人教9年级数学上册复习课件第2讲根的判别式及根与系数的关系.2 提升训练 根的判别式的十种常见应用

提升训练
∴Δ＝1＋4(m＋1)＝4m＋5. ∵抛物线与直线只有一个交点， ∴Δ＝0，即 4m＋5＝0. ∴m＝－54.
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7．判断下列抛物线与 x 轴交点的个数： (1)y＝3x2＋4x＋1；
解：∵Δ＝16－12＝4＞0， ∴抛物线与 x 轴有两个交点．
提升训练 (2)y＝－x2＋6x－9；
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(2)当 k 为何值时，△ABC 是等腰三角形？并求△ABC 的周 长．
解：由(1)可知，方程 x2－(2k＋3)x＋k2＋3k＋2＝0 的解为 k ＋1，k＋2. 当 k＋1＝5，即 k＝4 时，此方程的另一解为 k＋2＝6， ∴△ABC 的周长为 5＋5＋6＝16；
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当 k＋2＝5，即 k＝3 时，此方程的另一解为 k＋1＝4， ∴△ABC 的周长为 5＋5＋4＝14. ∴△ABC 的周长为 14 或 16.
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提升训练
∴x1＝k＋1，x2＝k＋2. ∵AB，AC 的长是一元二次方程 x2－(2k＋3)x＋k2＋3k＋2＝0 的两个实数根，△ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形． ∴(k＋1)2＋(k＋2)2＝25， 解得 k＝2 或 k＝－5(舍去)． 故当 k＝2 时，△ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形．
解：∵Δ＝36－36＝0， ∴抛物线与 x 轴只有一个交点．
提升训练 (3)y＝4x2－2x＋1.
解：∵Δ＝4－16＝－12＜0， ∴抛物线与 x 轴没有交点．
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8．已知抛物线 y＝x2＋2x＋m－1. (1)当 m 取什么值时，抛物线和 x 轴有两个交点？
解：令 y＝0，则 x2＋2x＋m－1＝0， Δ＝4－4(m－1)＝－4m＋8. ∵抛物线与 x 轴有两个交点， ∴Δ＞0，即－4m＋8＞0，m＜2.
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(3)没有实数根？ 解：Δ＝(－4)2－4(k－5)＝16－4k＋20＝36－4k. ∵方程没有实数根， ∴Δ＜0，即 36－4k＜0，解得 k＞9.
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3．求证：关于 x 的方程(m2＋1)x2－2mx＋(m2＋4)＝0 没有实 数根．
证明：∵m2＋1≠0，∴原方程是一元二次方程． Δ＝(－2m)2－4(m2＋1)(m2＋4)＝4m2－4(m4＋5m2＋4) ＝－4m4－16m2－16＝－4(m4＋4m2＋4)＝－4(m2＋2)2.
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第2讲 根的判别式及根与系数的关系 第2课时 提升训练
根的判别式的十种常见应用
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1
(1)方程没有实数根 (2)方程有两个实数根
2
(1) k＜9 (2) k＝9 (3) k＞9
3 见证明
(1) k＝2 4 (2) k＝4 ，16 ；
k＝3 ，14
答案显示
5 (1) k＝40或k＝－40 (2) k＝4
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2．k 为何值时，关于 x 的一元二次方程 x2－4x＋k－5＝0： (1)有两个不相等的实数根？ 解：Δ＝(－4)2－4(k－5)＝16－4k＋20＝36－4k. ∵方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＞0，即 36－4k＞0，解得 k＜9.
提升训练
(2)有两个相等的实数根？ 解：Δ＝(－4)2－4(k－5)＝16－4k＋20＝36－4k. ∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝0，即 36－4k＝0，解得 k＝9.
6 m＝－54
7 (1)两个 (2)一个 (3) 无
(1) m＜2 8 (2) m＝2 ；(－1，0)
(3) m＞2
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9 a＝－23或 a＝27 (1) m＝1
10 (2) y＝－x2－4x－2 (3)最大值为21，最小值为－4.
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1．不解方程，判断下列方程的根的情况： (1)2x2－3x＋4＝0； 解：∵Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×2×4＝－23＜0， ∴方程没有实数根．
解：令 ka2＋4a＋1＝0. 易知方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝16－4k＝0，k＝4.
提升训练 6．当 m 取什么值时，抛物线 y＝x2＋2x＋m－1 与直线 y＝x
＋2m 只有一个交点？ 解：列方程组yy＝ ＝xx2＋＋22mx，＋m－1， 消去 y 并整理得 x2＋x－m－1＝0.
提升训练 【点拨】 一般来说，要判断三角形的形状，这个三角形一定 是个特殊的三角形．由根的判别式可以得到三角形三边的关 系，从边的角度判断：(1)当 a＝b 或 a＝c 或 b＝c 时，它是等 腰三角形；(2)当 a＝b＝c 时，它是等边三角形；(3)当 a2＋b2 ＝c2 或 a2＋c2＝b2 或 b2＋c2＝a2 时，它是直角三角形．若同时 满足(1)和(3)，则它是等腰直角三角形．
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5．(1)若关于 a 的二次三项式 16a2＋ka＋25 是一个完全平方 式，求 k 的值；
解：令 16a2＋ka＋25＝0. 易知方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝k2－4×16×25＝0. ∴k＝40 或 k＝－40.
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(2)若关于 a 的二次三项式 ka2＋4a＋1 是一个完全平方式，求 k 的值．
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∵不论 m 取任何实数，(m2＋2)2＞0， ∴－4(m2＋2)2＜0，即 Δ＜0. ∴关于 x 的方程(m2＋1)x2－2mx＋(m2＋4)＝0 没有实数根．
提升训练 4．已知△ABC 的两边 AB，AC 的长是关于 x 的一元二次方
程 x2－(2k＋3)x＋k2＋3k＋2＝0 的两个实数根，第三边的 长为 5. (1)当 k 为何值时，△ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形？ 解：x2－(2k＋3)x＋k2＋3k＋2＝0， x2－(2k＋3)x＋(k＋1)(k＋2)＝0， [x－(k＋1)][x－(k＋2)]＝0，
提升训练
(2)ax2－bx＝0(a≠0)． 解：∵Δ＝(－b)2－4·a·0＝b2，且无论 b 取任何实数，b2 均为 非负数， ∴Δ≥0. ∴方程有两个实数根．
提升训练 【点拨】判断方程根的情况的方法：(1)若求出的根的判别式是
一个常数，则直接根据这个常数的正负性来判断根的情况； (2)若求出的根的判别式是含有待定系数的二次多项式，则需 要对二次多项式进行配方变成 a(x＋m)2＋n 的形式进行判断．