＝1，22sin α＋22cos α＝0.∴⎩⎨⎧ sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－1，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝0.∴⎩⎨⎧ α－π4＝－π2＋2k π，α＋π4＝k π.(k ∈Z )∴⎩⎨⎧α＝－π4＋2k π，α＝－π4＋k π.(k ∈Z )∴α＝－π4＋2k π(k ∈Z )．2．设点P 的坐标为(1，－2)，T 是绕原点逆时针旋转π3的旋转变换，求旋转变换T 对应的矩阵A ，并求点P 在旋转变换T 作用下得到的点P ′的坐标．解：由题意知旋转变换矩阵 A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos π3 －sin π3sin π3 cos π3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 －3232 12 设P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 －3232 12 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′ ∴⎩⎨⎧x ′＝12＋3，y ′＝32－1.即P ′⎝⎛⎭⎫12＋3，32－1.3．已知曲线C ：xy ＝1.(1)将曲线C 绕坐标原点逆时针方向旋转45°后，求得到的曲线C ′的方程； (2)求曲线C ′的焦点坐标和渐近线的方程．解：(1)由题设知，M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 45° －sin 45°sin 45° cos 45°＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22－2222 22. 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22－2222 22 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22x －22y 22x ＋22y ， 得⎩⎨⎧x ′＝22(x －y )，y ′＝22(x ＋y )，解得⎩⎨⎧x ＝22(x ′＋y ′)，y ＝22(y ′－x ′)，代入xy ＝1，得曲线C ′的方程为y 2－x 2＝2.(2)由(1)知曲线C ′的焦点为(0,2)，(0，－2)，渐近线方程为y ＝±x . 4．求直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转π6后所得的直线的方程．解：直线y ＝3x 的倾斜角为π3，绕原点逆时针旋转π6后所得的直线的倾斜角为π2，故所求的直线方程为x ＝0.5．将抛物线E ：y 2＝4x 绕它的顶点逆时针旋转60°，得到曲线E ′.求曲线E ′的焦点坐标和准线方程．解：已知抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为F (1,0)，准线方程l ：x ＝－1.旋转变换对应的矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 －3232 12.设点P (x ，y )为变换前坐标系中任意一点，经变换后得到P ′(x ′，y ′)，∴⎩⎨⎧x ′＝12x －32y ，y ′＝32x ＋12y ，(1)将x ＝1，y ＝0代入(1)式得⎩⎨⎧x ′＝12，y ′＝32.由(1)消去y ，并将x ＝－1代入，得x ′＋3y ′＝－2.∴曲线E ′仍为抛物线，它的焦点坐标F ′⎝⎛⎭⎫12，32，准线方程l ′：x ＋3y ＋2＝0.6．已知椭圆x 24＋y 23＝1经过矩阵M 对应的变换作用下变为椭圆x 23＋y 24＝1，求变换矩阵M .解：将椭圆x 24＋y 23＝1变换为椭圆x 23＋y 24＝1，可以伸压变换，可以是反射变换(关于原点成中心反射或关于直线y ＝x 与y ＝－x 成轴对称)，还可以是旋转变换(绕原点旋转90°)，其中反射与旋转较为方便，所以矩阵M 可以是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110或⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0或⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 －1－1 0或⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 1－1 0等． 7．已知椭圆C ：x 2＋y 2＋xy ＝3，将曲线C 绕原点O 顺时针旋转π4，得到椭圆C ′.求：(1)椭圆C ′的标准方程； (2)椭圆C 的焦点坐标．解：(1)矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2222－22 22， 设椭圆C 上的点P (x ，y )变换后为P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2222－2222 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′， 故⎩⎨⎧x ＝22(x ′－y ′)，y ＝22(x ′＋y ′).代入x 2＋y 2＋xy ＝3中，得12(x ′－y ′)2＋12(x ′＋y ′)2＋12(x ′2－y ′2)＝3. ∴椭圆C ′的方程为x 22＋y 26＝1.(2)∵椭圆C ′的焦点坐标为(0，±2)，∴椭圆C 的焦点坐标为F 1(－2，2)，F 2(2，－2)．8．已知点A (3,4)，点A 绕原点逆时针旋转60°后得到的对应点为B ，求点B 的坐标，并求出线段OA 旋转过程中所扫描过的图形的面积．解：由题意可得旋转变换矩阵为 M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 60° －sin 60°sin 60° cos 60°＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－3232 12，。
二阶矩阵与平面向量的乘法
1
0
3
3
=
解:Aα=
0
1
4
-1
2
3
,
2
-1 × 3 + 4 × 2
=
Bα=
3
5
2
1
5
=
3× 3+5× 2
0
相乘,向量 α 保持不变.
