九年级数学下册28.2解直角三角形及其应用28.2.2第1课时解直角三角形的简单应用教案新人教版

28.2.2 应用举例
第1课时 解直角三角形的简单应用
1．通过生活中的实际问题体会锐角三角函数在解题过程中的作用；(重点)
2．能够把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，并运用解直角三角形求解．(难点)
一、情境导入
为倡导“低碳生活”，人们常选择以自行车作为代步工具．图①所示的是一辆自行车的实物图，图②是这辆自行车的部分几何示意图，其中车架档AC 与CD 的长分别为45cm 和60cm ，且它们互相垂直，座杆CE 的长为20cm.点A 、C 、E 在同一条直线上，且∠CAB ＝75°.
你能求出车架档AD 的长吗？
二、合作探究
探究点：解直角三角形的简单应用
【类型一】 求河的宽度
根据网上消息，益阳市为了改善市区交通状况，计划在康富路的北端修建通往资
江北岸的新大桥．如图，新大桥的两端位于A 、B 两点，小张为了测量A 、B 之间的河宽，在垂直于新大桥AB 的直线型道路l 上测得如下数据：∠BDA ＝76.1°，∠BCA ＝68.2°，CD ＝82米．求AB 的长(精确到0.1米)．参考数据：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.0；sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5.
解析：设AD ＝x m ，则AC ＝(x ＋82)m.在Rt △ABC 中，根据三角函数得到AB ＝2.5(x ＋82)m ，在Rt △ABD 中，根据三角函数得到AB ＝4x ，依此得到关于x 的方程，进一步即可求解． 解：设AD ＝x m ，则AC ＝(x ＋82)m.在Rt △ABC 中，tan ∠BCA ＝AB AC ，∴AB ＝AC ·tan ∠BCA ＝2.5(x ＋82)．在Rt △ABD 中，tan ∠BDA ＝AB AD
，∴AB ＝AD ·tan ∠BDA ＝4x ，∴2.5(x ＋82)
＝4x ，解得x ＝4103.∴AB ＝4x ＝4×4103
≈546.7m. 答：AB 的长约为546.7m.
方法总结：解题的关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第3题
【类型二】 求不可到达的两点的高度
如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB 长为30cm ，灯罩BC 长为20cm ，底座厚
度为2cm ，灯臂与底座构成的∠BAD ＝60°.使用发现，光线最佳时灯罩BC 与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C 到桌面的高度CE 是多少(结果精确到0.1cm ，参考数据：3≈
1.732)?
解析：首先过点B 作BF ⊥CD 于点F ，作BG ⊥AD 于点G ，进而求出FC 的长，再求出BG 的长，即可得出答案．
解：过点B 作BF ⊥CD 于点F ，作BG ⊥AD 于点G ，∴四边形BFDG 是矩形，∴BG ＝FD .在Rt △BCF 中，∠CBF ＝30°，∴CF ＝BC ·sin30°＝20×12
＝10cm.在Rt △ABG 中，∵∠BAG ＝60°，∴BG ＝AB ·sin60°＝30×32＝153cm ，∴CE ＝CF ＋FD ＋DE ＝10＋153＋2＝12＋153≈38.0(cm)．
答：此时灯罩顶端C 到桌面的高度CE 约是38.0cm.
方法总结：将实际问题抽象为数学问题，画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题
【类型三】 方案设计类问题
小锋家有一块四边形形状的空地(如图③，四边形ABCD )，其中AD ∥BC ，BC ＝1.6m ，
AD ＝5.5m ，CD ＝5.2m ，∠C ＝90°，∠A ＝53°.小锋的爸爸想买一辆长4.9m ，宽1.9m 的汽车停放在这块空地上，让小锋算算是否可行．小锋设计了两种方案，如图①和图②所示．
(1)请你通过计算说明小锋的两种设计方案是否合理；
(2)请你利用图③再设计一种有别于小锋的可行性方案，并说明理由(参考数据：sin53°
＝0.8，cos53°＝0.6，tan53°＝43)．
解析：(1)方案1，如图①所示，在Rt △AGE 中，依据正切函数求得AG 的长，进而求得DG 的长，然后与汽车的宽度比较即可；方案2，如图②所示，在Rt △ALH 中，依据正切函数求得AL 的长，进而求得DL 的长，然后与汽车的长度比较即可；(2)让汽车平行于AB 停放，如图③，在Rt △AMN 中，依据正弦函数求得AM 的长，进而求得DM 的长．在Rt △PDM 中，依据余弦函数求得PM 的长，然后与汽车的长度比较即可．
解：(1)如图①，在Rt △AGE 中，∵∠A ＝53°，∴AG ＝EG tan ∠A ＝4.943
m ≈3.68m ，∴DG ＝AD －AG ＝5.5－3.68＝1.82m ＜1.9m ，故此方案不合理；如图②，在Rt △ALH 中，∵∠A ＝53°，
LH ＝1.9m ，∴AL ＝LH tan53°＝1.943
≈1.43m ，∴DL ＝AD －AL ＝5.5－1.43＝4.07m ＜4.9m ，故此方案不合理；
(2)如图③，过DA 上一点M 作MN ⊥AB 于点N ，过CD 上一点P 作PQ ⊥AB 于点Q ，连PM ，
在Rt △AMN 中，∵∠A ＝53°，MN ＝1.9m ，∴AM ＝MN sin53°＝1.90.8
≈2.4，∴DM ＝5.5－2.4＝3.1m.在Rt △PDM 中，∵∠PMD ＝∠A ＝53°，DM ＝3.1m ，∴PM ＝DM
cos53°＝3.10.6≈5.1m ＞4.9m ，故此方案合理．
方法总结：本题主要是利用三角函数解决实际问题，关键是把实际问题转化为解直角三角形的问题，利用三角函数解决问题．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题
三、板书设计
1．求河宽和物体的高度；
2．其他应用类问题．
本节课为了充分发挥学生的主观能动性，可引导学生通过小组讨论，大胆地发表意见，提高学生学习数学的兴趣．能够使学生自己构造实际问题中的直角三角形模型，并通过解直角三角形解决实际问题.。