二项式定理
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方法2 (x2+3x+2)5=[x(x+3)+2]5
在展开式C中 15x(x只 3)有 24才存x的 在项 , 其系数 C15为 324 240
方法3 (x2+3x+2)5=[x2+(3x+2)]5
在展开式C 中50(3只 x有 2)5才存x的 在项 , 其系数 C15为 324 240
( x1)6(2x1)5 的通项是
CC(1)2 x s r 56
s
5s
16r2s 2
5、 的系数.
求 ( x1)6(2x1)5的展开式中 x 6 项
解：( x 1)6 的通项是 C 6 r( x)6rC 6 rx6 2r
(2 x 1)5 的通项是
C 5 s ( 2 x ) 5 s ( 1 ) s C 5 s ( 1 ) s 2 5 s x 5 s
( x1 )6(2x1 )5 的通项是
CC(1)2 x s r 56
s
5s
16r2s 2
课堂小结：
1、二项式定理、通项公式及二项式系数的性 质。
2、要区分二项式系数与展开式项的系数的异 同。
3、熟练求算二项展开式的Tr+1项、常数项、x 的r次方项等题型。
二项式定理的复习
1.二项展开式：
a bn
c n 0 a n c 1 n a n 1 b c n ra n rb r c n n b n
这个公式叫做二项式定理,等号后面的 式子叫做(a+b)n的二项展开式,其中 Cnk(k=0,1,2,…,n)叫做二项式系数。
二项展开式中的第k+1项为Cnkan-kbk
用(1-x)3 展开式中的一次项乘以(1+x)10 展开式中 的x4项可得到(-3x)(C104x4)=-3C104x5；
用(1-x)3 展开式中的x2乘以(1+x)10 展开式中的x3 项可得到3x2(C103x3)=3C103x5；
用(1-x)3 展开式中的x3乘以(1+x)10 展开式中的x2 项可得到(-x3)(C102x2)=-C102x5；
习题点评 括号里含有三项的情况可以把某两项合并为一项,合 并时要注意选择的科学性.也可因式分解化为乘积二 项式.
4、 求 ( x1)6(2x1)5的展开式中 x 项6
的系数.
解 ( x 1)6 的通项是 C 6 r( x)6rC 6 rx6 2r (2x 1)5 的通项是
C 5 s ( 2 x ) 5 s ( 1 ) s C 5 s ( 1 ) s 2 5 s x 5 s
s
1
r 4
s
0
所以 x 6 的系数为: C52C60(1)223C51C62(1)24 C50C64(1)025
640
例题点评 对于较为复杂的二项式与二项式乘积利用两 个通项之积比较方便运算
3 (x 2 3 x 2 )5 的 展 开 式 中 x 的 系 数 是 ____2__4_0____
(1+x)n
=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnkxk+…+Cnnxn
例1 ：求(1+x-x2)6展开式中x5的系数．
分析：(1+x-x2)6不是二项式， 通过1+x-x2=(1+x)-x2或1+(x-x2) 把它看成二项 式展开． 解：方法一：(1+x-x2)6 =[(1+x)-x2]6=(1+x)6-6(1+x)5x2+15(1+x)4x4-… 其中含x5 的项为：C 6 5x5 6 C 5 3x5 1C 5 4 1x56 x5 含x5项的系数为6．
1)r x
C1r2x6r
当r=6时，得常数项为：T7=C126=924 ．
课堂练习： 1、 (x2+3x+2)5展开式中x的系数为_________ .
方法1 (x2+3x+2)5=[(x2+2)+3x]5
在 展 开 式C中 15(x2只 2)4有 3x才 存x的 在,项 其 系5数 C4 42为 43240
x
分析：本题的两小题都不是二项式展开，但 可以转化为二项式展开的问题， （1）可以视为两个二项展开式相乘； （2）可以经过代数式变形转化为二项式．
解：（1）(1-x)3(1+x)10展开式中的x5可以看成下列 几种方式得到，然后合并同类项：
用 (1-x)3 展开式中的常数项乘以(1+x)10 展开式 中的x5项，可以得到C105 x5；
方法二：(1+x-x2)6=[1+(x-x2)]6 =1+6(x-x2)+15(x-x2)2+20(x-x2)3+15(x-x2)4
+6(x-x2)5+(x-x2)6 其中含x5 的项为:6x5 ∴x5 项的系数为6．
• 例2 :(1)求(1-x)3(1+x)10展开式中x5的系数；
(2)求(x+ +2)6展1 开式中的常数项．
方法4 (x2+3x+2)5= (x+1)5 (x+2)5 ，…….