反思与单位矩阵01 Nhomakorabea.
19
题型一
题型二
题型二
题型三
根据矩阵与向量的积求点的坐标
4
2
, 点在A 对应变换的作用下的像为
【例 2】 已知 A=
3
P'(6,7),求点 P 的坐标.
-1
题型一
题型二
题型三
解:设 P(x,y),
x
6
=
则有
,
y
4
2
7
4x + 2y
x
=
即
3
-1
y
6
=
.
3x-y
7
4 + 2 = 6,
由
3- = 7.
得 x=2,y=-1.
故点 P 的坐标为(2,-1).
反思本题是已知 P'求 P,反过来,若已知 P,也可求 P'的坐标.
题型一
题型二
题型三
题型三
二 二阶矩阵与
平面向量的乘法
1.理解列向量、行向量的概念,掌握二阶矩阵与平面向量的乘法
法则.
2.会利用二阶矩阵与平面向量的乘法法则,计算矩阵与向量的乘
积、求已知点在矩阵A所对应的线性变换下的像的坐标.
如何求平面内点对应的像?
x
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阶段一阶段二阶段三学业分层测评2.1.2 二阶矩阵与平面列向量的乘法1.掌握二阶矩阵与平面列向量的乘法规则.2.理解矩阵对应着向量集合到向量集合的映射.[基础·初探]1.行矩阵a 11a 12与列矩阵b 11b 21的乘法规则a 11a 12b 11b 21＝a 11×b 11＋a 12×b 21. 2.二阶矩阵a 11 a 12a 21 a 22与列向量x 0y 0的乘法规则a 11 a 12a 21a 22 x 0y 0＝a 11×x 0＋a 12×y 0a 21×x 0＋a 22×y 0.3.平面向量的变换一般地，对于平面上的任意一个点(向量)(x ，y )，按照对应法则T ，总能对应惟一的一个平面点(向量)(x 2，y ′)，则称T 为一个变换，简记为：T ：(x ，y )→(x 2，y ′)或T ： x y →x 2y 2.4.由二阶矩阵与平面列向量的乘积确定的平面向量的变换 一般地，对于平面向量的变换T ，如果变换规则为T ： x y → x 2y 2＝ax ＋by cx ＋dy ，那么根据二阶矩阵与列向量的乘法规则可以改写为T ： x y → x 2y 2＝a b cdx y 的矩阵形式，反之亦然(a ，b ，c ，d ∈R ). 由矩阵M 确定的变换T ，通常记作T M .根据变换的定义，它是平面内点集到其自身的一个映射.当±＝x y 表示某个平面图形F 上的任意一点时，这些点就组成了图形F ，它在T M 的作用下，将得到一个新的图形F 2——原象集F 的象集F 2.[思考·探究]1.二阶矩阵与平面列向量乘法的作用是什么？ 【提示】由二阶矩阵与平面列向量的乘法规则知：二阶矩阵a 11 a 12a 21a 22与平面列向量乘法的作用是把向量x y 变成了另一个向量a 11×x ＋a 12×y a 21×x ＋a 22×y2.二阶矩阵与平面列向量乘法的几何意义是什么？ 【提示】由本节的知识点知，一个二阶矩阵a b cd 可以看作一个特定的平面上的几何变换，它将变换前的列向量x y 表示平面上的点P (x ，y )，变成另一个列向量ax ＋by cx ＋dy 表示的新的点P ′(ax ＋by ，cx ＋dy ).反过来，现有平面上的一个变换T ： x y → x 2y 2，如果 x 2y 2＝ax ＋by cx ＋dy ，即变换后的点的横坐标及纵坐标均可由原向量(点)的坐标表示出来，这时变换T应为矩阵a b cd .3.矩阵与列向量的乘法的几何意义与函数的概念有何区别？【提示】由二阶矩阵与平面列向量的乘法法则可以看出，其几何意义在于它对应着平面上点与点之间的某种几何变换，这与以前所学的函数的概念有所区别.函数是建立在数集上的对应，而由矩阵所确定的变换是建立在平面内点集到其自身的一个映射.