四川省眉山一中办学共同体2018-2019学年高一上学期半期考试数学试卷(精品解析)

眉山一中2021届第一期10月月考试题数学
一、选择题（共60分，每小题5分，每个小题有且仅有一个正确的答案）
1.设，，则等于（ )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据集合交集的定义，找到集合A、B的公共元素即可.
【详解】
则
故选D
【点睛】本题考查集合运算，对于A，B两个集合，由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与集合B的交集，记作A∩B.所以找出A、B的公共元素是求交集的关键.
2.已知集合，，则满足条件的集合的个数为（
）
A. 4
B. 8
C. 9
D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】
根据集合A、B、C的关系，集合C中必然包含集合A中的元素，集合B共有五个元素，只需要确定集合的子集个数，即为集合C的所有可能，所以集合C有种可能.
【详解】
集合C为：，，，，，，
故选B
【点睛】本题考查集合之间的关系以及集合子集个数的求法，首先需要确定集合中的元素，然后根据集合的特点确定集合子集个数，一般一个集合里有N个元素（可以是数）,则它所有子集的数目是,所有真子集数目
(子集除去本身),所有非空子集数目是（子集除去空集）,所有非空真子集数目（子集除去本身和空集）.
3. 已知集合A＝[0,8]，集合B＝[0,4]，则下列对应关系中，不能看作从A到B的映射的是
A. f：x→y＝x
B. f：x→y＝x
C. f：x→y＝x
D. f：x→y＝x
【答案】D
【解析】
试题分析：D选项中的映射不能使集合A中的每一个元素都在集合B中找到一个元素与之对应，例如集合A中的元素6就不能在集合B中找到一个元素与之对应.
考点：运用映定义判断对应关系是否为映射.
4.下列各组函数表示同一函数的是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：A中两函数定义域不同；B中两函数定义域不同；C中两函数定义域相同，对应关系相同，是同一函数；D中两函数定义域不同
考点：判断两函数是否同一函数
5.已知则等于(　）
A. π＋1
B. 0
C. 2
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
本题可以根据分段函数解析式，由内到外，依次求解函数值，即可求得答案.
【详解】f(-2)=0, f(0)=,
故选A
【点睛】本题主要考查了函数值的求解问题，解答题目的过程中要准确把握分段函数的分段条件，正确选择相应的解析式计算求值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
6.下列函数中，既是奇函数又是增函数的是 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据奇函数定义先判断出奇偶性，然后根据单调性定义判断单调性即可.
【详解】A.非奇非偶函数；B.奇函数且是单调递增函数；
C.奇函数但在定义域上不是增函数；
D. 奇函数，单调递减函数；
故选B
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性，结合初等函数的奇偶性和单调性判断出原函数的性质，主要考查了推理能力。

7.函数在上单调递减，关于的不等式的解集是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
抽象函数不等式问题主要是利用函数单调性构造不等式来解决，要注意定义域.
【详解】因为函数在上单调递减
所以
解得：
故选C
【点睛】本题考查函数单调性应用，利用函数单调性构造关于x的不等式，在解决类似的问题时，还应注意函数的定义域，这也是构造不等式的方法，这往往是同学们容易忽略的问题。

8.已知，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
本题可以先用换元法求出函数f(x)解析式，然后再将x 换为x+1求出解析式.
【详解】设t=x-1，则x=t+1
化解得：
故选A
【点睛】本题考查函数解析式求解方法，常用的方法有：换元法、待定系数法、配凑法、构造方程组法等，换元法比较常用，需要关注的问题是换元后新元的范围也即函数定义域.
9.函数在区间上为减函数，则的取值范围为（ ）
A.
B. C. D.
【答案】B
【解析】试题分析：当时，满足题意．当时由题意可得
．综上可得
．考点：一次函数，二次函数的单调性．
10.若函数
的定义域为[0，m ]，值域为，则m 的取值范围是( )
A. （0，4]
B.
C.
D. 【答案】C
【解析】当x ＝0，x ＝3时，y ＝－4，当x ＝时，y ＝－.∴m∈，选C.
点睛:本题考查二次函数的值域问题,属于基础题.二次函数判断单调性或者求最值往往利用配方法求出函数的对称轴,根据开口方向画出函数的大概图象,判断出给定区间上的单调性,若对称轴在定义域内,则在对称轴处取到一个最值,在端点处取到另一个最值,若对称轴不在定义域内,一般在端点处取最值.
