甘肃省永昌县第一中学_学年高一数学上学期期末考试试题【含答案】

永昌县第一高级中学2015-2016-1期末考试卷
高一数学
第I 卷（选择题）
一 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．已知sin α＝3cos α，则sin 2
α＋3sin αcos α＝( )
A.9
5
B ．2
C ．3
D ．4 2．已知tan(π3－α)＝13，则tan(2π
3＋α)＝( )
A.13 B ．－13 C.233 D ．－23
3
3．函数y ＝cos(k 4x ＋π
3
)(k >0)的最小正周期不大于2，则正整数k 的最小值应是( )
A ．10
B ．11
C ．12
D ．13 4．下列关系式中正确的是( )
A ．sin 11°<cos 10°<sin 168°
B ．sin 168°<sin 11°<cos 10°
C ．sin 11°<sin 168°<cos 10°
D ．sin 168°<cos 10°<sin 11° 5．把函数y ＝sin(2x －π3)的图像向右平移π
3
个单位，得到的解析式为( )
A ．y ＝sin(2x －π3)
B ．y ＝sin(2x ＋π
3) C ．y ＝cos 2x D ．y ＝－sin 2x
6．已知两不共线的向量a ，b ，若对非零实数m ，n 有m a ＋n b 与a －2b 共线，则m n
＝( )
A ．－2
B ．2
C ．－12 D.1
2
7．若向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c 等于( )
A ．－12a ＋32b B.12a －32b C.32a －12b D ．－32a ＋1
2b
8．若A (3，－6)，B (－5,2)，C (6，y )三点共线，则y ＝( )
A ．13
B ．－13
C ．9
D ．－9
9．如果向量a 和b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥(a －b )，那么a 和b 的夹角θ的大小为( )
A ．30°
B ．45°
C ．75°
D ．135°
10．已知|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角是90°，c ＝2a ＋3b ，d ＝k a －4b ，c 与d 垂直，则k 的值为( )
A ．－6
B ．6
C ．3
D ．－3
11．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |等于( ) A. 3 B ．2 3 C ．4 D ．12
12．已知α是三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝2
3
，那么这个三角形的形状为( )
A ．锐角三角形
B ．钝角三角形
C ．等边三角形
D ．等腰直角三角形
第II 卷（非选择题）
二 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13. 若2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是________．
14．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a ,4b －2c ,2(a －c )，d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d 的坐标是________．
15．设x ∈(0，π)，则f (x )＝cos 2
x ＋sin x 的最大值是________．
16．满足tan(x ＋π
3
)≥－3的x 的集合是________．
三 解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17（本小题满分10分）
已知角α的终边在直线y ＝3x 上，求sin α，cos α，tan α的值． 18．（本小题满分12分） 化
简
：
(1)
1＋2sin 280°·cos 440°sin 260°＋cos 800°
.
(2)
1tan 2
－α
＋
1
sin π2－α ·cos α－3
2π ·tan π＋α
.
19．（本小题满分12分）
求函数y ＝3－4cos(2x ＋π3)，x ∈[－π3，π
6]的最大值、最小值及相应的x 值．
20．（本小题满分12分）
已知在△ABC 中，A (2,4)，B (－1，－2)，C (4,3)，BC 边上的高为AD .
(1)求证：AB ⊥AC ； (2)求向量AD
；
21．（本小题满分12分）
已知曲线y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)上的一个最高点的坐标为(π
2，2)，由此点到相邻最低点
间的曲线与x 轴交于点(32π，0)，若φ∈(－π2，π
2
)．
(1)试求这条曲线的函数解析式； (2)写出函数的单调区间．
22．．(本小题满分12分）
设0<|a |≤2，f (x )＝cos 2
x －|a |sin x －|b |的最大值为0，最小值为－4，且a 与b 的夹角为45°，求|a ＋b |.