[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_____________________________________________________ 解惑：_______________________________________________________ 疑问2：_____________________________________________________ 解惑：_______________________________________________________ 疑问3：______________________________________________________ 解惑：_______________________________________________________二阶矩阵与平面列向量的乘法运算计算(1)1 00－157； (2)1 00 131； (3)1 23 4 86； (4)1 234x y . 【精彩点拨】 根据矩阵与向量的乘法规则运算.【自主解答】 (1) 1 00 －157 ＝ 1×5＋0×70×5＋（－1）×7＝5－7. (2) 1 001 31＝ 1×3＋0×10×3＋1×1＝ 31. (3) 1 234 86＝ 1×8＋2×63×8＋4×6＝ 2048. (4) 1 23 4 x y ＝ 1×x ＋2×y 3×x ＋4×y ＝x ＋2y 3x ＋4y .二阶矩阵与平面列向量的乘法运算，按照其乘法规则 a 11 a 12a 21a 22x y ＝ a 11×x ＋a 12×y a 21×x ＋a 22×y 进行.本例中(1)(2)(3)运算结果所表示的几何意义是什么？【解】 (1)在矩阵 1 00 －1作用下，列向量 57变成5－7，此时点P (5，7)变成了关于x 轴对称的点P 2(5，－7).(2)在矩阵 1 001作用下，列向量 31保持不变. (3)在矩阵 1 23 4作用下，列向量 86变成了向量2048.矩阵的变换(1)已知变换 x y → x 2y 2＝ 3 21 5 x y ，试将它写成坐标变换的形式； (2)已知变换 x y → x 2y 2＝ 2x －3y y ，试将它写成矩阵的乘法形式.【导学号：30650005】【精彩点拨】 (1)根据矩阵与列向量乘法规则运算即得；(2)关键找到将2x －3y 及y 用x ，y 表示出来的系数a ，b ，c ，d .【自主解答】 (1)根据矩阵与列向量的乘法规则，得x y → x 2y 2＝3x ＋2y x ＋5y . (2)由 x 2y 2＝ 2x －3y y ＝2×x ＋（－3）×y 0×x ＋1×y ＝ 2 －30 1 x y 得： x y → x 2y 2 ＝ 2 －30 1x y .1.将矩阵的乘法形式的变换写成坐标变换的形式，只需根据矩阵与列向量的乘法规则将矩阵的乘法进行运算即可.2.将坐标变换的形式写成矩阵的乘法形式，关键是找到矩阵 a b cd ，使x 2y 2＝ a b c d x y .已知变换 x y → x 2y 2＝5x －3y 2x ＋2y ，试将它写成矩阵的乘法形式. 【解】由 x 2y 2＝ 5x －3y 2x ＋2y ＝ 5×x ＋（－3）×y 2×x ＋2×y ＝ 5 －32 2 x y 得： x y → x 2y 2＝ 5 －32 2x y .在二阶矩阵对应的变换作用下点的坐标的确定与应用已知变换T：平面上的点P(2，－1)，Q(－1，2)分别变换成P1(5，－6)，Q1(2，0)，求变换矩阵A.【精彩点拨】由题意可知，变换矩阵A为二阶矩阵，根据二阶矩阵与列向量的乘法可列出方程组，解方程组可求出二阶矩阵中的各元素.