11.定义在R 上的偶函数满足：对任意的，有，且，则不等式
解集是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：∵对任意的∈（-∞，0]（），有，
∴此时函数f（x）为减函数，
∵f（x）是偶函数，∴当x≥0时，函数为增函数，
则不等式等价为，即xf（x）＜0，
∵f（-2）=-f（2）=0，
∴作出函数f（x）的草图：
则xf（x）＜0等价为或，
即x＜-2或0＜x＜2，
故不等式的解集为（-∞，-2）∪（0，2）．
考点：函数单调性的性质
12.已知函数，若存在x1＜x2，使得f（x1）=f（x2），则x1•f（x2）的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：作出函数图象，如图，由图象可知，函数在，单调递增，且当，时，满足存在，使得，则，且，所以
，故选C．
考点：分段函数的图象应用．
【思路点睛】本题主要考查分段函数的求值．由函数图象可知，若存在，使得，则函数值必在区间内，由此可得出，，进而求出，即，由不等式
性质，，即．
二、填空题（共20分，每小题5分）
13.计算，所得结果为____________
【答案】
【解析】
【分析】
根据指数幂运算性质即可求解.
【详解】
【点睛】指数幂运算的四个原则：（1）有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算；（2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；（3）底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数；（4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答（化简过程中一定要注意等价性，特别注意开偶次方根时函数的定义域）
14.若指数函数的图象经过点，则的值为____
【答案】
【解析】
【分析】
先根据指数函数过点，求出的值，再代入计算即可.
【详解】因为指数函数且的图象经过点，
，解得，
，
，故答案为.
【点睛】本题主要考查指数函数的解析式，意在考查对基础知识的掌握情况，属于简单题.
15.已知函数若有最小值，则的最大值为____
【答案】2
【解析】
【分析】
根据二次函数性质可知函数在上单调递增，在上单调递减，则函数在上当x=0时取得最小值，即可求得a的值.
【详解】二次函数在单调递增，当单调递减
故在x=0时取得最小值，即a=2
【点睛】本题考查二次函数在闭区间上的最值问题，主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解．
16.已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是_______
【答案】
【解析】
【分析】
分段函数在R上单调递减，首先在单调递减即，在也单调递减即，其次在x=1时
即可解得a的范围.
【详解】因为在上单调递减
所以
解得：
【点睛】分段函数单调性要满足两个条件：1.各区间上函数单调；2. 分界点处函数值要符合函数的单调性（如果为增函数则左小右大，如果为减函数则左大右小）
三、解答题（共70分）
17.已知集合，集合，
（1）若，求；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）先求出集合A和B，根据交集定义求得；
（2）可知，由子集定义可列出关于m的不等式组求解,注意集合B的两种情况讨论：和.
【详解】(1）由，而B=[5,7]
(2)
①当时，m+1>2m-1得：m<2·
②当时，
·
综上所述;m的取值范围为·
【点睛】本题主要考查集合的交集、集合的补集以及空集的应用，属于简答题.要解答本题，首先必须熟练应用数学的转化与化归思想及分类讨论思想，将并集问题转化为子集问题，其次分类讨论进行解答，解答集合子集过程中，一定要注意空集的讨论，这是同学们在解题过程中容易疏忽的地方，一定不等掉以轻心.
18.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x<0时，.
(1)求f(2)的值；
(2)用定义法判断y＝f(x)在区间(－∞，0）上的单调性．
(3)求的解析式
【答案】（1）；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】
(1)利用函数的奇偶性求解.
(2)函数单调性定义，通过化解判断函数值差的正负；
（3）函数为R奇函数，x〈0的解析式已知，利用奇函数图像关于原点对称，即可求出x〉0的解析式.
【详解】（1）由函数f(x)为奇函数，知f(2)＝-f(－2)＝·
(2)在(－∞，0）上任取x1，x2，且x1<x2，
则
由x1－1<0，x2－1<0，x2－x1>0，知f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
由定义可知，函数y＝f(x)在区间(－∞，0]上单调递减．·
（3）当x>0时，－x<0，
由函数f(x)为奇函数知f(x)＝-f(－x)，
【点睛】本题考查了函数奇偶性的应用和单调性的定义，利用奇偶性求函数值和解析式主要应用奇偶性定义和图像的对称性；利用定义法证明函数单调性关键是作差后式子的化解，因为需要判断结果的正负，所以通常需要将式子化成乘积的形式.