高一数学答案
一．选择题（每小题5分，共60分）
13．2sin 1； 14．(－2，－6)； 15．54； 16．{x |k π－2π3≤x ＜k π＋π6，k ∈Z }。

三．解答题（10分+12分+12分+12分+12分+12分,共70分） 17．解：直线3x －y ＝0，即y ＝3x ，
当角α的终边在第一象限时，在α的终边上取点(1，3)， 则sin α＝
32，cos α＝1
2
，tan α＝3； 当角α的终边在第三象限时，在α的终边上取点(－1，－3)， 则sin α＝－32，cos α＝－1
2
，tan α＝ 3. 18．解 (1)原式＝
1＋2sin 360°－80° ·cos 360°＋80° sin 180°＋80° ＋cos 720°＋80° ＝1－2sin 80°·cos 80°
－sin 80°＋cos 80°
＝sin 2
80°＋cos 2
80°－2sin 80°·cos 80°－sin 80°＋cos 80°＝ sin 80°－cos 80°
2
－sin 80°＋cos 80°
＝
|cos 80°－sin 80°|cos 80°－sin 80°＝sin 80°－cos 80°
cos 80°－sin 80°
＝－1.
(2) ∵tan(－α)＝－tan α，sin(π2－α)＝cos α，cos(α－32π)＝cos(3
2π－α)＝－sin α，tan(π
＋α)＝tan α，
∴原式＝1tan 2α＋1cos α· －sin α ·tan α＝1sin 2αcos 2α＋1－sin 2α＝cos 2
α－1sin 2
α＝－sin 2
α
sin 2α
＝－1. 19．解：∵x ∈[－π3，π6]，∴2x ＋π3∈[－π3，2π3]，从而－12≤cos(2x ＋π
3
)≤1.
∴当cos(2x ＋π3)＝1，即2x ＋π3＝0，即x ＝－π
6时，y min ＝3－4＝－1.
当cos(2x ＋π3)＝－12，即2x ＋π3＝2π3，即x ＝π6时，y max ＝3－4×(－1
2)＝5.
20．解 (1)∵AB
＝(－1，－2)－(2,4)＝(－3，－6)，AC ＝(4,3)－(2,4)＝(2，－1)，
AB ·AC
＝－3×2＋(－6)×(－1)＝0，∴AB ⊥AC .
(2) BC ＝(4,3)－(－1，－2)＝(5,5)．设BD
＝λBC ＝(5λ，5λ)
则AD
＝AB ＋BD
＝(－3，－6)＋(5λ，5λ)＝(5λ－3,5λ－6)，
由AD ⊥BC 得5(5λ－3)＋5(5λ－6)＝0，解得λ＝910，∴AD ＝(32，－3
2
)．
21．解 (1)依题意，A ＝2，T ＝4×(3π2－π
2
)＝4π，
∵T ＝2π|ω|＝4π，ω＞0，∴ω＝12.∴y ＝2sin(1
2
x ＋φ)．
又曲线上的最高点为(π2，2)，∴sin(12×π2＋φ)＝1.∴φ＋π4＝2k π＋π
2.
∵－π2＜φ＜π2，∴φ＝π4.∴y ＝2sin(12x ＋π
4
)．
(2)令2k π－π2≤12x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，∴4k π－3π2≤x ≤4k π＋π
2，k ∈Z .
所以函数f (x )的单调递增区间为[4k π－3π2，4k π＋π
2
](k ∈Z )．
令2k π＋π2≤12x ＋π4≤3π2＋2k π，(k ∈Z )∴4k π＋π2≤x ≤4k π＋5π
2，k ∈Z .
∴函数f (x )的单调递减区间为[4k π＋π2，4k π＋5π
2](k ∈Z )．
22．解 f (x )＝1－sin 2
x －|a |sin x －|b |＝－⎝
⎛⎭⎪⎫sin x ＋|a |22＋|a |2
4－|b |＋1.
∵0<|a |≤2，∴当sin x ＝－|a |2时，f (x )取得最大值，即|a |
2
4－|b |＋1＝0.①
当sin x ＝1时，f (x )取得最小值，即－|a |－|b |＝－4.②
由①②，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
|a |＝2，
|b |＝2.
∴|a ＋b |2
＝(a ＋b )2
＝a 2
＋2a·b ＋b 2
＝22
＋2×2×2cos 45°＋22
＝8＋4 2. ∴|a ＋b |＝22＋ 2.。