2求 ( x11)8展 开 式 中 的 常 数 项 x
解：三项式不能用二项式定理,必须转化为二项式
( x11)8[(x1)1]8
x
x
C 8 0(x1 x)8 C 8 1 (x1 x)7 C 8 7(x1 x) C 8 8
3.二项式定理的几个变式：
a b n c n 0 a n c 1 n a n 1 b c n r a n r b r c n n b n
(a-b)n
a n C n 1 a n 1 b C n 2 a n 1 b 2 . . . ( 1 ) n C n k a n k b k . . . ( 1 ) n b n
解： 原式化为[(x2 2)3x]5
其通项公式为 Tr1C 5 r(x22)5r(3x)r
要x使 的指1数 ,只为 r需 1
T2C5 1(x22)43x
1 x (x 5 8 4 2 x 6 6 4 x 4 4 8 x 2 2 4 )
所x以 的系1数 5 24 为 240
再利用二项式定理逐项分析常数项得
C 8 0 C 8 4 C 8 2 C 6 3 C 8 4 C 4 2 C 8 6 C 2 1 C 8 8
=1107
由题意知
16r2s 2
6
r 2 s 4 ( r 0 6 , s 0 5 )
r 0
解得
s
2
r 2
叫做二项展开式的通项,
通项公式:TK+1=Cnkan-kbk
2.二项展开式的特点 (1) 项数： 展开式有共n+1项 (2) 系数 ： 都是组合数，
依次为Cn0，Cn1，Cn2，Cn3，…Cnn (3) 指数的特点 ：
1) a的指数 由n 0 (降幂) 2) b的指数由0 n (升幂) 3) a和b的指数和为n
得x5项为:(C105 -3C104 +3C103 -C102)x5=-63x5．
• (2)求(x+ 1+2)6展开式中的常数项．
x
• 解： x 1 2 ( x 1 )2 ,
x
x
(x 1 2)6 ( x 1 )12
x
xБайду номын сангаас
通项公式：Tr+1=
C1r2(
x)12r(
在展开式C中 15x(x只 3)有 24才存x的 在项 , 其系数 C15为 324 240
方法3 (x2+3x+2)5=[x2+(3x+2)]5
在展开式C 中50(3只 x有 2)5才存x的 在项 , 其系数 C15为 324 240
( x1)6(2x1)5 的通项是
CC(1)2 x s r 56
s
5s
16r2s 2
5、 的系数.
求 ( x1)6(2x1)5的展开式中 x 6 项
解：( x 1)6 的通项是 C 6 r( x)6rC 6 rx6 2r
(2 x 1)5 的通项是
C 5 s ( 2 x ) 5 s ( 1 ) s C 5 s ( 1 ) s 2 5 s x 5 s
( x1 )6(2x1 )5 的通项是
CC(1)2 x s r 56
s
5s
16r2s 2
课堂小结：
1、二项式定理、通项公式及二项式系数的性 质。
2、要区分二项式系数与展开式项的系数的异 同。
3、熟练求算二项展开式的Tr+1项、常数项、x 的r次方项等题型。
二项式定理的复习
1.二项展开式：
a bn
c n 0 a n c 1 n a n 1 b c n ra n rb r c n n b n
这个公式叫做二项式定理,等号后面的 式子叫做(a+b)n的二项展开式,其中 Cnk(k=0,1,2,…,n)叫做二项式系数。
二项展开式中的第k+1项为Cnkan-kbk
用(1-x)3 展开式中的一次项乘以(1+x)10 展开式中 的x4项可得到(-3x)(C104x4)=-3C104x5；
用(1-x)3 展开式中的x2乘以(1+x)10 展开式中的x3 项可得到3x2(C103x3)=3C103x5；
用(1-x)3 展开式中的x3乘以(1+x)10 展开式中的x2 项可得到(-x3)(C102x2)=-C102x5；
习题点评 括号里含有三项的情况可以把某两项合并为一项,合 并时要注意选择的科学性.也可因式分解化为乘积二 项式.
4、 求 ( x1)6(2x1)5的展开式中 x 项6
的系数.