19.已知函数.
（1）证明：是偶函数；
（2）在给出的直角坐标系中画出的图象；
（3）求函数的值域.
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）证明函数的奇偶性首先需要确定其定义域必须关于原点的对称性，再利用奇偶性定义判断的关系；（2）函数是偶函数，根据函数图像关于y轴对称，可先画y轴右侧的图像，然后画关于y轴对称的图像.
（3）由（2）得到的图像，观察函数的单调性，求解函数的值域.
【详解】(1)f(x)的定义域，对于任意的
都有，所以是偶函数
（2）图象如右图
（3）根据函数图象可知，函数的值域为
【点睛】本题主要考查函数奇偶性的定义以及利用函数奇偶性作图和判断函数的单调性，函数奇偶性主要反映的是函数的对称性问题，因此本题可以利用偶函数图像关于y轴对称的特点，画函数图像时可以先画x>0的图
像，再关于y轴对称；函数单调性在x>0时的单调性与x<0的单调性相反.
20.已知二次函数的最小值为1，且．
（1）求的解析式．
（2）在区间[－1,1]上，的图象恒在的图象上方，试确定实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
(1)已知函数是二次函数，求解析式可以采用待定系数法，再由已知条件可以设二次函数的顶点式.
(2)由二次函数图像在直线上方可得到不等式：，问题转化为不等式在[－1,1]恒成立求参数的范围，可以用分离参数法.
【详解】（）由已知是二次函数，且，得的对称轴为，
又的最小值为，
故设，
又，∴，解得，
∴．
（2）由于在区间[－1,1]上，的图象恒在的图象上方，
所以在[－1,1]上恒成立，
即在上恒成立．
令，则在区间[－1,1]上单调递减，
∴在区间[－1,1]上的最小值为，
∴，即实数的取值范围是
【点睛】本题综合考查二次函数的解析式求解和其性质应用，解析式求解中，如何设函数解析式很关键，将会影响后续计算量的大小，因此需要根据已知条件选择合适的解析式；在求解参数范围时一般采用分离参数和构造函数法，在分离参数后要分清是恒成立问题还是存在性问题然后求解产生的新函数的最值.如果采用构造函数法，则需要解决构造函数的性质来求参数的范围.
21. 某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比。

已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元（如图）．
（1）分别写出两种产品的收益与投资的函数关系．
（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？
【答案】（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1）根据题意，得，，代入点的坐标，求的的值，即可可得到两种产品的
收益与投资的函数关系；（2）投资债券类产品万元，则股票类投资为万元，令，换元利用二次函数的性质，即可求解其最大收益．
试题解析：（1），，
，，
（2）设：投资债券类产品万元，则股票类投资为万元．
令，则
所以当，即万元时，收益最大，万元．
考点：函数的实际应用问题．
22.已知函数定义域为，若对于任意的，都有，且时，有.
（1）判断并证明函数的奇偶性；
（2）判断并证明函数的单调性；
（3）设，若，对所有，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）增函数，证明见解析；（3）或.
【解析】
试题分析：（1）利用赋值法先求出，然后令，可得与的关系，从而判定函数的奇偶性；（2）根据函数单调性的定义先在定义域上任取零点，并规定大小，然后判断函数的大小，从而确定函数的单调性；（3）关于恒成立的问题常常进行转化，若，对所有，恒成立，可转化成恒成立，然后将其看出关于的函数，即可求解.
试题解析：（1）因为有，
令，得，所以，
令可得：，所以，所以为奇函数.
（2）∵是定义在上的奇函数，由题意设，
则，
由题意时，有，∴，∴是在上为单调递增函数；
（3）因为在上为单调递增函数，所以在上的最大值为，
所以要使，对所有，恒成立，
只要，即恒成立.
令，得，
∴或.
考点：抽象函数及其应用.
【方法点晴】本题主要考查了抽象函数的图象与性质的应用，其中解答中涉及到抽象函数的奇偶性和函数的单调性，以及函数的恒成立问题的运用，着重考查了转化思想，学生的分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题有一定的难度，属于中档试题，本题的解答中根据题设条件，利用单调性和奇偶性的定义是解答关键.。