【自主解答】 设所求的变换矩阵A ＝ a b c d ， 依题意，可得 a b cd 2－1＝ 5－6， a b c d －1 2＝20， 所以 2a －b ＝5，2c －d ＝－6，－a ＋2b ＝2，－c ＋2d ＝0，解得 a ＝4，b ＝3，c ＝－4，d ＝－2.故所求的变换矩阵A ＝ 4 3－4－2.1.设出所求的变换矩阵，将坐标变换写成矩阵的乘法的形式.2.根据矩阵的乘法列出方程组求出各元素，即得所求矩阵.如果矩阵3 00 2把点A 变成点A 2(3，2)，求点A 的坐标. 【解】 设变换T ： x y → x 2y 2＝3 00 2 x y ， 即 3＝3×x ＋0×y ，2＝0×x ＋2×y ，解得 x ＝1，y ＝1.所以点A 的坐标为(1，1).[真题链接赏析](教材第11页习题第7题)设点P (a ，b )(a ，b ∈R )在矩阵 1 00 0对应的变换作用下得到点P 2，求点P 2的坐标.已知直线：l ：ax ＋y ＝1在矩阵A ＝ 1 20 1对应的变换作用下变为直线l 2：x ＋by ＝1.(1)求实数a ，b 的值；(2)若点P (x 0，y 0)在直线l 上，且A x 0y 0＝ x 0y 0，求点P 的坐标.【命题意图】考查矩阵与矩阵变换.矩阵变换时，考查运算求解能力及化归与转化思想.【解】 (1)设直线l ：ax ＋y ＝1上任意点M (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下的像是M 2(x 2，y ′).由 x 2y 2＝ 1 20 1 x y ＝ x ＋2y y ，得 x 2＝x ＋2y ，y ′＝y .又点M 2(x 2，y ′)在l 2上，所以x 2＋by 2＝1，即x ＋(b ＋2)y ＝1.依题意，得 a ＝1，b ＋2＝1，解得 a ＝1，b ＝－1.(2)由A x 0y 0＝ x 0y 0，得 x 0＝x 0＋2y 0，y 0＝y 0，解得y 0＝0. 又点P (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝1.故点P 的坐标为(1，0).1.设A ＝ 1 23 4，±＝－1 1，则A ±＝________. 【解析】 A ±＝ 1 234 －1 1 ＝ 1×（－1）＋2×13×（－1）＋4×1＝11. 【答案】112.已知 x y → x 2y 2＝ 1 10 2x y ，则将它写成坐标变换的形式为：________. 【解析】 x y → x 2y 2＝ 1×x ＋1×y 0×x ＋2×y ＝x ＋y 2y . 【答案】 x y →x ＋y 2y3.线性变换 x 2＝x ＋2y ，y ′＝3x ＋4y写成矩阵与列向量的乘积的形式为________. 【解析】 x 2y 2＝ x ＋2y 3x ＋4y ＝1 23 4 x y 【答案】x 2y 2＝ 1 23 4 x y4.若矩阵 0 －11 0把点A 变成点A 2(3，1)，则点A 的坐标为________.【解析】 设变换T ： x y → x 2y 2＝ 0 －11 0x y ， 即 3＝0×x ＋（－1）×y ，1＝1×x ＋0×y ，解得 x ＝1，y ＝－3.所以点A 的坐标为(1，－3).【答案】 (1，－3)我还有这些不足：(1)________________________________________________________(2)________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)________________________________________________________(2)________________________________________________________上一页返回首页下一页学业分层测评（二） 点击图标进入…。