二重积分的计算法

D: x1(y) x x2(y) cyd
I f ( x, y)dxdy
D
y
d y
x1 (y)
c
x2(y)
D
0 x
I=
x ( y) f ( x , y)dx x ( y )
二重积分计算的两种积分顺序
D: x1(y) x x2(y) cyd
I f ( x, y)dxdy
D
y
d y
x1 (y)
I =
d
dy
x ( y) f ( x , y)dx
c
x ( y )
I=
y ( x) f ( x, y)dy y ( x )
二重积分计算的两种积分顺序
D: x1(y) x x2(y) cyd
I f ( x, y)dxdy
D
D: y1(x) y y2(x)
axb
y
d y
x1 (y)
c
cyd
z
0
c
z=f (x,y)
y
x=(y)
d
y
D
x=(y) x
I f ( x, y)dxdy
D
D: (y) x (y)
cyd
ψ( y)
Q( y ) = f ( x, y)dx φ( y) d I = c Q( y)dy
x
z
z f (x, y)
y y
.
z=f (x,y)
0
c
Q( y) x=(y)
D
D1
D2
D3
例1 求 ( x2 y)dxdy,其中D是抛物线y x2和
D
x y2 所围平面闭区域. 解 两曲线的交点
y
y x2
x (1,1)
y2
(1,1), (0,0).
O
x
(x2
y)dxdy
1
dx
x( x2 y)dy
0
x2
D
1
[
x
2
(
0
x
x2)
1(x 2
x4 )]dx
33 . 140
cyd
axb
y
d y
x1 (y)
c
0
x2(y)
D
x
y
y2(x)
D
y1(x)
0
a
x bx
I =
d
dy
x ( y) f ( x , y)dx
c
x ( y )
I =
b
dx
y ( x)
f ( x, y)dy
a
y ( x )
(1) 积分区域为：c y d , 1( y) x 2( y)
其中函数 1( y)、 2( y) 在区间 [c,d ]上连续.
y
y x
1
y x2
1
2
1
4
O
1
1
x
2
计算二重积分时,恰当的选取积分次序
十分重要,它不仅涉及到计算繁简问题,而且 又是能否进行计算的问题.
凡遇如下形式积分:
sin xdx, sinx2dx, cosx2dx, ex2dx, x
y
e x2dx, e xdx,
x2e y2dxdy
1
dy
y x2e y2 dx
D
00
e1 y2 y3dy e1 y2 y2dy2 1 1 2 .
0
3
0
6
6 e
例3 交换积分次序：
1
2 x x2
2
2 x
0 dx0
f ( x, y)dy 1 dx0 f ( x, y)dy
y
解 积分区域:
y2 x
y 2x x2
y
y
d
d
x 1( y) D
x 2( y) x 1( y) D x 2( y)
c
c
O
x
O
x
f ( x, y)d
d
(
2
(
y)
f
(
x,
y)dx
)
dy
D
c 1( y)
即
f ( x, y)d
d
dy
2( y)
f ( x, y)dx.
D
c
1( y)
(2) 积分区域为：a x b, 1( x) y 2( x). 其中函数1( x)、2( x)在区间 [a,b]上连续.
D
b
(
a
f1 ( x)
d
c f2 ( y)dy
)dx
得
b
a f1( x)dx
d
c f2( y)dy
即等于两个定积分的乘积.
例2 求 x2e y2dxdy, 其中D 是以 (0,0),(1,1),
D
(0,1) 为顶点的三角形.
解 e y2dy 无法用初等函数表示，
所以，积分时必须考虑次序.
y y 2(x)
D
y
y 2(x)
D
y 1(x)
y 1(x)
Oa
b x Oa
bx
f ( x, y)d
b
dx
2 ( x) f ( x, y)dy.
a
1( x)
D
(3) 若区域如图, 则必须分割. 在分割后的三个区域上分别 使用积分公式.
y
D3
D1 D2
(用积分区域的可加性质)
O
x
第二节 二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分
二重积分的计算方法是：将二重积分化为二次 积分（累次积分）来计算.
现根椐二重积分的几何意义:
f (x, y)dxdy 的值等于以区域D为底，曲面
z=
f
D
(
x,
y
)为顶的曲顶柱体的体积,考虑二重积分
的计算.
I f ( x, y)dxdy
D
D: (y) x (y)
O
1
2x
原式=
1
dy
2 y
f ( x, y)dx
0
1 1 y2
例4 计算积分 I
1
2 1
dy
1
y
y e x dx
y
1
1 dy
y e x dx.
y
4
2
2
y
解 e x dx 不能用初等函数表示,
先交换积分次序.
y
I
1
1 dx
xe x dy
x2
2
1 1
x(e
e
x
)dx
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3e 1 e 82
0
x2(y)
D
x
y
y2(x)
D
y1(x)
0
a
x bx
I =
d
dy
x ( y) f ( x , y)dx
c
x ( y )
I=
y ( x) f ( x, y)dy y ( x )
二重积分计算的两种积分顺序 I f ( x, y)dxdy
D
D: x1(y) x x2(y)
D: y1(x) y y2(x)
c
x2(y)
D
0 x
I=
x ( y) f ( x , y)dx x ( y )
二重积分计算的两种积分顺序
D: x1(y) x x2(y) cyd
I f ( x, y)dxdy
D
D: y1(x) y y2(x)
axb
y
d y
x1 (y)
c
0
x2(y)
D
x
y
y2(x)
D
y1(x)
0
a
x bx
y
x=(y)
d
y
D
I f ( x, y)dxdy
D
D: (y) x (y)
cyd
ψ( y)
Q( y ) = f ( x, y)dx φ( y)
I=
d
c Q( y)dy
d
ψ( y)
dy f ( x, y)dx
c
φ( y)
x
z
0 x=(y)
z=f (x,y)
d
y
二重积分计算的两种积分顺序
注 特殊地 D为矩形域: a≤x≤b,c≤y≤d
则
f ( x, y)d
b
d
a dxc
f ( x, y)dy
D
d
b
c dya f ( x, y)dx
如D是上述矩形域,且f ( x, y) f1( x) f2( y)
则
bd
f1( x)
f2(
y)dxdy
(
a
c
f1( x) f2( y)dy )dx