解 ( x 1)6 的通项是 C 6 r( x)6rC 6 rx6 2r (2x 1)5 的通项是
C 5 s ( 2 x ) 5 s ( 1 ) s C 5 s ( 1 ) s 2 5 s x 5 s
s
1
r 4
s
0
所以 x 6 的系数为: C52C60(1)223C51C62(1)24 C50C64(1)025
640
例题点评 对于较为复杂的二项式与二项式乘积利用两 个通项之积比较方便运算
3 (x 2 3 x 2 )5 的 展 开 式 中 x 的 系 数 是 ____2__4_0____
(1+x)n
=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnkxk+…+Cnnxn
例1 ：求(1+x-x2)6展开式中x5的系数．
分析：(1+x-x2)6不是二项式， 通过1+x-x2=(1+x)-x2或1+(x-x2) 把它看成二项 式展开． 解：方法一：(1+x-x2)6 =[(1+x)-x2]6=(1+x)6-6(1+x)5x2+15(1+x)4x4-… 其中含x5 的项为：C 6 5x5 6 C 5 3x5 1C 5 4 1x56 x5 含x5项的系数为6．
1)r x
C1r2x6r
当r=6时，得常数项为：T7=C126=924 ．
课堂练习： 1、 (x2+3x+2)5展开式中x的系数为_________ .
方法1 (x2+3x+2)5=[(x2+2)+3x]5
在 展 开 式C中 15(x2只 2)4有 3x才 存x的 在,项 其 系5数 C4 42为 43240
x
分析：本题的两小题都不是二项式展开，但 可以转化为二项式展开的问题， （1）可以视为两个二项展开式相乘； （2）可以经过代数式变形转化为二项式．
解：（1）(1-x)3(1+x)10展开式中的x5可以看成下列 几种方式得到，然后合并同类项：
用 (1-x)3 展开式中的常数项乘以(1+x)10 展开式 中的x5项，可以得到C105 x5；
方法二：(1+x-x2)6=[1+(x-x2)]6 =1+6(x-x2)+15(x-x2)2+20(x-x2)3+15(x-x2)4
+6(x-x2)5+(x-x2)6 其中含x5 的项为:6x5 ∴x5 项的系数为6．
• 例2 :(1)求(1-x)3(1+x)10展开式中x5的系数；
(2)求(x+ +2)6展1 开式中的常数项．
方法4 (x2+3x+2)5= (x+1)5 (x+2)5 ，…….
2求 ( x11)8展 开 式 中 的 常 数 项 x
解：三项式不能用二项式定理,必须转化为二项式
( x11)8[(x1)1]8
x
x
C 8 0(x1 x)8 C 8 1 (x1 x)7 C 8 7(x1 x) C 8 8
3.二项式定理的几个变式：
a b n c n 0 a n c 1 n a n 1 b c n r a n r b r c n n b n
(a-b)n
a n C n 1 a n 1 b C n 2 a n 1 b 2 . . . ( 1 ) n C n k a n k b k . . . ( 1 ) n b n
解： 原式化为[(x2 2)3x]5
其通项公式为 Tr1C 5 r(x22)5r(3x)r
要x使 的指1数 ,只为 r需 1
T2C5 1(x22)43x
1 x (x 5 8 4 2 x 6 6 4 x 4 4 8 x 2 2 4 )
所x以 的系1数 5 24 为 240
再利用二项式定理逐项分析常数项得
C 8 0 C 8 4 C 8 2 C 6 3 C 8 4 C 4 2 C 8 6 C 2 1 C 8 8
=1107
由题意知
16r2s 2
6
r 2 s 4 ( r 0 6 , s 0 5 )
r 0
解得
s
2
r 2
叫做二项展开式的通项,
通项公式:TK+1=Cnkan-kbk
2.二项展开式的特点 (1) 项数： 展开式有共n+1项 (2) 系数 ： 都是组合数，
依次为Cn0，Cn1，Cn2，Cn3，…Cnn (3) 指数的特点 ：
1) a的指数 由n 0 (降幂) 2) b的指数由0 n (升幂) 3) a和b的指数和为n
得x5项为:(C105 -3C104 +3C103 -C102)x5=-63x5．
• (2)求(x+ 1+2)6展开式中的常数项．
x
• 解： x 1 2 ( x 1 )2 ,
x
x
(x 1 2)6 ( x 1 )12
x
xБайду номын сангаас
通项公式：Tr+1=
C1r2(
x)12r(